与三角形的角有关模型
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
三角形的四大模型
三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。
在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。
下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。
一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。
欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。
欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。
这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。
二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。
特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。
重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。
特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。
例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。
三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。
边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。
在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。
例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。
四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。
向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。
在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
三角形有关的角度计算
与三角形有关的角一、三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形内角和为180︒推论：1、直角三角形两锐角互余2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和（学校课本没有外角概念，小题可以直接用，大题需要证明）1. 【易】（2010年重庆巴蜀中学初一下期中）如图所示，已知,OB OA OD OC ==，且65,20O C ∠=︒∠=︒，则AEB ∠的度数为（ ）A ．90︒B ． 115︒C ． 95︒D ． 105︒2. 【易】（2010湖北武汉二中初一下期中）如图，在直角三角形中，，是斜边上的高，，，垂足分别为、，则图中与（除之外）相等的角的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 【易】（北京汇文中学2013年初一数学第二学期期中考试试卷）适合条件1123∠=∠=∠A B C 的ABC △是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4. 【易】（2009年大兴一模）把两块含有的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点、、在同一直线上,连结，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．5. 【中】（2009年武珞路中学七年级下期中）如图，已知140A BCD ∠+∠=︒，BO 平分ABC ∠，DO 平分ADC ∠，则BOD ∠＝（ ）A ．40︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6. 【中】（2012年昌平二中初一第二学期期中）如下几个图形是五角星和它的变形．DOEC BAABC AC AB ≠AD BC DE AC ⊥DF AB ⊥E F C ∠C FEDCBA234530︒C B E CD BCD ∠15︒30︒35︒45︒OFEDCBAAC B DE7. 8. 3.内9. ⑴ 图①中是⑵ 如果把图（即CAD ∠⑶如果把图（即CAD ∠【易】（中的延长线上D ∠的度数【中】（北小学已学习的度数和为结合上述知已知如图1之为“字问题一：⑴ 在图1中⑵ 如图2，别相交于⑶ 在⑵的条之间的数量问题二：如图3，的平内外角角分线【易】（20角平分线A 8AD ABC ∠AC是一个五角星图①中的点D B C +∠+∠图②中的点C D B AC +∠+∠中关村中学20上，过D 作D 数__________北京十二2013习：三角形的为180︒，上述知识，完成如，线段字形”． 中，请直接写和M 、N ，若条件下，若图量关系． ，且平分线线模型012年杭州市AD ，BE所在AB DAB ∠D BC ∥DQ 图1 OD星，求A ∠+∠A 向下移到B D E +∠+∠）向上移动到CE D +∠+∠014届初一第DE AB ⊥于E ___． 