导学设计17 基本不等式(2)

山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号17

基本不等式 (第二课时)

【学习目标】进一步掌握222a b ab +≥，2

b a ab +≤,并灵活应用其求函数的最值. 【学习重点】应用基本不等式求函数的最值，并熟练掌握“一正二定三等”的解题思路.

【学习难点】利用基本不等式求最值时的变形转化.

【学习过程】

一、导学：

1、利用基本不等式2

b a ab +≤求最值时，必须注意前提条件：①_0a ，_0b ②积（或和）为____值；③当且仅当____时，等号成立，简记为“__________________________”.若项为负数,则添_____变______.

2、利用基本不等式3

3c

b a ab

c ++≤求最值时，必须注意前提条件：

二、导练：

题型一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１求函数)10(12<<-=x x x y 的最大值.

例2已知01x <<，求函数2(1)(1)y x x =+-的最大值.

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值.

题型二、拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件

例4 求9()4(0)f x x x x =+

>的最小值.

例5设1x >-，求函数()()521x x y x ++=

+的最小值.

2 例6 若,,0a b c >

且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为（ ）

A

1 B

1 C

．2 D

．2

题型三、约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

例7已知28,,0,

1x y x y >+=，求xy 的最小值.

例8 已知01x <<，求函数411y x x

=+-的最小值.

题型四、最值应用题

例9 用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

例10一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

三、目标检测：

1．下列函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？ (1)9()4(0)f x x x x =+

<

(2) )01y x x =<< (3)()()

22413x y x +=+,)1(>x

2 . 若x , y 是正数，且141x y +=，求xy 的最小值.

3．下列函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

（１）0x <时，312y x x =--

（2）若11,1

x y x x >=++

4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m 深为3 m 。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？