高中数学《平面向量》知识点讲解附真题PPT课件
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高中数学平面向量ppt课件
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
模记为┃a┃ 6
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所 以数学中的向量也叫 自由向量
如图：他们都表示同一个向量。 a
a
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为
什么？
不是，温度只有大小，没有方向。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
a b
c
bc a
说明：在平行向量、共线向量的概念中应注意零向量的特殊性 10
三：向量之间的关系
5.相等向量的定义： A
B 6.负向量的定义：
a
长度相等且方向相同的向量 D
记 作 ： A BD C
C
我们把与a长度相等，方向相反的向量叫做a的负向量，记做 :-a
c
c=-a a = -c
-(-a)=？
11
b A
a
东 南 100km.
12
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中：
E
( 1 ) 试 找 出 与 F E 共 线 的 向 量 ；
（ 2 ） 确 定 与 F E 相 等 的 向 量 ； O
（ 3 ） O A 与 B C 相 等 吗 ？
F
若 不 相 等 ， 则 之 间 有 什 么 关 系 ？
共线向量 或者说平行向量
不一定
BACK 18
练习五:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (
)
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 B
D.共起点的向量
C
A
O
B
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.1平面向量基本定理课件
＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然 后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然 后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线
高中数学《第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3...》130PPT课件 一等奖名师
•
(× )
• (7)相等向量一定是平行向量。
(√ )
高高一 数学学 科
2、下面的说法正确吗？
• 对向量 a,b，若 a b，则 | a || b |. （正确）
• 若a b, b c , 则 a c .
（正确）
• 若a // b，b // c, 则 a // c .
（不正确）
反例：b 0
（2）四边形ABCD是菱形。
B
向量
向量的概念
向量的关系
向表零 量示向 的方量 定法 义
高高一 数学学 科
单 向平 相 相 位 量行 等 反 向 （向 向 量 共量 量
线 ）
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A
段表示的向量中请分别写出
高高一 数学学 科
相等向量与共线向量
温故知新：1、判断下列结论是否正确。
• (1)平行向量方向一定相同；
(×)
• (2)不相等向量一定不平行；
(×)
• (3)与零向量相等的向量是零向量；
(√ )
• (4)与任何向量都平行的向量是零向量； (√)
• (5)共线向量一定在一条直线上；
(×)
• (6)若两向量平行,则这两向量的r OA
共线的向量有哪几个?
高高一 数学学 科
练习１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与
uuur AO
相等的向量为
；A
B
（2）与uAuOur 共线的向量为
（3）与
uuur AO
的模相等的向量为
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
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2.6《平面向量-复习》
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知识结构 要点复习 例题解析
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知识结构
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表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
高一数学平面向量精品PPT课件
答案： AD=2 b BE=2 c BF= c－a FC=2 a
思考： a、b、c 有何关系？
A a B
b C
b =a + c
cF
0
E
D
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习3 已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5） 求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） AB－AC的坐标.
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1x22y1y22
知识结构
平面向量复习
抵达民宿时，太阳已落下了帷幕，温馨点点的灯光在落寞的黑夜中显得无比温暖。
热情周到的女主人迎接我的到来，放下随身物品后，我在小镇上随意寻觅了些小食，就来到了后院安静坐下。
头顶上是浩瀚的星空 眼前是闪烁的灯火
心中却是平和幽静的情感
远离了呼啸而过的地铁呼啸声；远离了川流不息的车流声； 等到了一个此时此刻，用我的五官感受到了一个真正美好寂静的夜晚，属于自己的夜晚。
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB）
= AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
例1
= 0－BA = AB
平面向量复习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
人教高中数学A版必修二 《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
第十五页，共八十页。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中不是向量的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第十六页，共八十页。
【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥ ⑦只有大小，没有方向，不是向量.
第十七页，共八十页。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量
特性？只描述其中一个方面可以吗？
第五页，共八十页。
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征， 方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是否具备 了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以只描述其中 一个方面不可以.
第六页，共八十页。
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？
提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的 方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
向量平行于任意向量.
第九页，共八十页。
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.0
有方向，其方向是任意的.
