振动的能量特点
振动的能量
E 1 m 2 1 kx2 常量
2
2
d (1 m 2 1 kx2 ) 0
dt 2
2
m d kx dx 0
dtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
d2x k x 0 dt 2 m
─简谐运动微分方程
（3）系统总的机械能在振动过程中是守恒的。
例 质量为0.10kg的物体，以振幅1.010-2m作简谐运 动，其最大加速度为 4.0 ms-2，求：(1) 振动的周期； (2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量；(4) 物体在何处 其动能和势能相等？
解: (1) amax A 2
amax
A
20s 1
振动的能量
x Acos( t )
v Asin( t ) a 2 Acos( t )
2 k /m
x Acos( t )
Ep
1 2
kx2
1 kA2 cos2 ( t )
2
v Asin( t )
Ek
1 2
mv2
1 m2 A2
2
sin2 ( t
)
2 k /m
1 kA2 sin2 ( t )
T 2 π 0.314s
(2)
Ek ,max
1 2
mvm2 ax
1 m2 A2
2
2.0103 J
(3) E Ek,max 2.0103 J
(4)
Ek
Ep
时， Ep
1.0 103 J
1 kx2 1 m2 x2
22
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
由能量守恒定律求简谐运动方程
2
总机械能为 结论：
:
大学物理振动
4.1 简谐振动
一.简谐振动
一物理量随时间的变 化规律遵从余弦函数 关系，则称该物理量 作简谐振动。
表达式 x(t)=Acos( t+)
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
－A 0 A
X
表达式 x(t)=Acos( t+)
二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A： 即最大位移：x＝±A 2. 角频率 （圆频率）ω （弧度/秒：rad/s） 3. 周期T 和频率 v ∵ ωT＝2π ∴ T＝2π/ω （s） （完成一次全振动所需的时间） 而 v = 1/T ＝ω/2π （Hz）
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 v 、a
2A
A v
A
x
0
-A
- A
- 2A v > 0
<0
a<0 减速
<0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
解题方法
由初始条件求解振幅和初位相：
设 t =0 时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x Acos（ t ） xo Acos
谐振系统的总机械能：
E Ek Ep
1 m 2 A2 sin 2 ( t ) 1 kA2 cos2 ( t )
2
2
E
1 2
kA2
1 2m2 A2来自1 2mvm 2
x Acos t
X
Ep
Ek
E 1 kA2
2
X
结论：
振动的能量 受迫振动与共振要点
能力· 思维· 方法
【解题回顾】这种装置中若让B或C先振动起来 呢?同样，也是谁先振动谁就提供其他球振动 的策动力，其他球作受迫振动.
能力· 思维· 方法
【例2】如图7-3-3所示，在光滑的水平面上，有 一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程 中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平 向左的恒定的匀强电场，此后(A)
延伸· 拓展
【解析】(1)m2速度最大的位置应在O左侧.因为细线烧断 后，m2在弹簧弹力和滑动摩擦力的合力作用下向右做加 速运动，当弹力与摩擦力的合力为0时，m2的速度达到最 大，此时弹簧必处于压缩状态.此后，系统的机械能不 断减小，不能再达到这一最大速度.
延伸· 拓展
(2)选m2、m1为一系统，由动量守恒定律得： m2v2=m1v1；系统克服摩擦力做的总功W克=m2gs；设这 一过程中弹簧释放的弹性势能为Ep，则有 Ep=m1v12/2+m2v22/2+W克.由以上各式解得：
振动的能量
要点· 疑点· 考点
课 前 热 身 能力· 思维· 方法 延伸· 拓展
受迫振动与共振
要点· 疑点· 考点
1.振动的能量 (1)对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决 定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振 动系统在某个状态下的动能与势能之和. (2)振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统 振幅越大，机械能就越大.若无能量损失，简谐运动过程 中机械能守恒，为等幅振动.
图7-3-7
延伸· 拓展
(1)当m2位于O点左侧还是右侧时，物体m2的速度最 大?简要说明理由. (2)若物体m2达到最大速度v2时，物体m2已相对小 车移动了距离s，求此时m1的速度v1和这一过程中弹 簧释放的弹性势能Ep. (3)判断m2与m1的最终运动状态是静止、匀速运动 还是相对往复运动?并简要说明理由.
