习题解答

β 2′1 = −sin θ ， β 2′2 = cosθ ， β 2′3 = 0 ， β3′1 = 0 ， β3′2 = 0 ， β3′3 =1 。
图2.4 1
u1′ = β1′ i ui = u1 cosθ + u2 sin θ ， u 2′ = β 2′i ui = −u1 sinθ +u 2 cosθ ， u3′ = β3′ i ui = u3 。
= − ( Anj a ie ijk e n ⊗ e k ) = A nj e n ⊗a ie jik e k
= Anj en ⊗ e j × ai ei = A×a
2.10 已知张量 T 具有矩阵
⎡1 2 3⎤ [T ] = ⎢4 5 6 ⎥ ⎢7 8 9 ⎥ ⎣ ⎦ 求 T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解： T 的对称部分具有矩阵 ⎡1 3 5⎤ 1 ([T ]+ [T ]T ) = ⎢3 5 7⎥ ， 2 ⎢5 7 9⎥ ⎣ ⎦ T 的反对称部分具有矩阵 ⎡0 −1 −2 ⎤ 1 ([T ]− [T ]T ) = ⎢ 1 0 − 1⎥ 。 2 ⎢2 1 0 ⎥ ⎣ ⎦
因为 C ijkl 和 B kl 是张量，所以有
(a)
Ci′j′k′l ′ = βi ′i βj ′j βk k′ βl l′ C AB ijkl = β i i′ β j j′ A ij β k k′ β ll′ B kl = β ii′ β j j ′ ij kl ′ ′
比较上式和式(a)，得
( Ai ′j ′ − βi ′i β j ′j Aij ) Bk ′l ′ = 0
m=
所以，三个特征值是 1、0 和－1，对应的特征矢量是 e 3 、 e1 和 e 2 。 2.13 设 a 和 b 是矢量，证明： (1) ∇× (∇×a ) =∇ (∇⋅a )−∇ 2a (2) ∇× (a × b ) = b ⋅(∇a ) −a ⋅(∇b ) +a (∇⋅b )−b (∇⋅a ) 证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2)
(2)因为原点在 S 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为 a 的球面 S ′ 完 全在 S 的内部。用 V 表示由 S 和 S ′ 所围的区域，在 V 中式(b)成立，所以
n ⋅r nr nr r dS = ∫ ⋅3 dS + ∫ ⋅3 dS = ∫∇⋅ ( 3 )dV = 0 3 r r r r S+ S ′ S S′ V
∫
即
∫r
S
n ⋅r
3
dS = − ∫
n ⋅r dS r3 S′ n ⋅r 1 1 dS = ∫ 2 dS = 2 ∫dS = 4π 。 3 r a a S′ S′ S′
，试 计 算 积 分
在 S ′ 上， r = a ， n = −r / a ，于是
∫r
S
n ⋅r
3
dS = − ∫
2.16 设
f = ye1 + ( x − 2 xz) e2 − xy e3
A⋅m = (α I + β m⊗ m)⋅ m = (α + β ) m ， 所以 m 是 A 的特征矢量， α + β 是和其对应的特征值。设 a 是和 m 垂直的任意单
位矢量，则有
A⋅a = (α I + β m ⊗m) ⋅a =α a 所以和 m 垂直的任意单位矢量都是 A 的特征矢量，相应的特征值为α ，显然 α 是特
= − ( A ji a ke jknei ⊗ en )T = − Ajn ak ejki ei ⊗ en
= ak e k × A jne j ⊗ e n = a × A 。
(2) − (a × A T )T = −(a i e i × A kj e j ⊗ ek )T = −( A kj a ie ijn en ⊗ ek )T
∇× (a × b ) = ei ∂ × (a je j ×b ke k ) =e i ∂ × (a jb ke jkme m ) ∂ xi ∂ xi e = (a j ,i bk + a jb k, i )e jkmeimn n = (a j, ib k+ a jb k, i)(δ jnδ ki− δ jiδ kn )e n = a j ,i bi e j + a j bi ,i e j − a j , j bke k − a ib k, ie k = b ⋅(∇a ) −a ⋅(∇b ) +a (∇⋅b )−b (∇⋅a )
∫ (∇× f ) ⋅ndS
S
。式 中 S 是球 面
x2 + y2 + z2 = a2 在 xy 平面的上面部分.
