历年高考理科数学真题汇编+答案解析(3)：三角函数与解三角形(2017-2020年)(1)
专题20 三角函数及解三角形解答题丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共62页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
高考真题__三角函数和解三角形真题[加答案解析]
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全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos cos 44f x x xx x =--=-+ 2cos 1x ⎛=-+ ⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．10.（2016年3卷14）函数sin y x x =错误！未找到引用源。
2017高考十年高考数学(理科)分项版 专题04 三角函数与三角形(北京专版)(解析版) 含解析
1. 【2005高考北京理第5题】对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+【答案】D 【解析】试题分析： 当30oαβ==时可排除A 、B 选项，当15oαβ==时代入C 选项中，即:0cos302sin15oo <<两边平方234sin 154o<1cos304230.2682o -=⨯=≈矛盾.故选D考点：特殊值法.2. 【2005高考北京理第8题】函数xxx f cos 2cos 1)(-=（ ）A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减 B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减【答案】A考点:二倍角公式；余弦函数的单调区间。
3。
【2007高考北京理第1题】已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ）Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角4。
【2009高考北京理第5题】“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 ( ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点:三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断。
5. 【2013高考北京理第3题】“φ＝π”是“曲线y ＝sin （2x ＋φ）过坐标原点”的（ )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵φ＝π，∴y ＝sin （2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立; ∵y ＝sin （2x ＋φ)过原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z 。
《精品》2017-2019三年高考真题数学(理)分项汇编专题10解三角形(解析版)
- 1 = 2 ⨯⎪ - 1 = - , ⎝ 5 ⎭所以 AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2BC ⋅ ACcosC = 1 + 25 - 2 ⨯1⨯ 5 ⨯ - ⎪ = 32，则AB = 4 2 ，故选 A.专题 10 解三角形1．【2018 年高考全国Ⅱ理数】在△ABC 中， cos C 5 =2 5， BC = 1， AC = 5 ，则AB =A ． 4 2C ． 29【答案】A【解析】因为 cosC = 2cos 2 C2⎛ 5 ⎫2 3 B ． 30D ． 2 55⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018 年高考全国Ⅲ理数】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 的面积为a 2 +b 2 -c 24，则 C =A ．C ．π 2 π 4B ．D ．π 3 π6【答案】C△S ABC【解析】由题可知1 a2 + b 2 - c 2= absinC = 2 4，所以 a 2 + b 2 - c 2 = 2absinC ，由余弦定理 a 2 + b 2 - c 2 = 2abcosC ，得 sinC = cosC ，因为 C ∈ (0, π )，所以 C =π 4，故选 C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017 年高考山东卷理数】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 △ABC 为锐角三角形，且满足 s in B(1+ 2cos C ) = 2sin A cos C + cos A s in C ，则下列等式成立的是A ． a = 2bC ． A = 2BB ． b = 2aD ． B = 2 A1.=1【答案】122【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：ABAC=AB+BC=5，sin∠BAC=BC=,cos∠BAC==，所以BD=. AC5AC55c【答案】A【解析】由题意知s in(A+C)+2sin B cos C=2sin A cos C+cos A s in C，所以2sin B cos C=sin A c os C⇒2sin B=sin A⇒2b=a，故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a=2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3△ABC的面积为_________．【答案】63，则【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，所以(2c)2+c2-2⨯2c⨯c⨯解得c=23,c=-23（舍去），13所以a=2c=43，Sac sin B=⨯43⨯23⨯=63.22212=62，即c2=12，【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，∠ABC=90︒，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45︒，则BD=___________，cos∠ABD=___________．72，510BD3π=，而AB=4,∠ADB=，sin∠ADB sin∠BAC43AB412222ππ72 cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos cos∠BAC+sin sin∠BAC=4410.2【答案】15.△ABE中，cos∠ABC=BE=1【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 6．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= sin B=___________，c=___________．7，b=2，A=60°，则【答案】21 7，3【解析】由正弦定理得a sin A2π21 =，所以sin B=⨯sin=, b sin B737由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,∴7=4+c2-2c,∴c=3（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．10,24【解析】取BC中点E，由题意：AE⊥BC，11115=，∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=1-=AB44164，∴S15⨯BD⨯BC⨯sin∠DBC=22．∵∠ABC=2∠BDC，∴cos∠ABC=cos2∠BDC=2cos2∠BDC-1=14，3解得cos∠BDC=10即6cos C+sin C=2sin C，可得cos(C+60︒)=-10或cos∠BDC=-（舍去）．44综上可得，△BCD面积为1510，cos∠BDC=．24【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C．（1）求A；（2）若2a+b=2c，求sinC．【答案】（1）A=60︒；（2）sin C=6+2 4.【解析】（1）由已知得s in2B+sin2C-sin2A=sin B s in C，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．b2+c2-a21由余弦定理得cos A==．2bc2因为0︒<A<180︒，所以A=60︒．（2）由（1）知B=120︒-C，由题设及正弦定理得2sin A+sin (120︒-C)=2sin C，312 +2222．由于0︒<C<120︒，所以sin (C+60︒)=22，故4因为 cos B4sin (120︒ - C)sin C = sin (C + 60︒ - 60︒ )= sin (C + 60︒ )cos60 ︒ - cos (C + 60︒ )sin 60︒= 6 + 2 4．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a sin（1）求 B ；（2△）若 ABC 为锐角三角形，且 c =1△，求 ABC 面积的取值范围．3 3 【答案】（1）B =60°；（2） ( ,) .82【解析】（1）由题设及正弦定理得 s in A s in A + C= sin B sin A ．2因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2A + CB B B B由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin= cos ，故 cos = 2sin cos ．