人教版九年级数学上册垂直于弦的直径
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人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
24.1.2垂直于弦的直径(教案)九年级上册初三数学(人教版)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过弦的中点且与弦垂直的圆直径。（详细解释概念）。它的重要性在于能够将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了垂直于弦的直径在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.增强学生的问题解决与实际应用能力：将垂径定理应用于解决实际问题，使学生能够运用所学知识解决几何图形中的弦长、半径等问题，提高数学在实际生活中的应用能力。
4.培养学生的合作交流与表达能力：在小组讨论和课堂展示中，鼓励学生积极参与、分享观点，提高合作交流能力和数学语言表达能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
2.垂径定理及其应用：利用垂径定理解决实际问题，如求圆中弦长、圆半径等，并结合实际例子，让学生掌握垂径定理在几何图形中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究垂直于弦的直径性质，使学生能够运用几何直观感知圆中弦与直径的关系，发展空间想象力和几何思维能力。
2.提升学生的逻辑推理与论证能力：引导学生通过严密的逻辑推理证明垂径定理，培养学生严谨的数学思维和论证能力。
其次，逻辑推理是数学教学中的一个难点，也是学生容易犯错的地方。在今天的课堂上，尽管我尝试通过引导和示范来帮助学生理解垂径定理的证明过程，但仍有部分学生在推理过程中出现混乱。针对这个问题，我考虑在接下来的教学中，设计一些更具启发性的问题和案例，让学生在解决问题的过程中逐步培养严密的逻辑推理能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过弦的中点且与弦垂直的圆直径。（详细解释概念）。它的重要性在于能够将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了垂直于弦的直径在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.增强学生的问题解决与实际应用能力：将垂径定理应用于解决实际问题，使学生能够运用所学知识解决几何图形中的弦长、半径等问题，提高数学在实际生活中的应用能力。
4.培养学生的合作交流与表达能力：在小组讨论和课堂展示中，鼓励学生积极参与、分享观点，提高合作交流能力和数学语言表达能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
2.垂径定理及其应用：利用垂径定理解决实际问题，如求圆中弦长、圆半径等，并结合实际例子，让学生掌握垂径定理在几何图形中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究垂直于弦的直径性质，使学生能够运用几何直观感知圆中弦与直径的关系，发展空间想象力和几何思维能力。
2.提升学生的逻辑推理与论证能力：引导学生通过严密的逻辑推理证明垂径定理，培养学生严谨的数学思维和论证能力。
其次，逻辑推理是数学教学中的一个难点，也是学生容易犯错的地方。在今天的课堂上，尽管我尝试通过引导和示范来帮助学生理解垂径定理的证明过程，但仍有部分学生在推理过程中出现混乱。针对这个问题，我考虑在接下来的教学中，设计一些更具启发性的问题和案例，让学生在解决问题的过程中逐步培养严密的逻辑推理能力。
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
5
分析：∵OC⊥AB，OC 过圆心 O，∴CA＝12AB．∵AB＝4，∴AC＝2.在 Rt△AOC
中，由勾股定理，得 OA＝ AC2＋OC2＝ 22＋12＝ 5，即⊙O 的半径为 5. 答案：B
第五页，共二十四页。
6
基础过关
1．下列结论正确的是( A ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
垂直于弦的直径
第一页，共二十四页。2以练Fra bibliotek学名师点睛
知识点 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
知识点 2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
由勾股定理，得 OA2＝OD2＋AD2，即 r2＝(r－10)2＋302，解得 r＝50.即这个车轮 的外圆半径为 50 cm.
第十八页，共二十四页。
19
13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且点O到直线AB的距离为6，求AC的 长．
第六页，共二十四页。
7
2．如图，⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，则下列结论中一定正确的是( B )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
第七页，共二十四页。
8
3．【教材 P83 练习 T1 变式】如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，OP⊥AB， 垂足为点 P，则 OP 的长为( C )
人教九年级数学上册-垂直于弦的直径(附习题)
①④ ②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 ①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦， ③⑤ ①②④ 并且平分弦所对的另一条弧．
圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点
到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小
数点后一位).
C
7.23
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
则R2=18.52+(R-7.23)2
解得：R≈27.3
C
因此，赵州桥的主桥拱
7.23
半径约为27.3m.
已垂知足：为在E．⊙O满圆中足是，什轴C么D对是条称直件图径才形，能呢证A？明B是弦， CD⊥AB， C
左图是轴对称图形吗？
O
E A
B
D
大胆猜想 是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线
E A
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦， AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间 的距离.
解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 ①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦， ③⑤ ①②④ 并且平分弦所对的另一条弧．
圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点
到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小
数点后一位).
C
7.23
A
18.5 D 37
B
R
R-7.23
O
解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
则R2=18.52+(R-7.23)2
解得：R≈27.3
C
因此，赵州桥的主桥拱
7.23
半径约为27.3m.
