集合与函数的概念章末总结

一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算．

1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．

[例1] (1)集合A ＝{y |y ＝x }，B ＝{y |y ＝x 2

}，则A ∩B ＝________.

(2)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2

}，则A ∩B ＝________.

[解析] (1)集合A 是函数y ＝x 的值域，∴A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2

的值域，∴B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{y |y ≥0}．故填{y |y ≥0}．

(2)集合A 是直线y ＝x 上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝x 2

的图象上点的集合，∴A ∩B 是方程组?

????

y ＝x y ＝x 2

的解为坐标的点的集合，∴A ∩B ＝{(0,0)，(1,1)}．

2．熟练地用数轴与Venn 图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．

[例2] 集合A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，若B ?A ，则实数p 的取值范围是________．

[解析] B ＝{x |x <－p

4

} B ?A

∴结合数轴可知－p

4

≤－1，∴p ≥4.

[例3] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，若A ∩B ＝{b }，(?U A )∩B ＝{d }，(?U A )∩(?U B )＝{a ，e }，则下列结论中正确的为 ( ) A ．c ∈A 且c ∈B B ．c ∈A 且c ?B C ．c ?A 且c ∈B D ．c ?A 且c ?B [答案] B

[解析] 画出Venn 图如图，依次据条件将元素填入，A ∩B ＝{b }，故b 填在A 与B 公共部分，(?U A )∩B ＝{d }，故d 填在A 圈外，B 圈内，又(?U A )∩(?U B )＝{a ，e }，∴a ，e 填在A 、B 两圈外，只剩下一元素c 不能填在上述三个位置，故应填在A 内B 外，∴c ∈A 且c ?B ，选B.

3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性． [例4] 集合A ＝{a ，b a

，1}，B ＝{a 2，a ＋b,0}，若A ＝B ，则a

2009

＋b

2010

＝________.

[解析] 由条件知?????

b a

＝0

a 2＝1

，或?????

b a

＝0

a ＋

b ＝1

，

∴?????

a ＝±1

b ＝0

，但由互异性知，a ≠1，∴???

??

a ＝－1

b ＝0

，

∴a 2009

＋b 2010

＝－1.

4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．

[例5] 集合A ＝{x |x 2

＋x ＋a ＝0}，B ＝{－2,1}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．

[解析] ①当Δ＝1－4a <0，即a >1

4

时，A ＝?，满足A B ；

②当Δ＝0即a ＝14时，A ＝{－1

2

}，不合题意．

③当Δ>0时，集合A 中有两相异元素，故A B 不可能成立，综上所述a >1

4

.

5．新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么．

[例6] A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b?A∩B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为________．

[解析] 由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b，

∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.

6．熟练掌握A?B?A∩B＝A?A∪B＝B及集合的运算是解决一些集合问题的基础．

[例7] (1)如果全集U＝{x|x2－5x－6<0，x∈N＋}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则?U(A∪B)＝________，A∩?U B＝

________.

(2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D ．1，－1或0

[解析] (1)∵U ＝{x |(x －b )(x ＋1)<0，x ∈N ＋}＝{x |－1

(2)当a ＝0时，B ＝? ，A ∩B ＝B ；

当a ≠0时，应有a ＝1

a

，∴a ＝±1.故选D.

二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用 1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域

[解析] 由x 2＋4x ≥0得，x ≤－4或x ≥0，又二次函数u ＝x 2

＋4x 的对称轴为x ＝－2，开口向上，故f (x )的增区间为[0，＋∞)．

2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”．

[解析] (1)∵0≤x ≤1时，f (x )有意义， ∴要使f (2x －1)有意义．

须0≤2x －1≤1，∴1

2≤x ≤1，

故所求定义域为[1

2

，1]．

(2)∵0≤x ≤1，∴2≤x ＋2≤3，∴使f (x )有意义的x 的允许取值范围是2≤x ≤3，故所求定义域为[2,3]． 3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y ＝√x

等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移． (1)y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； (2)y ＝－f (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称； (3)y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称；

(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；

(5)如果函数y ＝f (x )对定义域内的一切x 值，都满足f (a ＋x )＝f (a －x )，其中a 是常数，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．

(6)将y ＝f (x )的图象上各点向右(左)平移a (a >0)个单位，可以得到函数y ＝f (x －a )(y ＝f (x ＋a ))的图象． 将y ＝f (x )的图象上各点向上(下)平移a (a >0)个单位，可以得到y ＝f (x )＋a (或y ＝f (x )－a )的图象．

(7)y ＝|f (x )|的图象可由y ＝f (x )的图象位于x 轴及上方的部分不变，下方图象作关于x 轴的对称翻折而得到． y ＝f (|x |)的图象在y 轴及其右侧部分与y ＝f (x )图象相同，而y ＝f (|x |)是偶函数，再在y 轴左侧作右侧部分的对称图形即可．

[例3] 已知函数f (x )＝x 2

＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．

[分析] 第(1)问，将a ＝－1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性．

[解析] (1)当a ＝－1时，

f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∵f (x )的对称轴为x ＝1.

