均值不等式教学设计
基本不等式教学设计一、录制内容同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。
首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2a b +为,a b 的算术平均数，,a b 的几何平均数。
在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。
从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。
那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。
那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。
这是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。
设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。
需要说明的是，当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。
根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是2b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和2a b +=。
好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。
通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最大（小）值时，我们有这样两个原理：呢？接下来我们看一下例2：们可以归纳出在利用基本不等式求最值时的一般流程：反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。
有了这样的基础知识之后，我们应该注意在利用基本不等式求最值时必须具备“一正二定三相等”这三个条件，当满足这样的条件后利用两个原理即“积定和最小，和定积最大”便可求得最值。
课后完成课本第101页习题3.4A 组第1题和第3题。
好，本节微课到此结束，谢谢大家！二、教学目标1.通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。
2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
3.通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。
三、教学重难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式b a +≥ab 2的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题。
教学难点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab ≤2b a +的证明过程。
四、学情分析 学生在前面学习了用不等关系表示不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较方法，在初中学习了勾股定理等与基本不等式有关的知识。
但是能否在具体问题情境中发现不等关系，并抽象概括出基本不等式是本节教学的一个重难点，另外，对不等式的证明，学生经历的很少，这又是本节课的另外一个难点。
用基本不等式证明不等式，求最值、解决实际问题是学生的第三个难点。
基于上述因素，在教学设计上可以通过合理的问题，引导学生自主发现、探索并证明。
五、教材分析本节是人教社高中数学必修五第三章《不等式》第四节的内容，是在学生学习了不等关系与不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较等内容后的一个综合应用，也是今后学习选修教材的推理与证明以及不等式选讲的必备知识。
本节内容从不等关系的发现到用不等式描述并证明，再从几何意义等角度对基本不等式加以解释，最后到基本不等式的应用是一个完整的系统。
其意图就是让学生经历一个数学结论的获得所必须经历的过程，是让学生学数学用数学的良好素材。
判断b a ,是否为正数 b a +ab 验证等号是否 结果 为定值，或 者为定值 化简不等式成立配凑 式子同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。
六、教学环节(一)课堂导入，引入新知若b a ,为正数，则称2b a +为b a ,的算术平均数，称ab 为b a ,的算术平均数。
(设计意图：寻求学生的最近发展区，引入新的概念为下面的学习扫清障碍.)(二)信息交流，揭示规律问题1：2b a +与ab 有怎样的大小关系呢？ 用做差法探究两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系，第一步作差2b a +-ab ，第二步变形将b a ,分别写成2)(a 和2)(b 的形式，得到一个完全平方式。
第三步定号显然这个式子大于等于0，第四步得出结论，若0,0>>b a ，则ab ≤2b a +当且仅当b a =时，取“=”。
如此一来，我们可以得到如下结论：若0,0>>b a ，则ab ≤2b a +当且仅当b a =时，取“=”。
(设计意图：培养学生独立思考、解决问题的能力，使学生体会不等式证明的常用方法.）问题2：均值不等式又有怎样的几何意义呢？这是2002年8月在北京召开的国际数学大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘。
设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。
当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。
根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是2b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和与大正方形的面积2a b +=。
(设计意图：以学生初中已经接触过的赵爽弦图作为素材，可使学生有熟悉的感觉.)问题3：通过刚才的学习我们可以得到怎样的规律呢？已知y x ,都是正数，s p ,是常数，则当p xy =时，即积是定值由基本不等式可知y x +≥p 2，当且仅当y x =取“=”，此时y x +取得最小值为p 2。
当s y x =+时，即和为定值则有xy ≤42s ，当且仅当y x =取“=”，此时xy 取得最大值为42s 。
利用基本不等式求最值时，应注意以下三个条件：（1）各项皆为正数；（2）和或积为定值；（3）注意等号成立的条件；这里我们简称为“一正二定三相等”。
(设计意图：通过归纳总结使学生学习到的知识条理化)(三)运用规律，解决问题基本不等式与我们学习过的其它公式有所不同。
我们比较熟悉的完全平方公式、平方差公式等都是等式的形式，而基本不等式是以不等式的形式出现的。
同学们在运用时可能有些顾虑。
其实只要满足不等式使用的条件（0,0>>b a ），并且符合它的结构特征，我们完全可以进行套用，下面我们通过几个例题来考虑在运用基本不等式过程中还需要注意哪些问题。
例1：已知0＜x ＜31，求函数)-(x x y 31=的最大值。
解： 0＜x ＜31，x 31-∴＞0)-()-(x x x x y 3133131•==∴≤1212313312=+])-([x x ， 当且仅当x x 313-=，即61=x 时等号成立，此时），（31061∈ ∴函数)-(x x y 31=的最大值为121.例2：求函数3-1x x y +=（x ＞3）的最小值。
解：x ＞3，3-x ∴＞0 331)3(31+-+-=-+=∴x x x x y ≥53)3(312=+-⋅-x x 当且仅当331-=-x x ，即4=x 时等号成立，此时），（∞+∈34 ∴函数31-+=x x y 的最小值为5 (设计意图：通过例题的训练，提高学生解决问题的能力，加深对基本不等式的理解，明确公式的使用条件，套用方法及等号成立的条件.)通过上面两个例题的练习可以归纳出利用基本不等式求最值的流程： 首先，判断b a ,是否为正数，若是，通过配凑式子出现b a +为定值，或者ab为定值，然后化简不等式，之后验证等号是否成立，最后，得出结果。
