鲁教版九年级数学上册确定二次函数的表达式课件
向下
在对称轴的左侧,y随着 的增大而增大 在对称轴的左侧 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而减小. 随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着 的增大而减小
最小值为k. 当x=h时,最小值为 时 最小值为
最大值为k. 当x=h时,最大值为 时 最大值为
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数
• 第二章
二次函数
二次函数
复习内容
二次函数的意义 确定二次函数的表达式 用描点法画出二次函数的图象 从图象上认识二次函数的性质 确定二次函数的顶点、 确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴 解决简单的实际问题
定义：一般地，形如 定义：一般地，形如y=ax²+bx+c (a,b,c是常数 是常数,a≠ 0)的函数叫做 的 的函数叫做x的 是常数 的函数叫做 二次函数. 二次函数
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a
直线x = − b 2a
费用(万元) 10000 30 20 销售单价(万元/吨)
0
1000
年产量(吨)
0
1000
年产量(吨)
如图， 在一块三角形区域ABC 中 ， ∠ C=90° ， 边 AC=8 ， 如图 ， 在一块三角形区域 ABC中 C=90° AC=8 ABC 90 BC=6 现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG， 内建造一个矩形水池DEFG BC=6 ， 现要在 △ ABC 内建造一个矩形水池 DEFG， 如图的设 计方案是使DE AB上 DE在 计方案是使DE在AB上。 ABC中AB边上的高 边上的高h ⑴求△ABC中AB边上的高h; ⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ DG=x,当 取何值时，水池DEFG的面积最大？ DEFG的面积最大
典型例题 把一根长100cm的铁丝分成两部分 100cm的铁丝分成两部分， 例1 把一根长100cm的铁丝分成两部分，然后分别 围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少? 围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少? cm， 解：设围成的一个正方形边长是xcm，那么另一个
100 − 4 x cm．根据题意， 正方形的边长是 cm．根据题意，得 4
已知二次函数的图象经过点A（C,-2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3. 题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字. （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二 次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的 图象；若不能，请说明理由. （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一 个适当的条件，把原题补充完整.
设每件衬衫降价x 解 ： 设每件衬衫降价 x元 ， 那么商场平均每天可多售出 根据题意， 2x件．根据题意，得商场平均每天盈利 y=(20 x)(40 20+ y=(20+2x)(40 -x) 60x+800． x+800 =-2x2 +60x+800． =
某商人如果将进货价为8元的商品按每件10 2. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10 元出售,每天可销售100 现采用提高售出价， 100件 元出售,每天可销售100件,现采用提高售出价， 减少进货量的办法增加利润， 减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每 涨价1元其销售量就要减少10 10件 涨价1元其销售量就要减少10件,问他将售出价 定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大？ 定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大？并 求出最大利润． 求出最大利润．
5.抛物线y=－ 2x＋ 若其顶点在轴上， 5.抛物线y=－x2－2x＋m，若其顶点在轴上，则 抛物线y= m= -1 。 6.已知二次函数y=3(x－1)2+4，当x取哪些值 6.已知二次函数y=3(x－ +4， 已知二次函数y=3(x ,y的值随 值的增大而减小? 的值随x 时,y的值随x值的增大而减小?
由h和k确定 和 确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） ， ） 直线x=h 直线
由h和k确定 和 确定
向上
在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而增大. 随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着 的增大而增大
我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只 能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资 x万元，所获利润为 1 P=-（x-30） 2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区 50 政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前 后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在 前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路， 且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地 销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润 49 194 Q= - 50 （50-x）2+ （50-x）+308万元. 5 （1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？ （2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？ （3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法 .