3学初一数学内角和为述结论不受三下问题： 、相交子写出、的平，图2中的且和和相交于市坎山镇中初在直线所成的18CD A ∠BCD ∠40D =︒∠∠DAB ∠BQACBB C +∠+BE 上，形成）有无变化？BD 上，形成E ）有无变化第二学期期中，交AC 学第二学期期，即对于三角形的形状子点，连接、、平分线和，和为任的平分点，判断初一第二学期的角的度数是80︒O B ∠C ∠AP 36B =︒∠D B ∠BCD ∠Q 图2 4321MNO D E ∠+∠．成如图②的图？说明你的结成如图③的图化？说明你的中考试）如图于F ．已知期末考试试题于任意三角形状与大小的影接、之间的相交于点请直接写出任意角，请直分线和断与期期中）在△是（ ）AD CB D ∠CP AP C P ∠Q ∠ PBD形，则图②中结论的正确性图形，则此时的结论的正确图，ABC △中30A ∠=︒，∠题）ABC △，∠响． ，我们把形的数量关系；点，并且与出的度数直接写出相交于点的大小关系ABC 中，∠P P ∠∠CP QAC中五个角的和性．时五个角的和确性．中，点D 在B 80FCD =︒，A 、B ∠、如图1的图形 与、数； 与、点，，并说明理60C =︒．两CD AB P D ∠P ADC∠ 图3O和和BC则C∠形称分和由．两条B ∠C P BD10.11.12. 13.14. 则A ．60︒ 【易】如图40D ∠=︒．A ．50︒【易】（北分线的交点CAB ∠的度A ．36︒ 【中】（武ABC ∠的平平分ACB ∠④BOC ∠= A ．①③④ 【中】（20若50A ∠=A ．15︒ 【易】（204∠=____1BA图，在ABC ∆则A ∠等于 北达资源中学点，点N 是度数为（ 武汉二中广雅平分线与AB △B ，以下结论2COP ∠+∠011年北京八︒，10D ∠= 012年成都金___度．AMCBB ．120︒ 中，B ∠的平于（ ）B ．60︒ 学初一下学期数ABC △两个外）B ．42︒ 雅中学七年级BC 的外角∠论： ①OCP ∠P ．B ．②③④八十中初一下︒，则P ∠的度B ．20︒ 金牛初一下期2EDC 平分线与∠数学期中测试外角平分线的 （下）数学月ACD 的平分90CP =︒；②下期中）如图度数为（ 期末）如图，C ．150︒ C 的外角平分C ．70︒ 试）如图：点的交点，如果C ．54︒ 月考（四））分线相交于点②90BOC ∠=C ．①②③图，ABD ∠，）C ．25︒ 若130∠=︒D 分线相交于D D 点M 是AB △果:CMB C∠∠ D ）如图，在△点P ，O 是B 12A ︒+∠；③ D ACD ∠的角 D ，295∠=︒，．60︒或12，．80︒ BC 两个内角3:2CNB =，．60︒ABC 中，BP 上一点，③12P A ∠=∠．①②③④角平分线交于．30︒335∠=︒，0︒角平则CO；④点P ，15.16.17.18.19.【易】（2050ACB∠=【易】（20ACB∠与∠A∠的度数【中】（清线，可知∠CP仍然是【中】（20ACD∠的平2A∠；……__________【中】如右BE、CE交1BA012年昌平二︒，BP平分011年天津红ABC的角平为_______．清华附初一下90BPC=︒B∠、C∠的010年昌平五平分线交于点…，2008A BC∠__．右图所示，在交于E，BD423AC二中初一第二分ABC∠，CP红桥区七年级平分线的交点期中）如图⑴12A+∠，把图的平分线，猜五中七下期中点1A，得1A∠与2008A CD∠在ABC∆中，D、CD交于A21D二学期期中）P平分ACB∠级第二学期期．BD的延长⑴，BP、C图⑴中的A△猜想BPC∠与中试卷）如图；1A BC∠D的平分线相CD、BE是D，试探索如图，AB△B．则BPC∠中考试数学长线交ACCP是任意ABC变成⑵中A∠、D∠的图，在ABC△与1A CD∠的平相交于点2009A是外角平分线D∠与E∠的BC中，AB∠C的度数____）如图在A△于E，且ED∠ABC△中B∠中的四边形A的数量关系是C中，A a∠=平分线相交于，得2009A∠．线，BD、C的关系：____80BC=︒，____________ABC中，D50DC=︒，则、C∠的角平ABCD，BP是__________，ABC∠于点2A，得．则2009A∠CE是内角平_______．_．是则平分、_．与=分线，20.21.22.23.【易】（20个相等的角⑴求P∠的度⑵若MON∠⑶经过⑴，【中】如图E，求BD∠【中】（20⑴如图1，⑵如图2，动，探究：⑶如图3，EP交于点探究：P∠【中】（20⑴如图1，系是______⑵如图2，A∠的关系是⑶如图3，关系是____010年初一下角．即MAP∠度数；80N=︒，其余⑵的计算，图，在三角形DC的度数．012年北京八两条斜边所当DEF△中在DEF△转当DEF△转P．的度数是否发012年江苏省BO、CO分___________BO、CO分是_________BO、CO分___________下期中）计算PPAB=∠，余条件不变，猜想并证明形ABC中，∠八十中初一下所形成的钝角中的直角边E转动过程，∠转动到如图所发生变化？并省苏州市相城分别是ABC△_____（直接分别是ABC△___________分别是ABC△_______，请证算题：如图，BP把ABN∠，求P∠的度MON∠与42A= ，下期中）将一角α的度数是EF绕点C转αβ+∠的大所示的位置时并说明理由；城区第二学期C中ABC∠写出结论）；C两个外角__，请证明你C一个内角和证明你的结论90MON∠=N平分成两个度数；P∠的关系．ABC∠和A∠一副三角板按是______．转动时（0︒<大小是否发生时，作FCB∠期期中考试初和ACB∠的平；CBD∠和B∠你的结论．和一个外角的论．0︒，AP把∠个相等角，即ACB的三等分如图方式放置45β<︒），生变化？