广东省揭阳市2018年高考第二次模拟考试数学(文)试题含答案

揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）11z i =-234z i =-12z z ⋅A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合，，则（ ）{}230A x x x =+<{B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．{}31x x -<≤-{}31x x -<≤{}1x x ≤{}3x x >3.函数的零点所在的区间为（ ）()xf x ex -=-A ． B ． C ． D ． 11,2⎛⎫--⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，输出的值为，则空白判断框中的条件x 9y 2可能为（ ）A ．B ． C. D ．9x ≤10x ≤8x >9x >5.平面直角坐标系中，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，xOy i j x y 2a i =，以下说法正确的是（ ）b i j =+A ．B ． C. D ．a b = ()a b b -⊥1a b ⋅= //a b6.已知的展开式中常数项为，则的值为（ ）()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭40-a A ． B ． C. D ．22-2±47.已知函数的部分图象如图所示，则的()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<ϕ值为（ ）A ．或B ． C. D ．或3π23π23π43π3π43π8.在如图的程序框图中，输出的值为（ ）nA ．B ． C. D ．143246539.已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长4A B C ABC △为，则的取值范围是（ ）10AC A ． B ． C. D ．()2,5()2,6()3,5()3,610.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（ ）1A ．B ． C. D ．83163420311.过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点22x y =A B AB 到抛物线准线的距离的最小值为（ ）A ．B ． C. D ．12132212.把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于()()2log 1f x x =+()g x 直线对称；已知偶函数满足，当时，y x =()h x ()()11h x h x -=--[]0,1x ∈；若函数有五个零点，则的取值范围是（ ）()()1h x g x =-()()y k f x h x =⋅-k A ． B ． C. D ．()3log 2,1[)3log 2,161log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为 ．1y x=()1,114.题库中有道题，考生从中随机抽取道，至少做对道算通过考试.某考生会做其中1032道，有道不会做，则此考生能通过考试的概率为 ．8215.已知等差数列中，，、、成等比数列，把各项如下{}n a 2416a a +=11a +21a +41a +图排列：则从上到下第行，从左到右的第个数值为 ．101116.平面四边形中，，，，，则的最小长ABCD 60A ∠= AD DC ⊥AB =2BD =BC 度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项的和为，满足，.{}n a n n S 21a =1631n n S a +=-（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，数列的前项和与积分别为与，求与.2n n b a ={}n b n n R n T n R n T18. 如图，在四面体中，,.ABCD 90ABC ADC ∠=∠= BC BD ==（Ⅰ）求证：；AD BD ⊥（Ⅱ）若与平面所成的角为，点是的中点，求二面角的大AB BCD 60 E AC C BD E --小.19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天元；方式而：雨天每天元，晴250120天出工每天元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（天）内的晴天都20030出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（天）为依据作出选择；乙和丙10在分析了当地近年此月的下雨天数（）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的9n 值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.n nn8910111213频数31221（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率.1120. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>1F 2F 2C的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，1C P 1C 12PF =+22PF =（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；1C P （Ⅱ）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交P 1l 2C A B P 1l 2l 1C 于另一点，求的面积的取值范围.C ABC △21. 已知函数，()()()ln 22x mf x ex ax x m +=-+++-（Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的最小值；0a >()1f -()f x （Ⅱ）若，求证：，.0a =[]1,0x ∀∈-()0f x ≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，现以原点为极点，轴的正半轴xOy C 10,2⎛⎫⎪⎝⎭12x 为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求圆的极坐标方程；C （Ⅱ）设，是圆上两个动点，满足，求的最小值.M N C 23MON π∠=OM ON +23.