(设计意图：通过归纳总结得出利用基本不等式求最值的一般步骤，使做题步骤流程化.)(四)反思小结，观点提炼反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。
有了这样的基础知识之后，我们应该注意在利用基本不等式求最值时必须具备“一正二定三相等”这三个条件，当满足这样的条件后利用两个原理即“积定和最小，和定积最大”便可求得最值。
(设计意图：通过反思小结，提高学生归纳概括的能力，促使学生整体上感受数学结论的得出过程.)。
教学设计1：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式教学目标1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．教学知识梳理知识点一 均值不等式(1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 思考1．如何证明均值不等式？提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b2≥ab .当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立． 知识点二 均值不等式的应用设x ，y 都为正数，则有如下关系：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 思考3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy .又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 24，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 教学案例类型一 均值不等式应用的条件[例1] 下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |C ．若x 为负实数，则x ＋4x ≥－2x ·4x＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2 【解析】因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与ab 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4，故C 选项错误；故选D. 【答案】D 通法提炼在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式. [变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2【解析】利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0.所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 【答案】D类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋acb ≥2bc a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝acb ，即a ＝b 时，取等号)； ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝abc ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝abc ，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·abc ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 通法提炼1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc .将上述三式相加，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.即1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.∴1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 通法提炼含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 类型三 利用均值不等式求最值[例4] (1)已知0<x <13，则x (1－3x )的最大值为( )A ．112B ．1C ．19D ．12(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值为________．【解析】(1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8xy >0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.【答案】(1)A (2)18 通法提炼求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，不要忽略等号成立的条件. [变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1x ＋3的最小值为 .【解析】因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1x ＋3－3≥2(x ＋3)·1x ＋3－3＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3有最小值，最小值为－1.【答案】-1(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为 .【解析】因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ， 因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2. 【答案】2 课堂达标1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 【答案】B2．已知x <0，则x ＋1x－2有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4【解析】因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．故选C.【答案】C3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．4．已知a >0，b >0，c >0，求证：(1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abcabc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。
《均值不等式》教案2
《均值不等式》教案一、 教学目标推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
二、 教学重难点重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
难点：利用均值定理求极值。
三、教学方法引导法四、课时1课时五、教学过程均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）3. 已知x,y ∈R +,x+y=s,xy=p.①若p 为定值，那么当且仅当 时，s=x+y 有 ； ②若s 为定值，那么当且仅当 时，p=xy 有 。
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 应用一：求最值解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
(教案)均值不等式
均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
