11-1 平面简谐波的波函数
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大学物理学课件-平面简谐波规律
(2) 当 t = t0固定时，给出 t0 时刻空间各点位移分布 对应函数曲线—— t0时刻波形图.
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
大学物理学
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y 波形曲线
0
t = t0
x
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
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平面简谐波
解：
200 = 50Hz 0.02 ν= = λ 4 u
y (m) u = 200m·s-1 t = 0 时波形 x (m) o
1 2 3 4 5
ω = 2πν = 100πs −1
为方便起见 , 以下均 用 SI 制 , 单位略去。
λ = 4m
ω = 2πν = 100πs
解： O 点振动方程 (1) y = A cos (ω t + ϕ 0 )
地震波分为纵波和横波。纵波每秒钟传播速度5~6 千米，能引起地面上下跳动；横波传播速度较 慢，每秒3~4千米，能引起地面水平晃动。由于纵 波衰减快，离震中较远的地方，只感到水平晃动。 在一般情况下，地震时地面总是先上下跳动，后 水平晃动，两者之间有一个时间间隔，可根据间 隔的长短判断震中的远近。
11-2 平面简谐波的表达式 (波函数)
例 横波沿一张紧的长绳传播，波动表达式为： y=0.04cosπ(5x200t)。求（1）A , ν , λ , u ;（2）如每米弦的质量为0.05kg·m-1， 求绳中张力。（例11-1） 解：将表达式写成标准形式
t x y = 0.04 cos 2 π( − ) 1 / 100 2 / 5 A = 0.04m T = 0.01s
t x y＝A cos[2π ( + ) + ϕ 0 ] T λ 2π y＝A cos[ (ut + x) + ϕ 0 ]
λ y = A cos(ω t + kx + ϕ 0 )
二、波函数的物理意义 二、波函数的物理意义
1、x一定，则位移仅是时间 的函数，对于x=x0 2πx0 ⎞ ⎛ + ϕ0 ⎟ y = A cos⎜ ωt − λ ⎠ ⎝ 表示x0处质点的振动方程
平面简谐波的波函数
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
大学物理 平面简谐波的波函数
此刻的波形.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波是一种特殊的波形，它的波函数表达式可以用以下公式表示：
y = A sin(ωt + φ)
其中，y表示波的振幅，A表示最大振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
平面简谐波是一种具有周期性的波形，它的周期T可以用以下公式计算：
T = 2π/ω
角频率ω是一个常数，它表示单位时间内波形的变化次数。
因此，角
频率越大，波形变化的速度就越快，周期就越短。
初相位φ是一个常数，它表示波形在t=0时的相位。
不同的初相位会导致波形的相位差异，从而产生不同的波形。
平面简谐波的波函数表达式可以用于描述许多物理现象，例如声波、
电磁波等。
在声学中，平面简谐波可以用于描述声音的振动，而在电磁学中，平面简谐波可以用于描述电磁场的振动。
平面简谐波的振幅和角频率是两个重要的参数，它们可以影响波形的形状和特性。
振幅越大，波形的振动幅度就越大，而角频率越大，波形的变化速度就越快。
平面简谐波还具有一些重要的性质，例如叠加原理和相位差。
叠加原理指出，当两个或多个平面简谐波叠加在一起时，它们的振幅可以相加，从而形成一个新的波形。
相位差指出，当两个平面简谐波的相位差为0时，它们的振幅可以相加，而当相位差为π时，它们的振幅可以相消。
总之，平面简谐波是一种重要的波形，它的波函数表达式可以用于描述许多物理现象。
了解平面简谐波的特性和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
大学物理平面简谐波的波函数精选精品文档
u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
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本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
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0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y = y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立
u
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度
u传播。 想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
z 选定坐标并明确波的传播方向。 z 选取参考点的位置，写出其振动方程。 z 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源
习题练习册 练习31
5
3
t
+
π )
3
波动方程
ω
π
3
o
y
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x u
)
+
π 3
]
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)
+
π 3
]
( cm, g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。
第十章 机械波 y / cm u = 10cm / s 1
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u = γ RT ， γ —— 比热比
M
p
液体中
u=
K， ρ
K = − ΔP ΔV V
p V+Δ V p
（体积模量）
可以证明，弹 性绳上的横波：
u=
F ρl
p 体变
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut =
固 体 中
纵波 ul =
G ρ
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
第十章 机械波
波速
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点：
波动是位相的传播
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（4）若图为 t = 0.2s 波形， 波动方程如何？
第十章 机械波
y / cm
u = 10cm / s
1
t = 0.2s
0.5
t =0
解：关键是求o点的初位相 0 2 5 8 11 14 x / cm
方法1：t
=
0.2 s
=
T 6
波形
ωt
+ ϕ0
=
π 3
2π T
T 6
+
ϕ0
=
π 3
ϕ0 = 0
yo
λ
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t + Δt 时刻
O
x
x
Δx
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动
状态相同,即：y = Acosω(t − x) = Acosω[(t + Δt) − (x + Δx)]
⇒ Δx = uΔt u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量
第十章 机械波
Ay
u
O
λ
x
−A
wave length λ
period T 波速 u
λ
λ = uT
u、T与什 么有关？
媒质定
波源定
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y A
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
b
Oa
cλ
x
ϕ(−π ~ π )
−A
Av
O
y ϕo =π
ωv ωA
ω
v
O
A
y
ϕb = 0
O
y
ϕa
=
π 2
AvO
y
ω
ϕc
=
−π 2
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例1. t = 0 波形如图
或波源）位相的领先或落后关系。由参
考点的 振动表达式得出波的表达式
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y
=
− Acos
2π
t ( T