并说B、FEB∠的一数学试卷）平分线，则∠CE的平分线的平分线，则MAB平分成即ABP N∠=∠分线分别交于置．ACB△保持说明理由．的平分线CP）BOC与A∠线，则BOC∠则BOC∠与成两NBP．于D、持不、的关C与A∠的24.25.26.⑷利用以上OF、OD上P，猜想【易】（20分线，交点（过程不写【中】（20试判断AE∠【中】（20高，AE、度数．B上结论完成以上的动点，P∠的大小是否010年深圳外点为点O，O写理由）012年北京ED与ACB∠011年河南省BF是角平分OA图1下问题：如ABO△的外角否变化？请证外国语初一下H BC⊥于点101初一第的大小关系省实验中学内分线相交于点C D图4FOA图4，已知：角OBE∠的平证明你的猜想下测试）已知点H，请写出二学期期中系，并对结论内部中考数学点O，BAC∠图2BOAPB9DOF∠=平分线与内角想．知：AD、BE出BOD∠与）如图，已知进行证明．学第一轮复习50,C C=︒∠=CEDE0︒，点A、角OAB∠的平E、CF是△COH∠的关系知12∠+∠=资料3）A△70︒，求D∠BA图3B分别是射线平分线相交于ABC三条角系，并说明理180︒，3∠ABC中，ADDAC，BOA∠CO线于点角平理由B=∠，D是A的D27.28.29.【中】（20ABC∠，且【中】（20从点出发利用上述知如下图，若反射：在若⑴写出⑵若第次【中】（清点在⑴ 作⑵ 如图2，动的时候⑶ 当的化，如果2PECAA01OA A∠A∠n1n n nA A A-+∠C AQACB∠A∠011年育才中且12∠=∠，012年十一中发经过镜面反知识以及你所若、是处进行第一，_____次反射后，反射________清华附中初一上，连接和的作候，的大小在大于果变化请写出1FDBAOB OC1102OA A=∠12A A=1=CBB ABD∠PBC∠M∠+中学初一下期DC与BE交中学第二学期反射后（是所学过的数学是两个平面镜一次反射，在____；射光线能与平__；（是大一下期中）如并延长．的平分线交于和的平的度数和于小于出ODOθ∠=1A A∠nBBCQ∠N∠0︒90︒M N∠+∠期末）已知：交于点F．期七年级数学是反射光线知识，解决下镜，一束光线在处进行第______平面镜相交，大于等于1的图1，两条射于点，探平分线交于点会如何变化间变化时，的变化范围2A23A=M如图所示，在学期中练习试），有性质下列问题：线从出发，第二次反射…___；根据上面所的整数）射线、探索与点，问当？并给出理由请直接回答．A23A A∠AP AM∠∠N在ABC△中卷）材料：如．在这两个平……_______所求的结果，交于点的关系；点和点在由．：12∠=∠4A=AQ AAB CM N∠+∠中，BE平分如图，一束光平面镜之间来__；猜测，点在在和的度数是否B AAP AQ光线来回上，上运否变AP30.31.32.【中】(201⑴判断⑵若将直线判断图）【中】如图．⑴求⑵在⑴中，与⑶如图乙、、之【中】（20直角三角形BDC A∠=∠F∠ADH∠BAC∠EAD∠BEAD∠B∠C∠B1年三帆初一，过点与线绕这点、、图甲，在．若将、之间图丙，平之间又有什么010年武汉市形，ACBFDA BCD∠DFH AHD∠AB△D甲E DA7C∠=B∠C∠AE乙FADE9AOB∠=一下期中)如图作直线之间存在的点旋转（不之间中，间的数量关系平分，么数量关系？市新洲区初一，斜边DDFDDBCD∠BC∠C70,50B︒∠=BAC∠BC90︒A图，已知，使的数量关系，不含与、间存在的数量，,改为“系吗？为上？请你任意选一下期末）如与轴交A△F DFAB70C=︒∠︒∠F AE丙FADEAB y，，并证明；重合的量关系并证明，”，而上一点，选择其中一种如图，在平面于点．ABC DAC∥CD50B=︒ADC B>∠FDCC为边上一点情况），交明．（如有需垂直于而其它条件不于，种情况证明．直角坐标系中ABD BCBC⊥D点，交射线于点需要，请自己，平分不变，你能求，这时中，CAD AEEFD∠AOB△点，己画分求出与是HD33.34.35.⑴若⑵延长求度数⑶如图，点旋转时（是否发生【中】（20，点⑴如图1⑵如图2，⑶如图3，系式______【中】（杭点的直线⑴如图1，⑵如图2，【中】（20纸片之间有一种⑴若折成图间的关系；⑵若折成图⑶若折成图A∠=ABA∠OAABC∠BABC△，求证交轴于点；平分（斜边与生改变？若不011年武汉二点为直线上当当点在点在边_______ ．杭州七年级下线交于若若010年武汉市片沿折叠种数量关系保图2或图3，即（不必证明图4，写出图5，写出AOC∠xOF AO∠AB图1P40ABC∠=PACPACAD EABE∠=BAD∠+DE∠∠证：，过作，轴正半轴始不变，请求其度二中广雅中学上上一动，延长线上时所示位置时期末复习）在，交于，市洪山区数学叠成图1，此保持不变，请找即点落在）与、与、B B∠=∠E OOM BCO∠yAC︒BAC∠CCAC30︒EBD∠90EBD∠=AA1∠∠A1∠∠；，的平分线交始终相交于点度数；若改变学下学期期末点，PO B⊥，点与时，求证：时，请直接写在中，，求，学七年级（下时点落在找出这种数量或上之间的关系之间的关系BOCOD AB⊥O图260=︒PABC△F AEF∠20D=︒︒BM AD⊥ABE CD22且交的延长线点），在⑵变，请说明理末七年级数学BO于点，与点重合时写出中，．求的度于，求下）期末数学四边形量关系并说明上时，分别写系式；（不必系式．（不必DOB∠=FOCOC(12APO∠=APO∠ABC∠=AFE=∠BAD∠DMBCD，线于点，当⑵的条件下，理由．）在时，与，，是度数．求模拟试卷）如内部，则明理由．出与必证明）必证明）EOB∠O∠PAABC△APO∠=ACB BA∠-∠ACB∠C∠D BADB E∠-∠DEA∠∠当试问的中，平分．．