上海市浦东新区2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)
浦东新区2018-2019学年度下学期高一期中考试 数学试卷 一、填空题 1.与终边相同的角的集合是________.
【答案】 【解析】 【分析】 与终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，写出来即可. 【详解】与终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了终边相同的角的写法，属于基础题. 2.若且则是第_______象限的角.
【答案】四 【解析】 【分析】 若则角在第二和第四象限，若sin则角在第三或第四象限，取两者交集即可. 【详解】若则角在第二和第四象限，若sin则角在第三或第四象限，同时成立，则角在第四象限. 故答案为：四. 【点睛】这个题目考查了不同象限角的三角函数值的正负的判断，属于基础题. 第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负. 3.已知角的终边经过点P(-3,4)，则________.
【答案】 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义可得到相应的三角函数值. 【详解】已知角的终边经过点P(-3,4),根据三角函数定义得到 故得到结果为： 故答案为：. 【点睛】这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标. 4.已知且是第四象限的角，则_______,
【答案】 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系得到进而得到结果. 【详解】已知cos且是第四象限的角,根据得到
故答案为： 【点睛】这个题考查了同角三角函数关系的应用，属于击题. 5.若则_______.
【答案】 【解析】 分析】 将式子两侧平方得到结果. 【详解】若,将两边平方得到
故答案为： 【点睛】这个题目考查了三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三. 6.把化成的形式___________(注:不唯一).
【答案】 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值，以及两角和的正弦公式得到结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的化一的应用，题目比较基础. 7.若则_______
.
【答案】 【解析】 【分析】 根据题干以及同角三角函数关系得到再结合两角和的正弦公式得到结果。 【详解】若根据同角三角函数关系得到 则. 故答案为： 【点睛】这个题目考查了同角三角函数关系的应用，以及两角和的正弦公式的应用，属于基础题. 8._______.
【答案】1 【解析】 【分析】 根据三角函数的运算公式得到结果.
【详解】 故答案为：1. 【点睛】本题考查了三角函数的同角三角函数关系的应用，属于基础题. 9.化简：__________.
【答案】1 【解析】 【分析】 根据三角函数的诱导公式以及弦切互化公式化简即可. 【详解】
故答案为：1. 【点睛】利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式. 10.若且则_________.
【答案】 【解析】 【分析】 根据同角三角函数关系得到，结合角的范围得到由二倍角公式得到结果. 【详解】因为，，根据故得到， 因为故得到 故答案为： 【点睛】这个题目考查了同角三角函数的关系的应用，以及二倍角公式，属于基础题. 11.已知且则______.
【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式得到再结合角的范围得到结果. 【详解】已知且根据二倍角公式得到 因为故得到，,故得到 故答案： 【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，属于简单题. 12.在△ABC中，请给出一个值_______，使该三角形有两解.
【答案】 【解析】 【分析】 先由正弦定理得到，三角形有两个解，即方程有两个解，即直线和有两个不同的交点，结合正弦函数的性质得到结果.
【详解】根据正弦定理得到， 三角形有两个解，即方程有两个解，即直线和有两个不同的交点，根据正弦函数的性质得到，角当即当时，三角形有两个解. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，属基础题．涉及正弦定理的应用. 二、选择题 13.下列命题正确的是（）
A. 第一象限的角都是锐角 B. 小于的角是锐角
C. 2019°是第三象限的角 D. 2019°是第四象限的角
【答案】C 【解析】 【分析】 根据象限角的定义依次判断即可. 【详解】对于A. 第一象限的角都是锐角是错误的，比如就是第一象限角，但是不是锐角；对于B. 小于的角是锐角也是错误的，比如负角，小于但不是锐角；对于C. 2019°是第三象限角，故正确；对于D，由C知是错误的. 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了象限角的概念，以及锐角的概念，锐角是大于零度，小于九十度的角，属于基础题. 14.“”是“”的________条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既非充分又非必要
【答案】B 【解析】 【分析】 因为根据正弦函数的性质得到，或者，反之一定成立，再根据充分必要条件的判断，得到结果. 【详解】因为，故得到，或者,推不出. 反之，若，则. 故是“”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 15.在△ABC中，内角A、B满足则△ABC的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角范围得到，再结合三角函数正弦图像得到结果. 【详解】在△ABC中，内角A、B满足,，根据正弦函数的图像的性质得到或故三角形是等腰三角形或者直角三角形. 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质以及三角形内角和性质,属于基础题. 16.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则
A. MP＜OM＜0 B. MP＜0＜OM C. OM＜MP＜0 D. OM＜0＜MP
【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数线的定义得结果即可. 【详解】根据三角函数线的定义得到，钝角的余弦线是负的，正弦线是正的，故得到OM＜0＜MP. 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了三角函数线的定义，属于基础题. 三、解答题 17.已知一个扇形的周长为20cm,当它的圆心角为多大时,该扇形的面积最大?并求面积的最大
值。
【答案】当圆心角为2弧度时，面积最大，最大值为 【解析】 【分析】 首先根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值求结果． 【详解】设扇形半径为r，弧长为l， ∵l＝20﹣2r， ∴Slr（20﹣2r）•r＝﹣r2+10r＝﹣（r﹣5）2+25
∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大为25cm2， 此时，α2（rad）． 故当圆心角为2弧度时，面积最大，最大值为 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，抽象出数学模型，利用一元二次函数定义求解，属于基础题． 18.已知，求的值。
【答案】 【解析】 【分析】
利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ＝a，求出结果即可． 【详解】原式．
即：． 【点睛】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型． 19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山
的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米(A、D、E、B在同一条直线上)，求隧道DE的长(精确到1米)。
【答案】421米 【解析】 【分析】 结合题意和示意图，根据余弦定理得到长，进而得到结果.
2018-2019学度上海浦东新区高一上年末数学试卷(含解析解析).doc
2018-2019学度上海浦东新区高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分.1、〔3分〕函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点、3、〔3分〕假设集合A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝满足A∩B＝｛1｝，那么实数a＝、4、〔3分〕不等式2｜x﹣1｜﹣1《0的解集是、5、〔3分〕假设f〔x＋1〕＝2x﹣1，那么f〔1〕＝、6、〔3分〕不等式的解集为、7、〔3分〕设函数f〔x〕＝〔x＋1〕〔x＋a〕为偶函数，那么a＝、8、〔3分〕函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，那么f〔x〕•g〔x〕＝、9、〔3分〕设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，求实数m的取值范围、10、〔3分〕函数的值域是、11、〔3分〕ab》0，且a＋4b＝1，那么的最小值为、12、〔3分〕函数f〔x〕＝是R上的增函数，那么a的取值范围是、【二】选择题〔本大题总分值12分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否那么一律得零分.13、〔3分〕函数y＝x的大致图象是〔〕A、B、C、 D、14、〔3分〕f〔x〕是R上的奇函数，且当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，那么x《0时f〔x〕＝〔〕A、﹣x﹣1B、x＋1C、﹣x＋1D、x﹣115、〔3分〕证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎、小强买的股票A连续4个跌停〔一个跌停：比前一天收市价下跌10％〕，那么至少需要几个涨停，才能不亏损〔一个涨停：比前一天收市价上涨10％〕、〔〕A、3B、4C、5D、616、〔3分〕给定实数x，定义【x】为不大于x的最大整数，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A、x﹣【x】≥0B、x﹣【x】《1C、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立D、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔﹣x〕＝f〔x〕恒成立【三】解答题〔本大题总分值52分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.17、〔8分〕，求实数m的取值范围、18、〔10分〕如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上、CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，｜CD｜＝｜AB｜＝3米，｜AD｜＝｜BC｜＝2米，设｜DN｜＝x米，｜BM｜＝y米、求这块矩形草坪AMPN面积的最小值、19、〔10分〕设a是实数，函数f〔x〕＝a﹣〔x∈R〕，〔1〕假设〔1，2〕为该函数图象上一点，求a的值、〔2〕证明：对于任意a，f〔x〕在R上为增函数、20、〔12分〕函数f〔x〕＝x2﹣2ax＋1、〔1〕假设对任意的实数x都有f〔1＋x〕＝f〔1﹣x〕成立，求实数a的值；〔2〕假设f〔x〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，求实数a的取值范围；〔3〕当x∈【﹣1，1】时，求函数f〔x〕的最大值、21、〔12分〕在区间D上，如果函数f〔x〕为减函数，而xf〔x〕为增函数，那么称f〔x〕为D上的弱减函数、假设f〔x〕＝〔1〕判断f〔x〕在区间【0，＋∞〕上是否为弱减函数；〔2〕当x∈【1，3】时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；〔3〕假设函数g〔x〕＝f〔x〕＋k｜x｜﹣1在【0，3】上有两个不同的零点，求实数k的取值范围、2016－2017学年上海市浦东新区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分.1、〔3分〕函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点〔0，1〕、【解答】解：∵a0＝1，a》0且a≠1，∴函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点〔0，1〕，故答案为：〔0，1〕、2、〔3分〕请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货、【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，那么价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，那么货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3、〔3分〕假设集合A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝满足A∩B＝｛1｝，那么实数a＝1、【解答】解：∵A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝，且A∩B＝｛1｝，∴a＝1，故答案为：14、〔3分〕不等式2｜x﹣1｜﹣1《0的解集是、【解答】解：①假设x≥1，∴2〔x﹣1〕﹣1《0，∴x《；②假设x《1，∴2〔1﹣x〕﹣1《0，∴x》；综上《x《、故答案为：《x《、5、〔3分〕假设f〔x＋1〕＝2x﹣1，那么f〔1〕＝﹣1、【解答】解：∵f〔x＋1〕＝2x﹣1，∴f〔1〕＝f〔0＋1〕＝2×0﹣1＝﹣1、故答案为：﹣1、6、〔3分〕不等式的解集为〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕、【解答】解：原不等式等价于〔x﹣3〕〔x﹣2〕≥0且x﹣2≠0，所以不等式的解集为〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕；故答案为：〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕7、〔3分〕设函数f〔x〕＝〔x＋1〕〔x＋a〕为偶函数，那么a＝﹣1、【解答】解：∵函数为偶函数得f〔1〕＝f〔﹣1〕得：2〔1＋a〕＝0∴a＝﹣1、故答案为：﹣1、8、〔3分〕函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，那么f〔x〕•g〔x〕＝x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕、【解答】解：∵函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，∴f〔x〕•g〔x〕＝x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕，故答案为：x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕、9、〔3分〕设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2、【解答】解：α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，那么2m﹣3≥1或2m＋1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3、10、〔3分〕函数的值域是〔0，4】、【解答】解：设t＝x2﹣2≥﹣2，∵y＝〔〕t为减函数，∴0《〔〕t≤〔〕﹣2＝4，故函数的值域是〔0，4】，故答案为：〔0，4】、11、〔3分〕ab》0，且a＋4b＝1，那么的最小值为9、【解答】解：∵ab》0，且a＋4b＝1，∴＝〔〕〔a＋4b〕＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9、12、〔3分〕函数f〔x〕＝是R上的增函数，那么a的取值范围是【﹣1，0〕、【解答】解：由于函数f〔x〕＝是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a《0，故答案为：【﹣1，0〕、【二】选择题〔本大题总分值12分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否那么一律得零分.13、〔3分〕函数y＝x的大致图象是〔〕A、B、C、 