−
x λ
)
(向x 轴正向传播,
ϕ =π)
y = − Acosω (−t − x) (向x 轴负向传播 , ϕ = π )
1)时间推迟方法
第十章 机械波
= 点O 的振动状态
yO = A cos ωt t-x/u时刻点O 的运动
Δt = x / u 点 P t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP = A cos ω (t − x / u)
¾ 波函数
y = A cosω(t − x / u)
2
第一讲 平面简谐波的波函数
，G
=
FS ϕ
ϕF S
（切变模量） F
切变
E ρ
，E
=
F Δl
S l
F
（杨氏模量）
F l 线变 Δ l
地震波 ul > ut （会有什么现象？）
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
5 波线 波面 波前
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
*
λ 相邻波面间距 为一个波长
球 面 波 波线
平面波
射 壁
求：反射波函数 y′( x, t )
解： 全反射， A不变。
l
y′( x, t) = Acos[ω t − l 2π − π − l − x 2π ]
λ
λ
= Acos[ω t + x 2π − 2l 2π − π ] λλ
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
1 机械波的形成 产生条件
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
第一讲 平面简谐波的波函数
=
A cos(ω
t
m
kx
+ϕ)
，k
=
2π λ
y
=
Acos 2π（ t T
m
x λ
+ϕ）
——波数
(wave number)
y = Aei(ω tmkx+ϕ ) （Re）
= Aei(mkx) ⋅ ei(ωt+ϕ ) （Re）
了解
空间因子 （复振幅）
振动因子
第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义
2)相位落后法
Ay
第十章 机械波
uv
点 O 振动方程
yo = A cos ωt
x = 0 ,ϕ = 0
P
x
Ox *λ
−A
每隔一个λ，相位落后2π
P点落后O 点的相位
ϕp
=
−2π
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y = y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立
u
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度
u传播。 想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
z 选定坐标并明确波的传播方向。 z 选取参考点的位置，写出其振动方程。 z 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源
习题练习册 练习31
5
3
t
+
π )
3
波动方程
ω
π
3
o
y
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x u
)
+
π 3
]
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)
+
π 3
]
( cm, g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。
第十章 机械波 y / cm u = 10cm / s 1
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u = γ RT ， γ —— 比热比
M
p
液体中
u=
K， ρ
K = − ΔP ΔV V
p V+Δ V p
（体积模量）
可以证明，弹 性绳上的横波：
u=
F ρl
p 体变
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut =
固 体 中
纵波 ul =
G ρ
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
第十章 机械波
波速
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点：
波动是位相的传播
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（4）若图为 t = 0.2s 波形， 波动方程如何？
第十章 机械波
y / cm
u = 10cm / s
1
t = 0.2s
0.5
t =0
解：关键是求o点的初位相 0 2 5 8 11 14 x / cm
方法1：t
=
0.2 s
=
T 6
波形
ωt
+ ϕ0
=
π 3
2π T
T 6
+
ϕ0
=
π 3
ϕ0 = 0
yo
λ
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t + Δt 时刻
O
x
x
Δx
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动
状态相同,即：y = Acosω(t − x) = Acosω[(t + Δt) − (x + Δx)]
⇒ Δx = uΔt u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量
第十章 机械波
Ay
u
O
λ
x
−A
wave length λ
period T 波速 u
λ
λ = uT
u、T与什 么有关？
媒质定
波源定
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y A
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
b
Oa
cλ
x
ϕ(−π ~ π )
−A
Av
O
y ϕo =π
ωv ωA
ω
v
O
A
y
ϕb = 0
O
y
ϕa
=
π 2
AvO
y
ω
ϕc
=
−π 2
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例1. t = 0 波形如图
或波源）位相的领先或落后关系。由参
考点的 振动表达式得出波的表达式
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y
=
− Acos
2π
t ( T
−
x λ
)
(向x 轴正向传播,
ϕ =π)
y = − Acosω (−t − x) (向x 轴负向传播 , ϕ = π )
1)时间推迟方法
第十章 机械波
= 点O 的振动状态
yO = A cos ωt t-x/u时刻点O 的运动
Δt = x / u 点 P t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP = A cos ω (t − x / u)
¾ 波函数
y = A cosω(t − x / u)
2
第一讲 平面简谐波的波函数
，G
=
FS ϕ
ϕF S
（切变模量） F
切变
E ρ
，E
=
F Δl
S l
F
（杨氏模量）
F l 线变 Δ l
地震波 ul > ut （会有什么现象？）
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
5 波线 波面 波前
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
*
λ 相邻波面间距 为一个波长
球 面 波 波线
平面波
射 壁
求：反射波函数 y′( x, t )
解： 全反射， A不变。
l
y′( x, t) = Acos[ω t − l 2π − π − l − x 2π ]
λ
λ
= Acos[ω t + x 2π − 2l 2π − π ] λλ
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
1 机械波的形成 产生条件
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
第一讲 平面简谐波的波函数
=
A cos(ω
t
m
kx
+ϕ)
，k
=
2π λ
y
=
Acos 2π（ t T
m
x λ
+ϕ）
——波数
(wave number)
y = Aei(ω tmkx+ϕ ) （Re）
= Aei(mkx) ⋅ ei(ωt+ϕ ) （Re）
了解
空间因子 （复振幅）
振动因子
第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义
2)相位落后法
Ay
第十章 机械波
uv
点 O 振动方程
yo = A cos ωt
x = 0 ,ϕ = 0
P
x
Ox *λ
−A
每隔一个λ，相位落后2π
P点落后O 点的相位
ϕp
=
−2π