平面简谐波的波函数
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
3. 若x和t两个都变化时，波方程就表示了波线上 两个都变化时， 和 两个都变化时 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 形象地说， 形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不 同时刻的波形。随着t的增加波的表达式就描述 同时刻的波形。随着 的增加波的表达式就描述 波形沿传播方向的运动情况。 了波形沿传播方向的运动情况。
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 平面简谐波的波方程 （1）导出波方程的思路 ） 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时， ◆ 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， ◆ 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 （2）导出波方程步骤 ） 选定坐标并明确波的传播方向。 ◆ 选定坐标并明确波的传播方向。 给出波的传播方向上某点(参考点 波源)的振动方 参考点、 ◆ 给出波的传播方向上某点 参考点、波源 的振动方 程。 比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后 ◆ 比较位于 处的任一点和参考点相位的超前和落后 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。
10-2 平面简谐波的波函数
1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各 点的简谐 运动图
5
2πx y = Acosωt − +ϕ λ
1010-2 平面简谐波的波函数
2 t 一定 x变化 变化 表示t时刻波上各质点的位移 时刻波上各质点的位移, 时刻的波形（ 曲线 曲线） 表示 时刻波上各质点的位移 即t时刻的波形（y-x曲线） 时刻的波形 y o x
−2
D为原点的波动方程为 为原点的波动方程为
x 9π π 9 −2 yDW = 3×10 cos[4 π(t − ) − ] = 3×10 cos(4 πt − x − π) 20 5 5 5
−2
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
10
1010-2 平面简谐波的波函数 沿直线传播， 例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m⋅ s-1 沿直线传播， 波线上点 A 的简谐运动方 程 yA = 3×10−2 cos(4 πt)
18
1010-2 平面简谐波的波函数
y1 = Acos(100πt −15.5π ) y2 = Acos(100πt −5.5π )
Qt = 0, x = 0 y = 0 v > 0
π ∴ϕ = − 2 t x π y = cos[2π( − ) − ] (m ) 2.0 2.0 2
O
v A
y ω
8
1010-2 平面简谐波的波函数 (2)求t=1.0 s 波形图 )
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波是一种特殊的波形，它的波函数表达式可以用以下公式表示：
y = A sin(ωt + φ)
其中，y表示波的振幅，A表示最大振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
平面简谐波是一种具有周期性的波形，它的周期T可以用以下公式计算：
T = 2π/ω
角频率ω是一个常数，它表示单位时间内波形的变化次数。
因此，角
频率越大，波形变化的速度就越快，周期就越短。
初相位φ是一个常数，它表示波形在t=0时的相位。
不同的初相位会导致波形的相位差异，从而产生不同的波形。
平面简谐波的波函数表达式可以用于描述许多物理现象，例如声波、
电磁波等。
在声学中，平面简谐波可以用于描述声音的振动，而在电磁学中，平面简谐波可以用于描述电磁场的振动。
平面简谐波的振幅和角频率是两个重要的参数，它们可以影响波形的形状和特性。
振幅越大，波形的振动幅度就越大，而角频率越大，波形的变化速度就越快。
平面简谐波还具有一些重要的性质，例如叠加原理和相位差。
叠加原理指出，当两个或多个平面简谐波叠加在一起时，它们的振幅可以相加，从而形成一个新的波形。
相位差指出，当两个平面简谐波的相位差为0时，它们的振幅可以相加，而当相位差为π时，它们的振幅可以相消。
总之，平面简谐波是一种重要的波形，它的波函数表达式可以用于描述许多物理现象。
了解平面简谐波的特性和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
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u
T
x x1 y Acos[(t x1 ) ]
初位相为 x的1 振 动u方程
u
y 振动曲线 x一定
t t1
y
A cos[ (t1
x) u
]
各质元离开平衡位置的分布—波动
y 波动曲线 t 一定
0
t0
x
T
x,t均变?
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第八讲 平面简谐波的波函数
一、波动的几个概念
第十章 机械波
波动是振动的传播. 振动是激发波动的源.