5
解：用 c 表示圆 x2 + y2 公式得
= a2 ，即球面 x2 + y2 + z2 = a2 和 xy 平面的交线。由Stokes
2
2.9 设 a 为矢量，
A 为二阶张量，试证明： (1) a × A = − ( AT × a )T ，(2) A× a = − (a × AT )T
证：(1) − ( A T × a )T = −( A ji e i ⊗ e j × a k e k )T = −( A jie i ⊗ a k e jkne n )T
证： 2 eijk a jk = eijk a jk
+ eikj akj = eijk ajk − e ijk a kj = e ijk a jk − e ijk a jk = 0 。
2.3 设 a 、 b 和 c 是三个矢量，试证明：
a ⋅a b ⋅a c ⋅a
证：
a ⋅b b ⋅b c⋅ b
a ⋅c b ⋅c =[a , b , c ]2 c⋅ c
习题解答
第二章
2.1 计算：(1) δ pi δ iq δ qj δ jk ，(2) epqi eijk Ajk ，(3) eijp eklp Bki 解：(1) δ pi δ iq δ qj δ jk (2) epqi eijk Ajk
B lj
。
= δ pq δqj δ jk = δpj δjk = δpk ;
征方程的重根。 令
e2 =
则有
1 1 (m − n) ， e3 = (m + n ) ， e1 = e 2 × e3 2 2
2 2 (e2 +e3 ) ， n = (− e2 +e3 ) 2 2 上面定义的 ei 是相互垂直的单位矢量。张量 B 可以表示成 B = 0 e1 ⊗ e1 − e 2 ⊗ e 2 +e 3 ⊗e 3
2.6 设有二阶张量 T = Tij ei
⊗e j 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 T 在新坐标系
中的分量 T1′1′ 、 T1′ 2′ 、 T1′3′ 和 T3′3′ 。 解：变换系数同上题。
T11 + T22 T11 −T22 T +T + cos2θ + 12 21 sin2θ 2 2 2 T12 −T21 T12 + T21 T22 − T11 T1′ 2′ = + cos2θ + sin2θ ， 2 2 2 T1′ 1′ = β1′ i β1′ j Tij =
4
2.14 设 a = x 2 yze1 − 2 xz 3e2 解： w = 1 (a∇−∇a ) 2
1 + xz 2e3 ，求 w = (a∇−∇a ) 及其轴向矢量。 2
=1 [(x 2 z + 2z 3 )e1 ⊗ e2 + (x 2 y− z 2 )e1 ⊗ e3 − (2z 3 + x2 z )e2 ⊗ e1 2
= a ib jc ld m (δ ilδ jm −δ imδ jl ) = (a ic i )(b j d j ) − (ai di )(bj c j )
= (a ⋅c )(b ⋅d )− (a ⋅d )(b ⋅c ) 。
2.5 设有矢量 u = ui e i 。原坐标系绕 z 轴转动 θ 角度，得到新坐标 系，如图 2.4 所示。试求矢量 u 在新坐标系中的分量。 解： β1′ 1 = cos θ ， β1′ 2 = sinθ ， β1′ 3 = 0 ，
和反对称部分对应的轴向矢量为
ω = e1 − 2e 2 + e 3 。
2.11 已知二阶张量 T 的矩阵为
⎡ 3 −1 0⎤ [T ] = ⎢−1 3 0 ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ 求 T 的特征值和特征矢量。 3 − λ −1 0 解： −1 3 − λ 0 = (1− λ )[(3− λ )2 −1] = 0 0 0 1− λ
3
由上式解得三个特征值为 λ1 = 4 ， λ2 = 2 ， λ3 =1 。 将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
