波的基本概念简谐波波动方程与波速波的能量
简谐振动与波动的基本原理
简谐振动与波动的基本原理简谐振动和波动是物理学中非常重要的概念。
它们在自然界和工程中起着极为重要的作用。
本文将介绍简谐振动和波动的基本原理。
一、简谐振动的基本原理简谐振动是指在恢复力作用下，物体沿着特定轴向或平面上周期性地振动的运动形式。
简谐振动的基本原理包括以下几个方面：1. 恢复力与位移的关系当物体偏离平衡位置时，恢复力的大小与偏离平衡位置的距离成正比。
即恢复力 F 和位移 x 满足 F = -kx，其中 k 是恢复力常数。
这表明恢复力与位移呈线性关系。
2. 运动方程和周期由牛顿第二定律和恢复力与位移的关系可以推导出简谐振动的运动方程。
对于简谐振动，其运动方程为 m(d²x/dt²) + kx = 0，其中 m 是物体质量。
简谐振动的周期 T 与振动系统的质量和恢复力常数有关，可以表示为T = 2π√(m/k)。
3. 能量与振幅的关系简谐振动的能量可以分为动能和势能两部分。
动能随着振动速度的平方而变化，势能随着振动位移的平方而变化。
当物体通过平衡位置时，动能达到最大值，势能为零；当物体达到极端位置时，动能为零，势能达到最大值。
振动的总能量保持不变，并与振幅的平方成正比。
二、波动的基本原理波动是指能量以波的形式传播的过程。
波动的基本原理包括以下几个方面：1. 波动方程波动的传播满足波动方程。
对于一维波动，波动方程可以表示为∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x²)，其中 u 表示波函数，t 表示时间，x 表示位置，v表示波速。
波动方程描述了波动在时间和空间上的变化规律。
2. 波的特性波动有许多特性，包括波长、频率、振幅和波速等。
波长λ 表示波的周期性重复结构的长度，频率 f 表示单位时间内波的周期性重复次数，振幅 A 表示波的最大偏离程度，波速 v 表示波动传播的速度。
这些特性之间有一定的关系，如c = λf，其中 c 表示波速。
波的基本概念
波的基本概念1.波：振动在媒质（介质）中的传播就是波，分为横波和纵波。
2.横波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。
例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。
3.纵波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。
例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。
4.表面波：在两中媒质的界面上传播的波。
例如：水面波。
5.波面：波传播时，同相位各点所组成的面。
6.波前：离波源最远，即“最前方”的波面。
7.波射线：与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。
8.平面波：波前为平面的波。
波线是互相平行的。
9.球面波：波前为球面。
点波源在均匀的和各向同性媒质中发生的波是球面波。
波线是相交于波源的直线。
平面简谐波方程一. 平面简谐波：平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。
二. 平面简谐波方程（从运动学角度考虑）：描述不同时刻不同体元的运动状态。
设：一列平面简谐波沿'轴正向传播，选择原点-|处体元相位为0的时刻为计时起点，即该体元的相位为零，则：|处体元的运动学方程：y = Acos魏其中：「为体元距平衡位置的位移，A、「为波源的振幅和圆频率。
Ai ——经：的时间，- |处体元的振动状态传到位于二处的体元，即：t时刻，位于厂处（巧t ——的体元的振动状态应与I甘丿时刻处体元的振动状态一样，则乔处体元的运动学方程为：其中：V 为振动状态传播的速度，叫波速，也叫相速。
⑴式就是平面简谐波方程。
从⑴式时刻的波形。
T=—r由⑴可知：二处体元振动的周期、频率和圆频率：注意：•不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式不意味 着各体元作简谐振动。
由⑵知：t 一定时，y 是二的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长即：波长是波在一个周期内传播的距离，或：沿波传播方向相邻同相位两点间的距离。
另外，由空间位置的周期性可知:A — vT =—定义： '，称为波数:看出：二处质元的振动比原点处的质元落后 X耳£誌X —F 丿。
波的能量
波的叠加原理 ：
各列波在相遇区域内，任 一质元的振动是各列波单独存在 时对该质元所引起振动的合振动。
二．波的干涉
相干波源 相干波 波的干涉
1．相干波源：
1、频率相同； 两波源必须满足： 2、振动方向相同；
3、位相差恒定。
y s1 A1 cos(t 1 )
S1
r1 r2
y s2 A2 cos(t 2 )
i
S
ut
波动11
小结：
1 2 2 1、平均能量密度： w A 2
2、平 均 能 流： 3、平均能流密度：
焦 /米 3 瓦特 瓦 /米 2
P w uS
I w u
例1、机械波在弹性介质中传播时，某体积元位移 达到负最大值时，体积元中动能和势能为：【 】 D A、动能最大，势能最大； B、动能最大，势能为0；
y(m) 4 2 O -4
波动8
y(m) 2 t ( s) 4 2 O -4
波动9
2 x(m)
主要内容:
1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
一、波中“质元”的能量
波动的过程是能量传播的过程 波动方程：
x y A cos (t ) u
在空间形成强弱相间的稳定分布，这种现象
成为“波的干涉”（是波的共性）
2）干涉加强减弱的条件：
r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] u
P点的合振动：
S1
r1 r2
P
S2
yP y1P y2 P A cos(t )
波的知识点总结
波的知识点总结波是物理学中的重要概念，在自然界和工程技术中都有着广泛的应用。
波的研究涉及到机械波、电磁波和声波等多个方面，对于我们理解自然界的运行规律和应用于现代科技中都有着重要的意义。
以下是对波的知识点的总结：一、波的基本概念1.波的定义波是一种能量传递的方式，当物体受到外力作用时，其周围的介质会发生振动，从而使得能量在介质中传播的现象。
波并不是物质本身在传播，而是介质的振动导致能量在空间中传递的过程。
2.波的分类根据波的传播介质和波动方向的不同，波可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波是在有质量的媒质中传播的波，如水波、声波等；而电磁波是在真空中传播的波，包括光波、无线电波等。
3.波的特性波有许多特性，如波长、振幅、频率、速度等。
其中，波长是波的最小传播单位的长度，通常用λ来表示；振幅是波在传播过程中振动幅度的大小；频率是单位时间内波动的次数；速度是波传播的速度。