已垂知足：为在E．⊙O满圆中足是，什轴C么D对是条称直件图径才形，能呢证A？明B是弦， CD⊥AB， C
左图是轴对称图形吗？
O
E A
B
D
大胆猜想 是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线
E A
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦， AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间 的距离.
解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
数学人教版九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义：通过直观演示和实际操作，让学生明确什么样的直径是垂直于弦的，并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质：分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质，如平分弦、垂直平分弦等，并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题：培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力，如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用：在综合问题中，学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来，这对于学生来说是一个挑战。
举例：在讲解垂直于弦的直径的证明过程时，教师可以使用直观的动画或模型，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明过程中的每一步。对于难点内容，如灵活运用性质，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生理解并掌握圆的基本性质，提高对圆的认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，增强分析解决问题的能力。
举例：讲解垂直于弦的直径定义时，教师可以借助图形，如一个圆和一条弦，通过动画或实物演示，让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程：学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质，以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质：在解决具体问题时，学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径，并有效地利用其性质来简化问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位，因为它可以平分弦，并在几何图形中起到关键作用。
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义：通过直观演示和实际操作，让学生明确什么样的直径是垂直于弦的，并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质：分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质，如平分弦、垂直平分弦等，并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题：培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力，如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用：在综合问题中，学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来，这对于学生来说是一个挑战。
举例：在讲解垂直于弦的直径的证明过程时，教师可以使用直观的动画或模型，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明过程中的每一步。对于难点内容，如灵活运用性质，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生理解并掌握圆的基本性质，提高对圆的认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，增强分析解决问题的能力。
举例：讲解垂直于弦的直径定义时，教师可以借助图形，如一个圆和一条弦，通过动画或实物演示，让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程：学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质，以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质：在解决具体问题时，学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径，并有效地利用其性质来简化问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位，因为它可以平分弦，并在几何图形中起到关键作用。
24.1.2++垂直于弦的直径+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，如果 CD＝20，BE＝4，
求⊙O 的半径． 解：连接 OC，∵CD⊥AB，
∴CE＝12 CD＝10. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－4， 在 Rt△OEC 中，
由勾股定理，得 OE2＋CE2＝OC2，
∴(r－4)2＋102＝r2，
10．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 几何”，用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦 AB 垂直 CD 于点 E， CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为__2_6_寸．
11．⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB⊥CD，且 AB＝8， 则弦 AC 的长为 2 5 或 4 5 .
∴Rt△AON≌Rt△DOM，
∴OM＝ON， 又∠ONE＝∠OME＝∠MEN＝90°，
∴四边形 OMEN 是正方形；
(2)若 CE＝1，DE＝3，求⊙O 的半径．
(2)∵CE＝1，DE＝3， ∴CD＝4， ∴DM＝2， ∴EM＝OM＝1， ∴OD＝ OM2＋DM2 ＝ 5 ， 即⊙O 的半径为 5 .
5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 OD，若 AB＝6，BE ＝1，则弦 CD 的长是_2__5_.
6．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A＝15°，半径为 2， 则弦 CD 的长为_2___.
7．(教材第 90 页第 9 题改)如图，两个圆都以 O 为圆心．
解得 r＝229 ，∴⊙O 的半径是229 .
13．(教材第 83 页第 2 题改)如图，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直于点 E， AB＝CD，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，ON⊥AB 于点 N. (1)求证：四边形 OMEN 是正方形；
人教版九年级数学上册垂直于弦的直径PPT优秀课件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
共21张
8
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
思考探索
根据已知条件进行推导： ① ③
②① ④④ ⑤
③② ②③ ⑤
① ④ ⑤
形ADOE是O正E方A形．EAD ODA 90
四
边
形A
DO
E
为矩
形，
AE
1 2
AC
A
D
1 2
A
B
又 ∵AC = AB
C
∴ AE = AD
∴ 四边形ADOE为正方形。 E
·O
A
D
B
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
AEB
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
共21张
8
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
思考探索
根据已知条件进行推导： ① ③
②① ④④ ⑤
③② ②③ ⑤
① ④ ⑤
形ADOE是O正E方A形．EAD ODA 90
四
边
形A
DO
E
为矩
形，
AE
1 2
AC
A
D
1 2
A
B
又 ∵AC = AB
C
∴ AE = AD
∴ 四边形ADOE为正方形。 E
·O
A
D
B
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
AEB
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
人教版九年级数学上册课件 《垂直于弦的直径》精品课件
②③⑤
. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平
①③④ 分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ①②④ ,并且平分弦所对的另一条弧.