第十页，共八十页。
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？
提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包 括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
是( )
第十八页，共八十页。
A.DA和BC B.DC和AB C.DC和BC D.DC和DA
第十九页，共八十页。
【解析】选B.结合题干图可知 与 大小相等，
方向相同，所以
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λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=④ λa+λb
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.共线向量定理 (1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得⑤ b=λa ,则向量b 与a共线. (2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线 AB上,则存在实数λ,使得 PC=(1-λ) PA+λ PB,如图.
知能拓展
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略
例1 (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中
点,且 AN = 1 NC ,BN与CM相交于点E,设AB =a,AC =b,则AE 等于 ( )
2
A. 2 a+ 1 b
55
B. 1 a+ 2 b
55
C. 1a+ 1b
33
2.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,⑥ 不共线 的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
温馨提示 (1)构成基底的两向量不共线; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对 实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们 把有序数对⑦ (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0), j=⑧ (0,1) . (2)设OA =xi+yj,则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若OA =(x,y),则A 点坐标为⑨ (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). 4.向量的坐标运算
单位向量 长度等于1个单位的向量
常用e表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量
a与b共线可记为② a∥b ;0与任一向量共 线
a=b
相反向量 长度相等且方向相反的向量
a与b互为相反向量,则a=-b;0的相反向量为0
2.平面向量的线性运算
(1)平面向量运算的坐标表示
加法 减法 数乘 任一向量 的坐标
坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑩ (x1+x2,y1+y2) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= (x1-x2,y1-y2) 已知a=(x1,y1),则λa= (λx1,λy1) ,其中λ是实数 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB= (x2-x1,y2-y1)
33
22
由N,E,B三点共线可知,存在实数m,满足AE =mAN +(1-m)AB =1 mb+(1-m)a.
3
由C,E,M三点共线可知,存在实数n,满足 AE =n AM +(1-n) AC =1 na+(1-n)b,所
2
以 1 mb+(1-m)a=1 na+(1-n)b,
3
2
因为a,b为基底,所以
高考数学
第七章 平面向量
§７.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理
考点清单
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念及表示法
名称
定义
表示法
向量
既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小 向量:AB ;模:① | AB | 叫做向量的长度(或模)
零向量 长度为0的向量叫零向量,其方向是任意的 记作0
温馨提示 a.向量相等,则坐标相同;b.向量的坐标与表示该向量的有向线 段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关. (2)平面向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ x1y2-x2y1=0.
温馨提示 a.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成 xx12= yy12.因 为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能 错记为x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等. b.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb(b≠0),这与x1y2-x2y1=0在本 质上是没有差异的,只是形式上不同.
1-m
1 3
m
1 n, 2 1-n,
解得
m n
3, 5 4. 5
所以 AE = 2 a+ 1 b,故选A.
55
答案 A
例2 (2019河北3月质检,6)在△ABC中,O为△ABC的重心.若 BO=λ AB+μ
AC ,则λ-2μ= ( )
A.- 1 B.-1 C. 4 D.- 4
2
3
3
解题导引 三角形重心有什么性质?重心O是△ABC中什么线的交点?(中
D. 2a+ 4b
55
解题导引 由条件BN与CM相交于点E,可知N,E,B三点共线及C,E,M三点共线,
由共线向量定理可设AE
=mAN
+(1-m)AB
,AE
=nAM
+(1-n)AC
,再利用AM
1
=2
AB
,
AN
=1
3
AC
,结合平面向量基本定理建立关系式,求得m、n的值,进而表示出AE
.
解析 由题意得 AN =1 AC =1 b, AM = 1 AB = 1 a,
线交点)延长BO交AC于点M,由重心的性质可知,M为AC的中点,且BO =
2 3
BM,再把
BM
ห้องสมุดไป่ตู้
用
AB
,
AC
表示出来,得出λ,μ的值,进而可得λ-2μ.