某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲 20 正在投篮，已知球出手时离地面高 9 m，与篮 圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为 4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛 物线，篮圈距地面3m。
（1）建立如图的平面直角坐标系， 问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面 1m处跳起盖帽拦截， 已知乙的最大摸高为3.1m， 那么他能否获得成功？
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a
直线x = − b 2a
由a,b和c确定 和 确定
由a,b和c确定 和 确定
向上
在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而增大. 随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着 的增大而增大
3.写出一个图象经过原点的二次函数的表达式 3.写出一个图象经过原点的二次函数的表达式
y=x2
。
评注: 评注:图象经过原点的二次函数的表达式是 y=ax2和y=ax2+bx(a≠0) 4.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛 4.顶点为（－2，－5 且过点（ ，－14） 顶点为（－ 14 物线的解析式为 。
－
＝ ＝
+
2.某种产品的年产量不超过1000吨 2.某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量 某种产品的年产量不超过1000 单位： 与费用（单位：万元） （单位：吨）与费用（单位：万元）之间函数关系的图 象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图）， ），产品的年 象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图），产品的年 销售量（单位： 与单价（单位：万元/ 销售量（单位：吨）与单价（单位：万元/吨）之间函 数的图象是线段（如图）， ），若生产出的产品都能在当年 数的图象是线段（如图），若生产出的产品都能在当年 销售完，那么产量是多少吨时，所获得的毛利润最大？ 销售完，那么产量是多少吨时，所获得的毛利润最大？ 毛利润=销售额-费用） （毛利润=销售额-费用）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 例4 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 单位: 二月一日起的200 天内， 200天内 二月一日起的 200 天内 ， 西红柿市场售价 y1( 单位 : 元 100kg)与上市时间x(单位: 的关系用图3 15的一条 kg)与上市时间x(单位 /100kg)与上市时间 x( 单位 :天 ) 的关系用图 3-15的一条 线段表示；西红柿的种植成本y 单位; 100kg) kg)与上 线段表示；西红柿的种植成本y2(单位;元/100kg)与上
_
= =
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 例3 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 每件盈利40 40元 为了扩大销售， 件 ， 每件盈利 40 元 ． 为了扩大销售 ， 商场决定采取适 当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1 当的降价措施．经调查发现， 如果每件衬衫每降价 1元， 商场平均每天可多售出2 每件衬衫降价多少元时， 商场平均每天可多售出 2件． 每件衬衫降价多少元时， 商场平均每天盈利最多? 商场平均每天盈利最多? 分析：如果每件衬衫降价x 分析 ： 如果每件衬衫降价 x元 ， 那么商场平均每天可多 售出2 则平均每天可售出(20+ x)件 售出 2x 件 ， 则平均每天可售出 (20+2x) 件 ， 每件盈利 40-x)元 (40-x)元． 设每件衬衫降价x 解 ： 设每件衬衫降价 x元 ， 那么商场平均每天可多售出 根据题意， 2x件．根据题意，得商场平均每天盈利 y=(20 x)(40 20+ y=(20+2x)(40 -x) 60x+800． x+800 =-2x2 +60x+800． Nhomakorabea练习
1.已知抛物线y=x2+4x+3它的开口向 上 已知抛物线y=x x+3 ，对 X=称轴是直线 X=-2 ，顶点坐标为（-2，-1） ，图 3,0)， 象与x 象与x轴的交点为(-3,0)，(-1,0) ，与y轴的交 点为 （0，3） 。 2.二次函数y=3(x+1) +4的顶点坐标 2.二次函数y=3(x+1)2+4的顶点坐标 （-1，4）。 二次函数 为
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鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数》大单元教学课件
2..如何研究函数的性质?
3.求函数表达式的方法是什么?