选修4-5：不等式选讲已知函数，，()11f x x x m =++++m R ∈（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；()2f x m ≥-m （Ⅱ）求不等式的解集.()2f x m -<试卷答案一、选择题1-5:CADDB 6-10:ADBCB 11、12：CD 二、填空题或 15. 16.83313232三、解答题：（17）解：（Ⅰ），，1361-=+n n a S 1361-=∴-n n a S )2(≥n 两式相减，得，n n n a a a 3361-=+)2(≥n ，又，n n a a 31=∴+)2(≥n 12=a 所以当时，是首项为1，公比为3的等比数列，2≥n }{n a ，22233--=⋅=n n n a a 由得，满足上式，13621-=a a 311=a 所以通项公式为；23-=n n a *)(N n ∈（Ⅱ），得，公比为9，122293--===n n n n a b 11=b ，8199191-=--=n n n R1213219991-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n b b b b T ．)1(2)1(121399---+++===n n n n n （18）解：（Ⅰ）由已知得，222CD BD BC =+，BC BD ⊥∴又，，BC AB ⊥B AB BD = ，ABD BC 平面⊥∴，AD BC ⊥∴又，，AD CD ⊥C CD BC = ， BCD AD 平面⊥∴.BD AD ⊥∴（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为，即，ABD ∠︒=∠60ABD 设BD ＝2，则BC ＝2，在中，AB ＝4，ADB Rt ∆由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD ，在平面ABD 内，过点B 作，ABD BC 平面⊥AB Bz ⊥则平面ABC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系，Bz ⊥xyz B -则，，，)0,0,0(B )0,0,4(A )0,2,0(C ，由，)0,1,2(E 160cos ||=︒=BD x D ，360sin ||=︒=BD z D 得，)3,0,1(D∴，，)0,1,2(=BE )3,0,1(=BD 设平面BDE 的法向量为，),,(z y x m =则，取，解得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0302z x BD m y x BE m 1=z ⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x ∴是平面BDE 的一个法向量， )1,32,3(-=m又是平面CBD 的一个法向量． )3,0,3(-=AD 设二面角的大小为，易知为锐角，E BD A --θθ则，2132434|||||,cos |cos =⨯==><=AD m AD AD m θ∴，即二面角的大小为．60θ=C BDE --60【解法2：由（Ⅰ）知，与平面所成的角为，即， AB BCD ABD ∠60ABD ∠= 分别取、的中点、，连、，CD BD F G EG FG 在和中，为斜边中点，故，Rt ABC ∆Rt ADC ∆E AC 12BE DE AC ==∴；EG BD ⊥又∵平面，∴，BC ⊥ABD BC BD ⊥又∵ ∴； //BC FGFG BD ⊥∴为二面角的平面角， EGF ∠C BD E --由（Ⅰ）知平面，又，AD ⊥BCD //AD EF 故平面，从而，EF ⊥BCD EF FG ⊥∴12tan 12ADEF EGF FG BC ∠====，即二面角的大小为．60EGF ∴∠= C BD E --60 （19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为、，)(n f )(n g ，(10)250(3010)5000f =⨯-=，52002020010120)10(=⨯+⨯=g 所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的n=8，，5500)830(250)8(=-⨯=f ，5360222008120)8(=⨯+⨯=g 所以乙选择计酬方式一；n 的平均值为，10)1132122101938(91=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯所以丙选择计酬方式二；（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义；（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为，以此作为概率，则未来三年中恰3296=有两年，此月下雨不超过11天的概率为. 94)321()32(223=-⨯C （20）解：（I ）设，，)0,(1c F -)0,(2c F 可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，2C c b =由题意知，得， 4||||221=+=PF PF a 2=a 由，得，222a c b =+2==c b所以椭圆的方程为， 1C 12422=+y x 点P 的坐标为.)0,2(（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆相交于两点，知直线l 2的斜率存在，1C 设l 2的方程为，由题意可知，)2(-=x k y 0≠k 联立椭圆方程，得， 0488)12(2222=-+-+k x k x k 设，则，得，),(22y x C 12482222+-=⋅k k x 1224222+-=k k x 所以； 1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC 由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为，即)2(1--=x ky 02=-+ky x 圆心到l 1的距离，又圆的半径，)0,0(212k d +=2=r 所以，1)1(21422||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB 由即，得，r d <2122<+k 12>k ， 112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC1212412142222+-⋅=++⋅k k k k设，则，，12-=k t 0>t ABC S ∆==≤=当且仅当“＝”，t =k =所以△ABC 的面积的取值范围是． (0,（21）解：（I ），定义域为，m ax ax x e x f m x -+++-=+2)2ln()(2),2(∞+-．