②两条弦在圆心的两侧
· A
OB
C
D
A
·O B
C
D
将圆沿竖直直径对折可发现，两条弦所夹的弧重合。
∴ 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
新知讲解
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
谢谢观看！
新知讲解
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
OA2 AD2 OD2
O CB
新知讲解
自主练习：
1.判断： (1)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解并掌握垂径定理，并能应用它解决一些简单的 计算、证明问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
1、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
A
E
C
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
M
D B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
课堂小结 人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
1.即 便 我 们 知 道了 制约宇 宙的有 关定律 ，我们 仍然不 能利用 它们去 预言遥 远的未 来。这 是因为 物理方 程的解 会呈现 出一种 称作混 沌的性 质。这 表明方 程可能 是不稳 定的： 在某一 时刻对 系统作 非常微 小的改 变，系 统的未 来行为 很快会 变得完 全不同 . 2.在 不 稳 定 或 混沌 的系统 中，一 般地存 在一个 时间尺 度，初 始状态 下的小 改变在 这个时 间尺度 将增长 到两倍 。在地 球大气 的情形 下，这 个时间 尺度是 五天的 数量级 ，大约 为空气 绕地球 吹一圈 的时间 。 3.人 们 可 以 在 五天 之内作 相当准 确的天 气预报 ，但是 要做更 长远得 多的天 气预报 ，就既 需要大 气现状 的准确 知识， 又需要 一种不 可逾越 的复杂 计算。 我们除 了给出 季度平 均值以 外，没 有办法 对六个 月以后 做具体 的天气 预报。 4.我 们 还 知 道 制约 化学和 生物的 基本定 律，这 样在原 则上， 我们应 能确定 大脑如 何工作 。但是 制约大 脑的方 程几乎 肯定具 有混沌 行为， 初始态 的非常 小的改 变会导 致非常 不同的 结果。 这样， 尽管我 们知道 制约人 类行为 的方程 ，但在 实际上 我们不 能预言 它。 5.宇 宙 的 其 他 地方 对于地 球上发 生的任 何事物 根本不 在乎。 绕着太 阳公转 的行星 的运动 似乎最 终会变 成混沌 ，尽管 其时间 尺度很 长。这 表明随 着时间 流逝， 任何预 言的误 差将越 来越大 。在一 段时间 之后， 就不可 能预言 运动的 细节。 6.太 阳 和 其 他 恒星 绕着银 河系的 运动， 以及银 河系绕 着其局 部星系 团的运 动也是 混沌的 。我们 观测到 ，其他 星系正 离开我 们运动 而去， 而且它 们离开 我们越 远，就 离开得 越快。 这意味 着我们 周围的 宇宙正 在膨胀 ：不同 星系间 的距离 随时间 而增加 。 7.中 国 这 块 大 地上 ，存在 过许多 民族。 这许多 民族， 不管是 共时态 存在还 是历时 态存在 ，均可 以寻到 某种内 在的关 系。族 与族之 间的关 系有两 种：一 为血缘 性；另 为社会 性。民 族之间 不只是 存在着 血缘性 的关系 ，也还 存在社 会性的 关系， 其中最 主要是 文化关 系。 8.目 前 ， 虽 然 “大 众创业 、万众 创新” 的热潮 已遍及 全国， 很多有 志青年 步入创 业大军 ，但大 学生创 业成功 率低仍 是一个 不争的 事实。 可以说 ，我国 大学生 创业还 处于起 步阶段 ，真正 实现大 学生从 入学到 毕业、 从毕业 到创业 ，仍需 要全方 位、多 角度、 系统化 的理念 和实践 支撑， 需要更 多的社 会力量 去思考 、探索 。因此 ，要想 创业成 功，仅 仅具有 迎难而 上的勇 气是不 够的。
———（垂径定理）
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解并掌握垂径定理，并能应用它解决一些简单的 计算、证明问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
1、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
A
E
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B
A
O.