22 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ， 2 2 2因此B =60°．A + C 2= b sin A ．（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S △ABC =3a ．c sin A3 1由正弦定理得 a = == + ． sin Csin C2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ，25从而 3△ABC <因此，△ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭.b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ . 所以 (c + 2)2 = 32 + c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ .3< S 8 2．⎛ 3 3 ⎫ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题1 10．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = - ． 2（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）4 73 .【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭因为 b = c + 2 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 c = 5 .所以 b = 7 .（2）由 cos B = - 1 3 得 sin B = 2 2.由正弦定理得 s in C = c 5 3 sin B = b 14.在 △ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以 cos C = 1 - sin 2 C = 11 14.所以 sin( B - C ) = sin B cos C - cos B sin C = 4 3 7.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查66⎭⎛【答案】（1）-1【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理ba2+c2-b2a2+a2-a29922⋅a⋅asin 2B+⎪=sin2B cos+cos2B sin=-⨯-⨯=-（2）若sin A学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b+c=2a，3c s in B=4a sin C．（1）求cos B的值；（2）求sin 2B+⎝π⎫⎪的值．35+7；（2）-416.c=，得b s in C=c sin B，sin B sin C又由3c s in B=4a sin C，得3b s in C=4a sin C，即3b=4a．42又因为b+c=2a，得到b=a，c=a．33由余弦定理可得cos B=4161==-．2ac43（2）由（1）可得sin B=1-cos2B=15 4，从而sin2B=2sin B cos B=-1587，cos2B=cos2B-sin2B=-，故8⎛π⎫ππ1537135+7⎝6⎭66828216．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b2【答案】（1）c=325；（2）35.7( ) 从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .= = π⎫ 2 5= cos B = 2 ⎭ 5⎛要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 22 (3c)2 + c 2 - ( 2) 21 由余弦定理 cos B =，得 = ，即 c 2 = .2ac3 2 ⨯ 3c ⨯ c3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B= ，a 2ba b cos B sin B由正弦定理 ，得 ，所以 cos B = 2sin B .sin A sin B 2b b45因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 255.因此 sin B + ⎝⎪ .【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划．．．．别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+ 3 21 （百米）.8= = 15 . 1 1 1【解析】解法一：（1）过A 作 AE ⊥ BD ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， DE = BE = AC = 6, AE = CD = 8 .'因为PB ⊥AB ，所以 cos ∠PBD = sin ∠ABE = 8 4= .10 5所以 PB =BD 12 cos ∠PBD 45因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知 AD = AE 2 + ED 2 = 10 ，AD 2 + AB 2 - BD 2 7从而 cos ∠BAD = = > 0 ，所以∠BAD 为锐角.2 A D ⋅ AB 25所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 1 1 1 1当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .113 5= 9 ；92 2 .1 ⎪ < 32 + 42 = 5 ，由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由 （ 2 ） 知 ， 要 使 得 QA ≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA =15 时 ，CQ = QA - AC = 1 5 2 -6 2 = 3 2 此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综 上 ， 当 PB ⊥ AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ = 3 21 时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为4因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 - ，33 4.直线PB 的方程为 y = - 4 25 x - 3 3.所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415 ⎛ 15 ⎫2在线段AD 上取点M （3， ），因为 OM =32 + 4⎝ 4 ⎭10111152 2所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14．【2018 年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形 ABCD 中， ∠ADC = 90 ， ∠A = 45 ， AB = 2 ， BD = 5 .（1）求 cos ∠ADB ；（2）若 DC = 2 2 ，求 BC .【答案】（1）23 5；（2）5.【解析】（1）在 △ABD 中，由正弦定理得BD AB= .sin ∠A sin ∠ADB由题设知， = ，所以 sin ∠ADB = sin 45︒ sin ∠ADB 5.11所以 cos ∠ADB = 1 -2由题设得 bc sinA = ，即 bc = 8 . 【BC b c由题设知， ∠ADB < 90︒ ，23 =.255（2）由题设及（1）知， cos ∠BDC = sin ∠ADB =2 5.在 △BCD 中，由余弦定理得BC 2 = BD 2 + DC 2 - 2 ⋅ BD ⋅ DC ⋅ cos ∠BDC= 25 + 8 - 2 ⨯ 5 ⨯ 2 2 ⨯25= 25 .所以 BC = 5 .【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15． 2017 年高考全国Ⅰ理数】△ABC 的内角 A ， ，的对边分别为 a ， ， ，已知 △ABC 的面积为（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos Bcos C =1，a =3，求 △ABC 的周长. 【答案】（1）2；（2） 3 + 33 .31 a2 1 a 【解析】（1）由题设得ac sin B =，即 c sin B =.23sin A23sin A1 sin A由正弦定理得 sin C sin B =.23sin A2 故 sin B sin C =.31 1（2）由题设及（1）得 cos B cos C - s in Bsin C = -，即 cos( B + C ) = - .222π π 所以 B + C =，故 A = .331 a 2212a23sin A.16．2018年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A=a cos(B-).【.【答案】（1）π；（2）b=7，sin(2A-B)=（）在△1ABC中，由正弦定理a即sin B=cos(B-)，可得tan B=3．因为a<c，故cos A=2，cos2A=2cos2A-1=．所以，sin(2A-B)=sin2A c os B-cos2Asin B=43⨯-⨯=．