D、【解答】解：y＝f〔﹣x〕＝＝＝f〔x〕，∴函数y＝x为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵》1，∴当x》0时，y＝x的变化是越来越快，故排除B应选：A14、〔3分〕f〔x〕是R上的奇函数，且当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，那么x《0时f〔x〕＝〔〕A、﹣x﹣1B、x＋1C、﹣x＋1D、x﹣1【解答】解：设x《0，那么﹣x》0，∵当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，∴当x《0时，f〔﹣x〕＝﹣x﹣1，又∵f〔x〕是R上的奇函数，∴f〔x〕＝﹣f〔﹣x〕，∴当x《0时，f〔x〕＝﹣f〔﹣x〕＝x＋1，应选B、15、〔3分〕证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎、小强买的股票A连续4个跌停〔一个跌停：比前一天收市价下跌10％〕，那么至少需要几个涨停，才能不亏损〔一个涨停：比前一天收市价上涨10％〕、〔〕A、3B、4C、5D、6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a〔1﹣10％〕4＝0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，那么0.6564a〔1＋10％〕x≥a，整理得：1.1x≥1.5235，∵1.15＝1.6105，1.14＝1.4641、∴至少需要5个涨停，才能不亏损、应选：C、16、〔3分〕给定实数x，定义【x】为不大于x的最大整数，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A、x﹣【x】≥0B、x﹣【x】《1C、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立D、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔﹣x〕＝f〔x〕恒成立【解答】解：在A中，∵【x】为不大于x的最大整数，∴x﹣【x】≥0，故A 正确；在B中，∵【x】为不大于x的最大整数，∴x﹣【x】《1，故B正确；在C中，∵【x】为不大于x的最大整数，f〔x〕＝x﹣【x】，∴对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立，故C正确；在D中，∵【x】为不大于x的最大整数，f〔x〕＝x﹣【x】，∴f〔﹣3.2〕＝﹣3.2﹣【﹣3.2】＝﹣3.2＋4＝0.8，f〔3.2〕＝3.2﹣【3.2】＝3.2﹣3＝0.2，∴对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕不成立，故D错误、应选：D、【三】解答题〔本大题总分值52分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.17、〔8分〕，求实数m的取值范围、【解答】解：〔1〕设函数，函数为R上的单调递增函数…〔2分〕得，m2＋m≤﹣m＋3…〔2分〕即，m2＋2m﹣3≤0…〔2分〕得，〔m﹣1〕〔m＋3〕≤0所以，m的取值范围为：m∈【﹣3，1】…〔2分〕18、〔10分〕如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上、CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，｜CD｜＝｜AB｜＝3米，｜AD｜＝｜BC｜＝2米，设｜DN｜＝x米，｜BM｜＝y米、求这块矩形草坪AMPN面积的最小值、【解答】解：由题意…、〔2分〕SAMPN＝〔x＋2〕〔y＋3〕＝xy＋3x＋2y＋6＝12＋3x＋2y…、〔5分〕…、〔2分〕当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时取得等号、…、〔7分〕面积的最小值为24平方米、…、〔8分〕19、〔10分〕设a是实数，函数f〔x〕＝a﹣〔x∈R〕，〔1〕假设〔1，2〕为该函数图象上一点，求a的值、〔2〕证明：对于任意a，f〔x〕在R上为增函数、【解答】解：〔1〕、〔2〕证明：设任意x1，x2∈R，x1《x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＝＝＝，由于指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1《x 2，所以即，又由2x 》0，得，， ∴f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕《0即f 〔x 1〕《f 〔x 2〕，所以，对于任意a ，f 〔x 〕在R 上为增函数、20、〔12分〕函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1、〔1〕假设对任意的实数x 都有f 〔1＋x 〕＝f 〔1﹣x 〕成立，求实数a 的值； 〔2〕假设f 〔x 〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； 〔3〕当x ∈【﹣1，1】时，求函数f 〔x 〕的最大值、【解答】解：〔1〕由对任意的实数x 都有f 〔1＋x 〕＝f 〔1﹣x 〕成立， 知函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1的对称轴为x ＝a ，即a ＝1；〔2〕函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1的图象的对称轴为直线x ＝a ，由f 〔x 〕在【a ，＋∞〕上为单调递增函数，y ＝f 〔x 〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，得，a ≤1；〔3〕函数图象开口向上，对称轴x ＝a ，可得最大值只能在端点处取得、 当a 《0时，x ＝1时，函数取得最大值为：2﹣2a ；当a 》0时，x ＝﹣1时，函数取得最大值为：2＋2a ；当a ＝0时，x ＝1或﹣1时，函数取得最大值为：2、21、〔12分〕在区间D 上，如果函数f 〔x 〕为减函数，而xf 〔x 〕为增函数，那么称f 〔x 〕为D 上的弱减函数、假设f 〔x 〕＝〔1〕判断f 〔x 〕在区间【0，＋∞〕上是否为弱减函数；〔2〕当x ∈【1，3】时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； 〔3〕假设函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕＋k ｜x ｜﹣1在【0，3】上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围、【解答】解：〔1〕由初等函数性质知，在【0，＋∞〕上单调递减， 而在【0，＋∞〕上单调递增， 所以是【0，＋∞〕上的弱减函数、〔2〕不等式化为在x ∈【1，3】上恒成立，那么，而在【1，3】单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈【﹣1，】、〔3〕由题意知方程在【0，3】上有两个不同根，①当x＝0时，上式恒成立；②当x∈〔0，3】时，那么由题意可得方程只有一解，根据，令，那么t∈〔1，2】，方程化为在t∈〔1，2】上只有一解，所以、。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知集合M ={y |x +y =1，x ∈R }，N ={y |x -y =1，x ∈R }，则M ∩N =（ ）A. B. C. D. R2. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 3. 若＜＜ ，则下列不等式中，①ab ＜b 2；②a 2＞b 2；③＜ ；④＞ ．成立的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 定义区间（c ，d ），[c ，d ），（c ，d ]，[c ，d ]的长度均为d -c （d ＞c ）已知实数a＞b ，则满足的x 构成的区间的长度之和为（ ）A. 1B.C. D. 2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 若集合A ={x |x 2+x -2=0}， ＜ ，则A ∪B =______6. 若全集U ={x |-2≤x ≤6，x ∈Z }，集合A ={x |x =2n ，n ≤3，n ∈N }，则∁U A =______（用列举法表示）7. 在如图中用阴影部分表示集合∁U （∁U A ∪∁U B ）______．8. 命题“如果ab =0，那么a =0或b =0”的逆否命题为______9. 已知集合A ={x |x ＜a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______10. 已知x ，y ∈R +，且x +4y =1，则xy 的最大值为______．11. 函数的定义域为______12. 若不等式ax 2+ax -1＞0的解集为∅，则实数a 的取值范围是______ 13. 对定义域是D f 、D g 的函数y =f （x ）、y =g （x ），规定函数，当 ∈ 且 ∈，当 ∈ 且，当 且 ∈，设函数f （x ）=x -2（x ∈R ），g （x ）=-2x +3（x ≥1），则函数h （x ）的值域是______14. 设a +b =2019，b ＞0，则当a =______时，+取得最小值． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 已知a 、b 是正实数，求证：．16.解不等式组：．17.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务．①个人所得税率是个人所得税税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入-起征点金额-专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元．下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额=应纳税收入额×适用税率-速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18.已知集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}，集合，∈，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．（1）求实数a的值；（2）对集合A={a1，a2，…，a k}（k≥2），其中a i∈Z（i=1，2，…，k），定义由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的a∈A，总有-a A，则称集合A具有性质P．①请检验集合B∪C与B∪D是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M=R，N=R；∴M∩N=R．故选：D．可看出M=R，N=R，从而得出M∩N=R．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算．2.【答案】B【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：＜＜0，∴b＜a＜0．①ab＜b2，正确；②a2＞b2，不正确；③，正确；④，正确．成立的个数是：3．故选：C．＜＜0，可得b＜a＜0．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵，实数a＞b，∴1，即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1=∈（b，a），x2=＞a，把不等式的根排在数轴上，用穿根法求得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1-b）+（x2-a ）=（x1+x2）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，故选：D．元不等式即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．本题考查分式不等式的解法，用穿根法解分式不等式和高次不等式，求出x1和x2，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】{-2}∪[0，1]【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2=0}={1，-2}，={x|0≤x＜1}，∴A∪B={-2}∪[0，1]．故答案为：{-2}∪[0，1]．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】{-2，-1，1，3，5}【解析】解：根据题意，全集U={x|-2≤x≤6，x∈Z}={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，又由A={x|x=2n，n≤3，n∈N}={0，2，4，6}，则∁U A={-2，-1，1，3，5}；故答案为：{-2，-1，1，3，5}．根据题意，用列举法表示集合A与U，由补集的定义分析可得答案．本题考查集合的补集的定义，关键是掌握集合补集的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，∴如图中用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）如图：．故答案为：．由∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，能用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）．本题考查集合求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0【解析】解：命题的逆否命题为：若a≠0且b≠0，则ab≠0，故答案为：若a≠0且b≠0，则ab≠0．根据逆否命题的定义进行求解即可．本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】a≤1【解析】解：B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B即a≤1，故答案为：a≤1．求出集合B的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式关系转化为对应真子集关系是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．11.【答案】[-1，0）∪（0，2]【解析】解：要使原函数有意义，则：；解得-1≤x≤2，且x≠0；∴原函数的定义域为[-1，0）∪（0，2]．故答案为：[-1，0）∪（0，2]．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，区间表示集合的方法．12.【答案】[-4，0]【解析】解：不等式ax2+ax-1＞0的解集为∅，a=0时，不等式化为-1＞0，解集为∅；a≠0时，应满足，解得-4≤a＜0；综上，实数a的取值范围是[-4，0]．故答案为：[-4，0]．讨论a=0和a≠0时，求出满足题意的a的取值范围．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．13.【答案】 ，【解析】解：由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，根据题意得：当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x2+7x-6；当x＜1时，h（x）=f（x）=x-2．所以h（x）=．当x≥1时，h（x）=-2x2+7x-6=-2（x-）2+，因此，当x=时，h（x）最大，h（x）的最大值为．若x＜1时，h（x）=x-2＜1-2=-1．∴函数h（x）的最大值为．故答案为：（-∞，]．由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，对x进行分类讨论：当x≥1时，h（x）=f（x）g （x）；当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．从而得出h（x）的解析式；分段函数的值域分段求，所以分别求出x≥1和x＜1时的值域，最后取并集即得函数h（x）的值域．本题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．14.【答案】-【解析】解：∵a+b=2019，b＞0，∴+==，当且仅当a＜0且且a+b=2019即a=-时取等号，故答案为：-．由已知可得+==，然后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换配凑应用条件．15.【答案】证明：∵a、b是正实数，∴，（当且仅当a=b时，取“=”号）两式相加得即【解析】利用基本不等式可得，两式相加，即可证得本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则16.【答案】解：由|x+1|≥2时，得x+1≥2或x+1≤-2，得x≥1或x≤-3，当x≥1时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时1≤x≤5，当x≤-3时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时x≤-3，综上x≤-3或1≤x≤5，即不等式组的解集为（-∞，-3]∪[1，5]．