均值不等式教案
§ 3.2 均值不等式本节内容是选自人教版高中数学B版必修五第三章第二节——均值不等式。
它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。
一、教学目标知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意义；能够应用均值不等式进行简单的证明过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘二、重难点重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式三、教学方法讲授法四、教学过程（一）情境引入某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a，b，那我们能否从其中找出一些不等关系？解答：图中四个直角三角形的面积总和为：142ab大的正方形的面积为：22a b + 我们可以很直观地得出：22a b +>2ab问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是a b =时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222a b ab +=。
（二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a b R ∈,则222a b ab +≥. 证明：2222()a b ab a b +-=-当a b ≠时，()20a b ->；当a b =时，2()0a b -=. 综上所述，可得222a b ab +≥. （三）均值不等式的变式（重点）若0,0,a b >>则2a bab +≥（当a b =时，“=”取到） 需明确的两个概念：2a b+表示a 与b 的算术平均数 ；ab a 与b 的几何平均数 。
证明（几何意义）：如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD a =，CD b =，过点D 做BD AC ⊥交圆周于B ，连接OB .则22AC a bOB +== 又Rt ADB Rt BDC ∆∆，则AD AB DBBD BC DC== 所以2BD AD DC ab =•=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以2a bab +≥所以其几何意义为：半径不小于半弦 （四）巩固应用（1）已知a b 、都是正数，求证：2a bb a+≥. 证明：0,0,a b >>0,0ab b a∴>> ，由均值不等式可得22a b a bb a b a+≥⋅=， 当且仅当a bb a=且0,0a b >>同时成立， 即a b =时，等号成立. （2）已知a b 、都是正数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥ 证明： 2a b ab +≥22222a b a b +≥33332a b a b +≥()()()2233a b a b a b ∴+++2233332228ab a b a b a b ≥⋅=（五）课堂小结本节课，我们学习了重要不等式222a b ab +≥；两正数a b 、的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a b 、都是实数，而后者要求a b 、都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab≤（2b a +）2. （六）板书设计 一、引入四个直角三角形的面积总和为：142ab ⨯大的正方形的面积为：22a b + 于是可得到22a b +>2ab当a=b 时，也就是直角三角形变为等腰直角三角形，中间的正方形EFGH 变为一个点时，222.a b ab +=二、均值定理1：一般地，,a b R ∈,则222.a b ab +≥ 证明：2222()a b ab a b +-=-当20;a b ≠>时,(a-b)当a b =时，2()0.a b -= 综上所述，可得222.a b ab +≥ 均值定理2：若0,0,a b >>则2a bab +≥（当a b =时，“=”取到） 证明（几何意义）：如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD=a ，CD=b ，过点D 做BD ⊥AC 交圆周于B ，连结OB.则 OB=22AC a b+=又Rt ADB Rt BDC ，则AD AB DBBD BC DC==所以2BD AD DC ab =⋅=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以2a bab +≥所以其几何意义为：半径不小于半弦 三、应用已知a b 、都是正数，求证： （1） 2.a b ba+≥证明：00,0,0a b a b b a>>∴>>、 ，由均值不等式可得2a b b a +≥=，当且仅当00a b a b b a =>>与、同时成立，即a b =时，等号成立. （2）()()()2233338a b a b a b a b +++≥a b +≥22a b +≥33a b +≥()()()2233a b a b a b ∴+++338a b ≥=()11212nnn x x x x x x n+++≥，对每个0i x ≥.证明：用数学归纳法. （1） 当2n =时，就是均值不等式，显然成立； （2） 设n k =成立，证2n k =成立；()()()1111121121222222k kk k k kk k kk x x x x x x x x x x x k k ++••••++++•≥+≥（3） 设n 成立，证1n -成立；即已知()11212nn n x x x x x x n+++≥，对每个0i x ≥，特别地取111n n x x x n -++=-代入上式有左=()1111111111111n n n n x x x x x x x x n n nn n ----⎛⎫++++++++⎪++-⎝⎭-==- 右=()1111111nn nn x x x x n n--++⎛⎫•• ⎪-⎝⎭ 由于左≥右，所以()()()1111111111111111111111111111n nnn n nnn n n n n n n n x x x x x x x x n n x x x x x x x x n n ------------++++⎛⎫⎛⎫≥••⇔≥•• ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭++++⎛⎫⇔≥••⇔≥•• ⎪--⎝⎭。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式课程设计
04 均值不等式的实际案例
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是均值不等式在实际中的一个重要应用，通过合理配置资产，实现风险和收益的平 衡。
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法一
通过数学归纳法证明。首先证明基础步骤，然后假设 步骤成立，推出结论。
均值不等式的证明方法二
利用柯西不等式证明。柯西不等式是$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$，当且仅当 $frac{a_1}{b_1} = frac{a_2}{b_2} = ... = frac{a_n}{b_n}$时等号成立。将柯西不等式中的$a_i$ 和$b_i$分别替换为$sqrt{a_i}$和$frac{1}{sqrt{b_i}}$， 即可证明均值不等式。
均值不等式课程设计
目录
• 均值不等式的基本概念 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的扩展 • 均值不等式的实际案例 • 均值不等式的挑战与展望
01 均值不等式的基本概念
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立。
均值不等式教案