由余弦定理得b2+c2-bc=9，即(b+c)2-3bc=9，得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y=A s in(ωx+ϕ)+b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可π6（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.33314.【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．b=，可得b sin A=a sin B，sin A sin Bππ又由b s in A=a cos(B-)，得a sin B=a cos(B-)，66π6又因为B∈(0，π)，可得B=π．3（△2）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π，有b2=a2+c2-2ac cos B=7，故b=7．3π3由b s in A=a cos(B-)，可得sin A=．677．因此sin2A=2sin A c os A=437171133372721413△SABC = ac sin B = 【解析】（1）在△ABC 中，∵cosB =– 1【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．【2017 年高考全国Ⅱ理数】△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c ，已知 sin ( A + C ) = 8sin2B2（1）求 cos B ；（2）若 a + c = 6 ， △ABC 的面积为 2 ，求 b ．．【答案】（1） cos B =15 17；（2） b = 2 ．【解析】（1）由题设及 A + B + C = π ，可得 sin B = 8sin 2上式两边平方，整理得17cos 2 B - 32cos B + 15 = 0 ，B2，故 sin B = 4 (1 - cos B ) ． 解得 cos B = 1(舍去)， cos B =15 17．15 8 1 4 （2）由 cos B = 得 sin B = ，故 17 172 17ac ．又 S △ABC =2 ，则 ac = 17 2．由余弦定理及 a + c = 6 得：b 2= a 2+ c 2- 2ac cos B = (a + c )2 - 2ac (1 + cos B ) = 36 - 2 ⨯17 15 ⨯ (1+ ) = 4,2 17所以 b = 2 ．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 a + c, ac, a 2 + c 2 三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．【2018 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =7，b =8，cosB =–（1）求∠A ；（2）求 AC 边上的高．π 3 3【答案】（1）；（2）．32π，∴B ∈（ ，π）， 7 2141 7 ．由正弦定理得a（）在△2ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=31143如图所示，在△ABC中，∵sinC=h，∴h=BC⋅s in C=7⨯【a∴sinB=1-cos2B=437．8b7=⇒=43，sin A sin B sin A7∴sinA=32．∵B∈（ππ，π），∴A∈（0，），22π∴∠A=．333⨯(-)+⨯=．2727143333=BC142，∴AC边上的高为332．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化；第三步，求结果.19．2017年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a>b，=5,c=6，sin B=35．（1）求b和sin A的值；（2）求sin(2A+π)的值．415【答案】（1） b 的值为 13 ， sin A 的值为 3 13 【解析】（1）在 △ABC 中，因为 a > b ，故由 sin B =3由正弦定理 a故 sin(2 A + π在 △ABC 中，由余弦定理得 28 = 4 + c 2 - 4c cos ，即 c 2 + 2c - 24 = 0 .7 2；（2）13 26.4，可得 cos B = ． 5 5由已知及余弦定理，有 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 13 ，所以 b = 13 ．b a sin B 3 13= ，得 sin A = =sin A sin B b 13．所以， b 的值为 13 ， sin A 的值为 3 13 13．（2）由（1）及 a < c ，得 cos A = 2 1313，所以 sin 2 A = 2sin A c os A = 12 5， cos 2 A = 1 - 2sin 2 A = - ．13 13π π 7 2 ) = sin 2 A c os + cos 2 A s in = 4 4 4 26．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．20．【2017 年高考全国Ⅲ理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.已知 sin A + 3 cos A = 0 ，a =2 7 ，b =2.（1）求 c ；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ △AC ，求 ABD 的面积.【答案】（1） c = 4 ；（2） 3 .【解析】（1）由已知可得 tan A = - 3 ，所以 A =2π 3.2π3解得 c = -6 (舍去)， c = 4 .1626 = 1 .又△ ABC 的面积为 ⨯ 4 ⨯ 2sin ∠BAC = 2 3 ，【（2）由题设可得 ∠CAD =π，2所以 ∠BAD = ∠BAC - ∠CAD =π 6.故 △ABD 面积与 △ACD 面积的比值为1 πAB ⋅ AD ⋅ s in1AC ⋅ AD 212所以 △ABD 的面积为 3 .【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. （1）由题意首先求得 A =2π，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得c = 4 ；3（2）利用题意首先求得 △ABD 的面积与 △ACD 的面积的比值，然后结合 △ABC 的面积可求得△ABD 的面积为 3 .21． 2017 年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E 1G 1 的长分别为 14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒 l ，其长度为 40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC 1 上，求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG 1 上，求 l 没入水中部分的长度．1711设 ∠EGG = α ,∠ENG = β , 则 sin α = sin( + ∠KGG ) = cos ∠KGG = ． 2 5【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，CC 1⊥ 平面 ABCD ，所以平面 A 1 ACC 1⊥平面 ABCD ，CC 1⊥AC ．记玻璃棒的另一端落在 CC 1 上点 M 处．因为 AC = 10 7, AM = 40 ，所以 MC =402 - (10 7) 2 = 30 ，从而 sin ∠MAC =记 AM 与水面的交点为 P ，过 P 作 P 1Q 1⊥AC ，Q 1 为垂足，3 4，则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故 P 1Q 1=12，从而 AP 1= PQ1 1 sin ∠MAC= 16 ．答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，O ，O 1 是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ，所以平面 E 1EGG 1⊥平面 EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面 E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在 GG 1 上点 N 处．过 G 作 GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则 GK =OO 1=32． 因为 EG = 14，E 1G 1= 62，所以 KG 1= 62 - 14 2= 24 ，从而 GG = KG 2 + GK 2 = 242 + 322 = 40 ．1 1π 41 1 118< α < π ，所以 cos α = - 于是 sin ∠NEG = sin(π -α - β ) = sin(α + β )= sin α coβ +cos α sin β = 故 P 2Q 2=12，从而 EP 2=P Q所以由正弦定理得 s in C = csin A因为π3． 2 5在 △ENG 中，由正弦定理可得40 14 7= ，解得 sin β = ． sin α sin β 25因为 0 < β < π 24，所以 cos β = ．2 254 24 3 7 3s ⨯ + ( - ) ⨯ = ． 5 25 5 25 5记 EN 与水面的交点为 P 2，过 P 2 作 P 2Q 2⊥EG ，Q 2 为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，2 2 sin ∠NEG= 20 ．答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形 ACM 中，利用相似性质求解 AP 1；（2）转化到三角形 EGN 中，先利用直角梯形性质求角∠EGG 1，再利用正弦定理求角∠ENG ，最后根据直角三角形求高，即为 l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．22．【2017 年高考北京卷理数】在△ABC 中， ∠A =60°，c =（1）求 sin C 的值；（2）若 a =7△，求 ABC 的面积.3 7a.【答案】（1）3 3 14；（2） 6 3 .【解析】（1△）在 ABC 中，因为 ∠A = 60︒ ， c = 37 3 3 3 3= ⨯ = a 7 2 143（2）因为 a = 7 ，所以 c = ⨯ 7 = 3 .7a ，.19（1）根据正弦定理a由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A 得 72 = b 2 + 32 - 2b ⨯ 3 ⨯解得 b = 8 或 b = -5 （舍）.1 1 3△所以 ABC 的面积 S =bc sin A = ⨯ 8 ⨯ 3 ⨯ = 6 3 .2 2 21 2，【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.c求 sin C 的值；=sinAsinC（2）根据条件可知a = 7, c = 3, 根据余弦定理求出 b 的值，最后利用三角形的面积公式S =进行求解即可.1 2bc sin A20。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