【解析】根据绝对值不等式以及分式不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式组的求解，结合绝对值不等式以及分式不等式的解法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）10月份，13404-3710-5000=4694，∴3000×3%+1694×10%=259.4；9月份，13404-3710-3500=6194，∴1500×3%+3000×10%+1694×20%=683.8；增加收入683.8-259.4=424.4元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，如2018年10月的表中，210=3000×7%，1410=9000×10%+3000×17%，2660=13000×5%+9000×15%+3000×22%，依此类推．【解析】（1）将工资去除5000，以及专项扣除，运用两张表格，再由分段累进计算可得所求值；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，本题考查分段函数的运用和分段累进计算方法，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}={1，2，3}，集合，∈={0，1，2}，集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．根据题意，3∈D，解得a=5或a=-2，经检验，a=5不符合D∩C=∅，故舍去，a=-2满足题意，即a=-2．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，S={（1，2），（2，1）}，T={（2，1），（3，1），（3，2）}；②m=n．证明如下：∵S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，∴a，b不相等，∴a+b的个数与a-b的个数相等，∴m=n．【解析】（1）求出集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，由集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．得到3∈D，由此能求出a．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，由此能求出相应的S和T．②m=n．由S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，得到a，b不相等，从而a+b的个数与a-b的个数相等，由此以能证明m=n．本题考查实数值、集合的求法，考查两实数大小的与证明，考查并集、交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第11页，共11页。
上海市北虹高级中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及解析
上海市北虹高级中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题510αβ、为锐角，则αβ+为（） A.4πB.34π C.4π或34πD.以上皆错2.若42ππθ<<）A.2sin θB.2sin θ-C.2cos θD.2cos θ-3.在ABC ∆中，若sin 2sin cos A C B =，则ABC ∆是（ ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形4.设12,R αα∈且()12112,2sin 2sin 2αα+=++则1210παα--的最小值等于（ ） A.6π B.4π C.34π D.无法确定第II 卷（非选择题）二、解答题5.已知角的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值.6.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭及tan2α的值；（2）求21sin sin cos ααα+的值. 7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3cos 22cos 02B B ++=.（1）求证：2;3B π=（2）若4,b a c =+=求ABC ∆的面积. 8.已知函数2()2cos 1,f x x x R =-∈. （1）若()sin 2sin 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()()y f x g x =+的最大值，并求出取得最大值时x 的值；（2）若()sin h x x =，求函数()()u f x h x =+的值域.9.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 以及CD 的中点P 处，已知AB =20km ，CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．(I)设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．三、填空题把角度化成弧度：=_________.11.设1000,α=若β是与α终边相同的最小正角，则β= _________. 12.若扇形的弧长为2，半径为1，则扇形面积是_________. 13.已知sinα+cosα=13，则sin2α=_____________．14.若()()()()1cos 1cos 1sin 1sin 12x x x x +--+-=，则cos2x =___________. 15.若4sin 5θ=，2πθπ<<，则sin 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.16.若21tan(),tan()344παββ+=+=，则tan()4πα-=___________. 17.若△ABC 中，sinA:sinB:sinC 2:3:4=，那么18.在ABC ∆中，已知AB =2AC =，面积S ∆=.19.如图，设点A是单位圆O上的一个定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧长为c，弦AP的长为d，则d关于c的函数解析式是________（要求最简结果）.参考答案1.A【解析】1.由同角三角函数的平方关系可得cos 5α=，cos 10β=，再由两角和的余弦公式可得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=2，再结合象限角的符号即可求角. 解：因为αβ、为锐角，又sin αβ==所以cos α===，cos β===，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=-2=， 又()0,αβπ+∈， 即αβ+=4π， 故选A. 2.C【解析】2. 由42ππθ<<，所以sin cos 0θθ>>，再由正弦的二倍角公式可得sin cos sin cos θθθθ=+--，再求解即可.解：因为42ππθ<<，所以sin cos 0θθ>>，sin cos sin cos θθθθ=+--=(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ+--=，故选：C. 3.C【解析】3.由正弦定理化角为边得2cos a c B =，由余弦定理化角为边得22b c =，得解. 解：因为sin 2sin cos A C B =，由正弦定理sin sin a cA C=可得 2cos a c B =， 由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得，22222a c b a c ac +-=⋅，即22b c =，即 b c =， 即ABC ∆是等腰三角形， 故选：C. 4.B【解析】4.由题意结合三角函数的有界性可得1112sin α=+，2112sin 2α=+，即1sin 1α=-，2sin 21α=-，即122k παπ=-，24m παπ=-，再代入运算即可.解：因为[]1sin 1,1α∈-， []2sin 21,1α∈-， 所以[]12sin 1,3α+∈，[]22sin 21,3α+∈，即111,12sin 3α⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦ ，211,12sin 23α⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦， 又()12112,2sin 2sin 2αα+=++则1112sin α=+，2112sin 2α=+， 即12sin 1α+=，22sin 21α+=， 即1sin 1α=-，2sin 21α=-， 即122k παπ=-，24m παπ=-，（,k Z m Z ∈∈），则1210παα--=43210k m πππ--， 当5,1k m ==时， 1210παα--的最小值等于4π， 故选：B. 5.15【解析】5.由()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==，再结合三角函数的定义运算即可得解.解：因为()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==，由三角函数的定义可得：44sin 55t t α==，33cos 55t t -α==-， 即431sin cos ()555αα=+-=+. 6.（1）13,43-；（2）56.【解析】6.（1）由两角差的正切公式、正切的二倍角公式求解即可；（2）先构造齐次式222sin cos sin sin cos ααααα++，再分子、分母同时除以2cos θ求解即可. 解：（1）因为tan 2α=， 所以tan 1211tan 41tan 123πααα--⎛⎫-=== ⎪++⎝⎭， 222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---，（2）因为tan 2α=，则222222221sin cos tan 1215sin sin cos sin sin cos tan tan 226ααααααααααα+++====++++.7.（1）证明见解析；（2）4.【解析】7.（1）由二倍角的余弦公式可得22cos 2cos 021B B ++=，运算可得1cos 2B =-，求角即可；（2）利用余弦定理可得2213a c ac =++，结合4,a c +=求出3ac =，再结合三角形面积公式运算即可得解.解：（1）因为3cos 22cos 02B B ++=， 所以22cos 2cos 021B B ++=，所以1cos 2B =-，由()0,B π∈, 所以2;3B π=（2）因为4,b a c =+=由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得2213a c ac =++，即 2()13a c ac +=+，即16133ac =-=，则ABC ∆的面积为11sin 32224ac B =⨯⨯=,故ABC ∆.8.（1）()8x k k Z ππ=+∈，max y =2）92,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】8.（1）由辅助角公式()()y f x g x =+)4x π+，再结合三角函数的最值运算可得解；（2）由二次函数在闭区间上的值域问题可得u =2192(sin )48x --+，又[]sin 1,1x ∈-， 则92,8u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得解.解：（1）()sin 2sin 2sin 233g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2()2cos 1=f x x =-cos2x ，所以()()y f x g x =+= sin 2x +cos2x )4x π+，当2242πππ+=+x k ，即,8x k k Z ππ=+∈；（2）因为()sin h x x =，则()2()2cos sin 1u f x h x x x =+=+-=22sin sin 1x x= 2192(sin )48x --+， 又[]sin 1,1x ∈-， 则92,8u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故函数u 的值域为92,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.9.（I ）2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）污水处理厂的位置为点P 位于线段AB的中垂线上且距离3AB km 边处，)10km +【解析】9.(I)在直角三角形AOQ 中,利用AQ =10,BAO θ∠=可以求得OA 和OQ ,从而可得OP =10-OQ , 然后可得y OA OB OP =++,并写上θ的范围,即可得到. (II )利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值. （I ）由条件PQ 垂直平分AB ，若BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又tan 10tan OQ AQ θθ==,所以1010tan OP θ=-, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθθ-----'==,令0y '=,得1sin 2θ= ,04πθ≤≤,所以6πθ=,当(0,)6πθ∈时,0y '<,y 是θ的减函数,当(,)64ππθ∈时,0y '>, y 是θ的增函数,所以当6πθ=时,min 120102y -⨯=1010+=+,此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离ABkm 处.所以三条排污管管道总长最短为)10km + 10.10π【解析】10.由180π=,则可得解. 解:因为180π=, 则1810π=,故答案为：10π. 11.280【解析】11.由与α终边相同的角为360k α⋅+，()k ∈Z ，再将角α的值代入，确定整数k 的值即可. 解：因为与α终边相同的角为360k α⋅+，()k ∈Z ， 当1000α=时，又β是与α终边相同的最小正角， 则β=(2)3601000280-⨯+=, 故答案为：280. 12.1【解析】12.由扇形的面积公式12S lr =运算即可得解. 解：因为扇形的弧长为2，半径为1， 由扇形的面积公式12S lr =可得：扇形面积是12112S =⨯⨯=， 故答案为：1.13.【解析】13. 试题由于，所以，14.12【解析】14.由两角和的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-运算即可得解. 解：因为()()()()1cos 1cos 1sin 1sin 12x x x x +--+-=， 由两角和的余弦公式可得1cos[(1)(1)]2x x ++-=， 即1cos 22x =， 故答案为：12. 15.35【解析】15.由22sin cos 1θθ+=，结合象限角的符号可得3cos 5θ=-，再利用诱导公式即可得解. 因为4sin 5θ=，2πθπ<<，所以3cos 5θ===-， 所以3sin cos 25πθθ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故答案为：35. 16.514【解析】16. 由()()44ππααββ-=+-+，再结合两角差的正切公式计算即可. 解：因为21tan(),tan()344παββ+=+=， 则tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+-+-=+-+=+++215342114134-==+⨯， 故答案为：514. 17.-0.25.【解析】17.试题分析：由正弦定理得sinA:sinB:sinC ::2:3:4a b c ==， 所以222cos 0.252a b c C ab+-==-. 故答案为：-0.25.18.30︒或150︒【解析】18. 由三角形的面积公式1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅，再将已知条件代入即可得解.解：因为已知AB =2AC =，面积S ∆= 由三角形的面积公式1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅可得，12sin 2A ⨯⨯=， 解得1sin 2A =， 又()0,180A ∈，所以30A =或150︒，故答案为：30︒或150︒. 19.2sin,(0,2)2c d c π=∈【解析】19.由弧长公式可得AOP c ∠=，所以(cos ,sin )P c c ，又(1,0)A ，再由两点距离公式运算即可得解.解：因为此圆为单位圆， 又点P 所转过的弧长为c ，则AOP c ∠=， 所以(cos ,sin )P c c ，又(1,0)A ，则2sin2c d ===，(0,2)c π∈ 故答案为：2sin,(0,2)2c d c π=∈.。
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
2018-2019学年上海市浦东新区杨思高中高一(上)期中数学试卷(附详解)
