振动与波知识要点

振动与波知识要点
一、机械振动
1、一种振动：简谐振动
掌握：简谐振动的特征；一维简谐振动方程；描述简谐振动的基本物理量（振幅、周期、频率、圆频率、相位）；简谐振动的能量
要点：①一维简谐振动方程)cos(ϕω+=t A x →速度方程)sin(ϕωω+-==
t A dt
dx v (平衡位置处A v m ω=) →加速度方程x t A dt dv a 22)cos(ωϕωω-=+-== (正负最大位移处 A a m 2ω=) ②基本物理量：﹡振幅)0(>A 常量→由振动初始条件决定
﹡圆频率)0(>ω常量→由振动系统本身性质决定 （弹簧振子m
k =ω ；单摆l g =ω；摆杆l g 23=ω） ﹡周期、频率、圆频率关系：ω
π
ν21==T ； ﹡相位ϕω+=Φt （反映振动状态）： 初相ϕ（0=t ）→常量，由振动初始条件决定；
相位差=Φ-Φ=∆Φ12)(12t t -ω（用于单个物体不同时刻间状态变化分析）
或相位差=Φ-Φ=∆Φ1212ϕϕ-（用于两个同频率振动相关问题分析） ③振动能量：振动总能量2222
121kA A m E E E p k −−−→−=+=弹簧振子ω 动能Φ=2sin E E k ；势能Φ=2cos E E p （相位ϕω+=Φt ）
振动过程中，动能和势能随时间变化，变化周期是振动周期的一半，它们相互转化，总能量保持不变
2、一种分析方法：旋转矢量法 （※利用旋转矢量法判断时一定要画出旋转矢量图） 掌握：应用旋转矢量法分析初相问题、相位差问题、振动合成问题 要点：①任一时刻旋转矢量相对于x 轴正向的夹角θ表征简谐运动物体此时的振动相位ϕω+=Φt ；在t ＝0时刻，与x 轴正向夹角0θ即表征振动初相ϕ；
②任一时刻，旋转矢量端点在x 轴上投影点的位置、运动方向表征简谐运动物体此时的振动位置x 及振动方向；
③旋转矢量逆时针方向匀速旋转一周，转过角度πθ2=∆，所用时间ωπ/2=∆t ，表征简谐振动物体作一次完全振动，相位变化π2=∆Φ，振动周期为ωπ/2=T ；某段时间t ∆内旋转矢量旋转过的角度θ∆即表征简谐振动物体在这段时间内的相位变化t ∆=∆=∆Φωθ.
3、一种合成：两个同方向同频率简谐振动合成
掌握：合振动的分析；振动相长、相消条件
要点：同相{),2,1,0(2 =±=∆Φk k π}振动相长，合振幅最大21max A A A +=
反相{),2,1,0()12( =+±=∆Φk k π}振动相消，合振幅最小21min A A A -=
二、机械波
1、平面简谐波的波动方程
掌握：①波动方程的几种基本形式； ②波动方程中的物理量分析及相互联系；③波形图的分析； ④由质点振动方程推出波动方程或由波动方程推出某处质点方程的方法；⑤波线上任意两点相位差
的分析
要点： ①波动方程的基本形式：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴正向传播 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴负向传播 ②基本物理量：
﹡波的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）与参与波动的各质点振动的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）相同，都仅与波源的振动及性质有关
﹡波速u →由传播介质的性质决定
﹡波长λ＝两相邻波峰（或波谷）间距【横波】或两相邻密部（或疏部）间距【纵波】
与波速u 、周期T （频率ν）间关系为 νλ/u uT == ，而ωπν21==
T ﹡同一波线上坐标为x 1和x 2的两质点的振动相位差
)(2)(212112x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλ
πω
→沿x 轴正向传播
)(2)(121212x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλ
πω →沿x 轴负向传播 ﹡初相ϕ根据x =0处质点在t =0时刻的振动状态确定
③波动方程的物理意义：),(t x y
﹡代入坐标x →)(t y 坐标为x 处质点的振动方程（注：初相不可化简）
﹡代入时刻t →)(x y t 时刻波形
（x y -曲线为波形图，判断质点振动速度方向时要注意在振动曲线图和波形图上判断方法的区别）
2、波的干涉
掌握：①波的干涉现象分析：
a. 波的相干条件 ；
b. 从相位差角度，从波程差角度分析空间任意点干涉相长和相消问题 ②驻波分析：a. 形成驻波条件； b. 驻波方程的推导；
c. 波腹和波节或任意振幅位置的分析
d. 半波损失现象分析，由入射波（或反射波）方程推出反射波（或入射波）方程的方法 要点：①波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定
②波的干涉 ﹡两列相干波在叠加点所引起两分振动相位差
﹡相长干涉、相消干涉问题（从相位差角度分析；从波程差角度分析）
注：从波程差角度分析相长干涉、相消干涉的规律只适用于两相干波源初相相等即21ϕϕ=的情况 λϕϕϕ12
12π2r r ---=∆
③驻波问题
﹡形成条件：相干条件，振幅相同，传播速度相同，沿同一直线相反方向传播
﹡驻波方程 21y y y += （要用到2cos 2cos 2cos cos β
αβ
αβα-+=+）
各质点振动频率相同，振幅不同（波腹振幅最大为2A ，波节振幅最小为0，其余质点振幅介于0～2A 之间），相位分布遵循段内同相、邻段反相规律。

﹡驻波方程及波节、波腹位置或任意振幅处位置的分析
由两列波波动方程叠加21y y y += → 驻波方程 → 振幅表达式（取绝对值）→ 波节、波腹位置或任意振幅处位置
﹡由驻波波形测量行波波长： 相邻波腹（节）间距＝2/λ
﹡已知入射波（或反射波）波动方程，求解反射波（或入射波）的波动方程 入（反）射波波动方程为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛
=ϕωu x t A y cos ，反射点在x=0处时，则反（入）射波波动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛
±=ϕωu x t A y cos （无半波损失时）或⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛±=πϕωu x t A y cos （有半波损失时） 【半波损失现象规律】
Ⅰ. 弦线波反射点为固定端时，反射会发生半波损失现象，反射点形成波节；而当反射点为自由端时，则不会发生半波损失现象，反射点形成波腹；
Ⅱ. 一般情况下，入射波在由波疏介质进入波密介质分界面发生反射时，将发生半波损失现象，反之则不会发生半波损失
3、波的能量问题
要点：①在波动传播的路径上，介质中任一质元的动能、 势能在行波的传播过程中是始终相等的，且随时间作同步变化，变化周期是波动周期的一半；介质中任一质元的总能量变化与质元动能、势能的变化同步，反映出波的能量在介质中的传播。

质元振动位于平衡位置时，其动能、势能、总能量均达到最大值；而当其位于离开平衡位置位移最大处时，其动能、势能、总能量均达到最小值为0 。

②平均能量密度：单位体积介质中的平均波动能量 平均能流：单位时间内垂直通过某一面积的平均能量 能流密度 ( 波的强度 ) : 通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流. 2
22
1A w ρω=uS A S u w P 222
1ρω==2A u w S P I ∝==。