专题09 三角函数-三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 Word版含解析
姓名，年级：时间：专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B,C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数,排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f （x ）是偶函数 ②f （x )在区间（2π，π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f （x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故①正确．2sin cos ++x xx x当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =,它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2,故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象(如下图）,由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f （x )=｜cos2x ｜B ．f (x ）=|sin2x ｜C ．f (x )=cos ｜x ｜D ．f (x ）=sin|x ｜【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D; 因为cos cos y x x ==，周期为2π,排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知,其周期为π2，在区间（4π，2π)单调递增,A 正确；作出sin2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间（4π,2π）单调递减，排除B ， 故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：解三角形
第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得． 因为，所以．（2）由（1）知，， 即，可得． 由于，所以，故． 2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ===，则ABC △的面积为__________.解析：由余弦定理有，因为，，，所以， 所以，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==0180A ︒︒<<60A ︒=120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=1sin 2sin 222C C C ++=()cos 602C ︒+=-0120C ︒︒<<()sin 602C ︒+=()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 2ABC S ac B c B ===△3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．解析（1）由题设及正弦定理得． 因为，所以． 由，可得，故． 因为，故，因此． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积． 由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故． 因此，面积的取值范围是．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是 . 解析 设，sin sin sin sin 2A C AB A +=sin 0A ≠sin sin 2A CB +=180A BC ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B =cos 02B ≠1sin 22B =60B =︒ABC S =△()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===ABC △090A ︒<<︒090C ︒<<︒120A C +=︒3090C ︒<<︒122a <<ABC S <<△ABC △⎝⎭()2AD AB A AO C λλ==+， 所以，解得， 所以，， ， 因为，所以，所以，所以5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 解析 （1）由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11()24AO AD AB AC ==+13EC AC AE AB AC =-=-+221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+221322AB AC =223ABAC =AB AC=222cos 2a c b B ac+-=2222(3)323c c c c +-=⨯⨯213c =c =sin cos 2A B a b=sin sin a b A B =cos sin 2B B b b =cos 2sin B B =从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.解析：在直角三角形ABC 中，，，，， 在中，，可得； ，， 所以.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.解析：（I ）由余弦定理，得. 22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =sin 0B >cos 2sin 0B B =>cos B =πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭4AB =3BC =5AC =4sin 5C =BCD △sin sin BD BC C BDC=∠5BD =135CBD C ∠=-43sin sin(135)sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+= ⎪⎝⎭()72cos cos 90sin 10ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=2222cos b a c ac B =+-22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭。
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形 解答题全集 (学生版+解析版)
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3．（2021•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C ＝2：1：√2，b=√2．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C−π6）的值．4．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A ＝2sin B ，求b 、c ； （2）若cos （A −π4）=45，求c ．8．（2020•天津）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin （2A +π4）的值．9．（2020•北京）在△ABC 中，a +b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ； （2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．21．（2019•浙江）设函数f （x ）＝sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y ＝[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域． 22．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ．（1）求A；（2）若√2a+b＝2c，求sin C．