4.波的数学描述波的传播可以通过波动方程来描述，常见的波动方程包括机械波的一维波动方程和电磁波的麦克斯韦方程。
波动方程可以用来描述波的传播速度、波的频率和振幅等性质。
二、机械波1.机械波的传播机械波是在有质量的媒质中传播的波，包括横波和纵波两种类型。
横波是波动方向垂直于波传播方向的波，如水波；而纵波是波动方向与波传播方向一致的波，如声波。
2.机械波的性质机械波有许多独特的性质，如反射、折射、干涉和衍射等。
这些性质使得机械波在自然界和生活中有着广泛的应用，如声音的传播、地震波的监测等。
3.机械波的应用机械波在生活中有着广泛的应用，如声波用于音响系统、水波用于海洋资源开发等。
此外，机械波还在科学研究和工程技术中有着重要的应用，如地震波的研究、超声波成像技术等。
三、电磁波1.电磁波的性质电磁波是在真空中传播的波，其传播速度等于光速。
电磁波有许多特性，如波长、频率和振幅等。
根据波长的不同，电磁波可以分为射线波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等不同类型。
波动方程与波速 波的能量 惠更斯原理 波的反射与折射
波速小的媒质（光密媒质） 波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时， 折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势 能： 质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2
波动基本概念-波函数-波的能量
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹 性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和 介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传 播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播 声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度 均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。 孤立振动系统的质元动能最大时， 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t
波动方程与波速
1. 思考题：教材368-369页； 2. 练习题：10.2.5 10.5.1 10.5.3 10.5.5 10.6.2
§1 波的基本概念
一、波是振动状态的传播
波是与振动密切相关性的。在宏观上，可将气体、液体或 固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。 当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹 性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质 元的弹性力作用，也会振动起来，于是振动就会由近及远、由 此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。
4、周期：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线 上某点所需的时间，用 T 表示。周期反映了波的时间周期性， 即每经过一个周期，媒质中各点的振动状态重复一次；
5、波速：振动状态在媒质中传播的速度，用v 或 u 表示。由于
振动状态由相位决定，所以波速也可以说是相位在媒质中的传
播速度，因此又可称为相速。 v
二、本章的基本要求
1、理解波动的本质及其物理图象，建立正确的波动概念；
2、掌握描述波动的基本物理量（波长、波速、波的频率）的 物理意义和相互关系；
3、掌握平面简谐波的概念及其方程，理解波的空间周期性和 时间周期性的含义；
4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义 及数学表达式；
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念； 6、掌握驻波产生的条件，理解驻波方程的导出及驻波的特点； 7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
问题：能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就 无吸收媒质（A不变）中平面简谐波情形来讨论这一问题。
具体过程：取 x 轴沿某一波射线，只要能写出同时表达轴上各 点振动的表达式，就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。
二、波动方程和波的能量
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u
反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐 波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振 幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远 近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的 位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地 传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y
Acos
t
x u
0
y
2
10
3
cos
400
t
x 20
m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程
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A c os[ ( t
x1 u
)]
(t t, x ) Acos[( t t 2
x2 )] u
Acos[( t
x 1 )] u
例：已知 y=0.02cos(10t+6x)[SI]
求（1）T、、、u、传播方向
（2）波谷经过原点的时刻（3）t=6 s时各波峰的位置
解：（1）比较法即与标准方程比较
u
波函数 表示平衡位置在x 处的质点t 时刻相对自己平衡位置的位移。
0 f t
沿正向传播
x,t
f t x u
沿反向传播 x ,t f t x
u
§ 2 简谐波
一、波函数
原点 0 Acosωt
P点的振动 (x,t) = ?