4.函数的实际应用问题
5.二次函数与一元二次方程的关系？与不等式的关系？
课时安排：（14课时）
课时内容
课时数
1.二次函数的定义
1
2.如何研究函数的性
质
4
3.求函数表达式
1
4.函数的实际应用问
题
4
5.二次函数与一元二
次方程的关系，与不
等式的关系
6.本章小结
2
2
备注
思维导图
课例展示
二次函数的图象和性质
课标要求
1. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此
得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
从简单到复杂的学习过程，并且在学生原有的知识一次函数
的基础上来类比学习，让学生体会知识点时间的联系。发展
学生的数学思维，逐步提高分析问题，解决问题的能力，增
强学好数学的信心。
课程标准
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性
质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
情绪，相关知识学得不很透彻。在学生的逻辑推理思维能力，计算
能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强．需要
得到加强，以提升学生的整体成绩；
重难点解析
重点：1.理解二次函数的图像与性质。
2.能正确求出二次函数的解析式。
3.运用二次函数性质解决实际问题。
3.求函数表达式的方法是什么?
4.函数的实际应用问题
5.二次函数与一元二次方程的关系？与不等式的关系？
课时安排：（14课时）
课时内容
课时数
1.二次函数的定义
1
2.如何研究函数的性
质
4
3.求函数表达式
1
4.函数的实际应用问
题
4
5.二次函数与一元二
次方程的关系，与不
等式的关系
6.本章小结
2
2
备注
思维导图
课例展示
二次函数的图象和性质
课标要求
1. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此
得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
从简单到复杂的学习过程，并且在学生原有的知识一次函数
的基础上来类比学习，让学生体会知识点时间的联系。发展
学生的数学思维，逐步提高分析问题，解决问题的能力，增
强学好数学的信心。
课程标准
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性
质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
情绪，相关知识学得不很透彻。在学生的逻辑推理思维能力，计算
能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强．需要
得到加强，以提升学生的整体成绩；
重难点解析
重点：1.理解二次函数的图像与性质。
2.能正确求出二次函数的解析式。
3.运用二次函数性质解决实际问题。
确定二次函数的表达式课件鲁教版(五四制)数学九年级上册
例题讲授
例1 已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，－6），
并且该图象经过点（2，3），求这个二次函数 的表达式. 解：设所求的二次函数表达式为 y=a(x＋1)2-6 因为该图象经过点（2，3), 将坐标代入上式得
3=a(2+1)2-6
解得 a=1
所以这个二次函数的表达式为 y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
（1）已知图象的顶点是原点，且图象经过点（2，－5）. （2）已知图象的顶点坐标是（ －1， － 2），且图象经
过点（1，10）. （3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（ －1， － 1），
（ －4，0）两点.
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出合适的函数表达式； 2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于 待定系数的方程或方程组； 3、 解方程（组）求出待定系数的值； 4、 写出一般表达式。
y= -(x-1)2+4
例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示， 图中的折线近似于抛物线的一部分。
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； （2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函 数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； 解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别 代入表达式，得
课堂小结
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设 顶点式较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
鲁教版九年级数学上册《二次函数》课件 ppt
y=-x2 +8x ②
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件， 再经过一年后的产量是 20__(_1_+_x_)_2___件，即两年后的产
（2） s=3-2t²是二次函数. 一次项系数: 0
（3） y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 常数项: 3
即 y=6x+9 不是二次函数. （4）v=10πr²是二次函数.
二Байду номын сангаас项系数: 10π
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=ax+b(a≠0)，其中包括正比例
3.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的 表面积S与半径r之间的关系式.
S=4πr2
4.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间 的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
变量的二次式表示的.
2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，
c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（2）a，b，c为常数，且 a≠0.
整式
（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是 任意实数 .
量为_y___2_0__1___x_2.
即 y=20x2 +40x+20 ③
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今 后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件， 再经过一年后的产量是 20__(_1_+_x_)_2___件，即两年后的产
（2） s=3-2t²是二次函数. 一次项系数: 0
（3） y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 常数项: 3
即 y=6x+9 不是二次函数. （4）v=10πr²是二次函数.
二Байду номын сангаас项系数: 10π
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=ax+b(a≠0)，其中包括正比例
3.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的 表面积S与半径r之间的关系式.