均值不等式廖士哲(地点： 06文（1）时间：星期二晚第三节课)一、目的要求：系统复习均值不等式，熟练使用a 2+b 2≥2ab 和ab b a 2≥+ ，使学生领会其中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。
二、教学重点 在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.三．教学难点ab b a 2≥+的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四．教学过程（一）知识归纳：1.a 2+b 2≥2ab （a.b )R ∈和ab b a 2≥+（a.b +∈R ）当且仅当a=b 时取“=”2.均值不等式的运用条件：“一正”、“二定”、“三相等”3. 均值不等式的运用----放缩功能：和定积最大，积定和最小-4. 均值不等式的变式（二）、例题解析例1 若X<45求y=4x-2+541-x 的（配凑均值不等式成立的条件：“一正”、“二定”）例2.设=)(x f x x+150（1）求当x ∈(0 ∝ )时的最大值（2）求当x ∈[2 ∝ )时的最大值（用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，即“三相等”，当等号不成立时可用函数的单调性求最值。
）例3若x>0 y>0 且x 1+y 9=1 求x+y 的最小值（在运用ab b a 2≥+中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件的一致性。
）（三）课堂练习选做1 当x ∈(0 1 )时，求=)(x f )21(11x x --的最大值 2求y=3+x +31+x 的最小值 3求y=18-+x x （x>1）的最小值4 若 x 2 +ax+1≥0对一切x ∈(0 21］成立求a 的最小值5若a>0 b>0且ab=a+b+3 求ab 的取值范围6若x>0 y>0 且x+y=1 求12+x +12+y 最大值 （四）课堂小结：．和熟练使用不等式ab b a ab b a 22.122≥+≥+ 的条件．注意使用ab b a 2.2≥+注意取等号的条件．.3”．灵活变换“1.4 5.用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。
均值不等式教学设计教程文件
均值不等式教学设计教程文件教学设计：均值不等式一、教学目标：1.理解均值不等式的概念。
2.掌握均值不等式的证明方法。
3.运用均值不等式解决实际问题。
二、教学内容：1.均值不等式的概念介绍。
2.均值不等式的证明方法。
3.均值不等式在实际问题中的应用。
三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）教师通过一个简单的例子引出均值不等式的概念，如：对于两个正数a和b，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2.理解均值不等式的概念（15分钟）教师通过具体的数值例子，让学生利用计算器计算两个数的算术平均数和几何平均数，并进行对比分析，引出均值不等式的定义。
-算术平均数：(a+b)/2-几何平均数：√(a×b)-例子：a=2，b=3，算术平均数=(2+3)/2=2.5，几何平均数=√(2×3)≈2.453.掌握均值不等式的证明方法（30分钟）3.1教师给出均值不等式的证明方法，并通过具体的例子进行步骤讲解。
3.2学生独立思考和解决一道简单的均值不等式证明题，教师进行答疑和指导。
3.3学生分组进行均值不等式证明题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨证明方法。
4.运用均值不等式解决实际问题（35分钟）4.1教师给出一些实际问题，如：已知a和b是正数，求证(a+b)/2≥√(a×b)，并由学生尝试解答。
4.2学生分组进行实际问题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨解决方法。
4.3学生展示自己的解题方法和思路，讨论不同解决方法的优劣。
5.拓展与巩固（15分钟）5.1教师布置一些思考题和拓展题，要求学生运用均值不等式解决，提高学生的综合运用能力。
5.2学生进行思考和解答，并与同伴进行交流和讨论。
四、教学评价：1.学生能够简单地描述均值不等式的概念。
2.学生能够掌握均值不等式的证明方法，并能够运用到实际问题中。
3.学生能够灵活应用均值不等式解决实际问题，并能够思考和解决拓展问题。
均值不等式教学设计
3.2均值不等式教学目标（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程. （三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用教学过程讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系注意：（1）当时，(2)a、b的取值范围探求新知：均值不等式的内容及证明均值定理：证明：（比较作差法）变形应用：（1）（2）讨论释疑：牛刀小试：=+xxx1,0则已知例1、已知0ab，求证：2≥+baab并推导出式中等号成立的条件例2、求函数)0(32)(2xxxxxf+-=的最值，以及此时x的值精炼巩固：点拨提高：总结本节课的你的收获。
值为有最则满足已知正数abbaba,1,.2=+的值此时的最小值为则函数设ttttft414)(,0.12+-=>课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
教学设计2：7.2 均值不等式
7.2 均值不等式1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用均值不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)． 那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)3．常用不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．1．(人教A 版教材习题改编)设0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23【解析】 ∵0＜x ＜1，∴x (3－3x )≤3·(x ＋（1－x ）2)2＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab＞a ，故选B.【答案】 B3．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )【解析】 应用均值不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用均值不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C4．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 【答案】 35．(2013·西城质检)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．【解析】 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20.当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，当且仅当x ＝80时，“＝”成立．【答案】 80(1)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6 【审题视点】 (1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件变形35x ＋15y ＝1，然后注意“1”的代换．【尝试解答】 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2，2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，则y ≤15.当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时等号成立．∴y ＝2x －5x 2的最大值y max ＝15.