亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析
亚式期权定价模型的仿真与优化
亚式期权定价模型的仿真与优化亚式期权定价模型的仿真与优化亚式期权是衍生类金融工具中的一种，其定价模型的研究对理论和实践具有重要意义。
本文旨在通过仿真和优化的方法，探讨亚式期权的定价模型，以深入理解其特性和影响因素。
首先，我们来介绍什么是亚式期权。
亚式期权是一种特殊的期权形式，其行权价与一定期间的市场平均价格相关。
与欧式期权和美式期权相比，亚式期权更加复杂，因为亚式期权的行权价受到一段时间内价格波动的影响，这为其定价带来了挑战。
在亚式期权的定价模型中，最为常用的是Black-Scholes模型和Binomial模型。
Black-Scholes模型是基于假设市场服从几何布朗运动的模型，通过随机漫步的方法计算期权的理论价格。
Binomial模型则是基于二叉树模型，通过分期计算和反向归纳计算得出期权的理论价值。
为了进一步探讨亚式期权的定价和影响因素，我们利用蒙特卡洛方法进行模拟实验。
蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样和模拟来解决数学问题的方法。
我们可以通过生成大量的随机数，并使用这些随机数来模拟市场价格的变动，从而得出亚式期权的理论价格。
在仿真实验中，我们需要确定一些参数，如股票价格、期权到期时间、无风险利率、价格波动率等。
通过调整这些参数，我们可以观察到不同条件对亚式期权价格的影响。
例如，当股票价格上涨、期权到期时间延长、无风险利率升高、价格波动率增加时，亚式期权的价格是否会增加或减少。
通过仿真实验，我们可以观察到亚式期权的价格与各个参数之间的关系，并进行优化。
优化方法可以帮助我们找到最优的参数组合，使亚式期权的定价更加准确。
例如，我们可以使用遗传算法等优化方法，通过迭代计算，找到最优的股票价格、期权到期时间、无风险利率和价格波动率，从而得出最准确的亚式期权价格。
当然，在实际应用中，还需要考虑到一些其他因素，如交易成本、流动性、做市商报价等。
这些因素都会对亚式期权的价格产生影响，因此，在仿真过程中，我们还需要将这些因素考虑进去，以得出更合理的亚式期权价格。
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价陈有杰【期刊名称】《《河池学院学报》》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】6页(P67-72)【关键词】Heston模型; 亚式期权; Fourier反变换; 几何平均【作者】陈有杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.90 引言期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。
1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。
后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。
为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。
随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。
亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T时刻的平均值，则算术平均(JT)离散情形连续情形，几何平均(JT)亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：固定执行价格亚式期权：C(S,T)=(JT-K)+或(K-JT)+，浮动执行价格亚式期权：C(S,T)=(ST-JT)+或(JT-ST)+.由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。
亚式期权——精选推荐
亚式期权亚式期权考虑的是过去时间标的资产价格的平均值，这个时间段可以是从开始时间到期权到期的全部时段，也可以是其中的某个时间段。
平均值⽤⼀个时间 0到某时间点 T关于标的资产价格的积分除以时间长度来表⽰。
积分也可以根据黎曼积分的形式来近似，即有限和的形式。
亚式期权⽣成的⼀个重要原因是为了防⽌某个时段的标的资产的价格⼤幅变动，尤其是⼈为操控产⽣的⼤幅变动影响期权的价值。