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
振动的能量-受迫振动与共振
振动的能量受迫振动与共振要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展要点·疑点·考点1.振动的能量(1)对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能与势能之和.(2)振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大.若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，为等幅振动.要点·疑点·考点2.阻尼振动与无阻尼振动振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动.振幅不变的振动为等幅振动，也叫无阻尼振动.【注意】等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用.要点·疑点·考点3.受迫振动振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动.受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关.要点·疑点·考点4.共振当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大的现象叫做共振.共振曲线如图7-3-1所示图7-3-1课前热身1.关于振幅，以下说法中正确的是(AB)A.物体振动的振幅越大，振动越强烈B.一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大C.振幅越大，物体振动的位移越大D.振幅越大，物体振动的加速度越大课前热身2.弹簧振子在振动过程中，动(势) 能和势(动) 能相互转化；在平衡位置动能最大；在最大位移处势能最大；振幅越小则振动能量越小.课前热身3.下列说法中正确的是(ABC)A.物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关B.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关C.物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率D.物体发生共振时的振动就是无阻尼振动课前热身4.关于共振的防止和利用，应做到(AD)A.利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率B.利用共振时，应使驱动力的频率大于或小于振动物体的固有频率C.防止共振危害时，应尽量使驱动力频率接近或等于振动物体的固有频率D.防止共振危害时，应使驱动力频率远离振动物体的固有频率能力·思维·方法【例1】在图7-3-2中，当A振动起来后，通过水平绳迫使B、C振动，下列说法中，正确的是(C)A.只有A、C的振动周期相等B.A的振幅比B小C.振动的振幅比B大D.A、B、C的振动周期相等图7-3-2能力·思维·方法【解析】A 振动后迫使水平绳振动，水平绳再迫使B 、C 振动，所以B 、C 做受迫振动，其振动周期等于策动力周期即A 自由振动周期，T B =T C =T A 固=，而T C 固= ，T B 固= ，所以C 发生共振，B 不发生共振，C 的振幅比B 大，因此正确答案为C.g L /2πg L /2πg L /2π能力·思维·方法【解题回顾】这种装置中若让B或C先振动起来呢?同样，也是谁先振动谁就提供其他球振动的策动力，其他球作受迫振动.能力·思维·方法【例2】如图7-3-3所示，在光滑的水平面上，有一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后(A)图7-3-3能力·思维·方法A.振子的振幅将增大B.振子的振幅将减小C.振子的振幅将不变D.因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化能力·思维·方法【解析】弹簧振子在加电场前平衡位置在弹簧原长处，设振幅为A，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此位置仍为振动振幅处，而且振子的振动是简谐运动，只是振动的平衡位置改在弹簧原长右边，设此时弹簧伸长量x0，满足kx=qE，即振子振动的振幅A′=A+x，所以振子的振幅增大，正确答案为选项A.能力·思维·方法【解题回顾】振幅是振动系统获得总机械能大小的标志，此题中振幅增大，是通过什么力做功而使系统的机械能增大的呢?能力·思维·方法【例4】在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度，如图7-3-系数为k，振子质量为M，振子的最大速度v6所示，当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，图7-3-6能力·思维·方法则:(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少为多大?(2)一起振动时，二者过平衡位置的速度多大?振幅又是多大?能力·思维·方法【解析】放物体前其最大回复力大小F=kA，振动的机.械能为:E=1/2Mv2(1)放上物体m后，一起振动的最大加速度大小为:a=kA/(M+m).对物体m而言，所需要的回复力是M施加的静摩擦力，则放上时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大，设最大静摩擦力大小为μm g，则满足μm g≥ma时，两者可一起振动，即:μ≥a/g=kA/[(M+m)g].能力·思维·方法(2)当两者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为0，则:1/2(M+m)v 2=1/2Mv 02，物体和振子在最大位移处，动能为0，势能最大，这个势能与没有放物体前相同，所以弹簧的最大形变是不变的，即振幅仍为A.0v mM M v +=能力·思维·方法【解题回顾】如果物体m在M通过平衡位置时放到M上并黏到一块一起振动，系统的机械能是否发生了变化?振幅是否发生了变化?如果变化，怎样变化?延伸·拓展【例5】在光滑的水平面上停放着一辆质量为m1的小车，质量为m2的物体与一轻弹簧固定相连，弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩后用细线将m2拴住，m2静止在小车上的A点，如图7-3-7所示，设m2与m1间的动摩擦因数为μ，O点为弹簧原长状态时m2相对于小车的位置，将细线烧断后m2、m1开始运动.图7-3-7延伸·拓展(1)当m2位于O点左侧还是右侧时，物体m2的速度最大?简要说明理由.(2)若物体m2达到最大速度v2时，物体m2已相对小车移动了距离s，求此时m1的速度v1和这一过程中弹簧释放的弹性势能Ep.(3)判断m2与m1的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复运动?并简要说明理由.延伸·拓展【解析】(1)m速度最大的位置应在O左侧.因为细线烧断2在弹簧弹力和滑动摩擦力的合力作用下向右做加后，m2速运动，当弹力与摩擦力的合力为0时，m的速度达到最2大，此时弹簧必处于压缩状态.此后，系统的机械能不断减小，不能再达到这一最大速度.延伸·拓展(2)选m 2、m 1为一系统，由动量守恒定律得：m 2v 2=m 1v 1；系统克服摩擦力做的总功W 克=μm 2gs ；设这一过程中弹簧释放的弹性势能为E p ，则有E p =m 1v 12/2+m 2v 22/2+W 克.由以上各式解得：v 1=m 2v 2/m 1,(3)m 2与m 1最终将静止，因为系统动量守恒，且总动量为0，只要m 2与m 1间有相对运动，就要克服摩擦力做功，不断消耗能量，所以m 2与m 1最终必定都静止.)21221(22gs v m m m m Ep μ++=延伸·拓展【解题回顾】(1)问中有的同学会直接判断为就在O点；(2)问中也容易忽略摩擦力做功而损失的机械能；要纠正这些错误，就要养成冷静而全面地分析受力情况和运动过程.用做功和能量转化的观点去分析问题等良好的习惯，而不能想当然地套用现成的一些结论.。
简谐振动中的能量和受迫振动
因此：
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简 谐运动，所以能量守恒，此后它的振 幅将保持不的能量守恒.
