2013年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题分，共分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．

．（分）﹣ 的相反数是（）．﹣

．﹣

．．

．（分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

．．．

．

．（分）方程（ ﹣ ）（）的解是（）

．． ﹣ ． ﹣ ，．， ﹣ ．（分）在一次体育测试中，小芳所在小组人的成绩分别是：，，，，，，，，则人体育成绩的中位数是（）

．

．（分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字相对的面上的数字是（）

．．．．

．（分）不等式组的最小整数解为（）

．﹣ ．．．

．（分）如图，是⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点，直线与⊙ 相切于点，则下列结论中不一定正确的是（）

．． ∥ ． ∥ ．∠ ∠

．（分）在二次函数 ﹣ 的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（）

．＜．＞．＜﹣ ．＞﹣

二、填空题（每小题分，满分分）

．（分）计算： ﹣ ﹣ ．

．（分）将一副直角三角板和如图放置（其中∠ ，∠ ）．使点落在边上，且 ∥ ，则∠ 的度数为．

．（分）化简：．

．（分）已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为．

．（分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣ ，﹣ ，，．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是．

．（分）如图，抛物线的顶点为（﹣ ，），与轴交于点（，）．若平移该抛物线使其顶点沿直线移动到点（，﹣ ），点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为．

．（分）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把∠ 沿折叠，使点落在点处．当△ 为直角三角形时，的长为．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．

17．（9分）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如下尚不完整的统计图表．

组别观点频数（人数）

A大气气压低，空气不流动80

B地面灰尘大，空气湿度低m

C汽车尾气排放n

D工厂造成的污染120

E其他60

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m=，n=．扇形统计图中E组所占的百分比为%；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

18．（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A

出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）填空：

①当t为s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

19．（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．

20．（9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．

21．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．

（1）求这两种品牌计算器的单价；

（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；

（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．

22．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如

图4）．若在射线BA上存在点F，使S

△DCF =S

△BDE

，请直接写出相应的BF的长．

23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

2013年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．

1．（3分）﹣2的相反数是（）

A．﹣ B．﹣2 C．D．2

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．

【解答】解：﹣2的相反数是2，

故选：D．

【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．

2．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B．C．D．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

3．（3分）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）

A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3

【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，

x﹣2=0，x+3=0，

x1=2，x2=﹣3，

故选D．

【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

4．（3分）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）

A．47 B．48 C．48.5 D．49

【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．

【解答】解：这组数据的中位数为=48.5．

故选C．

【点评】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否为从小到大排列．

5．（3分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）

A．1 B．4 C．5 D．6

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，

“3”与“5”是相对面，

“1”与“6”是相对面．

故选B．

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

6．（3分）不等式组的最小整数解为（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可．

【解答】解：不等式组解集为﹣1＜x≤2，

其中整数解为0，1，2．

故最小整数解是0．

故选B．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，正确解出不等式的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）

A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC

【分析】根据切线的性质，垂径定理即可作出判断．

【解答】解：A、∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，

∴AG=BG，故正确；

B、∵直线EF与⊙O相切于点D，

∴CD⊥EF，

又∵AB⊥CD，

∴AB∥EF，故正确；

C、只有当弧AC=弧AD时，AD∥BC，当两个互不等时，则不平行，故选项错误；

D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC．故选项正确．

故选C．

【点评】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解定理是关键．

8．（3分）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x 的增大而增大．

【解答】解：∵a=﹣1＜0，

∴二次函数图象开口向下，

又对称轴是直线x=1，

∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口

向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．

二、填空题（每小题3分，满分21分）

9．（3分）计算：|﹣3|﹣=1．

【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可．

【解答】解：原式=3﹣2=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是能进行绝对值及二次根式的化简．

10．（3分）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为15°．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解．

【解答】解：∵∠A=60°，∠F=45°，

∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF=90°﹣45°=45°，

∵ED∥BC，

∴∠2=∠1=30°，

∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°．

故答案为：15°．

【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．

11．（3分）化简：=．

【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=+==．

故答案为：．

【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．

12．（3分）已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为πcm．【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长．

【解答】解：l

==π，

扇形

则扇形的弧长=π cm．

故答案为：π．

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．

13．（3分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是．

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所

求的概率即可．

【解答】解：列表如下：

﹣1﹣234﹣1﹣﹣﹣（﹣2，﹣1）（3，﹣1）（4，﹣1）

﹣2（﹣1，﹣2）﹣﹣﹣（3，﹣2）（4，﹣2）

3（﹣1，3）（﹣2，3）﹣﹣﹣（4，3）

4（﹣1，4）（﹣2，4）（3，4）﹣﹣﹣

所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，

则P数字之积为负数==．

故答案为：．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．（3分）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．

【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．

【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，

由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，

∴四边形APP′A′是平行四边形，

∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），

∴PO==2，∠AOP=45°，

又∵AD⊥OP，

∴△ADO是等腰直角三角形，

∴PP′=2×2=4，

∴AD=DO=sin45°?OA=×3=，

∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12．

故答案为：12．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．

15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为

或3．

【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B 沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=3，

∴CB′=5﹣3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，

∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，

∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．

综上所述，BE的长为或3．

故答案为：或3．

【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角

相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．

【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x=x2+3，

当x=﹣时，原式=2+3=5．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

组别观点频数（人数）

A大气气压低，空气不流动80

B地面灰尘大，空气湿度低m

C汽车尾气排放n

D工厂造成的污染120

E其他60

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m=40，n=100．扇形统计图中E组所占的百分比为15%；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

【分析】（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；

（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；

（3）利用频率的计算公式即可求解．

【解答】解：（1）总人数是：80÷20%=400（人），则m=400×10%=40（人），C组的频数n=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100（人），

E组所占的百分比是：×100%=15%；

故答案为：40，100，15%；

（2）100×=30（万人）；

所以持D组“观点”的市民人数为30万人；

（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是=．

答：随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及列举法求概率．

18．（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A 出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）填空：

①当t为6s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为 1.5s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；

②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．

【解答】（1）证明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，

则此时的时间t=6÷1=6（s）；

②四边形AFCE为直角梯形时，

（I）若CE⊥AG，则AE=CF=BC=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．

（II）若AF⊥BC，

∵△ABC为等边三角形，

∴F为BC中点，即BF=3，