2018-2019学年上海市浦东新区杨思高中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共72.0分）1.已知集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|x2−4x<0}，则A∩B=()A. {x|−1<x<4}B. {x|0<x<4}C. {0,1,2,3}D. {1,2,3}2.已知a，b∈R，复数z1=−1+ai，z2=b−3i(i为虚数单位)，若z1=z2−，则a+b=()A. 1B. 2C. −2D. −43.在区间[1,4]上随机取一个数x，则x>3的概率为()A. 13B. 23C. 14D. 344.下列等式恒成立的是()A. sin(2π−α)=sinα(α∈R)B. cos(−α)=−cosα(α∈R)C. cos(π2+α)=sinα(α∈R) D. tan(π−α)=−tanα5.函数f(x)=√x23sinx的图象可能是()A. B.C. D.6.“数列{a n}为常数列”是“数列{a n}为等比数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是()(不计氟原子的大小)A. 4√23a3 B. 8√23a3 C. 4√2a3 D. 8√2a38.已知函数f(x)=sinx−cosx，则下列结论中正确的是()A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的最大值为2C. f(x)在区间(0,3π4)上单调递增 D. f(x)的图象关于x=π4对称9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √33B. √22C. √63D. √3210.今年国庆假日期间甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行，每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方，且每组去的地方不同．已知甲不想去云南，乙只想去广西，其余4人这4个地方都想去，则他们分组旅行的方案种数为()A. 24B. 30C. 18D. 3611.说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为√7：3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD=15°，从A处沿山坡往上前进66m到达B处，在山坡B处测得∠CBD=30°，则宝塔CD的高为()A. 44mB. 42mC. 48mD. 46m12.已知定义在R上的函数f(x−1)的图象关于x=1对称，当x>0时，f(x)单调递减，若a=f(0.5−1.1)，b=f(log0.53)，c=f(log32)，则a，b，c的大小关系是()A. c>b>aB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b13.已知a.b.c∈R，命题“ac=bc”是“a=b”的()A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件14.若a、b、c∈R且a>b，则下列不等式中一定成立的是()A. a+b≥b−cB. (a−b)c2≥0C. c2a−b>0 D. ac>bc15.已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q∪P=P，那么a的值是()A. 0，1或−1B. 1或−1C. −1D. 116.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有()A. 4个B. 6个C. 8个D. 9个二、单空题（本大题共16小题，共56.0分）17.设向量a⃗=(1,2),b⃗ =(m,1)，且b⃗ //(a⃗+b⃗ )，则实数m=______．18.已知双曲线E：x23−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±√3x，则双曲线E的焦距等于______．19.若直线y=a与函数y=3x−x3的图像有三个交点，则实数a的取值范围是______．20.如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各面上的射影可能是______.(写出所有可能的图的序号)21.若P={1,2,3}，Q={1,3,9}，则P∪Q=______ ．22.函数y=√x−1的定义域为______ ．23.写出命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”的否命题：______ ．24.设全集I={2,3,5}，A={2,|a−5|}，∁I A={5}，则a=______．25.设非空集合A={a|a具有性质α}，B={b|具有性质β}，若α是β的充分非必要条件，则集合A与集合B之间的关系为______．26.不等式2x<1的解集是______．27.若f(x+1)=x2，则f(3)=．28.已知U=R，集合A={x|x<1或x>2}，B={x|x>a}，若∁U A⊆B，则实数a的取值范围是______．29.若x>1，则x+4x−1的最小值为______．30.已知不等式ax2−5x+b>0的解集是{x|−3<x<−2}，则不等式bx2−5x+a>0的解是______．31.已知x>0，y>0且1x +9y=1，求x+y的最小值为．32.定义：关于x的不等式|x−A|<B(B>0)的解集叫A的B邻域，若a+b−1的a+b邻域为区间(−1,1)，则a2+b2的最小值是______．三、解答题（本大题共12小题，共134.0分）33.在等差数列{a n}中，a4=−6，且a2、a3、a5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{a n}的公差不为0，设b n=3a n，求数列{b n}的前n项和T n．34.某村为巩固脱贫成果，防止返贫致贫，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100件作为样本检测其质量指标值(质量指标值越大，质量越好)，检测结果如表所示：已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如表所示：指标区间[70,90)[90,100)[100,120]等级二级一级特级纯利润3050100(1)将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；(2)从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．35.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1A=4，AB=AD=2，E为A1D1的中点．平面EC1C与棱AD交于点F．(Ⅰ)证明：EF//平面B1BCC1；(Ⅱ)点M为棱AA1上一点，且AMAA1=14，求直线MF与平面FBC1所成角的大小．36.已知函数f(x)=ln(x+m)+n，在x=1处的切线方程为x−y=0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)≤ae x−1对定义域内x 恒成立，求a 的取值范围．37. 已知抛物线C ：y 2=2px ，(p >0)的焦点与椭圆M ：x 24+y 23=1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程．(2)直线y =x +m 与抛物线C 交于A ，B 两点，当m 为何值时，以AB 为直径的圆，恒过原点O ．38. 已知曲线C 1：{x =−1+cost y =3+sint (t 为参数)，C 2：{x =3cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)求C 1，C 2的普通方程；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，C 2上的点Q 对应的参数θ=π，求|PQ|．39. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −2|的定义域为R ．(Ⅰ)当a =5时，求不等式f(x)>9的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．40.按要求证明下列命题：(1)(用分析法证明)已知a，b是不相等的正数，求证：a3+b3>a2b+ab2；(2)(用数学归纳法证明)−1+3−5+⋯+(−1)n(2n−1)=(−1)n n(n∈N∗).41.设全集U=R，集合A={x|x2−3x+2≤0}，B={x||2x+3|>5}．(1)求A∪B；(2)求A∩∁U B.42.已知函数f(x)=ax2+2ax−3，对任意实数x都有f(x)<0成立，求实数a的取值范围．43.如图设计一幅矩形宣传画，要求画面(阴影部分)面积为4840cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？44.已知关于x的不等式kx−k2−9>0(k∈R)的解集为A．x−6(1)试用区间表示集合A；(2)我们把区间(a,b)叫有界连续开区间，把b−a叫有界连续开区间的长度，若集合A为有界连续开区间，求集合A的长度L的最小值，并指出当L取最小值时k的取值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x∈Z|x>−1}，B={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，∴A∩B={1,2,3}，故选：D．先解一元二次不等式求出集合B，再利用交集运算即可求解．此题考查了交集运算，不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：z1=−1+ai，z2=b−3i(i为虚数单位)，若z1=z2−，则−1+ai=b+3i，故a=3，b=−1，故a+b=2，故选：B．根据复数相等，得到对应关系，求出a，b的值，计算即可．本题考查了共轭复数，考查对应关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：在区间[1,4]上随机取一个数x，则区间长度为3，x>3即x在区间[3,4]上，则区间长度为1，．故所求的概率P=13故选：A．根据已知条件，结合几何概型的概率公式，即可求解．本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A ：sin(2π−α)=−sinα，故A 错， 对于B ，cos(−α)=cosα，故B 错， 对于C ，cos(π2+α)=−sinα，故C 错， 对于D ，tan(π−α)=−tanα，故D 正确， 故选：D ．根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为f(−x)=√(−x)23sin(−x)=−√x 23sinx =−f(x)， 所以函数f(x)为奇函数， 故选项D 错误；当0<x <π2时，f(x)>0，故选项C 错误； 当π<x <3π2时，f(x)<0，故选项A 错误，选项B 正确．故选：B ．利用奇偶性判断选项D ，由函数值的正负判断选项A ，B ，C ．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：若数列{a n }为常数列，则数列{a n }不一定为等比数列，比如：{a n }的各项都是0，故不是充分条件，若数列{a n }为等比数列，则数列{a n }不一定为常数列，不是必要条件， 故选：D ．根据充分必要条件的定义以及数列问题判断即可．本题考查了充分必要条件，考查数列以及转化思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：六氟化硫(SF6)的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，棱锥的高为：√4a2−(√2a)2，正四棱锥的体积为：13×2a×2a×√4a2−(√2a)2=4√23a3，六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是：8√23a3．故选：B．六氟化硫(SF6)的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，求解正四棱锥的体积，即可得到结果．本题考查棱锥的体积的求法，多面体的体积的求法，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，函数f(x)的最小正周期为T=2π，故选项A错误；f(x)的最大值为√2，故选项B错误；因为x∈(0,3π4)，所以x−π4∈(−π4,π2)，由正弦函数的单调性可知，f(x)在(−π4,π2)上单调递增，故选项C正确；因为f(π4)=0，故函数f(x)的图象不关于x=π4对称，故选项D错误．故选：C．利用辅助角公式化简f(x)，由周期公式即可判断选项A，利用三角函数的有界性即可判断选项B，由正弦函数的单调性即可判断选项C，由三角函数的对称性即可判断选项D．本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，辅助角公式的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的有界性、单调性、对称性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：如图，由题意，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则P为OA的中垂线与椭圆的交点，不妨取P(a2,a2 )，代入x2a2+y2b2=1(a>b>0)，得14+a24b2=1，∴a2=3b2，又b2=a2−c2，∴2a2=3c2，解得e=√63(0<e<1)．故选：C．由题意画出图形，可得点P的坐标，代入椭圆方程，结合已知条件即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】A【解析】解：若甲和乙都去广西桂林，则有C41C31=12种方案，若甲不去广西桂林，则有C21C42=12种方案．故他们分组旅行的方案种数为12+12=24．故选：A．根据已知条件，分甲和乙都去广西桂林，甲不去广西桂林两种情况讨论，并对所求的结果求和，即可求解．本题主要考查了组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示：由于∠CAD=15°，∠CBD=30°，所以∠BCA=15°，所以△ABC为等腰三角形，所以AB=BC=66，利用三角形内角和定理：得到∠BDC=105°，所以∠BCD=45°，在△BCD中，利用正弦定理：CDsin30∘=BCsin105∘，整理得CD=44．故选：A．直接利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：因为函数f(x−1)的图象关于x=1对称，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数，因为y=0.5x在R上为单调递减，所以0.5−1.1>0.5−1=2，y=log0.5x在(0,+∞)上为单调递减函数，log0.54=−2，所以−2<log0.53<−1，y=log3x在(0,+∞)上为单调递增函数，所以0<log32<1，因为当x>0时，f(x)单调递减，且a=f(0.5−1.1)，b=f(log0.53)，c=f(log32)，所以c>b>a．故选：A．先确定函数f(x)为偶函数，然后利用指数函数与对数函数的单调性，结合f(x)的单调性，比较大小即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数的奇偶性、对称性以及单调性的应用，指数函数与对数函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．13.【答案】C【解析】解：若a=b成立，则ac=bc也成立但ac=bc，c=0时，a=b不一定成立故“ac=bc”是“a=b”的必要非充分条件故选：C．先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系14.【答案】B【解析】解：对于A，c的值未知，无法判断a+b≥b−c，故A错误，对于B，∵a>b，∴a−b>0，又∵c2≥0，∴(a−b)c2≥0，故B正确，=0，故C错误，对于C，当c=0时，c2a−b对于D，当c=0时，ac=bc，故D错误．故选：B．根据已知条件，结合特殊值法和不等式的性质，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：集合P={x|x2=1}={−1,1}，集合Q={x|ax=1}，因为Q∪P=P，所以Q⊆P，当Q=⌀时，则a=0；当Q={−1}时，则−a=1，解得a=−1；当Q={1}时，则a=1．综上所述，a的值为0，−1，或1．故选：A．先求出集合P，由题意可得Q⊆P，然后利用子集的定义，分Q=⌀，Q={−1}和Q={1}三种情况，分别求解a的值，即可得到答案．本题考查了集合的运算，解题的关键是正确理解集合并集、子集以及空集的定义，考查了分类讨论数学思想方法的运用，属于基础题．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，考查学生知识应变迁移能力，属于基础题．读懂“孪生函数”的定义，所谓的“孪生函数”就是相同的函数值和相同的解析式，但定义域不同，即可求解．【解答】解：令2x2+1=5得x=±√2，令2x2+1=19得x=±3，则“孪生函数”的定义域共有{√2,3}，{√2,−3}，{−√2,3}，{−√2,−3}，{√2,−√2,3}，{√2,−√2,−3}，{√2,−3,3}，{−√2,−3,3}，{√2,−√2,−3,3}，共9个．