S=4πr2
4.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间 的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
变量的二次式表示的.
2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，
c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（2）a，b，c为常数，且 a≠0.
整式
（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是 任意实数 .
量为_y___2_0__1___x_2.
即 y=20x2 +40x+20 ③
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数》参考课件2ppt课件
有多少棵橙子树? 这时平均每棵树结多少个橙子?
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但 是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
解：（2）果园共有（100 + x）棵树, 平均每棵树结（600 - 5x）个橙子．
3.2 二次函数
什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 自变量，y是x的函数．
变
一次函数 y = k x + b (k≠0)
量 之 间 的
正比例函数 y = k x (k≠0)
函 数
反比例函数
y=k
(k≠0)
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是 S = -a²+30a ， a 是自变量， S 是 函数，S是a的 二次 函a)
2
= 30a - a² = -a² + 30a
4.选择题：
如果函数 y =(k-3)xk2 3k 2+ kx + 1
(4) y =(x+3)²-x²
是二次函数的是 (1) 、(2) ．
分析: (4) y =(x+3)²-x²= x²+6x+9-x²= 6x+9
2.若 y = (a２-1) x２是关于 x 的二次函数， 则 a 的取值范围是 a≠±1 ．
分析: ∵二次项系数不等于零，
∴ a２-1 ≠ 0
∴ a ≠ ±1
关
x
系
二次函数
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但 是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
解：（2）果园共有（100 + x）棵树, 平均每棵树结（600 - 5x）个橙子．
3.2 二次函数
什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 自变量，y是x的函数．
变
一次函数 y = k x + b (k≠0)
量 之 间 的
正比例函数 y = k x (k≠0)
函 数
反比例函数
y=k
(k≠0)
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是 S = -a²+30a ， a 是自变量， S 是 函数，S是a的 二次 函a)
2
= 30a - a² = -a² + 30a
4.选择题：
如果函数 y =(k-3)xk2 3k 2+ kx + 1
(4) y =(x+3)²-x²
是二次函数的是 (1) 、(2) ．
分析: (4) y =(x+3)²-x²= x²+6x+9-x²= 6x+9
2.若 y = (a２-1) x２是关于 x 的二次函数， 则 a 的取值范围是 a≠±1 ．
分析: ∵二次项系数不等于零，
∴ a２-1 ≠ 0
∴ a ≠ ±1
关
x
系
二次函数
鲁教版五四制数学九年级上册3.5《确定二次函数的表达式2》课件2
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为
16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里，求
抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知抛物线经过(0，0)，
(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
通过利用给定的条件列出a、
c=0
b、c的三元一次方程组，求
400a+20b+c=16 1600a+40b+c=0
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得： a=2, b=-3，c=5
因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5
出a、b、c的值，从而确定 函数的解析式．过程较繁杂.
解得 a= 1 , b= 8 , c=0
25
5
故所求的抛物线解析式为
y= 1 x2+ 8 x
25 5
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图 所示)，求抛物线的解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1 故所求的抛物线解析式为 y=-x2+1
知识应用
例4：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如 下图所示，图中的折线近似于抛物线的一部分.