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2√2，求BC．27．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．28．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．29．（2018•北京）在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=43，cos（α+β）=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−35，−45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．32．（2018•北京）已知函数f（x）＝sin2x+√3sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[−π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．33．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）＝a sin2x+2cos2x．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B ﹣A ）的值．37．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B =35． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin （2A +π4）的值．38．（2017•山东）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．39．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．40．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝8sin 2B2．（1）求cos B ；（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．41．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x −π3）﹣2sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[−π4，π4]时，f （x ）≥−12．42．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +√3cos A ＝0，a ＝2√7，b ＝2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．43．（2017•江苏）已知向量a →=（cos x ，sin x ），b →=（3，−√3），x ∈[0，π]． （1）若a →∥b →，求x 的值；（2）记f （x ）=a →⋅b →，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 44．（2017•北京）在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积．45．（2017•浙江）已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求f （2π3）的值．（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．【解答】解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵C=2π3，∴当C＝2B时，B=π3，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B=π3，即B=π6．（2）选①c=√2b，由正弦定理可得c b =sinCsinB=√3212=√3，与已知条件c=√2b矛盾，故△ABC不存在，选②周长为4+2√3，∵C=2π3，B=π6，∴A=π6，由正弦定理可得asinA =bsinB=csinC=2R，即a12=b12=√32=2R，∴a=R，b=R，c=√3R，∴a+b+c＝（2+√3）R＝4+2√3，∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2√3，∴△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，∴CD＝1，在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即AD2=4+1−2×2×1×(−12)=7，AD=√7，∴BC边上的中线的长度√7．选③面积为S△ABC=3√3 4，∵A=B=π6，∴a＝b，∴S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos 2π3=3+34+√3×√32=214，AD=√212．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵2sin C＝3sin A，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=42+52−622×4×5=18，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C=√1−cos2C=√1−(18)2=3√78，∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．（II）∵c＞b＞a，∴△ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)＜0， ∴a 2﹣2a ﹣3＜0， ∵a ＞0， ∴0＜a ＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴a +b ＞c ，即a +a +1＞a +2，即a ＞1， ∴1＜a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝2．3．（2021•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，b =√2． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin （2C −π6）的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，∴a ：b ：c ＝2：1：√2， ∵b =√2，∴a ＝2b ＝2√2，c =√2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =2×2√2×√2=34．（3）由（2）可得sin C =√1−cos 2C =√74，∴sin2C ＝2sin C cos C =3√78，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=18， sin （2C −π6）＝sin2C cos π6−cos2C sinπ6=3√21−116． 4．（2021•浙江）设函数f （x ）＝sin x +cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求函数y ＝[f （x +π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）f （x −π4）在[0，π2]上的最大值．【解答】解：函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)，（Ⅰ）函数y ＝[f （x +π2）]2＝[√2sin(x +π2+π4)]2＝2cos 2（x +π4）＝1+cos[2（x+π4）]＝1+cos（2x+π2）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x−π4）=√2sin(x+π4)⋅√2sin(x−π4+π4)＝（√2(sin x+cos x）sin x=√2(sin2x+sinxcosx)=√2(1−cos2x2+12sin2x)=sin（2x−π4）+√22，因为x∈[0，π2]，所以2x−π4∈[−π4，3π4]，所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，f（x）max＝1+√22．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．【解答】解：（1）由余弦定理得cos A=−12=b2+c2−a22bc=5c2−94c2，解得c2=9 7，∴S△ABC=12bcsinA=√34×2c2=9√314；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sin B＝2sin C，又∵2sin B﹣sin C＝1，∴sin C=13，sin B=23，∴sin C＜sin B，∴C＜B，∴C为锐角，∴cos C=√1−(13)2=2√23．由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又∵a＝3，b＝2c，∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c=4√2±√53．当c=4√2+√53时，b=8√2+2√53，∴C△ABC＝3+4√2+√5；当c=4√2−√53时，b=8√2−2√53，∴C△ABC＝3+4√2−√5．