二、阻尼振动
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同， 由于振动过程中要克服阻力做功， 将一部分机械能转化为其他形式的 能量，导致振动的总能量不断减小， 即振幅不断减小．
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小.
驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害:
大桥若共振的话!!!
如图AO回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动
能增加，到O时，动能最大，势
能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况．
在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的弹簧振 子：通过回复力（重力和 弹簧弹力的合力）做功， 动能和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相互转 化．
实验表明：物体在外力驱动下振动时， 振动稳定后的频率等于外 力驱动的频率，跟物体的 固有频率没有关系.
四、共振：下面就是一个共振
1940年，Tacoma Narrows大桥在 建成后的4个月就因风共振而倒 塌。
共振
实验表明：
受迫振动的频率 与物体的固有频 率无关，但是如 果驱动力的频率 接近或等于物体 的固有频率时， 振动物体的振幅 将达到最大.
分析简谐振动的受力和能量变化
分析简谐振动的受力和能量变化简谐振动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、匀速和可逆的特点。
在简谐振动中，物体受到的力和能量随时间的变化呈现出一定的规律性。
本文将分析简谐振动的受力和能量变化，并探讨其特点和影响因素。
简谐振动的受力主要来自恢复力和阻尼力。
恢复力是指物体由于偏离平衡位置而产生的力，与偏离量成正比。
根据胡克定律，恢复力的大小与偏离量的乘积成正比，方向与偏离量相反。
恢复力的表达式可以用F=-kx表示，其中F为恢复力的大小，k为恢复力常数，x为物体偏离平衡位置的位移量。
当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向与位移方向相反，使物体向平衡位置回复。
阻尼力是指简谐振动中由于摩擦等因素产生的阻碍物体运动的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，方向与物体的速度相反。
阻尼力的表达式可以用F_d=-bv表示，其中F_d为阻尼力的大小，b为阻尼系数，v为物体的速度。
阻尼力的作用是减小运动的振幅，使振动逐渐衰减和停止。
简谐振动的能量变化包括动能和势能的变化。
动能是物体由于运动而具有的能量，可表示为K=1/2mv^2，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
在简谐振动中，物体在最大位移处速度最小，在平衡位置处速度最大，因此动能随时间的变化呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，动能增加；当物体达到最大位移处时，动能减小至零。
势能是物体由于位置发生变化而具有的能量，可表示为U=1/2kx^2，其中U为势能，k为恢复力常数，x为物体的位移量。
在简谐振动中，势能随时间的变化也呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，势能增加；当物体达到最大位移处时，势能减小至零。
在简谐振动中，恢复力与阻尼力的合力决定了物体的运动规律。
当阻尼系数较小或为零时，物体的振动呈现出理想的简谐运动，振幅保持不变，持续振动；当阻尼系数较大时，物体的振幅不断减小，振动逐渐衰减和停止。
除了受力的影响，简谐振动的频率和周期还受到质量和恢复力常数的影响。
频率是指单位时间内振动的次数，可以用f=1/T表示，其中f为频率，T为周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
振动的能量特点主要有以下几个方面：
1.振动能量的周期性变化：振动物体在振动过程中，其动能和势
能是周期性交替变化的。
这意味着在一定时间内，物体可能会
经历动能和势能的最大值和最小值。
这种交替变化在波形图上
表现为正弦或余弦波形。
2.与振幅平方成正比：振动物体的能量通常与振幅的平方成正比。
这意味着当振幅增大时，物体的振动能量也会相应地增大。
这
是由于物体在最大位移处具有最大的动能，而在平衡位置处具
有最小的势能。
3.总能量守恒：在无阻尼的理想情况下，振动的物体的总能量是
守恒的。
这是因为动能和势能的交替变化确保了总能量保持不
变。
即使在有阻尼的情况下，振动的能量也会随着时间的推移
逐渐耗散，最终趋向于零。
4.传递性：在波的传播过程中，振动能量可以传递给周围的介质。
当一个质点发生振动时，它会使周围的质点也产生振动，形成
波。
波的能量随着波的传播而传递给周围的介质。