故选D．17.【答案】12【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,2),b⃗ =(m,1)，则a⃗+b⃗ =(m+1,3)，若b⃗ //(a⃗+b⃗ )，则有3m=m+1，解可得m=12；故答案为：12．根据题意，求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得答案．本题考查向量平行的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．18.【答案】4√3【解析】解：因为双曲线E：x23−y2b2=1(b>0)，所以a=√3，渐近线方程为y=±ba x=√3=±√3x，所以b=3，所以c=√a2+b2=√3+9=2√3，所以焦距2c=4√3，故答案为：4√3．由双曲线E的方程，得a=√3，由渐近线方程，得b的值，再计算c=√a2+b2，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．19.【答案】(−2,2)【解析】解：函数y=3x−x3，则y′=−3x2+3=3(x+1)(1−x)，当x<−1时，y′<0，则函数y单调递减，当−1<x<1时，y′>0，则函数y单调递增，当x>1时，y′<0，则函数单调递减，所以当x=−1时，函数取得极小值−2，当x=1时，函数取得极大值2，所以函数y=3x−x3的图像如图所示，因为直线y=a与函数y=3x−x3的图像有三个交点，所以实数a的取值范围为(−2,2)．故答案为：(−2,2)．求出函数y=3x−x3的导函数，利用导数研究函数的单调性，结合函数极值的定义确定函数的极大值与极小值，从而作出函数的图像，由图像即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数单调性的应用，利用导数研究函数极值的应用，函数图像交点个数的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】②③【解析】解：根据几何体的直观图中，点E和F在面的中心位置，所以在左右面的射影为③，在上下面的射影为②；在前后面的射影为②．故答案为：②③．直接利用几何体中直观图和平面图的关系求出结果．本题考查的知识要点：几何体中直观图和平面图的关系，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．21.【答案】{1,2,3,9}【解析】解：∵P={1,2,3}，Q={1,3,9}，则P∪Q={1,2,3}∪{1,3,9}={1,2,3,9}．故答案为：{1,2,3,9}．直接利用并集运算求解．本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．22.【答案】{x|x≥1}【解析】解：要是函数有意义，须x−1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题．23.【答案】若a<0或b<0，则ab<0【解析】【解答】解：∵命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”，∴它的否命题是：a<0或b<0，则ab<0．故答案为：若a<0或b<0，则ab<0．【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出即可．本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题与否命题的相互关系进行解答，是基础题．24.【答案】2或8【解析】解：∵全集I={2,3,5}，A={2,|a−5|}，∁I A={5}，∴A={2,3}，即|a−5|=3，解得：a=8或a=2，则a=2或8．故答案为：2或8由全集I及A的补集确定出A，求出a的值即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．25.【答案】A⊊B【解析】解：非空集合A={a|a具有性质α}，B={b|具有性质β}，若α是β的充分非必要条件，集合A与集合B之间的关系为A⊊B．故答案为：A⊊B．直接利用集合间的关系，充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．26.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】解：不等式2x <1，等价于2x−1<0，即2−xx<0．可得：(2−x)x<0．∴x<0或x>2．∴不等式2x<1的解集为{x|x<0或x>2}故答案为{x|x<0或x>2}．移项通分，转化为分式结构，再转化为二次不等式求解，本题考查不等式的解法，分式不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．27.【答案】4【解析】【分析】本题考查了函数解析式和函数值的求法．先求出函数f(x)的解析式，再求出f(3)的值即可．【解答】解：∵f(x+1)=x2，∴令x+1=t，则x=t−1，f(t)=(t−1)2，f(3)=(3−1)2=4．故答案为：4．28.【答案】(−∞,1)【解析】解：∵全集U =R ，A ={x|x <1或x >2}，∴∁U A ={x|1≤x ≤2}，∵B ={x|x >a}，若∁U A ⊆B ，∴a <1，则a 的取值范围为a <1．故答案为：(−∞,1)．由全集R 及A ，求出A 的补集，根据∁U A ⊆B ，确定出a 的范围即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．29.【答案】5【解析】解：∵x >1，∴x −1>0∴x +4x−1=x −1+4x−1+1≥2√(x −1)(4x−1)+1=5(当x =3时等号成立)，故答案为：5根据x >1推断出x −1>0，然后把x +4x−1整理成x −1+4x−1+1，进而利用基本不等式求得其最小值．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则．30.【答案】(−12,−13)【解析】解：∵不等式ax 2−5x +b >0的解集是{x|−3<x <−2}，∴ax 2−5x +b =0的解是x =−3，x =−2∴−3+(−2)=5a ，(−3)⋅(−2)=b a ，∴a =−1，b =−6，不等式bx 2−5x +a >0，即−6x 2−5x −1>0，∴6x2+5x+1<0，∴(2x+1)(3x+1)<0，解得−12<x<−13，∴不等式的解集是(−12,−13)，故答案为：(−12,−13).根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．31.【答案】16【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式，即可得出．【解答】解：∵x>0，y>0，且1x +9y=1，∴x+y=(x+y)(1x +9y)=10+yx+9xy≥10+2√yx⋅9xy=16，当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．32.【答案】12【解析】解：由题意得：|x−(a+b−1)|<a+b的解集为区间(−1,1)，由|x−(a+b−1)|<a+b，得−a−b<x−(a+b−1)<a+b，∴x∈(−1,2(a+b)−1)，∴2(a+b)−1=1，得a+b=1，∴a2+b2≥12(a+b)2=12，当且仅当a=b时取等号，则a 2+b 2的最小值是12． 故答案为：12．根据新定义由题意得：|x −(a +b −1)|<a +b 的解集为区间(−1,1)，从而得到关于a ，b 的等量关系，再利用基本不等式求得a 2+b 2的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．33.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=−6，得a 1+3d =−6①；又a 2，a 3，a 5成等比数列，得a 32=a 2a 5，即a 1+2d =(a 1+d)(a 1+4d)②，由①②解得d =0或d =−2，当d =0时，a n =−6，当d =−2时，a n =a 4+(n −4)d =2−2n ；(Ⅱ)由数列{a n }的公差不为0，得a n =2−2n ，所以b n =32−2n ， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =30+3−2+3−4+⋯+32−2n=1−(19)n1−19=98−91−n 8．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意可得{a 1+3d =−6a 1+2d =(a 1+d)(a 1+4d)，从而解出d 值后即可得到{a n }的通项公式；(Ⅱ)由题意可得b n =32−2n ，从而利用等比数列的前n 项和公式即可求出T n ． 本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．34.【答案】解：(1)由表格可得，甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为36， 故频率为36100=0.36，乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为30， 故频率为30100=0.3，由此估计：甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：0.36， 乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：0.3； (2)甲种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为： x 1−=1100×[(8+20)×30+36×50+(24+12)×100]=62.4(元)， 乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：x 2−=1100×[(6+26)×30+38×50+(22+8)×100]=58.6(元)， ∴x 1−>x 2−，故从平均数的角度看，村民选择甲种中药材加工方式获利更多．【解析】(1)根据频数估计估计即可；(2)求出平均数，根据平均数判断即可． 本题考查了通过频数，频率估计概率，考查平均数的计算，是基础题．35.【答案】(Ⅰ)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1//平面AA 1D 1D ，因为平面EC 1C ∩平面AA 1D 1D =EF ，CC 1⊂平面EC 1C ，所以CC 1//EF ，因为EF ⊄平面B 1BCC 1，CC 1⊂平面B 1BCC 1，所以EF//平面B 1BCC 1．(Ⅱ)解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F(1,0,0)，M(2,0,1)，B(2,2,0)，C 1(0,2,4)， 则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)，FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,4)， 设平面FBC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +2y =0−x +2y +4z =0，取x =2，则y =−1，z =1，所以n ⃗ =(2,−1,1)， 设直线MF 与平面FBC 1所成的角为θ， 则sinθ=|cos <n ⃗ ，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√4+1+1=√32， 所以θ=π3，所以直线MF 与平面FBC 1所成角的大小为π3．【解析】(Ⅰ)由长方体的结构特征可得CC 1//平面AA 1D 1D ，由线面平行的性质定理可得CC 1//EF ，由线面平行的判定定理即可证得EF//平面B 1BCC 1；(Ⅱ)以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出向量MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面FBC 1的一个法向量，即可求解直线MF 与平面FBC 1所成角的大小． 本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．36.【答案】解：(1)由题可知，f(1)=ln(1+m)+n =1，f′(x)=1x+m ⇒f′(1)=11+m =1， 联立以上两式解得m =0，n =1， ∴f(x)=lnx +1；(2)f(x)≤ae x−1对定义域内x 恒成立⇔a ≥lnx+1e x−1对任意x >0恒成立．即g(x)=lnx+1e x−1的最大值不大于a ， ∵g′(x)=1x−lnx−1e x−1，且g′(1)=0，又由y =1x −lnx −1在(0,+∞)单调递减， ∴g(x)在(0,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减 ∴a ≥g max (x)=g(1)=1，故满足f(x)≤ae x−1对定义域内的x 恒成立的实数a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)求出原函数的导函数，利用f′(1)=1，f(1)=1联立方程组即可求得m 与n 的值，则函数解析式可求； (2)把问题转化为a ≥lnx+1e x−1对任意x >0恒成立，令g(x)=lnx+1e x−1，利用导数求其最大值，即可求得a 的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，是中档题．37.【答案】解：(1)因为椭圆x 24+y23=1的右焦点为(1,0)，------------------------------------(1分)又因为y 2=2px ，(p >0)的焦点为(P2,0)，-----------------------------------------(2分) 所以P2=1，即P =2，所以抛物线的方程为y 2=4x.-------------------------------------------------------(4分) (2)因为直线y =x +m 与抛物线C 交于A ，B 两点，联列方程{y =x +my 2=4x ，可得x 2+2(m −2)x +m 2=0，∴x 1+x 2=4m +4，x 1x 2=m 2，-------------------(6分)由Δ=4(m −2)2−4m 2>0，解得m <1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，O(0,0)， 以AB 为直径的圆，恒过原点O ． 则OA ⊥OB ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，------------------------------------------------------------------------------(8分) OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m 2+4m =0， 解得m =−4，m =0，所以当m =−4，m =0时，AB 为直径的圆，恒过原点O.-----------------------------(12分)【解析】(1)求出椭圆的右焦点为(1,0)，抛物线的焦点，即可求出P =2，得到抛物线方程．(2)联立{y =x +my 2=4x ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合以AB 为直径的圆，恒过原点O ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求解m 即可． 本题考查抛物线与椭圆的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．38.【答案】解：(1)曲线C 1：{x =−1+costy =3+sint (t 为参数)，转换为普通方程为(x +1)2+(y −3)2=1；曲线C 2：{x =3cosθy =sinθ(θ为参数)，转换为普通方程为x 29+y 2=1． (2)由(1)曲线C 1：{x =−1+costy =3+sint(t 为参数)，P 对应的参数为t =π2，所以P(−1,4)，曲线C 2：{x =3cosθy =sinθ(θ为参数)，点Q 对应的参数θ=π， 故Q(−3,0)，故|PQ|=√(−1+3)2+(4−0)2=2√5．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用转换关系，首先求出点P 和Q 的直角坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．39.【答案】解：(Ⅰ)当a=5时，f(x)=|x+5|+|x−2|．当x≥2时，由f(x)>9，得2x+3>9，解得x>3；当−5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；当x<−5时，由f(x)>9，得−2x−3>9，解得x<−6．综上，当a=5时，不等式f(x)>9的解集为{x|x<−6或x>3}．(Ⅱ)∵f(x)=|x+a|+|x−2|≥|x+a−x+2|=|a+2|，当(x+a)(x−2)≤0时等号成立，∴不等式f(x)≥3恒成立，等价于|a+2|≥3．