的等量上一点，的度数如图：将与、；与OAE OEA=∠ABO△P∠图3BO)CBAC∠BCEBMA∠1∠2A∠∠，绕度数分量关过．之AO2∠111/1136. 【中】（2012年江苏省苏州市相城区第二学期期中考试初一数学试卷）现有两块大小相同的直角三角板和，，30A D ∠=∠=︒．⑴ 将这两块三角板摆成如图①的形式，使、、、在同一条直线上，点在边上，与相交于点，试求的度数；⑵ 将图①中的固定，把绕着点逆时针旋转如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，?并说明理由．37. 【难】（2010年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学模拟试卷）把一付学生用三角板（和）如图⑴放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边交轴于，斜边交轴于，是中点，．⑴ 把图1中的绕点顺时针旋转度（）得图2，此时的面积是，的面积是，分别求、、三点的坐标； ⑵ 如图3，设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当改变的大小时，的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．图5图4图3图2图112121221A B CD EABCDEA B CDE A BCD EEDCB A ABC DEF 90ACB DFE ∠=∠=︒B F E A C DF DE AC G AGD ∠ABC △DEF △F DF AC ∥图2图1ABCDEF GF ED CBA30,60,90︒︒︒45,45,90︒︒︒A y AC y AD y AE x F AB x G O AC 8AC =Rt AED △A α090︒α<︒≤AGH △10AHF △8F H B AHF ∠AGH ∠M EFH ∠FOC ∠N αN M ∠+∠图3图2图1。
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)1/2∠ABC+1/2∠XXX又因为∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB=180°(三角形内角和定理)所以∠I=90°+1/2∠A应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。
则∠BIC=90°+1/2∠A。
更多内容请关注我的百度文库店铺/shop/bdbceb19e8bb53#doc模型四：两外角角平分线模型条件：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O。
结论：∠BOC=18012BAC ACB)。
证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-1/2(∠BAC+∠ACB)应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BE、CF 分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O。
则∠BOC=1801/2(BAC ACB)。
更多内容请关注我的百度文库店铺/shop/bdbceb19e8bb53#doc模型五：内外角角平分线模型条件：△ABC中，AD是高线，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O，BI是∠ABC的角平分线，且与CF交于点G。
结论：OG⊥BC。
证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-1/2(∠BAC+∠ACB)又因为∠BOG=∠BOC-∠GOC=(180°-1/2(∠BAC+∠ACB))-∠GOC又因为∠BOG=∠BIG+∠GBC=1/2∠ABC+∠XXX所以180°-1/2(∠BAC+∠ACB)-∠GOC=1/2∠ABC+∠XXX即180°-∠GOC-1/2∠BAC-1/2∠ACB=1/2∠ABC+∠XXX 又因为∠BAC+∠GOC=180°(三角形内角和定理)所以180°-1/2(∠BAC+∠ACB)-1/2(180°-∠BAC-∠ACB)=1/2∠ABC+∠XXX即∠GBC=1/2(∠BAC-∠ACB)又因为∠XXX∠BAC+∠ACB=2∠A所以∠BOG=∠XXX-∠XXX∠A即OG⊥BC。
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。
有关三角形外角的模型
有关三角形外角的模型三角形外角是指三角形的一个内角的补角。
在三角形的每个内角的外部都可以找到一个外角。
三角形的三个外角的和总是等于360度。
三角形的外角模型可以用来解决一些与三角形的角度相关的问题。
比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的内角和为180度。
首先，我们可以在三角形的每个顶点处画出一个外角，然后连接这些外角，得到一个完整的圆。
根据圆的性质，圆心角的度数是360度。
由于外角是圆心角的补角，所以三角形的外角和为360度。
而三角形的内角和加上外角和也为360度。
因此，三角形的内角和为180度。
除了证明三角形的内角和为180度，外角模型还可以用来解决其他与三角形的角度相关的问题。
比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的一个内角和与其对边的夹角相等。