(2)由x ＞0，y ＞0，且x ＋3y ＝5xy ，得35x ＋15y ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(35x ＋15y )＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当x ＝2y ＝1时，等号成立．∴3x ＋4y 的最小值为5.【答案】 (1)15(2)C ,1．第(1)题凑配系数，使和为定值．第(2)小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换；本题的常见错误是条件与结论分别利用均值不等式，导致错选A ，根本原因忽视等号成立条件．2．利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平方．(1)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，且3x ＋4y的最小值是________．(2)(2013·金华调研)设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝(x ＋y )(3x ＋4y )＝3y x ＋4xy＋7≥23y x ·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy 且x ＋y ＝1，即x ＝－3＋23，y ＝4－23时等号成立，∴3x ＋4y的最小值是7＋4 3. (2)由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋（x ＋y ）24， 解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.【答案】 (1)7＋43 (2)233已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)(1＋1a )(1＋1b)≥9. 【审题视点】 (1)第(1)小题把1a ＋1b 变形为1ab ，或把1ab 变形为1a ＋1b .(2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结论． 【尝试解答】 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2(1a ＋1b)，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.,1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用均值不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用均值不等式时等号能否取到．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋cab ≥2bc a ·cab＝2c ； bc a ＋ab c≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c≥2ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2(bc a ＋ca b ＋ab c )≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .某单位建造一间地面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【思路点拨】 用长度x 表示出造价，利用均值不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用均值不等式求最值，可以考虑单调性．【尝试解答】 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900(x ＋16x )＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900(x ＋16x )＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．,解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ，即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1.又∵每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)．∴2012年的利润y ＝x (1.5×816x x +)-(8＋16x ＋m )＝4+8x －m ＝4＋8(3－2m ＋1)－m ＝29－[(m ＋1)＋161m +](m ≥0)．(2)∵m ≥0时，(m ＋1)＋161m +≥216＝8. ∴y ≤29－8＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．两个变形1.a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．2.a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． 两点注意1.利用均值不等式求最值，切莫忽视不等式成立的三个条件：“一正——各项均为正数；二定——积或和为定值；三相等——等号能够取得”．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．两个技巧1.公式的逆用、变形使用．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．从近两年的高考试题来看，利用均值不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档．题目突出“小而巧”，主要考查基本运算与转化化归思想．而且命题情境不断创新，注重与函数、充分必要条件、实际应用等交汇．创新探究之八 几何背景下的均值不等式求最值问题(2012·湖南高考)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．162B ．82C ．834D ．434【解析】 由m ＝|log 2x |，得x A ＝(12)m ，x B ＝2m.同理，x C ＝(12)82m ＋1，x D ＝282m ＋1.∴a ＝|x A －x C |＝⎪⎪⎪⎪（12）m －（12）82m ＋1，b ＝|x B －x D |＝|2m －282m ＋1|.∴b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m－282m ＋12－m －2－82m ＋1＝282m ＋1·2m＝282m ＋1＋m . ∵82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212（2m ＋1）×82m ＋1－12＝72， 当2m ＋12＝82m ＋1，即m ＝32时取等号．∵m ＞0，∴m ＝32符合题意．∴b a 的最小值为272＝8 2.【答案】 B创新点拨：(1)以直线与曲线y ＝|log 2x |的交点为载体考查均值不等式求最值． (2)突出数学运算能力与转化化归思想方法的考查．应对措施：(1)深刻理解题目自身的含义，准确表达a 、b ，可画出草图，借助几何直观求解．(2)熟记指数、对数的运算法则，指数函数的性质；理解均值不等式求最值的条件，善于凑配、添加项、满足“正、定、等”条件．1．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2sab （a ＋b ）s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A2．(2013·济南质检)已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3【解析】 因为a ＞0，b ＞0，由m 3a ＋b －3a －1b ≤0得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab 恒成立．因为3b a ＋3ab≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16， 即m 的最大值为16，故选B.【答案】 B。