平面简谐波波函数
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10-2平面简谐波函数
y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )
2
t 0
2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0
2
]
u
t t0
A o
2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2
2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M
o
x t 0 2
x
x
点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x
]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
§12-2平面简谐波的波函数
x2 − x1 −1 u= = 250 cm ⋅ s t 2 − t1
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，已知振 幅 A = 1.0m T = 2 . 0 s λ = 2.0m .在 t = 0 时坐 标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运 动 .求 1）波函数 解:写出波函数的标准式
振动向右传播 滞后的时间
x ∆t = u
t 时刻点 P 的运动
=
t-x/u时刻点 的运动 时刻点O 时刻点
P点振动方程
yP
t
= yO
t−x u
x = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
点选取的任意性，得波函数即上式。 由P点选取的任意性，得波函数即上式。 太原理工大学物理系
方法之二
相位落后法
8m 5m 9m
−2
λ = 10 m
C B o A D 点 C 的相位比点 A 超前 AC −2 yC = 3 × 10 cos[4 π t + 2 π ]
x
点的坐标x＝ 带入波函数 将D点的坐标 ＝9m带入波函数 点的坐标
−2
λ 13 −2 = 3 × 10 cos[4 π t + π] 5
t 9 y D = 3 ×10 cos[2 π( − )](m) 0.5 10
12§12-2 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（ 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 ） 位移（ 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) ）随时间的变化关系， 称为波函数. 称为波函数.
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
平面简谐波的波函数解读
第十章 波动
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
大学物理平面简谐波的波函数精选精品文档
u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
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本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
平面简谐波的波函数
x t u 若点P的振动落后于点O，则波动方程为 y yo t t
y yo t t
2.已知任意一点Q的振动方程，求解波动方程 方法一 利用点Q的振动方程和距点O的距离求解O 点振动方程后，利用1中的方法求波动方程。 方法二 考察点P的振动相对于Q点是超前还是落后 的，直接利用 y yo t t 来求波动方程。
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
二
波函数的物理含义
2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
t x x0 u
11
物理学
第五版
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大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
y
=
Acosω⎜⎛
t
−
x1
⎞ ⎟
⎝ u⎠
相位:
ω
⎛ ⎜
t
−
x1
⎞ ⎟
y
⎝ u⎠
初相位: − ωx1
O
t
u
思考题: 波线上两个距离相差一个波长 λ 的两个质点, 它们的振动方程有何不同?振动曲线相同吗?
平面简谐波波函数
(2)当 t = t1(常数)时, y = y(x), 表示各质元的位移分布函
数即波形图.
平面简谐波波函数
v
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎥⎤m ⎦
⋅
s−1
所以 P点(x =20m)在 t =2s 时的速度为
vP
=
−0.025 ×
π 2
⎡π
sin
⎢ ⎣
2
⎜⎛ 2 − ⎝
20 ⎟⎞ + 10 ⎠
3π ⎤
2
⎥ ⎦
= 0.0125π m ⋅ s−1
and
y t 时刻波形 t +Δt 时刻波形
O Y Y′
x
x ∆x = u∆t 波的传播方向
由图波形沿 x 正方向传播, 波速为u=Δx/Δt, 故称为 行波.
平面简谐波波函数
(4)当波动向 － x 轴方向传播时, 波动表达式为
y(x，t
)
=
Acosω⎜⎛t
+
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(5)一般情况下
y(x，t
)
——平面简谐波波动表达式
因为
ω = 2π = 2πν u = λν = λ
T
T
所以
y(x，t) = Acos 2π⎜⎛ t − x ⎟⎞
⎝T λ⎠
（二）波函数的物理意义
平面简谐波波函数
y
=
A cos
ω
⎛ ⎜
t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(1)当 x = x1(常数)时, y = y(t), 表示 x1 处质元的振动方程.