我们可以在三角形的一个顶点处画出一个外角，然后连接这个外角的两个边与三角形的两个相邻顶点，得到一个新的三角形。
根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与其对边的夹角相等。
而这两个内角和加上原来的内角和为180度，所以原来的内角和与其对边的夹角相等。
除了用来解决三角形的角度问题，外角模型还可以用来解决一些与平行线和三角形有关的问题。
比如，我们可以利用外角模型来证明当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。
我们可以在两条平行线之间的一条直线上选择一个点，并画出与这个点相交的两条平行线。
然后，我们可以从这个点出发分别画出与两条平行线相交的直线段，得到一个新的三角形。
根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与两个外角和相等。
因此，当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。
三角形外角的模型是一个有用的工具，可以帮助我们解决与三角形的角度相关的问题。
通过利用外角模型，我们可以证明三角形的内角和为180度，以及一些与平行线和三角形有关的性质。
在解决问题时，我们可以根据具体情况选择不同的外角模型，从而得到所需的结论。
三角形中常用的基本模型
A
已知：如图6 ，BE、CE分
别是∠ABC、∠ACD的平分
E 线。
则：∠A=2∠E
B
C
D
图6
精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课件
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7.两外角角平分线的交角
E A
已知：如图7 ，AF、CF分 别是∠EAC、∠ACD的平分 线。
F 则：∠F=90°- ½ ∠B
B
C
D
图7
精品课件
精品课件
精品课件
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4.双垂直模型
C
A D
图4
已知：如图4 则：∠B=∠ACD
∠A=∠BCD
B
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C
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5.两内角角平分线的交 角
A 已知：如图5,BD、CD分别
是∠ABC、∠ACB的平分线。
D
则：∠D= ½ ∠A+90°
B
C
图5
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变式一：
精品课件
6.一内一外角角平分线的交角
三角形中常用的基本模型
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1.“A”字 型
A
D 12 E
已知：如图1 则：∠1+∠2=∠B+∠C
B
C
图1
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B
精品课件
2.“8”字 型
A
B
E
已知：如图2 则：∠A+∠B=∠C+∠D
C
D
图2
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180° 180° 360° 540°
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3.燕尾模 型
A
D
B
C
图3
已知：如图3 则：∠D=∠A+∠B+∠C
三角形中角度计算相关的模型
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。
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与三角形有关的角
基础知识点回顾：
1、三角形的内角：三角形的内角和为180°；
2、三角形的外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
知识讲解概览：
1、“8”字模型
2、飞镖模型
3、内外角平分线模型
一、“8”字模型与飞镖模型
（1）“8”字模型
如图，线段AB与CD相交于点O，连接A、C，连接B、D，则有∠A＋∠C＝∠B＋∠D
（2）飞镖模型
如图，则有∠A＋∠B＋∠C＝∠ADC
例1：下图是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的大小。
例2：如下图，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H。
求证：2∠E=∠A+∠C。
二、内外角平分线问题
（1）内角平分线+内角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠P=90°+21∠A
（2）内角平分线+外角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACD 角平分线的交点，则∠P=2
1∠A
（3）外角平分线+外角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACB 角平分线的交点，则∠P=90°－2
1∠A
例3：在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，AG ⊥AE ，CG 是外角∠ACF 的平分线，若∠G －∠DAE ＝60°，则∠ACB=。