高中数学32均值不等式教学设计

高中数学 3．2 均值不等式教学设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考及讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考及讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考及讨论建立均值不等式及不等式a2＋b2≥2ab 的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论及实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a2＋b2≥2ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b 为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识及情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD ＝ab.从图中我们可直观地看到ab 表示的是半弦长，a ＋b 2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为：a ＋b 2≥ab. 显然，上述不等式当且仅当点C 及圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R＋，则ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ＋b≥2ab 或2ab ≤a＋b 等．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．(4)若a 、b∈R＋，则ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；若a 、b∈R＋，则a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；若a 、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件及结论．本题结论中，注意x －y a －b 及a －b x －y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 及a －b x －y为正数开始证题． 证明：∵(a＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.∴ax－ay ＋by －bx ＞0.∴(ax－bx)－(ay －by)＞0.∴(a－b)(x －y)＞0，即a －b 及x －y 同号．∴x －y a －b 及a －b x －y均为正数． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －b x －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －b x －y≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －y a －b 及a －b x －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a＞b ＞1，∴lga＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ， ∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)． ∴R＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长及宽的积是一个常数，求长及宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长及宽的和的两倍是一个常数，求长及宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和及积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x＝2x ＋18x ≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a≥18. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t2≥2t＋3，解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3，∴b＝a ＋3a －1(a ＞1)．∴ab＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1 ＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9. 当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法及运算能力．通过思考a ＋b 及ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法． 课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 及y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路及求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b 2≥ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab 及a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路 2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)及a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题错误!活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式及a2＋b2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式及a2＋b2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 及b 都为实数，并且a 及b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 及b 都为正实数，并且a 及b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：(1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.＝2＋n m ＋2＋4m n≥4＋2×2＝8， 当n ＝12，m ＝14时取“＝”． ∴1m ＋2n的最小值为8. 例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值； (2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值． 活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m2＋n22≥(m ＋n 2)2更简捷． 解：(1)∵x＜54，∴5－4x ＞0. ∴y＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立． ∴当x ＝1时，ymax ＝1.(2)∵y＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2≥2[x －a ＋b －x 2]2＝a －b 22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b 2时，上式等号成立． ∴当x ＝a ＋b 2时，ymin ＝a －b 22. 点评：若x 、y∈R＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是__________．答案：3解析：方法一：以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为x 4＋y 3＝1，设P(a ，b)，则a 4＋b 3＝1(a ＞0，b ＞0)． ∴ab＝12·a 4·b 3≤12(a 4＋b 32)2＝3， 当且仅当“a＝4b 3”时等号成立． 方法二：设P 到BC 的距离为a ，到AC 的距离为b.由相似三角形易得a 4＝PB 5，b 3＝PA 5， ∴a 4＋b 3＝PB ＋PA 5＝1.以下解法同一． 例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x ＋1x ＋1的值域． 活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x2－3x ＋1x ＋1＝x ＋12－5x ＋1＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用均值不等式了．解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x ＋1x ＋1＝x ＋12－5x ＋1＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2x ＋15x ＋1－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)． 点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可. 变式训练 已知x1·x2·x3·…·x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．答案：22 006解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，同理，1＋x2≥2x2，……1＋x2 006≥2x2 006，各式相乘，得(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·x1·x2·x3·…·x2 006＝22 006.取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，∴所求最小值为22 006.例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x 8－3x 的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x ＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0.∴f(x)＝3x 8－3x ≤3x ＋8－3x 22＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”． ∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43. 又f(x)＝－9x2＋24x ＝－3x －42＋16，∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减． ∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值． 当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和及积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的最小值，以及此时x 的值． 3．已知x 、y∈R＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 2．解：∵x＞0，∴x＋1x ≥2·x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，x ＋1x的值最小，最小值是2. 3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x.∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.∴x＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2x －8·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18. 课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值及证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1，a2，a3，…，an 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a1＋a2＋…＋ an n，G ＝n a1a2…an，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc. (2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A ＜an ，且a1＜G ＜an.在这n 个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A ，再去掉一个最大数an ，将an 换成a1＋an －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a2，a3，…，an －1，a1＋an －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝A ＋a2＋a3＋…＋an －1＋a1＋an －A n＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝n Aa2a3…an－1a1＋an －A ，∵A(a1＋an －A)－a1an ＝(A －a1)(an －A)，由a1＜A ＜an ，得(A－a1)(an －A)＞0，则A(a1＋an －A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an －A)＞a1a2…an－1·an，即G1＞G.二、备用习题1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a2＋b2≥2D ．a2＋b2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y，则( ) A ．P ＝Q B ．P ＜Q C ．P≤QD ．P≥Q3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f x的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103] 4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费及总存储费用之和最小，则x ＝__________吨． 5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)及汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝920v v2＋3v ＋1 600(v ＞0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a2＋b2＝a2＋b2＋a2＋b22≥a2＋b2＋2ab 2＝a ＋b 22＝2.故C 正确． 2．C 解析：∵a、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，∴Q＝ax ＋cy ·b x ＋d y ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t∈[12，3]． ∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t.该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103. 故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x＋4x≥21 600x ·4x＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)．令x ＝0，得y ＝1－2k ；令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k. ∴S△AOB＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k＋(－2k)． ∵k＜0，∴－2k ＞0.∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号． 此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解： (1)依题意，得y ＝9203＋v ＋ 1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083， 当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立， 所以ymax ＝92083≈11.1(千辆/时)． (2)由条件得920v v2＋3v ＋1 600＞10， 整理，得v2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．。