波形前移Δx, 由参考圆法得
ϕ
=
3π
⎛ ⎜
−
π
⎞ ⎟
2 ⎝ 2⎠
所以波动表达式为
平面简谐波波函数
y
=
⎡ 0.025cos⎢
⎣
π 2
⎜⎛ ⎝
t
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎤ ⎥m ⎦
质点振速为
v
=
∂y ∂t
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x⎞ ⎟
10⎠
+
3π 2
⎥⎤⎢⎣⎡ω⎜⎝⎛
t
m
x u
⎟⎞ ⎠
+
ϕ ⎥⎤ ⎦
平面简谐波波函数
例题 如图所示为一平面简谐横波在开始时刻(t = 0 )的 波形. 有关物理量的数据一并图示,已知周期 T = 4(s), 建立 该波的波动表达式,并求图中 P 点经 2(s)后的振速.
y(cm)
20
OP
uv
5
x(m)
平面简谐波波函数
y = Acosω t x=0
y
v
u
P
O
x
x
任取一点 P, 距离 O 点为 x, 当振动传到 P 点, P 点的振 动比 O 点落后一段时间
t′ = x u
平面简谐波波函数
P 点在 t 时刻的振动状态就是 O 点在（t －x/u）时刻 的振动状态, 所以有
y
=
A
cos
ω ⎜⎛ t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
y
=
Acosω⎜⎛
t
−
x1
⎞ ⎟
⎝ u⎠
相位:
ω
⎛ ⎜
t
−
x1
⎞ ⎟
y
⎝ u⎠
初相位: − ωx1
O
t
u
思考题: 波线上两个距离相差一个波长 λ 的两个质点, 它们的振动方程有何不同?振动曲线相同吗?
平面简谐波波函数
(2)当 t = t1(常数)时, y = y(x), 表示各质元的位移分布函
数即波形图.
平面简谐波波函数
v
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎥⎤m ⎦
⋅
s−1
所以 P点(x =20m)在 t =2s 时的速度为
vP
=
−0.025 ×
π 2
⎡π
sin
⎢ ⎣
2
⎜⎛ 2 − ⎝
20 ⎟⎞ + 10 ⎠
3π ⎤
2
⎥ ⎦
= 0.0125π m ⋅ s−1
and
y t 时刻波形 t +Δt 时刻波形
O Y Y′
x
x ∆x = u∆t 波的传播方向
由图波形沿 x 正方向传播, 波速为u=Δx/Δt, 故称为 行波.
平面简谐波波函数
(4)当波动向 － x 轴方向传播时, 波动表达式为
y(x，t
)
=
Acosω⎜⎛t
+
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(5)一般情况下
y(x，t
)
——平面简谐波波动表达式
因为
ω = 2π = 2πν u = λν = λ
T
T
所以
y(x，t) = Acos 2π⎜⎛ t − x ⎟⎞
⎝T λ⎠
（二）波函数的物理意义
平面简谐波波函数
y
=
A cos
ω
⎛ ⎜
t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠
(1)当 x = x1(常数)时, y = y(t), 表示 x1 处质元的振动方程.
波形前移Δx, 由参考圆法得
ϕ
=
3π
⎛ ⎜
−
π
⎞ ⎟
2 ⎝ 2⎠
所以波动表达式为
平面简谐波波函数
y
=
⎡ 0.025cos⎢
⎣
π 2
⎜⎛ ⎝
t
−
x 10
⎟⎞ ⎠
+
3π 2
⎤ ⎥m ⎦
质点振速为
v
=
∂y ∂t
=
−0.025×
π 2
sin⎢⎡ ⎣
π 2
⎜⎛t ⎝
−
x⎞ ⎟
10⎠
+
3π 2
⎥⎤⎢⎣⎡ω⎜⎝⎛
t
m
x u
⎟⎞ ⎠
+
ϕ ⎥⎤ ⎦
平面简谐波波函数
例题 如图所示为一平面简谐横波在开始时刻(t = 0 )的 波形. 有关物理量的数据一并图示,已知周期 T = 4(s), 建立 该波的波动表达式,并求图中 P 点经 2(s)后的振速.
y(cm)
20
OP
uv
5
x(m)
平面简谐波波函数
y = Acosω t x=0
y
v
u
P
O
x
x
任取一点 P, 距离 O 点为 x, 当振动传到 P 点, P 点的振 动比 O 点落后一段时间
t′ = x u
平面简谐波波函数
P 点在 t 时刻的振动状态就是 O 点在（t －x/u）时刻 的振动状态, 所以有
y
=
A
cos
ω ⎜⎛ t
−
x
⎞ ⎟
⎝ u⎠