P点比o 点 晚 x/u
(x,t) = (o,t-x/u)
317.2 1440 1500
3570 5300 3652
二、波的特征量
波的周期性
频率
单位时间内通过传播方向上 某一点的
完整波的个数
T 周期
波的周期为各点振动的周期
1
T
波的时间周期性
二、波的特征量
波的周期性
波长
振动状态相同的点的最近距离
简谐波 ：在同一波线上相位差为2的两点间距离
y
u
波的空间周期性
(0,t) =Acost
O点在 t t的振动状态
(o,t+x/u)= Acos [(t+x/u)]
P 处质点在 t 时刻的振动状态
(x,t) = (o,t+x/u)= Acos [(t+x/u)]
t
t+ t
x
x t
T
x, t Acos[(t x )]
u
uT u
x, t Acos[2( t x )]
机械波的形成条件
波源
媒质
质元在自己的平衡位置 附近振动，并不迁移
一、波的产生与传播
// u
纵波
u
0
振动方向与传播方向一致
u
横波
振动方向与传播方向垂直
简谐波：波源作简谐振动, 在波传到的区域,
媒质中的质元均作简谐振动 。
波形曲线
·0 ··4····8····1·2···1·6 ···20 ···t = 0 ····························t = T/4 ························t = T/2 ··························t = 3T/4 ·······=··u·T···············t = T
x = x0点的振动曲线
x, t Acos[(t x )]
u
2、t 一定 t t0
x
(t0 ,
x)
A cos[(
t0
)] u
O
u t t t
ut
x1
x2
x
t 时刻各处质点离 开平衡位置的位移
t = t0时刻的波形曲线
3、x, t 都在变化
x2 x1 ut
波形以速度 u 传播
(t,
x1 )
u ox P x
P点 t 时刻的振动即为
o点(t-x/u) 时刻的振动
(x,t) = Acos [(t-x/u)]
沿着 x轴正向传播的平面简谐波的表达式
沿着x轴 负向传播的平面简谐波？
u
P处质点在 t 时刻的振动状态与
t t o 处质点在
同
时刻的振动状态完全相
P
x
x
O
O点在 t 时刻的振动状态
建立简谐波方程的步骤可归纳如下：
1、根据给定的条件，写出波动在媒质中某点S （不一定是波源）的振动方程
2、建立坐标系，选定坐标原点，在坐标轴上任 选一点P，求出该点相对于S点的振动落后或 超前的时间
3、根据在一定坐标系中波的传播方向，从S点振动方 程中的减去或加上这段时间，即得到波动方程
注意：(1)振动已知的点、原点、振源的区别
y Acos2( t x ) T
y 0.02cos2( t x ) 5 3
传播方向：沿x 轴负向
T=/5=0.63(s) =1/T=1.6(Hz)
=/3=1.05(m) u= /T=1.67(m/s)
例：已知 y=0.02cos(10t+6x)[SI]
u
求（1）T、、、u、传播方向
解：（1）定义法 ：在同一波线上相位差
T
波数 k 2
(t, x) Acos[2 ( t x )]
若0 Acos(t )
(t, x) A cos( t kx) x, t Acos[(t x ) ]
u
二、各质元的振动
x, t Acos[(t x )]
u
平衡位置在x 处的质点t 时刻的振动速度
振动加速度
波动：振动的传播（振动状态的传播）
机械波：机械振动在媒质中的传播。
电磁波：E(t) 、B(t) 在空间的传播。
各种波的本质不同，具有不同的性质， 但形式上具有相同特征和规律。
能量的传播、反射、 折射、干涉、衍射
§ 1 波的基本概念
一、波的产生与传播
媒质
波源
弹性波——一群质点，以弹性力相联系。其中一个质点在外力作用下振动 ，引起其他质点也相继振动
结论： (1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播，而是相位的传播 (2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
(4) 同相点----质元的振动状态相同
（5）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期， 波向前传播一个波形
二、波的特征量
波速
波速 u =
（相速度）
跟踪某一相位，沿波线方向相位 传播的速度.它与媒质的性质有关
媒质 空气
氧 水 铜 铁 砖
波在各种媒质中的传播速度
波的种类
温度 ( 0C )
波速（m/s)
纵波
纵波 纵波 横波 横波 横波
0 20.0 100
0 13 31
15-20 100 室温
331.5 342.4 386
o
x
=u
三、波的几何描述
波线：表明波传播方向的线 波面：同位相各点所组成面（位相差为零）
波前：离波源最远即最前方的波面 在均匀且各向同性的媒质中 波线与波面始终是垂直的
S
球面波：波前为球面
平面波：波前为平面
四、波函数
u
0 f t
0
x, t 0, t x
u
x ,t f t x
(2)波速不是质点振动的速度
波函数 x, t Acos[(t x )]
u
x x 1、x 一定，
0
(t ,
x0 )
Acos[( t
x0 u
)]Biblioteka OP处质点的振动方程
x
(t) Acos( t 2 0 )
O
(t, x0 ) Acos( t )
u
P
x0
x
t
2 x0 P处质点振动的初 位相