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=c sin∠ACB=2R ，∴b ＝2R sin ∠ABC ，c ＝2R sin ∠ACB ，∵b 2＝ac ，∴b •2R sin ∠ABC ＝a •2R sin ∠ACB ， 即b sin ∠ABC ＝a sin C ， ∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ， ∴BD ＝b ；（2）法一：由（1）知BD ＝b ， ∵AD ＝2DC ，∴AD =23b ，DC =13b ，在△ABD 中，由余弦定理知，cos ∠BDA =BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD =b 2+(23b)2−c 22b⋅23b =13b 2−9c 212b 2， 在△CBD 中，由余弦定理知，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD =b 2+(13b)2−a 22b⋅13b =10b 2−9a 26b 2， ∵∠BDA +∠BDC ＝π， ∴cos ∠BDA +cos ∠BDC ＝0， 即13b 2−9c 212b 2+10b 2−9a 26b 2=0，得11b 2＝3c 2+6a 2， ∵b 2＝ac ，∴3c 2﹣11ac +6a 2＝0， ∴c ＝3a 或c =23a ，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac， 当c ＝3a 时，cos ∠ABC =76＞1（舍）； 当c =23a 时，cos ∠ABC =712； 综上所述，cos ∠ABC =712．法二：∵点D 在边AC 上且AD ＝2DC ， ∴BD →=13BA →+23BC →，∴BD →2=13BA →⋅BD →+23BC →⋅BD →，而由（1）知BD＝b，∴b2=13bc⋅cos∠ABD+23ab⋅cos∠CBD，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c=23 a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，当c＝3a时，cos∠ABC=76＞1（舍）；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=7 12．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A−π4）=45，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C=a2+b2−c22ab=22+12−c22×2×1=−14，可得c=√6．（2）因为cos（A−π4）=√22（cos A+sin A）=45，可得cos A+sin A=4√2 5，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A=7√210，sin A=√210，或sin A=7√210，cos A=√210，因为cos C=−14，可得sin C=√154，tan C=−√15，可得C为钝角，若sin A=7√210，cos A=√210，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）=tanA+tanCtanAtanC−1=7−√157×(−√15)−10，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A=√210，由正弦定理2sinA=csinC，可得c=5√302．8．（2020•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2√2，b＝5，c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a＝2√2，b＝5，c=√13，则cos C=a2+b2−c22ab=2×2√2×5=√22，∵C∈（0，π），∴C=π4；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=π4，a＝2√2，c=√13，可得sin A=asinCc=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=2√1313，可得cos A=√1−sin2A=3√1313，则sin2A＝2sin A cos A＝2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A＝2cos2A﹣1=5 13，∴sin（2A+π4）=√22（sin2A+cos2A）=√22（1213+513）=17√226．9．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−1 7；条件②：cos A=18，cos B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2＝49﹣14b×（−17）＝49+2b ， ∴（a +b ）（a ﹣b ）＝49+2b ， ∵a +b ＝11， ∴11a ﹣11b ＝49+2b ， 即11a ﹣13b ＝49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a ＝8，b ＝3，故a ＝8．（Ⅱ）在△ABC 中，sin A ＞0， ∴sin A =√1−cos 2A =4√37， 由正弦定理可得a sinA=c sinC，∴sin C =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×√32=6√3．选择条件②（Ⅰ）在△ABC 中，sin A ＞0，sin B ＞0，C ＝π﹣（A +B ）， ∵cos A =18，cos B =916， ∴sin A =√1−cos 2A =3√78，sin B =√1−cos 2B =5√716， 由正弦定理可得a sinA=b sinB，∴ab =sinA sinB=65，∵a +b ＝11， ∴a ＝6，b ＝5， 故a ＝6；（Ⅱ）在△ABC 中，C ＝π﹣（A +B ），∴sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×√74=15√7410．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．【解答】解：（1）由于f （x ）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f （x ）＝sin 12x ．令sin 12x =12，故12x =2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3． 故解集为{x |x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3，k ∈Z }． （2）由于ω＝1， 所以f （x ）＝sin x ．所以g （x ）=sin 2x +√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x 2−√32sin2x =−√32sin2x −12cos2x +12=12−sin （2x +π6）． 由于x ∈[0，π4]，所以π6≤2x +π6≤2π3．12≤sin(2x +π6)≤1，故−1≤−sin(2x +π6)≤−12， 故−12≤g(x)≤0．所以函数g （x ）的值域为[−12，0]．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．【解答】解：（1）△ABC 中，B ＝150°，a =√3c ，b ＝2√7，cos B =a 2+c 2−b 22ac =222√3c 2=−√32，∴c ＝2（负值舍去），a ＝2√3， ∴S △ABC =12acsinB =12⋅2√3⋅2⋅12=√3． （2）sin A +√3sin C =√22，即sin （180°﹣150°﹣C ）+√3sinC =√22，化简得12cosC +√32sinC =√22， sin （C +30°）=√22， ∵0°＜C ＜30°， ∴30°＜C +30°＜60°， ∴C +30°＝45°， ∴C ＝15°．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：①ac =√3．△ABC 中，sin A =√3sin B ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ， cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a22√3a 23=√32，∴a =√3，b ＝1，c ＝1． ②c sin A ＝3．△ABC 中，c sin A ＝a sin C ＝a sinπ6=3，∴a ＝6．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ，∴b =2√3．cos C =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32， ∴c =2√3． ③c =√3b ．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ， 又∵c =√3b ，cos C =a 2+b 2−c 22ab =√36≠cos π6，与已知条件C =π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．【解答】解：（1）因为a ＝3，c =√2，B ＝45°．