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E C
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D B
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小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
课堂小结 人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
1.即 便 我 们 知 道了 制约宇 宙的有 关定律 ，我们 仍然不 能利用 它们去 预言遥 远的未 来。这 是因为 物理方 程的解 会呈现 出一种 称作混 沌的性 质。这 表明方 程可能 是不稳 定的： 在某一 时刻对 系统作 非常微 小的改 变，系 统的未 来行为 很快会 变得完 全不同 . 2.在 不 稳 定 或 混沌 的系统 中，一 般地存 在一个 时间尺 度，初 始状态 下的小 改变在 这个时 间尺度 将增长 到两倍 。在地 球大气 的情形 下，这 个时间 尺度是 五天的 数量级 ，大约 为空气 绕地球 吹一圈 的时间 。 3.人 们 可 以 在 五天 之内作 相当准 确的天 气预报 ，但是 要做更 长远得 多的天 气预报 ，就既 需要大 气现状 的准确 知识， 又需要 一种不 可逾越 的复杂 计算。 我们除 了给出 季度平 均值以 外，没 有办法 对六个 月以后 做具体 的天气 预报。 4.我 们 还 知 道 制约 化学和 生物的 基本定 律，这 样在原 则上， 我们应 能确定 大脑如 何工作 。但是 制约大 脑的方 程几乎 肯定具 有混沌 行为， 初始态 的非常 小的改 变会导 致非常 不同的 结果。 这样， 尽管我 们知道 制约人 类行为 的方程 ，但在 实际上 我们不 能预言 它。 5.宇 宙 的 其 他 地方 对于地 球上发 生的任 何事物 根本不 在乎。 绕着太 阳公转 的行星 的运动 似乎最 终会变 成混沌 ，尽管 其时间 尺度很 长。这 表明随 着时间 流逝， 任何预 言的误 差将越 来越大 。在一 段时间 之后， 就不可 能预言 运动的 细节。 6.太 阳 和 其 他 恒星 绕着银 河系的 运动， 以及银 河系绕 着其局 部星系 团的运 动也是 混沌的 。我们 观测到 ，其他 星系正 离开我 们运动 而去， 而且它 们离开 我们越 远，就 离开得 越快。 这意味 着我们 周围的 宇宙正 在膨胀 ：不同 星系间 的距离 随时间 而增加 。 7.中 国 这 块 大 地上 ，存在 过许多 民族。 这许多 民族， 不管是 共时态 存在还 是历时 态存在 ，均可 以寻到 某种内 在的关 系。族 与族之 间的关 系有两 种：一 为血缘 性；另 为社会 性。民 族之间 不只是 存在着 血缘性 的关系 ，也还 存在社 会性的 关系， 其中最 主要是 文化关 系。 8.目 前 ， 虽 然 “大 众创业 、万众 创新” 的热潮 已遍及 全国， 很多有 志青年 步入创 业大军 ，但大 学生创 业成功 率低仍 是一个 不争的 事实。 可以说 ，我国 大学生 创业还 处于起 步阶段 ，真正 实现大 学生从 入学到 毕业、 从毕业 到创业 ，仍需 要全方 位、多 角度、 系统化 的理念 和实践 支撑， 需要更 多的社 会力量 去思考 、探索 。因此 ，要想 创业成 功，仅 仅具有 迎难而 上的勇 气是不 够的。
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C
M
N
H
A
E
DF
B
O
课后小结 1. 垂径定理 2. 垂径定理的推论 3. 垂径定理的应用
作业布置：
1、习题24.1
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
实践应用 解决求赵AB 州桥拱半径的问题
（2） 线段： AE=BE 弧： AB BC AD BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与BE重合AC， BC与 重合，AD与BD 因此 AE=BE 重AB合．BC AD BD 即 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分AB 及ACB
8/5/2020
C
归纳
垂径定理：垂直于弦的直径
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
C
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
提高练习
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 圆的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
解答：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直 线是它的对称轴
24.1.2 垂直于弦的直径
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·O
平分弦，并且平分弦所对的
E
两条弧．
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ
几何语言表述
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
由 ① CD是直径
Ｄ
② CD⊥AB
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
可推得
③AM=BM,
④ AC=BC, ⑤ AD=BD.
②CD⊥AB,
④AC=BC
,⑤ AD=AB 所在圆的圆
心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线
OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前
面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，
CD 就是拱高．
C
D
A
B
R
O
计算如下
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
解： OE AB
AE 1 AB 1 8 4 22
在Rt △ AOE 中
A
E
B
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
OD=O2C－CD=2R－7.2
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
R O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
8/5/2020
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
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A
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O
课后小结 1. 垂径定理 2. 垂径定理的推论 3. 垂径定理的应用
作业布置：
1、习题24.1
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
实践应用 解决求赵AB 州桥拱半径的问题
（2） 线段： AE=BE 弧： AB BC AD BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与BE重合AC， BC与 重合，AD与BD 因此 AE=BE 重AB合．BC AD BD 即 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分AB 及ACB
8/5/2020
C
归纳
垂径定理：垂直于弦的直径
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
C
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
提高练习
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 圆的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
解答：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直 线是它的对称轴
24.1.2 垂直于弦的直径
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·O
平分弦，并且平分弦所对的
E
两条弧．
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ
几何语言表述
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
由 ① CD是直径
Ｄ
② CD⊥AB
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
可推得
③AM=BM,
④ AC=BC, ⑤ AD=BD.
②CD⊥AB,
④AC=BC
,⑤ AD=AB 所在圆的圆
心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线
OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前
面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，
CD 就是拱高．
C
D
A
B
R
O
计算如下
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
解： OE AB
AE 1 AB 1 8 4 22
在Rt △ AOE 中
A
E
B
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
OD=O2C－CD=2R－7.2
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
R O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
8/5/2020
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．