∴a≤−5或a≥1(经检验符合题意)．∴实数a的取值范围为(−∞,−5]∪[1,+∞)．【解析】(Ⅰ)对x分类讨论去绝对值，求解不等式即可；(Ⅱ)由绝对值不等式的性质可求得f(x)≥|a+2|，则不等式f(x)≥3恒成立，等价于|a+2|≥3，解绝对值不等式即可得a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．40.【答案】(1)证明：要证明a3+b3>a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2−ab+b2)>ab(a+b)，………(2分)只需证明(a+b)(a2−ab+b2)−ab(a+b)>0，………(4分)只需证明(a+b)(a2−2ab+b2)>0，………(6分)只需证明(a+b)(a−b)2>0，………(8分)而已知a，b是不相等的正数，所以(a+b)(a−b)2>0成立，故a3+b3>a2b+ab2成立．………(9分)(2)证明：①当n=1时，左边=−1，右边=−1，所以等式成立．……(11分)②假设当n=k时，等式成立，即−1+3−5+⋯+(−1)k(2k−1)=(−1)k k成立．………(13分)那么，当n=k+1时，−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2(k+1)−1)=(−1)k k+(−1)k+1(2(k +1)−1)………(15分)而(−1)k k +(−1)k+1(2(k +1)−1)=−(−1)k+1k +(−1)k+1(2k +1)=(−1)k+1(k +1)………(17分)这就是说，当n =k +1时等式成立．根据(1)和(2)，可知−1+3−5+⋯+(−1)n (2n −1)=(−1)n n 对任意正整数都成立． ……(18分)【解析】(1)利用分析法的证明步骤，逐步证明即可． (2)利用数学归纳法的证明步骤，证明结果即可．本题考查不等式的证明，分析法的应用，以及数学归纳法的应用，是中档题．41.【答案】解：(1)集合A ={x|x 2−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}，B ={x||2x +3|>5}={x|x <−4或x >1}，所以A ∪B ={x|x <4或x ≥1}； (2)由(1)可知，∁U B ={x|−4≤x ≤1}， 所以A ∩∁U B ={1}．【解析】(1)先利用一元二次不等式以及绝对值不等式的解法求出集合A ，B ，然后由并集的定义求解即可；(2)先由补集的定义求出∁U B ，再利用交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了结合交集、并集、补集定义的理解与应用，一元二次不等式以及绝对值不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．42.【答案】解：①当a =0时，−3<0恒成立；②当a ≠0时，要使对任意实数x 都有f(x)<0成立， 则{a <04a 2+12a <0，解得−3<a <0． ∴a ∈(−3,0]．【解析】直接分二次项系数为0和不为0求解，当二次项系数不为0时，由a <0，且判别式小于0联立不等式组得答案．本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”求解。
2018-2019年上海市七宝中学高一下期中数学测试
七宝中学2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试一、填空题1.函数()x y 4sin 21-=的最小正周期是________.2.函数x y 2cos =的对称轴方程是________.3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 3=上，则=θ2sin _______.4.若锐角βα、满足()，135cos 53cos -=+=βαα则=βcos ______.5.函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________.6.已知23sin 52x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则=x ______(用反正弦表示).7.方程2cos 3sin =-x x 的解是_______.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，、、c b a 面积为S ，且()，224c b a S -+=则=C cos _______.9.若将函数()()cos 08f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是_______.10.已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意，R x ∈都有不等式()()()21x f x f x f ≤≤恒成立，则12x x -的最小值为_________.11.已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()x f 是奇函数；②函数()x f 在区间[]ππ，22-上共有13个零点；③函数()x f 在区间()10，上单调递增；④函数()x f 的图像是轴对称图像。
其中真命题有________(填所有真命题的序号).12.已知k 是正整数，且，20191≤≤k 则满足方程：︒⋯⋅︒⋅︒=︒+⋯+︒+︒k k sin 2sin 1sin sin 2sin 1sin 的k 有_______个.三、选择题13.“22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，”是“()x x =arcsin sin ”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分条件又非必要条件14.将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点4P t π⎛⎫⎪⎝⎭，向左平移()0s s >个单位，得到点，'P 若点'P 位于函数x y 2sin =的图像上,则（）A .s t ，21=的最小值为6πB .s t ，23=的最小值为6πC .s t ，21=的最小值为12πD .s t ，23=的最小值为12π15.若方程0sin cos 212=+--a x x 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-89，B .⎦⎤⎢⎣⎡-892，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡890，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-891，16.如图，在△ABC 中，BC =，a AC =，b AB =，c O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD :OE :OF等于（）A .cb a ::B .C B A cos :cos :cos C .C B A sin :sin :sin D .cb a 1:1:1三、解答题17.已知()7cos 2325θπ-=，且θ是第四象限角。
2018-2019学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试题 解析版
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可通过令 并对 进行运算即可判断出①是否错误；通过令 即可判断出②是否正确；通过取 可判断出③是否正确；最后可通过 判断出复数的虚部为 即可得出④是否正确。
【详解】
①：令 ，则 ，若 ，则有 ，即 ，错误；
②： ，若 ， ，不是纯虚数，错误；
【详解】
设 ，以 所在直线为x轴，以 得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则 ，
设P的坐标为 ，则 ，
由题意， ，即 ．
当 时，方程化为 ，表示直线；
当 时，方程化为 ，表示圆；
当 时，方程化为 ，表示双曲线；
当 且 时，方程化为 ，表示椭圆，
所以动点P的轨迹可能是：①直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查点的轨迹问题，主要考查直线、圆以及圆锥曲线的轨迹问题，能否明确每一种轨迹方程的特征是解决本题的关键，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题
18．以下四个命题：
①满足 的复数只有 ， ；
②若a、b是两个相等的实数，则 是纯虚数；
③ ；
④复数 的充要条件是 ；
其中正确的有（ ）
把点 代入方程可得 或 ，
故抛物线的标准方程 或 ，故选D。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用，可设抛物线的标准方程为 或 ，考查计算能力，是简单题。
3．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】由方程可知，双曲线焦点在 轴上，
②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（ ） A ．()()tan πtan αα+=-B ．πsin cot 2cos ααα⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．()1csc sin παα=-D ．()()2sec 1sec 1tanααα-+=【答案】A【解析】结合三角函数诱导公式,对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】α是象限角，对于选项A, ()()tan πtan tan ααα+=≠-,即A 不正确;对于选项B,πcos πsin 2cot π2cos sin2ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭,即B 正确; 对于选项C, ()11csc sin sin πααα==-,即C 正确; 对于选项D,()()2222221111cos sin sec 1sec 1111tan cos cos cos cos cos αααααααααα-⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即D 正确. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的运用,考查了三角函数的化简,属于基础题. 2．若5sin 213θ=，12cos 213θ=-，则角θ的终边在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】由正弦和余弦的二倍角公式,可求得sin ,cos θθ的值,进而通过判断其符合,可确定角θ的终边所在象限. 【详解】 由题意,512sin 2sincos20221313θθθ⎛⎫==⨯⨯-< ⎪⎝⎭,225119cos 12sin 120213169θθ⎛⎫=-=-⨯=> ⎪⎝⎭,故角θ的终边在第四象限. 故选:D. 【点睛】终边在第一象限的角,其正弦为正,余弦为正,正切为正; 终边在第二象限的角,其正弦为正,余弦为负,正切为负; 终边在第三象限的角,其正弦为负,余弦为负,正切为正; 终边在第四象限的角,其正弦为负,余弦为正,正切为负.3．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.4．对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ∆，那么下列命题正确的是（ ）． A ．若{}n a M ∆，则数列{}n a 各项均大于或等于M ； B ．若{}n a M ∆，则{}22n a M ∆；C ．若{}n a M ∆，{}n b M ∆，则{}2n n a b M +∆；D ．若{}n a M ∆，则{}2121n a M +∆+； 【答案】D【解析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确.【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或等于M 不成立，故A 不正确；B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}22n a M ∆不正确，故B 错误； C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，则{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；D 中，若{}n a M ∆，则{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故{}2121n a M +∆+正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题.二、填空题5．若扇形的圆心角为2π3，半径为2，则扇形的面积为______. 【答案】4π3【解析】利用扇形面积公式212S R α=可求出答案. 【详解】由题意,扇形的面积为22112π42π2233S R α==⨯⨯=. 故答案为:4π3. 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 6．若点()3,P y -是角α终边上的一点，且4sin 5α=-，则y =______. 【答案】-4【解析】由正弦的定义,可得sin α=,即可求出y 的值.【详解】由题意,4sin 5α==-,解得4y =-.故答案为:-4. 【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题. 7．若2sin cos 3αα+=，则sin 2α=______. 【答案】59-【解析】将2sin cos 3αα+=的等号两端分别平方,结合正弦的二倍角公式可求出答案. 【详解】由题意,()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin 294ααααααα+=++=+=,解得5sin 29α=-.故答案为:59-. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用,考查了正弦的二倍角公式的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.8．若等差数列{}n a 中，63a =，{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =______. 【答案】33【解析】利用等差数列的前n 项和公式()11111112a a S +=,结合11162a a a +=,可求出答案. 【详解】等差数列{}n a 中,()1111161111113332a a S a +===⨯=.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的运用,考查了等差中项的运用,属于基础题. 9．若3cos 5α=且tan 0α<，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】45-【解析】由三角函数诱导公式可得πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再结合22sin 1cos αα=-,可求出答案. 【详解】由题意,222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.因为tan 0α<,cos 0α>,所以sin 0α<,即4sin 5α==-. 则π4cos sin 25αα⎛⎫-==-⎪⎝⎭.故答案为:45-. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的运用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，∴S 7=71(12)12a --=381，解得a 1=3．故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.11．将式子cos αα+化成()cos A αϕ+（其中0A >，[)π,πϕ∈-）的形式为______.【答案】π2cos 3α⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】结合辅助角公式,可求得答案. 【详解】由题意,1πcos 2cos 2cos 23ααααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:π2cos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 辅助角公式:sin cos )a x b x x j ++其中tan b aϕ=; sin cos )a x b x x ψ+-其中tan a bψ=. 12．若3ππ2α<<且4cos 5α=-，则tan 2α=______. 【答案】-3【解析】由3ππ2α<<,可得π3π224α<<,结合222cos 12sin 2sin cos 122αααα⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可求得sin2α,cos2α,进而可求出tan2α.