，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC=b sinB，所以sin C =c b•sin45°=√2√5√22=√55，所以sin C =√55；（2）因为cos ∠ADC =−45，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin （∠ADC +∠C ）＝sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 所以tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ；（2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解答】解：（1）∵cos 2（π+A ）+cos A ＝sin 2A +cos A ＝1﹣cos 2A +cos A =54，∴cos 2A ﹣cos A +14=0，解得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3；（2）证明：∵b ﹣c =√33a ，A =π3， ∴由正弦定理可得sin B ﹣sin C =√33sin A =12，∴sin B ﹣sin （2π3−B ）＝sin B −√32cos B −12sin B =12sin B −√32cos B ＝sin （B −π3）=12， ∵B ∈(0，2π3)，B −π3∈（−π3，π3）， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵2b sin A =√3a ， ∴2sin B sin A =√3sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =√32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π3，（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴C =2π3−A ，∴cos A +cos B +cos C ＝cos A +cos （2π3−A ）+cosπ3=cos A −12cos A +√32sin A +12=12cos A +√32sin A +12=sin （A +π6）+12， △ABC 为锐角三角形，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2， 解得π6＜A ＜π2，∴π3＜A +π6＜2π3， ∴√32＜sin （A +π6）≤1， ∴√32+12＜sin （A +π6）+12≤32，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为（√3+12，32]． 16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．【解答】解：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝bc ， 即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 由0＜A ＜π，可得A =2π3； （2）由题意可得a ＝3， 又B +C =π3，可设B =π6−d ，C =π6+d ，−π6＜d ＜π6， 由正弦定理可得3sin 2π3=b sinB=c sinC=2√3，可得b ＝2√3sin （π6−d ），c ＝2√3sin （π6+d ）， 则△ABC 周长为a +b +c ＝3+2√3[sin （π6−d ）+sin （π6+d ）]＝3+2√3（12cos d −√32sin d +12cos d +√32sin d ），＝3+2√3cos d ，当d ＝0，即B ＝C =π6时，△ABC 的周长取得最大值3+2√3． 另解：a ＝3，A =2π3，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴9＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ≥（b +c ）2−14（b +c ）2， 由b +c ＞3，则b +c ≤2√3（当且仅当b ＝c 时，“＝”成立）， 则△ABC 周长的最大值为3+2√3．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（2）g （x ）＝f （x2）=−3cos(2⋅x2)=−3cosx ，∵x ∈[0，π3]，∴﹣3cos x ∈[﹣3，−32]．即g （x ）在区间[0，π3]的最大值为−32，最小值为﹣3．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）【解答】解：（1）由题意可得，BC ＝BD sin22°，弧BC 所在的圆的半径R ＝BC sin π4=√22BC ， 弧BC 的长度为12πR =12π⋅BC ⋅√22=√24×3.141×39.2×sin22°=16.310km ； （2）根据正弦定理可得，BD sinA=AB sin58°，∴sin A =39.240×sin58°=0.831，A ＝56.2°， ∴∠ABD ＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH ＝BD ×sin ∠ABD ＝35.750km ＜CD ＝36.346km ∴D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离为35.750km19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解答】解：（1）a sin A+C 2=b sin A ，即为a sinπ−B 2=a cosB 2=b sin A ，可得sin A cosB 2=sin B sin A ＝2sin B 2cos B 2sin A ，∵sin A ＞0， ∴cosB 2=2sin B 2cos B2，若cos B 2=0，可得B ＝（2k +1）π，k ∈Z 不成立，∴sinB 2=12，由0＜B ＜π，可得B =π3；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，由余弦定理可得b =√a 2+1−2a ⋅1⋅cos π3=√a 2−a +1，由三角形ABC 为锐角三角形，可得a 2+a 2﹣a +1＞1且1+a 2﹣a +1＞a 2，且1+a 2＞a 2﹣a +1， 解得12＜a ＜2，可得△ABC 面积S =12a •sinπ3=√34a ∈（√38，√32）． 20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理bsinB=c sinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ．又因为b +c ＝2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a =−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B ＝2sin B cos B =−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−7 8，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．21．（2019•浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解答】解：（1）由f（x）＝sin x，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−√34cos2x+1 =√32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=√32sin(2x−π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．22．（2019•北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32，由正弦定理有：csinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314 =4√37．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =23， ∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =10c 2−26c 2=23， 解得c =√33． （2）∵sinA a=cosB 2b， ∴由正弦定理得：sinA a=sinB b=cosB 2b，∴2sin B ＝cos B ，∵sin 2B +cos 2B ＝1， ∴sin B =√55，cos B =2√55， ∴sin （B +π2）＝cos B =2√55．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【解答】解：（1）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（2）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：a sinA=b sinB，∴sin A =asinB b =3×√327=3√314，∴sin （B +C ）＝sin （π−A ）＝sin A =3√314． 25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． （1）求A ；（2）若√2a +b ＝2c ，求sin C ．【解答】解：（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． ∴sin 2B +sin 2C ﹣2sin B sin C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0＜A ＜π，∴A =π3． （2）∵√2a +b ＝2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C −π6）=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sin C ＝sin （π4+π6）＝sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．（1）求cos ∠ADB ； （2）若DC ＝2√2，求BC ．【解答】解：（1）∵∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB=BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB ＜BD ，∴∠ADB ＜∠A ， ∴cos ∠ADB =1−(√25)2=√235．