12.类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数

1．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．

(1)已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；

(2)设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．

模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝

_____.

3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点．

(1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数． (2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝

90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出

理由．

模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数

4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1.

(1)求证：∠A 1＝1

2

∠A ；

(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝

_____________.

模型4：求两外角平分线的夹角的度数

【方法5】

5．(1)如图，BO平分△ABC的外角

∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则

∠BOC与∠A的关系为____________；

(2)请就(1)中的结论进行证明．

参考答案与解析

1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－

60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝

1

2∠BAC ＝1

2×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD

＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.

(2)∠DAE ＝1

2(β－α)，证明如下：∵∠B

＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝1

2∠BAC

＝90°－1

2(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°

－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝1

2

(β－α)． 2．60°

3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝

1

2(180°－∠A )＝

1

2

×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.

(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝1

2(∠ABC ＋

∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－1

2∠A ，

∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋1

2

∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．又

∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分

∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴1

2∠ABC ＋

∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝1

2

∠A .

(2)α2

2017 5．(1)∠BOC ＝90°－1

2

∠A

(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝1

2∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－1

2∠A .