∴x ＝1时，f (x )取最小值1； x ＝－5时，f (x )取最大值37.

(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2

的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在[－5,5]上是单调函数． ∴－a ≤－5，或－a ≥5，即a ≤－5，或a ≥5.

三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯 1．数形结合的思想

[例1] 设函数f (x )＝x 2

－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明f (x )是偶函数；

(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．

[解析] (1)f (－x )＝(－x )2

－2|－x |－1

＝x 2

－2|x |－1＝f (x )，∴f (x )是偶函数．

(2)当x ≥0，时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2

－2，

当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2

－2，

根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示

函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1，0)，[1,3]上为增函数．

(3)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2

－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2.

当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2

－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2； 故函数f (x )的值域为[－2,2]．

[例2] 已知关于x 的方程x 2

－4|x |＋5＝m 有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．

[解析] 设y 1＝x 2－4|x |＋5，y 2＝m ，由于y 1＝x 2

－4|x |＋5为偶函数，画出x ≥0的图象，再由对称性可画出x <0时的图象，由图可见1

[例3] f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (4)＝0，则xf (x )>0的解集为 ( )

A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

B ．(－4,0)∪(0,4)

C ．(－∞，－4)∪(0,4)

D ．(－4,0)∪(4，＋∞)

[解析] 作出示意图如图，xf (x )>0????

??

x >0

f (x )>0

或?????

x <0

f (x )<0

，∴x >4或－4

[例4] 函数y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－1,1)

C ．(－∞，－1]∪[1，∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[解析] 画出y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象．

情形1：?????

a >0

a >1

?a >1

情形2：???

??

a <0

a <－1

?a <－1.故选D.

2．函数与方程的思想

函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题

要特别注意掌握一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的分布

讨论一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a >0)(※)的根的分布情况可以用(1)判别式(Δ＝b 2

－4ac )与韦达定理(x 1＋x 2＝－b a

，

x 1·x 2＝c

a

)或(2)构造函数(f (x )＝ax 2＋bx ＋c )结合图象和求根公式两种思路来讨论．

①方程(※)有两不等实根?Δ>0，方程(※)有两相等实根?Δ＝0，方程(※)无实根?Δ<0，方程(※)有实数解?Δ≥0.

②方程(※)有零根?c ＝0. ③方程(※)有两正根?????

? Δ≥0x 1＋x 2>0

x 1x 2>0

?较小的根x ＝

－b －

Δ

2a

>0 (a >0) ?????? －b 2a >0f (0)>0

Δ≥0.

④方程(※)有两负根?????

?

Δ≥0

x 1＋x 2<0

x 1x 2>0

?较大的根x ＝

－b ＋

Δ

2a

<0??????

－b 2a <0f (0)>0

Δ≥0

. ⑤方程(※)有一正一负两实根??

??

??

Δ>0

x 1x 2<0?f (0)<0.

方程(※)有一正一负两实根且正根绝对值较大?????

? Δ>0x 1x 2<0

x 1＋x 2>0?????? f (0)<0－b 2a >0. 方程(※)有一正一负两实根且负根绝对值较大?????

? Δ>0x 1x 2<0

x 1＋x 2<0

??????

f (0)<0－b 2a

<0.

⑥方程(※)的两根都在区间A ＝[m ，n ]内(A 是其它区间时类似讨论)????

??

m ≤－b

2a

≤n

Δ≥0

f (m )≥0f (n )≥0

.

方程(※)有且仅有一个实根在区间A ＝[m ，n ]内?f (m )·f (n )<0.

方程(※)两根x 1，x 2满足m

????

f

(m )>0

f (n )<0，

方程(※)两根都在区间A ＝[m ，n ]外?????? Δ≥0－b 2a 0或????? Δ≥0－b 2a >n f (n )>0.

一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应函数的图象，进行综合考察，总能顺利解决．

[例5] 若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )－2f (－x )＝3x ，则f (x )必为 ( )

A ．奇函数而不是偶函数

B ．偶函数而不是奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数

[解析] ∵f (x )－2f (－x )＝3x 对任意x ∈R 成立，

∴f (－x )－2f (x )＝－3x ，解得f (x )＝x .

∵f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )必为奇函数．故选A.

[例6] 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是(

) A ．k >0 B ．k <－4

C ．－4

D ．k <－4或k >0

[解析] 设f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，

由题意知kf (1)<0，∴k (k ＋4)>0，

∴k >0或k <－4，故选D.

[例7] 若关于x 的不等式x >ax ＋32的解集为{x |4

[解析] 运用方程与不等式的关系可知，4和b 是方程x ＝ax ＋32的两根，

∴????? 4＝4a ＋3

2b ＝ab ＋32，∴a ＝1

8，b ＝36.

3．分类讨论的思想

在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．

①涉及的数学概念是分类定义的；

②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；

③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

④由运算的限制条件引起的分类．

⑤由实际问题的实际意义引起的分类．

⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．

⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．

⑧由图形的不确定性引起分类

[例8] 若f (x )＝(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ( )

A ．(－1，＋∞)

B ．(－∞，－1)

C ．(－∞，－1]∪????