解析
如图,延长BO交AC于点M,∵点O为△ABC的重心,∴M为AC的中点,∴BO =
向量运算 定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量 和的运算
减法 数乘
三角形法则
平行四边形法则
求a与b的相 反向量-b的 和的运算
三角形法则
求实数λ与 向量a的积 的运算
(1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
运算律 (1)交换律: a+b=③ b+a ; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.共线向量定理 (1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得⑤ b=λa ,则向量b 与a共线. (2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线 AB上,则存在实数λ,使得 PC=(1-λ) PA+λ PB,如图.
知能拓展
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略
例1 (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中
点,且 AN = 1 NC ,BN与CM相交于点E,设AB =a,AC =b,则AE 等于 ( )
2
A. 2 a+ 1 b
55
B. 1 a+ 2 b
55
C. 1a+ 1b
33
2.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,⑥ 不共线 的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
温馨提示 (1)构成基底的两向量不共线; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对 实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们 把有序数对⑦ (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0), j=⑧ (0,1) . (2)设OA =xi+yj,则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若OA =(x,y),则A 点坐标为⑨ (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). 4.向量的坐标运算
单位向量 长度等于1个单位的向量
常用e表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量
a与b共线可记为② a∥b ;0与任一向量共 线
a=b
相反向量 长度相等且方向相反的向量
a与b互为相反向量,则a=-b;0的相反向量为0
2.平面向量的线性运算
(1)平面向量运算的坐标表示
加法 减法 数乘 任一向量 的坐标
坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑩ (x1+x2,y1+y2) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= (x1-x2,y1-y2) 已知a=(x1,y1),则λa= (λx1,λy1) ,其中λ是实数 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB= (x2-x1,y2-y1)
33
22
由N,E,B三点共线可知,存在实数m,满足AE =mAN +(1-m)AB =1 mb+(1-m)a.
3
由C,E,M三点共线可知,存在实数n,满足 AE =n AM +(1-n) AC =1 na+(1-n)b,所
2
以 1 mb+(1-m)a=1 na+(1-n)b,
3
2
因为a,b为基底,所以
高考数学
第七章 平面向量
§７.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理
考点清单
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念及表示法
名称
定义
表示法
向量
既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小 向量:AB ;模:① | AB | 叫做向量的长度(或模)
零向量 长度为0的向量叫零向量,其方向是任意的 记作0
温馨提示 a.向量相等,则坐标相同;b.向量的坐标与表示该向量的有向线 段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关. (2)平面向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ x1y2-x2y1=0.
温馨提示 a.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成 xx12= yy12.因 为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能 错记为x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等. b.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb(b≠0),这与x1y2-x2y1=0在本 质上是没有差异的,只是形式上不同.
1-m
1 3
m
1 n, 2 1-n,
解得
m n
3, 5 4. 5
所以 AE = 2 a+ 1 b,故选A.
55
答案 A
例2 (2019河北3月质检,6)在△ABC中,O为△ABC的重心.若 BO=λ AB+μ
AC ,则λ-2μ= ( )
A.- 1 B.-1 C. 4 D.- 4
2
3
3
解题导引 三角形重心有什么性质?重心O是△ABC中什么线的交点?(中
D. 2a+ 4b
55
解题导引 由条件BN与CM相交于点E,可知N,E,B三点共线及C,E,M三点共线,
由共线向量定理可设AE
=mAN
+(1-m)AB
,AE
=nAM
+(1-n)AC
,再利用AM
1
=2
AB
,
AN
=1
3
AC
,结合平面向量基本定理建立关系式,求得m、n的值,进而表示出AE
.
解析 由题意得 AN =1 AC =1 b, AM = 1 AB = 1 a,
线交点)延长BO交AC于点M,由重心的性质可知,M为AC的中点,且BO =
2 3
BM,再把
BM
ห้องสมุดไป่ตู้
用
AB
,
AC
表示出来,得出λ,μ的值,进而可得λ-2μ.
解析
如图,延长BO交AC于点M,∵点O为△ABC的重心,∴M为AC的中点,∴BO =
向量运算 定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量 和的运算
减法 数乘
三角形法则
平行四边形法则
求a与b的相 反向量-b的 和的运算
三角形法则
求实数λ与 向量a的积 的运算
(1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
运算律 (1)交换律: a+b=③ b+a ; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)