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《离散数学（专）》阶段练习四

（第七章、第九章）

一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“?”）

1、任意一棵树都至少拥有三个1度点. （ ）

2、任一连通图都至少有一棵生成树，且生成树可以不唯一. （ ）

3、任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码. （ ）

4、所谓叶结点的层数，就是叶结点到根结点的通路长度.

（

）

5、对集合}1010{≤≤-=x x A ，定义在其上的运算||y x -是封闭的. （ ）

6、半群就是运算满足封闭性且存在幺元的代数系统. （ ）

7、独异点一定是半群. （ ）

8、群中的每个元素都有逆元，但对应的逆元不唯一. （ ）

9、群与其任一子群具有相同的幺元. （ ）

10、交换群就是对运算满足交换律且每个元素都有逆元的独异点.

（

）

11、记集合},{b a A =的幂集为)(A P ，则代数系统>⊕<),(A P 构成交换群.（ ）

12、交换群必定是循环群. （ ）

13、循环群中的生成元一定是唯一的. （ ）

14、群中无零元. （ ）

15、设G 为群，那么成立：对?a , b , c ∈G ，若ab =ac ，则b =c .

（

）

16、已知群,G <*>有两个子群,H <*>，,K <*>，那么,H

K <*>和,H K <*>

中，是群,G <*>子群的只有,H K <*>.

（ ）

二、一棵树T 有2n 个2度点，3n 个3度点，……，k n 个k 度点，其余均为1度点，试问：这棵树T 有多少个1度点？

三、选择题

1、关于树，下列选项中唯一错误的是（ ）. （A ）恰有一个结点入度为0的有向树，叫做根树

（B ）根树中，除了叶结点以外的点，都可以叫做分支点

（C ）所谓3叉正则树，就是存在一个分支点并且该分支点恰有3个儿子的的根树. （D ）所谓树高，即根树中离根结点最远的叶结点所在的层数.

2、下列四个关于树的定义的选项中，唯一一个不正确的是（ ）.

（A ）树是连通的无圈图

（B ）树是连通且边数比点数多1的图 （C ）树是无圈且边数比点数少1的图 （D ）树是每一条边都是割边的连通图.

3、下面的各个符号串组成的集合中，不是前缀码的是（ ）.

（A ）{00,10,010,110,1110}; （B ）{,,,,,}aa ab ba bba bbb ;

（C ）{,,,,,}ac ba cb cac caa cab ; （D ）{,,,,,,}bc ab bb ba bcb bcc bca .

4、对代数系统>*<,A ，下列四个论述中正确的只有（ ）. A. 若存在零元θ，则零元是唯一的 B. 若存在左幺元，则左幺元必是唯一的

C. 若同时存在左、右幺元，则左、右幺元必相等

D. 若一个元素存在左逆元，则它一定也存在右逆元

5、群是除了不必满足下列（ ）这一特征但却必须满足其余特征的代数系统>*<,A . A. 可交换性 B. 可结合性 C. 存在幺元 D. 封闭性

E. A 中每个元素都有逆元

6、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群，则下列选项中一定还是群>*<,G 的

子群的只有（ ）. A. >*-<,K H B. >*?<,K H C. >*?<,K H

D. >*⊕<,K H

7、交换群是只须同时满足（ ）等特征的独异点>*<,S .

A. 存在生成元

B. 存在零元

C. 存在幺元

D. 可交换性且S 中每个元素都有逆元

8、下列关于m 叉树的描述正确的是（ ）.

A. 除了树叶以外，所有其它点的出度必须都大于等于m 的根树

B. 所有点的出度都小于m 的根树

C. 所有点的出度都小于等于m ，但m 必须能取到至少一次的根树

D. 除了树叶以外，所有其它点的出度都必须等于m 的根树

四、填空题

对于实数集合R ，下表所列的二元运算是否具有左边一列中的那些性质，请在相应的位置上添上“是”或“否”.

五、设>*<,R 是一个代数系统，*是实数集合R 上的一个二元运算，它使得对于R 中的任意元素a 、b ，都有

b a b a b a ?++=*

其中的运算“+”、“?”即为实数的加法、乘法.

试证明：0是幺元，且>*<,R 独异点.

六、设>*<,S 是一个半群，而且对于S 中的元素a 和b ，如果a b b a *=*，则有b a =，试证明：

1、对于S 中任一个元素b ，必有b b b =*；

2、对于S 中任一个元素a 和b ，必有a a b a =**.

七、设>*<,H 和>*<,K 都是群>*<,G 的子群，试证明>*?<,K H 也是

>*<,G 的子群.

八、设>*<,G 是个独异点，并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*，其中e 是幺元，证明>*<,G 是一个阿贝尔群.

九、在实数集合R 上定义如下二元运算：

x *3312y x y x y =?--+

其中“=”右边的运算依次为实数的乘法、减法和加法运算. （1）、二元运算“*”满足哪些性质（在封闭性、交换性以及结合性中讨论）？并给出理由.

（2）、代数系统,中是否有幂等元（即满足x x x =*的元素x ）？是否有幺元e ？若有，请求出e .

（3）每个元素是否都有逆元？若有，请求出相应元素.

十、1、给定权13,11

,7,5,3,2，试以它们构造一棵最优二叉树.

2、对给定权值11，5，13，4，2，1，8，6，3，9，7.请画出一棵最优4叉树.

《离散数学（专）》阶段练习四 （第七章、第九章）答案

一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“?”）

二、 解：设树T 有1n 个1度点，e 是的边数，于是有

??

?++++=-++++=k

k kn n n n e n n n n e 3213213221

)( 解之即得

2)2(243+-+++=k n k n n e

三、选择题

四、填空题

解：

五、证明：（1）R a ∈?，由a a a a =?++=*000即知，0是幺元.

（2）R b a ∈?、，显然R b a b a b a ∈?++=*，即封闭性成立； 又R c b a ∈?、、，有

c b a b a c b a b a c b a b a c b a ??++++?++=*?++=**)()()(）（ )()(c b c b a c b c b a c b a c b a c b a ?++?+?+++=*?+*+=**）（）（）（

显然上两式相等，即满足可结合性，综合得0是幺元，且>*<,R 独异点.

六、证明：1、因为)()(b b b b b b b b b **=**=**，所以由题设即知有b b b =*.

证明：2、由a b a a a a b a a a a b a a a b a ***=****=***=***)()()()(，即知

a a

b a =**

其中利用了题1的结果：S a ∈?，有a a a =*.

七、证明：K H b a ?∈?、，因为>*<,H 和>*<,K 都是子群，所以K H b ?∈-1

，

由于*运算在K H 、中的封闭性，所以有K H b a ?∈*-1

，由非空子集成为子群的充分条

件即得>*?<,K H 也是>*<,G 的子群.

八、证明：由G x ∈?，都有e x x =*成立，及e 是幺元，即知x x =-1

，亦即G 中每个元

素的逆元都是其自身。故>*<,G 已经是个群了.

又G b a ∈?、，由封闭性显然有G a b ∈*，且由前段结论，又有a a

=-1

，b b =-1，

a b a b *=*-1)(进而有

a b a b a b b a b a *=*=*=*=*-----11111)(

即*在G 中满足交换性.

综合即得>*<,G 是一个阿贝尔群.

九、 （1）、解：满足封闭性、交换性、结合性. 理由略.

（2）、

（3）

十、1、解：构造过程为从左下到右上.

2、解：

（1）从小到达将权排序如右：1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，13.

（2）计算：由于11110

31

413

-

==

-

，故取余数1加1等于2个最小的权值“1”和

“2”，放在最左下角作为兄弟，……，最后作图如下：