1 机械波: 机械振动在介质中的传播
波源
+ 弹性作用
介质
波的传播：
cos( 5
3
t
)
3
波动方程
第十章 机械波 u 10m/s
8 11 14 x / m
2 5 rad/s
T3
3
o
y
y cos[5 (t x) ] cos[5 (t x ) ]
3 u3
3 10 3
(SI)
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
Acos(Bt
Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos
2
π
(
t
x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
第八讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本物理量
第十章 机械波
波长λ: 在波线上相邻的两个振动状态完全相同的点之间的距离 周期T: 振动状态或者相位传播一个波长的距离所需要的时间 相速u: 相位的传播速度, 即单位时间内相位传播的距离
(5
3
)2
cos[5
3
(t
x) 10
]
3
=0
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（4）若图为 t 0.2s 波形， 1
y/m
t=0.2s
u 10m/s
tT
波动方程如何？
0.5
6
解：关键是求o点的初位相 0
6 25
8
方法1：t=0.2s= T 波形
6
t
0
3
2
λ = uT T 取决于波源的性质，u 取决于介质的特性。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u RT ， —— 比热比
M
p
液体中 u K ，
p V+ V p
K P
V VBiblioteka （体积模量）p 体变
F
弹性绳上的横波 u
想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
第八讲 平面简谐波的波函数
四、举例 两种题型
第十章 机械波
1. 已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法）
2. 已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点（波源），写出其振动方程。 根据时间推迟法或相位落后法，写出波动方程。
2π x 2π x x
Tu u
Acos[(t x / u) ]
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
点 O 振动方程
y A
u
x
yO Acos(t )
O
A
u
波 y Acos[(t x) ]
函
u
u 沿 x 轴正向
数 Acos[(t 2 x / ) ]
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
x
（t+△t，x+ △x）质点振动状态=（t，x）质点振动状态
y Acos[(t x) ] Acos{[(t Δt) (x Δx)] }
u
u
x uΔt
振动状态在△t时间传播了u△t 距离，波形以速度u传播。
“+”表示沿 -x 方向传播
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业 10-4，10-6，10-7，10-9
特征：具有交替出现的密部和疏部.
第八讲 平面简谐波的波函数
水表面的波是什么波？
既非横波又非纵 波。而是纵波与 横波的合成
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点： （1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
为波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第八讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1) 时间推迟方法
点 O 振动方程
第十章 机械波
yO Acos(t ) t x u
点P
点O在t-x/u 时刻的相位
P点在t时刻的相位
点P 振动方程 yP Acos[(t x / u) ]
入
全 反射波在S处相位改变。
y0 =Acosω t
反 S
0 x (l- x)
反 射 壁
求：反射波函数 y( x, t)
解： 全反射， A不变。
l
y(x,t) Acos[ t l 2 l x 2 ]
Acos[ t x 2 2l 2 ]
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振
动初相位（ ( π ~ π ) ）
y
t =0
y
A
u
t=T/4
O
O
A
A
o π a π/2
另解:t=T/4时O点的相位：
t 0 π/2
(2 / T)(T / 4) π/2
O
0 π
b
a
c
x
b 0 c π/2
u 沿x 轴负向, 波函数如何写？
y Acos[(t x) ] Acos[t 2 x / ]
u
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
• 讨论: 当振源不位于坐标原点时，如何写波动方程？
u
o····L···x···Q·····P··················x 设Q点振动方程 y Acos(t )
波函数 y Acos[(t x / u) ]
第八讲 平面简谐波的波函数 2) 相位落后法
第十章 机械波
点 O 振动方程
yO Acos(t )
P点落后O 点的相位
p
2π
x
p
yp
2π x
Acos(t
2π
x
)
波函数 y Acos[t 2 x / ]
y
Acos
t
x
u
L
or y Acos(t 2 (x L) )
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
波函数的另外几种常见表示式：
y Acos( t kx ) ，k 2
y
A
cos
2
t T
x
y
y
A
u
t=T/4
A
O
b
a
c
x
A
第八讲 平面简谐波的波函数
例1. t=0时的波形如图所示
y/m
（1）写出波动方程。
1
0.5
解（1）先写O点振动方程 0 2 5
由图可知:
A 1m 12m T 12 1.2s
u 10
关键确定
0
3
y0
A cos(t
0 )
+
——波数
(wave number)
y Aei( t kx) （Re）
Aei( e kx) i(t )
空间因子 振动因子 （复振幅）
（Re）
了解
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
三 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
T
T 6
0
3
11 14 x / m
0 0
yo
cos( 5
3
t)
y cos[5 (t x )]
3 10
方法2：将波形倒退
得出
6
t 0波形，再写方程！
0 0
…..
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例2 如图示，已知： y0 Acos t，波长为 ，
2
( x2