鲁教版九上2.7二次函数与一元二次方程课件ppt.ppt
y=x2-4x+4的图象与（ X轴）交点的横坐标。 直线y=0
一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4
． N
直线y=0
0 12
x
的图象与直线（ 直线y=1 ）交点的横坐标 y
正确？
y=x2-4x+4
方程x2-4x+4=1的根（x1=1 x2= 3 )
2 1
．． M
N
直线y=1
(x-2)2=1
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
0 123
(x-2)=±1
x
X-2=-1 或 x-2=1
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
想一想
一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c 的图象和 直线y=k 交点横坐标
． ． y 直线y=k
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
复习提问
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4a。c
有两个不等实数根
方程根的情况是：当△﹥0 时方程
；
一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4
． N
直线y=0
0 12
x
的图象与直线（ 直线y=1 ）交点的横坐标 y
正确？
y=x2-4x+4
方程x2-4x+4=1的根（x1=1 x2= 3 )
2 1
．． M
N
直线y=1
(x-2)2=1
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
0 123
(x-2)=±1
x
X-2=-1 或 x-2=1
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
想一想
一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c 的图象和 直线y=k 交点横坐标
． ． y 直线y=k
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
复习提问
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4a。c
有两个不等实数根
方程根的情况是：当△﹥0 时方程
；
鲁教版九年级数学上册二次函数的图象和性质课件
再见
七,二次函数的应用
(2)由配方法得:y=-1/2(x+1/2)2+33/8 所以顶点为(-1/2,33/8) 对称轴是:x=-1/2 在y轴上的截距是:4 在x轴上的截距是方程-x2/2-x/2+4=0的两个根:(-133 )/2和(-1+ 33 )/2 • 注意:1,确定一个二次函数需要三个独立条件. 2,也可用公式法求顶点坐标,但配方法要掌握.
拓展练习
已知关于x的二次函数 y=- x2+(2m+3)x+4-m2的图象与x轴交 于A,B两点,点A在点B的左边,与y轴的交点 C在圆点的上方.若A,B两点到圆点的距离 AO,OB满足4(OB-AO)=3AO.OB, (1)求这个函数的解析式. (2)求这个二次函数的顶点M的坐标,并画 出函数图象的略图. (3)求三角形AMC的面积.
例2:把函数y=x2/2+3x+5/2改写为 y=a(x+m)2+h的形式,并说明
(1)图象的顶点,对称轴和开口方向.
(2)函数的最大值或最小值. (3)x取什么值时,函数是下降的,上升的, 等于0.
解:y=1/2(x+3)2-2
(1)顶点(-3,-2),对称轴是直线x=-3,开口向上. (2)当x=-3时,函数有最小值,y=-2 (3)当x<-3时.函数是下降的;当x>-3时,函数
二次函数的表达式和定义
表达式:
y=ax2 +bx+c
(a=0)
定义域:
全体实数.
三,
二次函数的值域
值域: 1. 当a>0时, y最小值=(4ac-b2)/4a
2.当a<0时,
鲁教版数学九年级上册2.6《确定二次函数的表达式》课件
确定二次函数的解析式
我们在确定一次函数y=kx+b的关系时，通常 需要_2_个独立的条件；确定反比例函数y k
x
时，通常需要_1_个条件，如果确定二次函数 Y=ax2+bx+c的关系式时，又需要_3__个条件呢？
二次函数解析式的几种表达式
•
一般式：y=ax2+bx+c
对称轴：直线x b 2a
练习:
1.已知二次函数过点(0,3), (4,6), 且对称轴 是直线x=5/3,求抛物线的解析式.
2.已知二次函数过点(3,0), (0,3), 且在x轴 上截得的线段长为3,求解析式.
X -2 -1 -1/2 0 1 2 3 y 0 -2 -9/4 -2 0 4 10
1.求这个函数的解析式(要求多种方法);
2.若使上述图象过原点,应进行怎样 的一次平移?
1.把 y x2 4x 3 化为配方式为________, 化为两根式为___________.