⽬前尚不存在亚式期权具体定价的表达式，因此这⼀章讨论推出其满⾜的偏微分⽅程的两种⽅法。
第⼀个在例⼦ 6.6.1中给出。
另⼀个是蒙特卡洛模拟。
7.5.1 固定执⾏价格的亚式看涨期权同样⽤⼏何布朗运动所满⾜的偏微分⽅程的形式来模拟标的资产价格的⾛势。
可以写出在时间 T期权的回报 V(T)。
接着把t时刻期权的折现价值写成条件期望的形式。
接下来讲利⽤增加状态的维度的⽅法得到期权定价表达式。
亚式期权的 V(T)和路径不是独⽴的。
标的资产价格不是马可夫链，但由标的资产价格关于路径的积分 Y(T)与价格 S(T) 组成的⼆维随机过程是马科夫过程，可以由此给期权定价。
定理 7.5.1给出了亚式期权价值所满⾜的偏微分⽅程以及边界条件。
⽅法是⾸先关于 v(t, S(t), Y(t))的折现价格求导，然后令dt的系数为零。
使⽤ x和 y替换 S和Y，得到等式 7.4.8。
之后书中解释了边界条件。
注意到 S(t)恒正。
如果标的资产价格在某时刻为零，那么根据 dS的表达式，S在之后的时间都为零，因此 Y也是保持常数。
在到期时间 T，期权价格可以简单写出。
与 S为零的情况不同，如果Y在某时刻的值为零，不能说明Y的值恒为零，因此 v(t, x, 0)的值不那么容易确定。
7.5.3的⽬的在于通过降维⽅法得到⼀个偏微分⽅程，其解通过简单变换可以得到亚式期权的定价V(t)。
注意到这⾥的V是期权价格，仅和时间相关，不同于上⼀节中的v定价函数（pricing function）。
一类分期付款亚式期权定价
一类分期付款亚式期权定价【摘要】分期付款嵌入到亚式期权构造出分期付款亚式期权，针对固定执行价格的连续几何平均欧式看涨情形，利用kim积分分解定理得到价格函数和最佳停止边界满足的方程，然后利用梯形积分法获得它们的递归式，并利用最小二乘原理求解最佳停止边界，以此获的看涨期权价格的数值算法.最后分析了分期付款率对期权价格、最佳停止边界及套期保值策略的影响.【关键词】期付款；亚式期权；套期保值策略一、引言及介绍亚式期权是一种强路径依赖型期权，它的收益依赖于标的资产在整个期权有效期内标的资产所经历的价格平均值（算术平均和几何平均），可有效的减少到期日价格操纵的影响.它应用十分广泛，特别在石油市场和债券市场非常流行.假设是期权的路径变量，表示初始时刻到时刻t的平均值，那么：，（1）相应的亚式期权可分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，在到期日t的收益为：（3）分期付款（installment paying）是一种广泛应用于金融实际的支付形式，如住房按揭贷款、人寿保险、教育基金保险、重大工程项目、养老金计划、医疗保健等都是分期付款，也可以投资.分期付款为投资者提供了方便灵活的投资策略，降低了投资者的投资风险.将分期付款引入到金融衍生工具中，构造出分期付款期权，可以为投资者提供灵活的进入与退出机制，让期权持有人有足够的时间来评估标的资产的真实价值和未来走势，为投资决策提供有利的依据.而对于卖方来说，当标的资产的价值下降时，也可以避免损失太大.karsenty 和sikorav[1]是最早介绍该期权的学者.对其定价的研究是最近几年的工作，davis[2] 等人在经典black-scholes模型下分析了离散型分期付款期权，同时给出连续分期付款期权价值函数：（4）在标的股票满足经典black-scholes 模型下，本文考虑连续分期付款支付方式嵌入到亚式期权的定价问题.设是它在时刻的价格，对应用公式可得到分期付款亚式期权满足的非齐次偏微分方程：其中q为分期付款率，为红利率.二、固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式期权定价现考虑到期日为t的固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权，它在t时刻的价格为。
基于分数布朗运动的亚式期权定价
文化视野基于分数布朗运动的亚式期权定价潘 娣 安徽三联学院基础部摘要：给出了分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价的数学模型，通过热传导方程得到了亚式期权价值的解析表达式。
利用数值算例讨论了：赫斯特指数、无风险利率及敲定价格对期权价值的影响.关键词：亚式期权；分数布朗运动；数值算例中图分类号：F830 9；O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0405-02引言期权是指以确定的价格在确定的时间购买或出售确定数量的其标的资产的权利。