a1 =
1 1 (e1 − e2 ) ， a = (e1 +e2 ) ， a 3 = e 3 。 2 2
2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量： A = α I + β m ⊗ m ， B = m ⊗ n + n ⊗m 其中， α 和 β 是实数， m 和 n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
由于 B 是任意张量，故上式成立的充要条件是
Ai ′j ′ = β i′i β j′j A ij 即 Aij 是张量。
2.8 设
A 为二阶张量，试证明 I ⋅ ⋅ A = trA 。
=trA 。
证： I ⋅ ⋅ A = ei ⊗ ei ⋅ ⋅ A jk e j ⊗ ek =Ajk (ei ⋅e j )(ei ⋅ek )=A jkδ ij δ ik =Aii
a ⋅a a ⋅b a ⋅c ai ai ai bi ai ci a1 a2 a3 a1 b c1 1 2 b ⋅a b ⋅b b ⋅c = bi ai bb bi ci = b1 b2 b3 a 2 b2 c2 = [a , b , c ] 。 i i c ⋅a c⋅ b c⋅ c ci ai ci bi ci ci c1 c2 c3 a3 b3 c3
−6 xz 2 e 2 ⊗ e3 + ( z 2 − x 2 y )e3 ⊗ e1 + 6 xz 2 e 3 ⊗ e 2 ]
由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量
ω = 12 ∇× a = 12 [6 xz 2e1 + (x 2 y − z 2 )e2 − (2 z 3 + x2 z)e3 ] 。
2.4 设 a 、 b 、 c 和 d 是四个矢量，证明：
(a ×b ) ⋅(c ×d ) =(a ⋅c )(b ⋅d ) −(a ⋅d )(b ⋅c )
证： (a ×b ) ⋅(c ×d ) = ai b j eijk ek ⋅cl d m elmne n = a ib jc ld me ijke lmk
= (δ pj δ qk − δ pk δ qj ) Ajk = Apq − Aqp ;
(3) eijp eklp Bki B lj = ( δ ik δjl − δ il δjk ) B ki B lj = B ii Bjj − B ji B ij 。 2.2 证明：若 a ij
பைடு நூலகம்
= a ji ，则 eijk a jk = 0 。
2.15 设 S 是一闭曲面， r 是从原点 O 到任意一点的矢径，试证明： (1)若原点 O 在 S 的外面，积分 (2)若原点 O 在 S 的内部，积分 证：(1)当 r ≠ 0 时，有
∫r
S
n ⋅r
3
dS = 0 ；
∫r
S
n ⋅r dS = 4π 。 3
∇⋅( r3 ) = ∂ ( x3i ) = 0 (b) r ∂ xi r 因为原点在 S 的外面，上式在 S 所围的区域 V 中处处成立，所以由高斯公式得 n ⋅r r ∫ r 3 dS = ∫ ∇⋅( r 3 )dv =0 。 S V
1 2
n
1 2
m
若 Ci1 i2 ⋅⋅⋅in j1 j2 ⋅⋅⋅ jm 为 n + m 阶张量，试证明
Ai i ⋅⋅⋅i
12
n
是 n 阶张量。
证：为书写简单起见，取 n = 2 ， m = 2 ，则
Cijkl = Aij Bkl ，
在新坐标系中，有
C i′j′k ′l ′ = Ai ′j ′ Bk ′l ′
T1′3′ = T13 cos θ + T23sin θ ， T3′3′ = T33 。
2.7 设有 3n 个数 Ai1i 2 ⋅⋅⋅i n ，对任意 m 阶张量 B j1 j2 ⋅⋅⋅ jm ，定义
，
C i i ⋅⋅⋅i
1 2
n 1 2 ⋅⋅⋅ m
j j
j
= Ai i ⋅⋅⋅ i B j j ⋅⋅⋅ j