2.抛物线 y x2 4x 7 的顶点坐标是( )
对称轴；直线x x1 x2 2
例变题式：训练已：知已二知次二函次函数数与的x图轴像的经交过点（是2，（-31），，0对）称（轴5是，直0） 并线且x=该1,且图图像象经与过x轴（两3交，点-2的）距，离求是这4，个求函此二数次的函解数析的式解析式
能力挑战
例1.已知二次函数的部分图象对应值如下表:
教师点拨：当已知抛物线的顶点坐标时，通常设出二次函数 的顶点式y=a(xБайду номын сангаасh)2+k，代入另一点坐标求出a
思考：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标为 （1 ，0）（ 3 ，0 ）因此抛物线的解析式还可以 表示为__y_=(_x_-1_)(_x-_3)_____________
我们在确定一次函数y=kx+b的关系时，通常 需要_2_个独立的条件；确定反比例函数y k
x
时，通常需要_1_个条件，如果确定二次函数 Y=ax2+bx+c的关系式时，又需要_3__个条件呢？
二次函数解析式的几种表达式
•
一般式：y=ax2+bx+c
对称轴：直线x b 2a
练习:
1.已知二次函数过点(0,3), (4,6), 且对称轴 是直线x=5/3,求抛物线的解析式.
2.已知二次函数过点(3,0), (0,3), 且在x轴 上截得的线段长为3,求解析式.
X -2 -1 -1/2 0 1 2 3 y 0 -2 -9/4 -2 0 4 10
1.求这个函数的解析式(要求多种方法);
2.若使上述图象过原点,应进行怎样 的一次平移?
1.把 y x2 4x 3 化为配方式为________, 化为两根式为___________.
2.抛物线 y x2 4x 7 的顶点坐标是( )
对称轴；直线x x1 x2 2
例变题式：训练已：知已二知次二函次函数数与的x图轴像的经交过点（是2，（-31），，0对）称（轴5是，直0） 并线且x=该1,且图图像象经与过x轴（两3交，点-2的）距，离求是这4，个求函此二数次的函解数析的式解析式
能力挑战
例1.已知二次函数的部分图象对应值如下表:
教师点拨：当已知抛物线的顶点坐标时，通常设出二次函数 的顶点式y=a(xБайду номын сангаасh)2+k，代入另一点坐标求出a
思考：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标为 （1 ，0）（ 3 ，0 ）因此抛物线的解析式还可以 表示为__y_=(_x_-1_)(_x-_3)_____________
鲁教版九年级数学上册《二次函数》课件ppt
随堂练习
在实践中感悟
1.下列函数中，哪些是二次函数？
怎么 判断
？
(1)
y=3(x-1)²+1；
(2)
y
x
1 x
.
(3) s=3-2t².
(4).y
1 x2
. x
(5)y=(x+3)²-x². (6) v=10πr².
随堂练习
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²) 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？
解：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²= -a²+30a .
2
是二次函数关系式.
由感性到理性
1.下列函数中，(x，t是自变量)，哪些是二次函数？
(1)y=
1 2
+3x² ，
(2)
y=
1 2
x²+x³+25，
(3) y=2²+2x，
(4) s=1+t+5t²
2.圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增 加ycm².
想一想
生活问题数学化
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙 子，因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙 子的总产 量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
是二次，自变量x的取值范围是全体实数.
独立作业
1. 物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)与下落
3.5确定二次函数的表达式(第2课时)(课件)-九年级数学上册精品课堂(鲁教版五四制)
所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5.
利用配方法求出对称轴
和顶点坐标
∵y = 2x2 − 3x + 5
3
3
2
=2（x − x+（ ）²2
=2（x −
4
3
31
）²+
4
8
∴二次函数对称轴： 直线x=
顶点坐标：
3
（ ）²）+
4
（ ， ）
5
新知巩固
若二次函数的图象经过点（- 2，3），（- 1，0），
五四制鲁教版九年级上册
第三章
3.5
二次函数
确定二次函数的解析式
第二课时
教学目标
1
2
3
1、已知抛物线上任意三点坐标确定二次函数的表达式。能
根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较
简便的求出二次函数表达式
2、通过自主探究,认识二次函数的三种表达式.经过合作交流,师生
互动,学会用待定系数法确定二次函数的表达式及其一般步骤,提高
新知再探 已知某二次函数经过（-3，0），（-1，0），
议一议
（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，
0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
y
待定系数法步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
故水管长度为 2.25m．
做一做
提升练习
1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始