【详解】由题意,24cos 12sin25αα=-=-,解得29sin 210α=, 则221cos1sin 2210αα=-=, 3ππ2α<<,则π3π224α<<,sin 0,cos 022αα><,故sin2α=,cos 2α=,sin 2tan 32cos2ααα==-. 故答案为3-. 【点睛】本题考查了三角函数求值,考查了二倍角公式的运算,属于基础题. 13．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为______【答案】262n n -+ 【解析】观察三角形数阵，可得每一行的数放在一起，是从1开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数为前n 项数据的个数，可先判断第n ﹣1行的最后一个数，然后递推出所得数据即可． 【详解】解：前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，即22n n -个，所以，第n 行第3个数是全体正整数中第22n n-+3个，即为262n n -+．则所求数为262n n -+．【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．若tan α，tan β是方程250x ++=的两根，且α、ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=______.【答案】2π3-【解析】由一元二次方程的根与系数关系,可得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值,进而可求得()tan αβ+的值,再结合αβ+的范围,可求得答案. 【详解】由题意,tan tan tan tan 5αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-又tan tan 0tan tan 0αβαβ+<⎧⎨>⎩,则tan 0,tan 0αβ<<,又因为α、ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以α、π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 则π0αβ-<+<,又()tan αβ+=故2π3αβ+=-. 故答案为:2π3-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的运用,考查了两角和的正切公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程：sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒⋅︒⋅⋯︒的k 有_______个.【答案】11【解析】由三角函数的值域可知，除1k =外当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k 的个数． 【详解】由三角函数的单调性及值域，可知sin1sin2sin 1k ︒︒⋯︒<．∴除1k =外只有当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，则1k =、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立， 满足条件的正整数k 有11个． 故答案为：11． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的图象和性质，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．三、解答题16．数列{}n a 的前n 项和n S 满足：27n S n =+，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】8,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】利用1n n n a S S -=-,可求出2n ≥时,n a 的表达式,然后验证1a 是否满足n a 的表达式即可. 【详解】当1n =时,11178S a ==+=,当2n ≥时,()12271721n n n a S S n n n -⎡⎤+--+=⎣⎦-=-=,显然,18a =不符合21n a n =-, 故通项公式8,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.故答案为:8,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 【点睛】已知n S 求n a 的3个步骤: (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()12n n n a S S n =-≥-便可求出当2n ≥时n a 的表达式；(3)注意检验1n =时的表达式是否可以与2n ≥的表达式合并． 17．已知tan 2α=.（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin cos 21ααα-+的值. 【答案】（1）-3；（2）13【解析】（1）由πtan tanπ4tan π41tan tan 4ααα+⎛⎫+=⎪⎝⎭-⋅,可求出答案; （2）由二倍角公式可得,222sin 22sin cos sin cos 21sin 2sin ααααααα=-++,然后分子分母同乘以21cos α,可得到原式22tan 23tan 3tan ααα==,可得到答案. 【详解】（1）πtan tanπ214tan 3π4121tan tan 4ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅；（2）222222212sin cos sin 22sin cos 2tan 211cos 1sin cos 21sin 2sin 3tan 3tan 33sin cos ααααααααααααααα⨯====⋅=-++⨯. 【点睛】本题考查了三角函数的二倍角公式的应用,考查了三角函数恒等变换,属于基础题. 18．已知{}n a 为等差数列，3810a a +=，66a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求25868a a a a +++⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）26n a n =-；（2）1472【解析】（1）由3810a a +=，66a =,可得11291056a d a d +=⎧⎨+=⎩,即可求出1,a d ,进而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）易知25868,,,,a a a a ⋅⋅⋅为等差数列,判断该数列的首项,项数和公差,再结合等差数列的求和公式可得到答案. 【详解】（1）依题意,由3810a a +=，66a =,得方程组11291056a d a d +=⎧⎨+=⎩（1a ，d 为首项和公差）, 解得142a d =-⎧⎨=⎩，∴{}n a 的通项公式为26n a n =-.（2）易知25868,,,,a a a a ⋅⋅⋅也为等差数列,该数列项数为6821233n -=+=项，首项22a =-，公差为36d =,()258682322232614722a a a a ⨯∴+++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯=. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求法,考查了等差数列前n 项和的运用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19．已知π0π2x y <<<<，()5sin 13x y +=. （1）判断tan tan x y +的正负性，并说明理由；（2）若1tan22x =，求cos2x 和cos y 的值. 【答案】（1）负数，理由见解析；（2）7cos 225x =-，16cos 65y =-【解析】（1）由()sin sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y+++=+==,并结合,x y 的范围,可判断原式的正负性;（2）由二倍角的正切公式,可求出tan x ,进而可求得sin ,cos x x ,结合余弦的二倍角公式,可求得cos2x ,再利用()()()cos cos cos cos sin sin y x y x x y x x y x =+-=+⋅++⋅⎡⎤⎣⎦可求得cos y 的值. 【详解】（1）依题意,()5sin sin cos cos sin 13x y x y x y +=+=, 5sin sin sin cos cos sin 13tan tan cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y++=+==, π02x <<Q ，ππ2y <<, cos 0x ∴>，cos 0y <513tan tan 0cos cos x y x y∴+=<，即为负. （2）由1tan 22x =,得22tan42tan 31tan 2xx x ==-， 则22sin cos 1sin 4cos 3π02x x x x x ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩,解得3cos 5x =，4sin 5x =. 所以27cos 22cos 125x x =-=-.由π02x <<，ππ2y <<,得π3π,22x y ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由()5sin 13x y +=,得()12cos 13x y +=-. ()()()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565y x y x x y x x y x ⎛⎫∴=+-=+⋅++⋅=-⨯+⨯=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的运用,考查了三角函数的二倍角公式、同角三角函数基本关系的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档题. 20．对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”.（1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值；（3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β.【答案】（1）38；（2）证明见解析，定值12；（3）7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=【解析】由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可. 【详解】（1）依题意：22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===；（2）由“余弦方差”定义得：()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200013cos sin cos 22θθθ=++ 32= 31232μ∴==为定值，与0θ的取值无关.（3）()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=， 分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+. 要使μ是一个与0θ无关的定值,则cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩,cos 2cos 2αβ=-,2α∴与2β终边关于y 轴对称或关于原点对称,又sin 2sin 21αβ+=-,得2α与2β终边只能关于y 轴对称,1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩, 又[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，则当72π6α=时,232π6β=; 当112π6α=时,192π6β=. 7π12α∴=，23π12β=或11π12α=，19π12β=.故7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=时,相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值. 【点睛】本题考查了新定义,考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.21．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，23327a b a b +=+=.（1）求{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设1n nc a =，*n ∈N ，若3c ，k c ，m c 成等差数列（k 、m 为正整数且3k m <<），求k 和m 的值；（3）设n B 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数p ，使得()3641n an B p ≥++对一切*n ∈N 均成立？若存在，求出p 的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）23m =，5k =；（3）存在，p 最大值为269-，理由见解析【解析】（1）由题可设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q >,可得217127d q d q ⎧++=⎨++=⎩,即可求出,d q ,从而可求得{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）由n a 可求得n c 的表达式,结合3c ，k c ，m c 成等差数列,可得32k m c c c =+,进而可求得,m k 的等式关系,结合,m k 的取值范围,可求出答案;（3）先求出n B 的表达式,将n a 与n B 代入不等式中,可得21632n n p -+≤-对一切*n ∈N 成立,即求21632n n -+-在*n ∈N 的最小值即可. 【详解】（1）依题意,设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q >,则2171270d q d q q ⎧++=⎪++=⎨⎪>⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩，21n a n ∴=-，12n n b -=.（2）121n c n =-， 依题意,32k m c c c =+，则21121521k m =+--（k 、m 为正整数且3k m <<）, 化简得：11324m k m -=+，又3k m <<,得113324m k m m -<=<+，解得3m >, 113112524224m k m m -==-++，因为k 为正整数,3k m <<，所以2450m +=， 即23m =，此时5k =.（3）依题意：122112nn n B -==--,则()21364211n n p -≥⋅-++对一切*n ∈N 成立,即21632n n p -+≤-对一切*n ∈N 成立,即求21632n n -+-在*n ∈N 的最小值,设n k =()*n ∈N 时,21632n n -+-取得最小值,则21621721623532323232k k k k k k k k -+++-+-+⎧-≤-⎨-≤-⎩, 即216235924283283291082kk k k k k-+-+⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎧⨯≥⎪⎝⎭⇔⎨⎨⨯≤⎩⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩, 解得33k ≤≤,即3k =.故21632n n -+-在*n ∈N 的最小值为2313632269⨯-+-=-. 所以存在p 最大值为269-满足题意. 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差中项的运用,考查了数列的最值问题,考查了不等式恒成立问题,属于难题.。
