6-2平面简谐波的波函数
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简谐波的波函数 波长PPT课件
T
2
u 1 200 100(m / s)
T2
向右传播
（2）求绳上质元振动的最大速度并与波速相比较
dy 2102 2 200cos2 (200t 2.0x)
dt
max 2 10 2 2 200 25m / s u
10
三、波函数的物理意义(1）
y(x,t) Acos(t x )
2u
9
P239 18.3
一横波沿绳传播，其波函数为
y 2102 sin 2 (200t 2.0x)
y 2102 cos[2 (200t 2.0x) ]
y Acos[2 ( t x ) ] 2 T
（1）求此横波的波长，频率，速度，和传播方向
T 1 (s) 200Biblioteka 1 200(Hz) 1 (m)
u
yx0 Acos(t )
y
x0
A
cos(t
x
－
2
π(
x
x0
)
)
Acos(t － 2 π(xλ x0 ))
uT
A cos(t － (x x0 ))
y Acos (t x )
u
7
u
二、简谐波波函数的几种形式
y A cos (t x )
u
y A cos(t x )
u 2 2 k u Tu
1.简谐波：简谐振动
传播
u
t t t x0
x
t
x
x0
x
假设 yx0 A cos(t ) (t x x0 )
yx (t) yx0 (t t)
u
yx (t)
A cos[ (t
x
x0 u
)
6_2 平面简谐波的波函数讲解
波线上各点的简谐运动图
7
6-2 平面简谐波的波函数
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系） y
2πx y A cos t 2 t 一定 x 变化 （定值） t1 C 令 2πx y A cos 则
解 (1) 写出波动方程的标准式
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
11
6-2 平面简谐波的波函数 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
在t=0时坐标原点处的质点在平衡 位置沿 oy 轴正向运动.
O
A
y
π t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2 2.0 2.0 2
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
5
6-2 平面简谐波的波函数
二 1 波函数的物理含义
可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
4
6-2 平面简谐波的波函数
12
6-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
7
6-2 平面简谐波的波函数
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系） y
2πx y A cos t 2 t 一定 x 变化 （定值） t1 C 令 2πx y A cos 则
解 (1) 写出波动方程的标准式
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
11
6-2 平面简谐波的波函数 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
在t=0时坐标原点处的质点在平衡 位置沿 oy 轴正向运动.
O
A
y
π t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2 2.0 2.0 2
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
5
6-2 平面简谐波的波函数
二 1 波函数的物理含义
可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
4
6-2 平面简谐波的波函数
12
6-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
平面简谐波的波函数
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
大学物理 平面简谐波的波函数
此刻的波形.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
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u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
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本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
6-2 平面简谐波的波动方程
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
波程差
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
x21 x2 x1
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
O
y
A
返回
第 6 章 机械波
15
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
(2)求 t 1.0s 波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
2.0 2.0 2
第 6 章 机械波
4
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
波动方程 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
返回 ]
6-2 平面简谐波的波动方程
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，
已知振幅A 1.0 m，T 2.0 s，λ 2.0 m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向
运动. 求：(1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图；
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
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各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
1
各种不同的简谐波
合成 分解
复杂波
简谐波 1 简谐波 2
合成
复杂波
2
波源的振动方程
y A cos( t ) o 0
距波源为 x 处质点 P 的振动方程
x P 点的振动比振源落后一段时间 t u A cos[ ( t t ) ] P点的振动方程 y p 0
波函数的物理意义:
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程.
d A cos t 例 x＝d（常数）时 y d 0 u
波函数变为距离波源为 d 处的质点的振动方程。
（波具有时间的周期性） y ( x , t ) y ( x , t T )
x t 0 u
在 x 处的质点在时刻 t 的相位
( u 0) x ut
即给定的相的位置随时间而改变，它的移动速度为
dx u dt
说明，波速 u也是相的传 播速度－又称为相速度.
7
波函数 二
x y A cos t W 0 u
波数等于在2π的长度内 含有“完整波”的数目。
y x v A sin[ ( t ) ] 0 t u 2 y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] 0 t u
6
波函数
相速度
x y A cos t W 0 u
y A cos( t )
——振动方程是时间 t 的函 数，描写一个质元的位移。
y
o
y f (t)
t
12
振动曲线： y-t曲线（反映
某一质元的位移 y 随 t 的 变化）。 （用摄像机为某质元拍一 段特写镜头）。
y
o
y f (t)
t
注：利用波动曲线求某质元的振动曲线时，应标明是 哪个质元的振动曲线。
波函数
y
x y A cos t W 0 u
· · o · · · · · · · ··
x
P · · ·
· · · · · · · · · · · · · x · · · ·· ·
3
u
波函数
x 沿 x 轴正向 y A cos t 1
3. 当t 和 x 都变化时，波函数表达了所有质点位移随时 间变化的整体情况（行波）
y
o
t 时刻的波形
t＋Δt时刻的波形
u
x
x
x
x u t
当波形在Δt 时间内传播了Δx 距离，也就是波在 t 时 刻于 x 处的相位，经过Δt 时间传至 x＋Δx处了。 即：波的传播是相位的传播，是振动形式的传播，是整 11 个波形的传播，波速 u 就是相位或波形传播的速度。
4.波函数与振动方程的区别:
x yA cos t o 0 u
y
y f ( x , t )
x
——波函数是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻 任意位置处质元的位移。 波形曲线： y-x曲线（所有质元在振动在某一时刻的 状态－拍照）；
8
波线上各点的简谐运动图
9
2. 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其 平衡位置的位移，即某时刻的波形（波形图）.（拍照）
（波具有空间的周期性） y ( x , t ) y ( x , t )
波程差
x x x 21 2 1
u
y
· · · · · · · · · · · · o · · · · · · · x · · x · · x 1 · · · · 2 · ·· · ··
y
u
14
· · · · · · · · · · · · o · · · · · · · x · · x · · x 1 · · · · 2 · ·· · ··
三 相位差： 两点之间的相位之差。
②
t x y A cos 2 W 0 T
③
5
t x y A cos 2 W 0 T
y A cos( t kx ) W 0
④
2π 波数 k 质点的振动速度，加速度
一 平面简谐波的波函数: 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 运动时，在介质中所形成的波.
平面简谐波：波面为平面的简谐波——理想化的模 型. 波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即y=（ x, t） 称为波函数.
y y ( x ,t )
沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数—波动方程 沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y A cos t W 0 u
· · o · · · · · · · ··
x
P · · ·
· · · · · · · · · · · · · x · · · ·· ·
13
三 相位差： 两点之间的相位之差。
t x 由 y A cos 2 W 0 T t x 1 2 π ( ) 得x1点相位 1 0 T t x 2 2 π ( ) 得x2点相位 2 0 T
4
u
波函数
x y A cos t W 0 u
u
①
x 2 , y cos 2 t W A 0
2 , Tu T t x y A cos 2 W 0 T Tu