在期权合约中，确定的价格为敲定价格，确定日期为到期日。
而看涨期权指在一定的时间以确定的价格购买某项资产的权利，看跌期权则表示卖出该资产的权利。
1973年，Black, Scholes[1]和Merton[2]推导出了古典的Black-Scholes模型，他们设金融衍生产品价值V(S t,t)满足如下的方程这里S t表示股票在t时刻的价格，σ为波动率，r为市场中的无风险利率。
在模型求解中，结合了终值条件V(S T,T)=max(S T-K,0)，其中D为执行价格，T为到期日，那么得到欧式看涨期权价值的解析表达式[1](1.2)其中N(x)为累积标准正态分布函数。
Fama[3]在1965年指出,资产价格具有长期依赖性,由于分数布朗运动是连续的高斯过程，有长期依赖性，所以它能够更精确的描述出金融资产的变化。
Rogers[4]发现分数布朗运动路径积分理论下的市场存在着套利机会。
2003年，Hu和Oksendal[5]推导出了分数Girsanov公式(情形)和分数公式，并验证了此积分对应的市场没有套利机会。
亚式期权是一张期权合约，它在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的资产价格的平均值，这种路径依赖型期权不仅减少了价格变动所带来的影响，也可以准确的反映股票价格变化的趋势，根据计算亚式期权价格方法的不同，可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，根据到期日收益的不同，可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格两类。
亚式期权的一种定价方法
Ｋｅ ｗｏ ｄｓ ｎ ｒ ｌｄ ｓ ｒｂ ｔｏ Ａｓａ ｐ ｉ ｎ ｇ ｏ ｔ ｖ ｒ ｇ ｙ ｒ ｏ ｍａ ｉｔ ｉ ｕ ｉｎ ｉｎ ｏ ｔ ｅ ｍｅ ｉ ａ ｅ ａ ｅ ｏ ｃ
１ 引 言
亚 式期 权 是一 强路 径 有关 期权 ， 它在期 权 到期 日的收 益依 赖 于整 个 有效 期 内原 生资 产 所
Ｊ０
ｅ ｛ ｉｔｔ（）｛－￣ｔ）ｐＴ ｝ ｘ 一Ｉ（ｄＪ ）ｘｆｔ （ｅ－ｏ｝ ｐ ｆ）｝Ｔ ＩｐＴｄＴｘｆ） ・ ｌ ｅ ｏ ｝ ＜｛ Ｋ ｛ （Ｊ ） ０ ｒ
假 设 风险 中性市 场 中有 资产 ， 一种是 无 风险 资产债 券在 时刻 ｔ 格为 Ｐ（）并满 足 价 ￡
ＤｄＰ（ ）＝ Ｐ （） （） ｔ ｔ ｔ ｒ ｔｄ （． ） ２ １
ｒ
ｅｐ一Ｊｆｔ ｔ （ ） ｘ ｛ Ｉ （ｄ｝ ｘ｛ ｌ （ ｄ｝ Ｔ ＞ｅｐ一 ｔ ｔ ） Ｊ ｌ ｒ ） Ｋ一（ ｐ一 Ｉ （ｄ｝（ ） ｅ ｛ ｔ ｔ Ｔ ｘ ｌ ｆ） Ｊ
０ Ｊ ０ Ｊ０
＜ ｅ ｐ 一 ｌ （） ｔＫ） ｘ ｛ ｆｄ ） ｒ 其 中 ｒｆ （）为银行 债 券 的无 风 险利率 ， 据定 义可 以得 到亚式 看涨期 权 当前价 格 Ｃ（ 丁） 根 Ｋ， 和 看跌 期权 的 当前价格 Ｐ（ 丁）的定 义式 ， Ｋ，
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第 ２ 第 ３期 ７卷 ２０ ０ ７年 ９月
数 学 理 论 与 应 用 ＭＡＴＨＥ ＭＡＴＩＡＬＴＨＥ Ｙ Ｃ ＯＲ ＡＮＤ ＡＰ ＬＣＡ ０ＮＳ Ｐ Ｉ Ｔ１
Ｖｏ ． ． Ｉ２７Ｎｏ ３
Ｓ ２ ０ ｅ ０ ７
亚 式 期权 的一种 定 价 方 法
Vasicek利率模型下几何亚式期权的定价
+
Tu
σ2 ( s) d B 2 ( s) d u)
tt
=
∫ ∫ T
T
C2 ( t , T , rt , S t) + f ( s , T) d B 1 ( s) + g ( s , T) d B 2 ( s)
t
t
∫ ∫ 其中 , C2 ( t , T , rt , S t)
=
TT
tln
S ( t)
Pricing Asian Option Under Vasicek Interest Rate
YA O L uo gen , W A N G Xiong , YA N G Xiang qun
(College Of Mat hematics & Computer Science , Hunan Normal University ,Changsha 410081 China)
a2 + b2 + 2ρab
.