2019-2020学年浦东新区华东师大二附中高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年浦东新区华东师大二附中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.函数f(x)=cos2x+asinx在区间(π6,π2)上是减函数，则a的取值范围是()A. (2,4)B. (−∞,2]C. (−∞,4]D. [4,+∞)2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A. π3B. 2π3C. √3D. 23.函数f(x)=sin2x−sin(2x+π3)的最小值为()A. 0B. −1C. −√2D. −24.若当x=−π4时，函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最大值，则函数y=f(x−3π4)是()A. 奇函数且图象关于点(π2,0)对称B. 偶函数且图象关于点(π,0)对称C. 奇函数且图象关于直线x=π2对称D. 偶函数且图象关于点(π2,0)对称二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数的对称中心为_________．6.函数y=−2sin x−1，x∈[7π6,13π6)的值域是________．7.函数y=3−2sinx的单调递增区间为______ ．8.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2017)=________．9.若函数f(x)=x3+x，若f(a−2)+f(a2)≥0，则实数a的取值范围是______．10.已知函数f(x)=sin(x+π6)，其中x∈[−π3,a]，若f(x)的值域是[−12,1]，则实数a的取值范围是________．11.若函数f(x)=cos2x−2cosx在区间[−π2,a]上的最大值是−1，则a的取值范围是_________ 12.若函数的图象过点(0,√3)，且关于点(−2,0)对称，则f(−1)=______．13.函数y=2sin(2x−π3)的单调递增区间__________．14.函数f(x)=√3sin(x2−π4) ,x∈R的最小正周期为__________．15.ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−(b−c)2bc=1，则角A=______．16.若函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)在区间(0,π2)上单调递增，则ω的取值范围是____________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.若函数f(x)=√3sin(ωx−π3)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为1，(1)求ω的值和函数f(x)的单调减区间；(2)当x∈[1,2]时，求函数f(x)的值域．18.函数f(x)=Asin(ϖx+φ)(A>0,ϖ>0,|φ|<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且cosBbcosC =12a−c，求f(x)在(0,B]上的值域．19.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin∠BDC的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？20.设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N∗时，点(a n,S n)都在函数f(x)=−12x+12的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=lg(1−2S n)+2，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．21.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,3π]时，方程f(x)=m有唯一实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：∵f(x)=cos2x+asinx=1−2sin2x+asinx，令t=sinx，由x∈(π6,π2)得t∈(12,1)，依题意有g(t)=−2t2+at+1在t∈(12,1)是减函数，∴a4≤12，即a≤2.故选B．2.答案：C解析：本题主要考查弧长公式的应用，属于中档题．等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则弦AB所对的圆心角∠AOB=2π3，求出AB的长度(用r表示)，就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则弦AB所对的圆心角∠AOB=2π3，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO=r，∠AOM=π3，∴AM=√32r，AB=√3r，∴l=√3r，由弧长公式l=|α|r，而圆心角α>0，得α=lr =√3rr=√3．故选C．3.答案：B解析：解：函数f(x)=sin2x−sin(2x+π3)=sin2x−12sin2x−√32cos2x=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)≥−1，故f(x)的最小值为−1，故选：B．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f(x)=sin(2x−π3)，从而求得f(x)的最小值．本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于中档题．4.答案：C解析：由题意得：−π4+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=3π4+2kπ(k∈Z)，从而y=f(x−3π4)=Asin(x−3π4+3π4+2kπ)=Asinx...5.答案：(kπ4+π8,0)(k∈Z)解析：本题考查正切函数的图像和性质，属于基础题．利用正切函数的图像和性质求解即可．解：由得，所以函数的对称中心为(kπ4+π8,0)(k∈Z)，故答案为(kπ4+π8,0)(k∈Z).6.答案：(−2,1]解析：本题考查三角函数的值域，由x范围可得−1≤sin x<12，即可得函数y的值域．解：当x∈[7π6,13π6)时，−1≤sin x<12，所以函数y=−2sin x−1，x∈[7π6,13π6)的值域是(−2,1]．故答案为(−2,1]．7.答案：[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈z)解析：解：正弦函数y=sinx的单调减区间是：[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z；∴函数y=3−2sinx的单调递增区间是：[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z．故答案为：[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z．根据正弦函数的单调性写出函数y=3−2sinx的单调递增区间．本题考查了正弦函数的单调性与单调区间的应用问题，是基础题．8.答案：1解析：本题考察函数y=Asin(ωx+φ)的图像性质，解题时在求φ的值时注意其取值范围，本题属于基础题．先依据图像得到T和ω的值，将(1,1)代入得到∴φ=2kπ−π4 (k∈Z)，结合题设条件得到，继而写出f(x)表达式，即可推出结论．解：由图可知，T4=2，所以T=8∴ω=π4由点(1,1)在函数图象上可得：f(1)=cos(π4+φ)=1∴π4+φ=2kπ (k∈Z)∴φ=2kπ−π4 (k ∈Z )又∵φ∈[0,2π) ∴φ=7π4∴f (x )=cos (π4x +7π4) ∴f (2017)=cos (π4×2017+7π4)=cos506π=1故答案为1．9.答案：(−∞,−2]∪[1,+∞)解析：考查奇函数的定义，熟悉f(x)=x 3及一次函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，增函数的定义．根据f(x)解析式即可判断f(x)为奇函数，并且在R 上单调递增，从而可根据f(a −2)+f(a 2)≥0得出a 2≥2−a ，解该不等式即可求出实数a 的取值范围． 解：f(x)为奇函数，且在R 上单调递增； ∴由f(a −2)+f(a 2)≥0得：f(a 2)≥f(2−a)； ∴a 2≥2−a ；解得a ≤−2，或a ≥1；∴实数a 的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞)． 故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．10.答案：[π3,π]解析：本题主要考查了三角函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式π2≤a +π6≤7π6是解题的关键．解：∵函数 f(x)=sin(x +π6)的值域是[−12,1]，∴由函数的图象和性质可知π2≤a +π6≤7π6，可解得a ∈[π3,π]． 故答案为[π3,π]．11.答案：(−π2,π2]解析：本题主要考查了三角函数的定义域和值域问题，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．，t ∈[−1,1]，则f(t)=2t 2−2t −1=2(t −12)2−32，结合二次函数的图象与性质，得到0≤t ≤1，进而得到，即可得到a 的取值范围．解：由题意可知函数，令，t ∈[−1,1]，则f(t)=2t 2−2t −1=2(t −12)2−32，因为f(x)在区间[−π2,a]上的最大值是−1， 所以2(t −12)2−32≤−1，得0≤t ≤1， 故，所以，又f(x)在区间[−π2,a]上， 所以a 的取值范围为(−π2,π2]．12.答案：1解析：本题考查三角函数图象和性质的应用，属于中档题.根据题意求出ω和φ，得到函数的表达式，即可求得f(−1)的值． 解：因为函数的图象过点(0,√3)，所以sinφ=√32，又0<φ<π2，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)，又∵f(x)的图象关于点(−2,0)对称，，k ∈Z ， ，k ∈Z ， ，∴k=0，ω=π6，∴f(x)=2sin(π6x+π3)，∴f(−1)=2sin(−π6+π3)=2sinπ6=2×12=1．故答案为1．13.答案：[kπ−π12,kπ+5π12] ,k∈z解析：本题主要考查了正弦函数的单调性问题，令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求出x的范围，可得函数f(x)的单调递增区间．解：函数f(x)=2sin(2x−π3)，令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z；所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．故答案为[kπ−π12,kπ+5π12] ,k∈z．14.答案：4π解析：函数f(x)=√3sin(x2−π4) 的最小正周期为T=2π12=4π .15.答案：60∘解析：本题考查余弦定理，属于基础题。
浦东新区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
浦东新区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2． 下列命题中错误的是（）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形3． 直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1()3(22=-++y x 2π=∠APB 31≤≤n x xx f 3log 4)(-=内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）)4,3(A ．B ．C ．D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(qp ∨⌝)(5． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．6． 函数，的值域为（ ）2-21y x x =-[0,3]x ∈ A. B. C. D.7． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）A ．1B ．C ．2D ．48． 在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）A ．0B ．C ．D ．9． 数列中，，对所有的，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥2123n a a a a n =gg L 35a a +A ．B ．C ．D ．259251661163115班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差11．命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数12．如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．14．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 15．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则P ABC -PA PB PC ==PA PB ⊥PA PC ⊥PBC △PC 与平面所成角的正弦值为______________.ABC【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．16．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ． 17．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．18．已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，ABC S A B C 2224S a b c +=+则取最大值时．sin cos()4C B π-+C =三、解答题19．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．AM FN =//MN BCE20．（本小题满分14分）设函数，（其中，）.2()1cos f x ax bx x =++-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦a b R ∈（1）若，，求的单调区间；0a =12b =-()f x （2）若，讨论函数在上零点的个数.0b =()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.21．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．22．（本小题满分16分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求()h x 的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）23．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：（a ＞b ＞0）右焦点的直线l ：y=kx ﹣k 交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，当k=1时OP 的斜率为．（Ⅰ） 求C 的方程；（Ⅱ） x 轴上是否存在点Q ，使得k 变化时总有∠AQO=∠BQO ，若存在请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．24．（本小题满分12分）设函数（）．mx x x x f -+=ln 21)(20>m （1）求的单调区间；)(x f （2）求的零点个数；)(x f （3）证明：曲线没有经过原点的切线．)(x f y =浦东新区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．2．【答案】B【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为，∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故B错误．对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．3．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．4．【答案】A【解析】试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以p 2π=∠APB AB ()()11322=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()xxx f 3log 4-=()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 34333>-=f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧考点：复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆P 2π=∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数1)1()3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.x xx f 3log 4)(-=5． 【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键． 6． 【答案】A 【解析】试题分析：函数在区间上递减，在区间上递增，所以当x=1时，()222112y x x x =--=--[]0,1[]1,3，当x=3时，，所以值域为。