??1312，＋∞ D ．(－∞，－1]∪? ??

??1312，＋∞ [解析] 当m ＋1＝0时，显然成立

当m ＋1<0时，Δ<0

[点评] f (x )＝ax 2＋bx ＋c 不一定是x 的二次函数，只有a ≠0时才是．故解决这类含参数系数的问题应注意分类讨

论．

[例9] 设集合A ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，B ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，且A ＝B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B .

[解析] ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A ，

若x ＋y ＝0，或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0与集合元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0，∴xy ＝0，

∴x ＝0或y ＝0，

若y ＝0，则与集合元素的互异性矛盾，∴x ＝0，

A ＝{－y ，y,0}，

B ＝{y 2，－y 2,0}，

由A ＝B 得?

???? －y ＝y 2y ＝－y 2或????? －y ＝－y 2y ＝y 2， ∵y ≠0，∴y ＝1或－1， 即????? x ＝0y ＝1或????? x ＝0y ＝－1，此时A ＝B ＝{1，－1,0}．

[点评] 观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力．审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中A ＝B,0∈B ，即是解题的突破口．

4．转化与化归的思想

在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．

[例10] 函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是 ( )

A ．a ≤2

B ．a ≥－2

C ．－2≤a ≤2

D ．a ≤－2或a ≥2

[解析] ∵f (x )为偶函数，

∴f (a )≤f (2)?f (|a |)≤f (2)，

∵f (x )在(－∞，0]上单增，∴f (x )在[0，＋∞)上单减，∴|a |≥2，∴a ≥2或a ≤－2，选D.

[例11] 已知a >2，b >2，比较a ＋b 与ab 的大小．

[解析] 令a ＝2＋x ，b ＝2＋y ，则x >0，y >0，

∴ab －(a ＋b )＝(2＋x )(2＋y )－(4＋x ＋y )＝x ＋y ＋xy >0，∴ab >a ＋b .

[点评] 将a >2，b >2的条件量化，化不等关系为相等关系，转化为数的正负判断，促成了问题的解决．

[例12] 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0，给出下列不等式，其中成立的是 ( )

A ．①④

B ．②③

C ．①③

D ．②④

[解析] 本题中的函数比较抽象，直接根据已知条件来选正确结论有困难，不妨将满足条件的函数具体化． 令f (x )＝x ，g (x )＝|x |，并设a ＝2，b ＝1

则f (a )＝g (±a )＝2，f (b )＝g (±b )＝1，f (－2)＝－2，f (－1)＝－1.代入检验易知①③正确．故选C.

[例13] 方程x 2－32

x ＝k 在[－1,1]上有实根，则实数k 的取值范围是 ( )

A ．[－532，32]

B ．[－916

，3] C ．[－314，23] D ．[－916，52

] [解析] 由题意可知，k 在x 2－32

x (－1≤x ≤1)的取值范围内时，方程有实根， ∵f (x )＝x 2－32x ，x ∈[－1,1]的值域[－916，52

]， ∴k ∈[－916，52

]．∴选D. [点评] ①本题中，∵方程x 2－32x ＝k 有实根，∴k 必在函数y ＝x 2－32

x 的值域内，从而将方程有解的问题，等价转化为求二次函数的值域问题．

②若本题中，将“……有实根”改为“……有两个不等实根”，就不能利用上述转化方法．因为即使k 在y ＝x 2－32

x 的值域内，也不能保证方程有两不等实根，此时，一般应通过画出函数y ＝x 2－32

x (－1≤x ≤1)的图象，用数形结合法进行转化．

[例14] 设函数f (x )的定义域为R ，若对于任意实数m 、n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0

(1)证明：f (0)＝1且x <0时f (x )>1；

(2)证明：f (x )在R 上单调递减．

[分析] 解决这类问题应去掉抽象函数符号，利用等价转化思想，化为普通函数．

[解析] (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，

取m >0，n ＝0，有f (m )＝f (m )·f (0)．

∵x >0时，0

又设m ＝x <0，n ＝－x >0，则0

∴f (m ＋n )＝f (0)＝f (x )·f (－x )，

(2)设x 10.

00.

∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)

＝f (x 2－x 1)·f (x 1)－f (x 1)

＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，

∴f (x )在R 上单调递减．

[点评] 1.赋值法是讨论抽象函数问题中的常用方法，利用单调性化去函数符号“f ”是解决函数不等式的主要方法．

2．性质f (m ＋n )＝f (m )·f (n )类似指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的性质，可类比指数函数f (x )＝a x ，结合已知条

件进行讨论．

5．换元法

[例15] 求函数y ＝2x －3－13－4x 的值域．

[解析] 令t ＝13－4x (t ≥0)则2x ＝12

(13－t 2)

∴y ＝12(13－t 2)－3－t ＝－12t 2－t ＋72＝－12(t ＋1)2＋4(t ≥0)∴y ≤72

，当t ＝0时取等号，