高中数学32均值不等式教学设计

高中数学 3．2 均值不等式教学设计

教学分析

均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考及讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．

本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．

鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重

在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考及讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考及讨论建立均值不等式及不等式a2＋b2≥2ab 的联系．

三维目标

1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这

个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的

数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论及实际相结合的科学态度和科学道德．

3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成

良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．

重点难点

教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探

索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．

教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学

生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．

思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起

来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．

推进新课

新知探究

提出问题

1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a2＋b2≥2ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？

活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给

出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，

也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2

叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．

利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，

当a≠b时，有(a－b)2＞0.

当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.

这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b 为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．

下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．

如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？

图1

(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到

证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探

究这个问题的知识及情感基础)

这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明

△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD ＝ab.从图中我们可直观地看到ab 表示的是半弦长，a ＋b 2

表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD 小于或等于圆的半径，用不等式

表示为：

a ＋

b 2≥ab. 显然，上述不等式当且仅当点C 及圆心重合，即当a ＝b 时，等

号成立．

还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R＋，则ab

≤a ＋b 2

，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ＋b≥2ab 或2ab ≤a＋b 等．

讨论结果：

(1)(2)略．

(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．

(4)若a 、b∈R＋，则ab ≤a ＋b 2

，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；

若a 、b∈R＋，则a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成

立；

若a 、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．

应用示例

例1(教材本节例1)

活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意

式中成立的条件，本例中的b a 和a b

相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b

∈R＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，

点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.

例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y

≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件及结论．本题结论中，注

意x －y a －b 及a －b x －y

互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 及a －b x －y

为正数开始证题． 证明：∵(a＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，

∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.

∴ax－ay ＋by －bx ＞0.

∴(ax－bx)－(ay －by)＞0.

∴(a－b)(x －y)＞0，

即a －b 及x －y 同号．

∴x －y a －b 及a －b x －y

均为正数． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －b x －y

时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －b x －y

≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －y a －b 及a －b x －y

是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．

例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b 2

，

则( )

A ．R ＜P ＜Q

B ．P ＜Q ＜R

C ．Q ＜P ＜R

D ．P ＜R ＜Q

活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三

个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．

答案：B

解析：∵a＞b ＞1，

∴lga＞lgb ＞0.

∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ， ∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12

(lga ＋lgb)． ∴R＞Q.故P ＜Q ＜R.

点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不

等式．

例4(教材本节例2)

活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)

中，矩形的长及宽的积是一个常数，求长及宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长及宽的和的两倍是一个常数，求长及宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和及积，因此建立均值不等式的数学模型．

点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用

均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．

知能训练

1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x

≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．

答案：

1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x

＝2x ＋18x ≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a≥18

. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)，

由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t2≥2t＋3，

解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.

解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3，

∴b＝a ＋3a －1

(a ＞1)．

∴ab＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1

＝a －1＋4＋a －1＋4a －1 ＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1

＋5＝9. 当且仅当a －1＝4a －1

时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.

∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．

点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法及

运算能力．通过思考a ＋b 及ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．

由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．

课堂小结

1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收

获？

2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两

正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2

≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．

作业

习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.

设计感想

1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本

节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 及y 必须能够相等．

2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不

等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路及求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．

(设计者：郑吉星)

第2课时

导入新课

思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是

如果a ，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是

均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b 2≥ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b 2

为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半

径．a2＋b2≥2ab 及a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均

值不等式的应用．由此展开新课．

思路 2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)及a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．

推进新课

新知探究

提出问题

错误!

活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以

及均值不等式及a2＋b2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式及a2＋b2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 及b 都为实数，并且a 及b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 及b 都为正实数，并且a 及b 都为正数是不等

式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等

号成立的充要条件．

在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”

这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备

时，应创造条件．

本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．

讨论结果：

(1)(2)略．

(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．

应用示例

例1(教材本节例3)

活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．

点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.

＝2＋n m ＋2＋4m n

≥4＋2×2＝8， 当n ＝12，m ＝14

时取“＝”． ∴1m ＋2n

的最小值为8. 例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5

的最大值； (2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．

活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －

2)·14x －5

不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m2＋n22≥(m ＋n 2

)2更简捷． 解：(1)∵x＜54

，∴5－4x ＞0. ∴y＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x

)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x

，即x ＝1时，上式等号成立． ∴当x ＝1时，ymax ＝1.

(2)∵y＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2

≥2[x －a ＋b －x 2]2＝a －b 22

，

当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b 2时，上式等号成立． ∴当x ＝a ＋b 2时，ymin ＝a －b 22

. 点评：若x 、y∈R＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当

x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.

变式训练

已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，

则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是__________．

答案：3

解析：方法一：以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

则直线AB 方程为x 4＋y 3＝1，设P(a ，b)，则a 4＋b 3

＝1(a ＞0，b ＞0)． ∴ab＝12·a 4·b 3≤12(a 4＋b 32

)2＝3， 当且仅当“a＝4b 3

”时等号成立． 方法二：设P 到BC 的距离为a ，到AC 的距离为b.

由相似三角形易得a 4＝PB 5，b 3＝PA 5

， ∴a 4＋b 3＝PB ＋PA 5

＝1.以下解法同一． 例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x ＋1x ＋1

的值域． 活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下

变形：f(x)＝x2－3x ＋1x ＋1＝x ＋12－5x ＋1＋5x ＋1

＝x ＋1＋5x ＋1－5.

这样就可以应用均值不等式了．

解：∵x＞－1，

∴x＋1＞0.

∴f(x)＝

x2－3x ＋1x ＋1＝x ＋12－5x ＋1＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2x ＋15x ＋1

－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．

另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．

点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种

求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条

件缺一不可. 变式训练 已知x1·x2·x3·…·x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006

都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．

答案：22 006

解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，

同理，1＋x2≥2x2，

……

1＋x2 006≥2x2 006，

各式相乘，得

(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22

006·x1·x2·x3·…·x2 006＝22 006.

取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，

∴所求最小值为22 006.

例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x 8－3x 的最大值，并求相

应的x 值．试问0＜x ＜43

时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．

活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x2，根号内是我

们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．

解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0.

∴f(x)＝3x 8－3x ≤3x ＋8－3x 2

2＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43

时取“＝”． ∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43

. 又f(x)＝－9x2＋24x ＝－3x －42＋16，

∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43

时，f(x)递减． ∴当0＜x ＜43

时，原函数f(x)没有最大值． 当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.

点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式

的功能在于“和及积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．

知能训练

1．函数f(x)＝x x ＋1

的最大值为( ) A.25 B.12 C.22

D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x

(x ＞0)的最小值，以及此时x 的值． 3．已知x 、y∈R＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．

答案：

1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝x x ＋1

＝

1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 2．解：∵x＞0，∴x＋1x ≥2·x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1x

，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，x ＋1x

的值最小，最小值是2. 3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x.

∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.

∴x＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8

＋10≥2x －8·16x －8

＋10＝18，

当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18. 课堂小结

1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节

课解决了哪些问题？应注意些什么？

2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值

问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：

(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．

作业

习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.

设计感想

1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函

数的最值及证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．

2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流

畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．

3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新

课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．

备课资料

一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)

(1)设a1，a2，a3，…，an 为正实数，这n 个数的算术平均值记

为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a1＋a2＋…＋ an n

，G ＝n a1a2…an，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc. (2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相

等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A ＜an ，且a1＜G ＜an.在这n 个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A ，再去掉一个最大数an ，将an 换成a1＋an －A ，其余各数不变，于是得到第二组