详细证明参见[ 1 ]
定理 1 (t 时刻的平均价格型亚式期权的定价公式)
在模型 (1) , (2) 式下 ,股票上的到期时刻为 T ,敲定价格为 K 的几何平均亚式看涨期权在 Π t ,0 ≤
t ≤ T 的价格 C ( t , T , rt , S t) 为 :
∫ C ( t , T , rt , S t)
∫ ∫ S ( u)
e = S t
, u (
t
r(
x)
-
1σ2 22
(
x)
)
d
x
+
uσ
t2
(
x)
dB2
(
x)
∫ ∫∫ ∫ ln S ( u)
蒙特卡罗,基于Java程序的亚式期权定价。
亚式算术平均期权蒙特卡罗定价数值分析摘要：由于亚式算术平均期权的收益依赖于其存续期间离散的标的资产价格，尤其是当涉及到同一时点与若干个变量有关时，传统的数值二项树和有限差分方法难以应付维数灾难，再加上目前亚式算术平均期权没有精确的解析式。
本文正是基于此两点考虑，尝试引入蒙特卡罗方法进行了亚式算术平均期权的定价，基于Java语言进行了具体实现，其中利用中心极限定理生成模拟样本随机数，利用对偶技术提高计算精度。
并且在文末讨论了多维变量中的亚式算术平均期权的随机数生成方法，为下一步研究的复杂的多维亚式期权定价模型提供了一个参考铺垫。
关键词：亚式算术平均蒙特卡罗模拟随机数Java程序语言对偶变量技术一、亚式期权简介自上世纪70年代，Fisher Black，Myron Scholes和Robert Merton在期权定价领域取得重大突破后，金融工程领域得到了极大的促进和发展，涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生而出的金融衍生品种，即奇异期权，亚式期权是奇异期权中强路径依赖期权的一种典型的代表。
亚式期权的收益同标的资产在期权有效期内至少某一段时间内的平均价格有关。
1、亚式期权种类亚式期权可分为平均价格期权和平均执行价格期。
前者可用来避免在一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险；后者可以保证在一段时间内频繁卖出标的资产的平均价格不会低于最终价格，也可以保证一段时间频繁买人标的资产的平均价格不会高于最终价格。
其收益结构如下表：，，其中Save 、X、ST分别是标的资产某一特定区间内的平均值、执行价、到期价格2、对平均价格的探讨对于亚式期权价格平均时，有算术平均和几何平均两种计量方式，相应的计量方法如下：S ave=（算术平均），S ave=（几何平均）。
在亚式期权中只有几何平均期权能得到精确的解析解。
几何平均期权的解析价格公式之所以存在是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。
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亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。
关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析
一、引言
比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。
大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。
本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念
亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。
可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的
收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.
与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。
以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a 表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则
对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为
对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为
亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。
但亚式期权的定价仍是个公开问题。
假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。
对几何平均亚式期权,我们已得到它的定价的解析解,但算术平均亚式期权很难存在这种解析解。
三、亚式期权定价分析
（一）连续型亚式期权的定价
kemna &vorst (1990)通过改变波动率和敲定价格提出
了一个几何平均期权的定价解析公式。
几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算,因为如果价格服从对数正态分布,那么价格的几何平均值也服从对数正态分布。
则几何平均亚式买入和卖出期权的价值就可以得出。
turnbull & wakeman (1991) 提出了一种近似计算方法,尽管亚式期权的分布是未知的,但我们可以精确的计算算术平均的概率分布的头两项，然后再假定算术平均的分布是具有相同头两项的对数正态分布。
将亚式期权转化为普通期权求解其定价公式。
zhang(2001)：给出了具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的半显示解,并得到了较好的数值结果,但此方法没
有充分利用解在部分区域中有解表达式的特征。
（二）离散型亚式期权定价分析
hull & white (1993) 在二叉树的模型上增加一个结点,然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值,最后通过后向折现计算出期权价格。
但是,这种方法不能保证收敛性。
ju（2002）：用泰勒展示的平均特征函数获得近似定价，但定价方法过于复杂且不在black-scholes假设条件下。
（三）monte carlo模拟方法
当衍生证券没有精确的解析公式时，可用数值计算方
法。
常用的数值计算方法可分为三个:monte carlo 模拟，树图方法和有限差分方法。
当衍生证券的持有者在到期前可作出提前执行的决策时，可用后两种方法来计算该衍生证券的价格。
而monte carlo模拟由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势,能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
monte carlo模拟方法在亚式期权定价中应用的基本思想是:假设标的资产的价格的分布函数已知,将期权的有效
期分成若干个小的时间段,从样本中随机抽样来模拟每个时刻股票价格,得到股票价格的一个可能路径,进而可求得期
权在到期日的价值。
这一结果可看成是到期日期权的价值一个随机样本。
不同的路径得到不同的样本,最后对所有的样本求算术平均,就可得到到期日期权的价值,再根据无套利
原理,将该值折现到当前时刻,即可得期权当前的价格。
亚式期权是与路径相关的，monte carlo模拟方法无疑是其定价公式推导的极好应用。
当然，monte carlo模拟方法也有其不足的地方，要想误差小，就要进行多次精确的计算导致效率低下。
近几年人们在原有的monte carlo模拟方法的基础上不断改进，提高效率。
四、总结
前人的工作中已经总结出了许多亚式期权的定价公式，这对我们进一步研究亚式期权起着积极的作用。
但由于其特点，各种定价公式始终存在着不足的地方，要求我们不断完善。
参考文献：
[1]叶中行,林建忠.数理金融[m].北京:科学出版
社,2000.
[2]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[m].华夏出版社,1999.
[3]赖欣,冯勤超.亚式期权定价研究综述[j].modern business trade indust ry,2009,(24).。