勾股定理教案

教学过程

师生双边活动动态调整升级

一、引入新课：

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为

此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图

形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，

如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会

识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定

理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常

了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的

直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发

现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，

勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较

短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜

边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB

的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，

52+122=132，

那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

二、讲授新课：

方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图

形，利用面积证明。

S正方形＝C

S正方形＝4ab＋（a－b）

方法二；

已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为

a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×ab＋c2

例1（补充）通过

对定理的证明，让学生

确信定理的正确性；通

过拼图，发散学生的思

维，锻炼学生的动手实

践能力；这个古老的精

彩的证法，出自我国古

代无名数学家之手。激

发学生的民族自豪感，

和爱国情怀。

例2使学生明确，图形

经过割补拼接后，只要

没有重叠，没有空隙，

面积不会改变。进一步

让学生确信勾股定理的

正确性。

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相

等，即

4×ab＋c2=（a+b）2

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，

则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD ≌RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.

∵∠AED + ∠ADE = 90º,

∴∠AED + ∠BEC = 90º.

∴∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于.

又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.

∴.

∴.

勾股定理的证明方法，达300余种。请学生利用业余时间探究。

三、课堂练习：1．勾股定理的具体内容

是：。

一．复习引入。

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

二．讲授新课：

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理

清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直

接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求

另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知

一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生

明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求

AD=CD=AB=3cm，则此题可解。

三、练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便

形

式。

⑷⑸

已知

一边

和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明

分析：勾股定理的