（2）∵∠ADC ＝90°，∴cos ∠BDC ＝sin ∠ADB =√25， ∵DC ＝2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=5．27．（2018•全国）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）证明a 2+b 2﹣c 2＝ab ； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1， ∴由正弦定理得：a sinA=b sinB =c sinC=2R ＝2，∴sin A =a2，sin B =b 2，sin C =c2， ∵2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ， ∴2（a 24−c 24）＝（a ﹣b ）•b2，化简，得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 故a 2+b 2﹣c 2＝ab ． 解：（2）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，解得C =π3， ∴c ＝2sin C ＝2•√32=√3．28．（2018•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA=b sinB，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sinB ，∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由b sin A ＝a cos （B −π6），得sin A =√3√7，∵a ＜c ，∴cos A =√7， ∴sin2A ＝2sin A cos A =4√37， cos2A ＝2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）＝sin2A cos B ﹣cos2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 29．（2018•北京）在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB得sin A =asinB b =7×4√378=√32，则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tan α=43，cos （α+β）=−√55．（1）求cos2α的值； （2）求tan （α﹣β）的值．【解答】解：（1）由{sinαcosα=43sin 2α+cos 2α=1α为锐角，解得{sinα=45cosα=35，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−725；（2）由（1）得，sin2α=2sinαcosα=2425，则tan2α=sin2αcos2α=−247． ∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=2√55． 则tan （α+β）=sin(α+β)cos(α+β)=−2．∴tan （α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （−35，−45）．∴x =−35，y =−45，r ＝|OP |=√(−35)2+(−45)2=1， ∴sin （α+π）＝﹣sin α=−yr =45； （Ⅱ）由x =−35，y =−45，r ＝|OP |＝1， 得sinα=−45，cosα=−35， 又由sin （α+β）=513， 得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±√1−(513)2=±1213， 则cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665， 或cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1213×(−35)+513×(−45)=1665． ∴cos β的值为−5665或1665． 32．（2018•北京）已知函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：（I ）函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x ＝sin （2x −π6）+12， f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6，2m −π6]， 即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．33．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）＝﹣a sin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），∴﹣a sin2x +2cos 2x ＝a sin2x +2cos 2x ， ∴2a sin2x ＝0， ∴a ＝0；（2）∵f （π4）=√3+1，∴a sin π2+2cos 2（π4）＝a +1=√3+1，∴a =√3，∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1， ∵f （x ）＝1−√2，∴2sin （2x +π6）+1＝1−√2， ∴sin （2x +π6）=−√22，∴2x +π6=−π4+2k π，或2x +π6=54π+2k π，k ∈Z ， ∴x =−5π24π+k π，或x =1324π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]，∴x =13π24或x =19π24或x =−5π24或x =−11π24 34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值 【解答】解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]， 则cos α=13，则sin α=√1−(13)2=√89=2√23， 则f(α−π3)=cos （α−π3）＝cos αcos π3+sin αsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）＝cos2x ﹣2cos x ＝2cos 2x ﹣2cos x ﹣1＝2（cos x −12）2−32， ∵﹣1≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，函数取得最小值，最小值为−32．35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12 ＝cos2x +12，x ∈（0，π），由2k π﹣π≤2x ≤2k π，解得k π−12π≤x ≤k π，k ∈Z ， k ＝1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5， 若f （A ）＝0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6＝0， 解得c ＝2或3， 若c ＝2，则cos B =19+4−252×√19×20，即有B 为钝角，c ＝2不成立， 则c ＝3，△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×5×3×√32=15√34． 36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由asinA =bsinB，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：a4b =ba，∴a＝2b．由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55 ac，由余弦定理，得cosA=b2+c2−a22bc=−√55acac=−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA=2√55，代入a sin A＝4b sin B，得sinB=asinA4b=√55．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=2√5 5．于是sin2B=2sinBcosB=45，cos2B=1−2sin2B=35，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A=sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA= 45×(−√55)−35×2√55=−2√55．37．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B=3 5．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B=35，可得cos B=45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sin A=asinBb=3√1313．∴b=√13，sin A=3√13 13；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A=2√1313，∴sin2A＝2sin A cos A=1213，cos2A＝1﹣2sin2A=−5 13．。
2017年高考数学—三角函数(解答+答案)
2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。
8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。