a ax x e x f m x 2221)('+++-=+由题意知，即，解得，0)1('=-f 011=--m e 1=m 所以，，1)2()2ln()(1-+++-=+x ax x e x f x a ax x e x f x 2221)('1+++-=+又、、（）在上单调递增，1+=x e y 21+-=x y a ax y 22+=0>a ),2(∞+-可知在上单调递增，又，)('x f ),2(∞+-0)1('=-f 所以当时，；当时，．)1,2(--∈x 0)('<x f ),1(∞+-∈x 0)('>x f 得在上单调递减，在上单调递增，)(x f )1,2(--)(x f ),1(∞+-所以函数的最小值为．)(x f a a f -=--=-11)1(（II ）若，得，0=a m x e x f m x -+-=+)2ln()(21)('+-=+x e x f m x 由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：)('x f ]0,1[-)(x f ]0,1[-①当在上单调递增时，)(x f ]0,1[-可知，即，即，解得，0)('≥x f 0)1('≥-f 011≥--m e 1≥m ，令，则，m e f m -=--1)1(m e m g m -=-1)(01)('1≥-=-m e m g 所以单调递增，，所以；)(m g 0)1()(=≥g m g 0)()1()(≥=-≥m g f x f ②当在上单调递减时，)(x f ]0,1[-可知，即，即，解得，0)('≤x f 0)0('≤f 021≤-m e 2ln -≤m 得，所以；02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=m m m e e m e f 0)0()(>≥f x f[或：令，则，2ln )(--=m e m h m 0211)('<-≤-=m e m h 所以单调递减，，所以；])(m h 021)2ln ()(>=-≥h m h 0)()0()(>=≥m h f x f ③当在上先减后增时，得在上先负后正，)(x f ]0,1[-)('x f ]0,1[-所以，，即，取对数得，)0,1(0-∈∃x 0)('0=x f 2100+=+x e m x )2ln(00+-=+x m x 可知，)()(0min x f x f =m x e m x -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x 所以；0)(>x f 综上①②③得：，．]0,1[-∈∀x 0)(≥x f 【或：若，得，0=a m x e x f m x -+-=+)2ln()(21)('+-=+x e x f m x 由在上单调递增，分如下三种情形：)('x f ]0,1[-①当恒成立时，只需，即，解得，0)('≥x f 0)1('≥-f 011≥--m e 1≥m 可知在上单调递增，，令，)(x f ]0,1[-m ef m -=--1)1(m e mg m -=-1)(则，所以单调递增，，01)('1≥-=-m e m g )(m g 0)1()(=≥g m g 所以；0)()1()(≥=-≥m g f x f ②当恒成立时，只需，即，解得，0)('≤x f 0)0('≤f 021≤-m e 2ln -≤m 可知在上单调递减时，，)(x f ]0,1[-02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=m m m ee m ef 所以；0)0()(>≥f x f ③当在上先负后正时，在上先减后增，)('x f ]0,1[-)(x f ]0,1[-所以，，即，取对数得，)0,1(0-∈∃x 0)('0=x f 2100+=+x e m x )2ln(00+-=+x m x可知，)()(0min x f x f =m x e m x -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x 所以；0)(>x f 综上①②③得：，. 】]0,1[-∈∀x 0)(≥x f （22）解：（I ）圆的直角坐标方程为， C 221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化为极坐标方程为；sin ρθ=（II ）设， ()122,,,3M N πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭122sin sin 3OM ON πρρθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭， 13sin sin 23πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由，得，，0203θππθπ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩03πθ≤≤2333πππθ≤+≤，即的最小值为sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭OM ON +(23)解：（I ），|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=由题意知，得，解得；|2|||-≥m m 22)2(-≥m m 1≥m （II ）不等式为，即m x m x 2|1||1|<-++-m m x x 2|)1(||1|<+-+-若，显然不等式无解；0≤m 若，则．0>m 11>+m①当时，不等式为，解得，1≤x m x m x 211<-++-21m x ->所以； 121≤<-x m ②当时，不等式为，恒成立，11+<<m x m x m x 211<-++-所以；11+<<m x ③当时，不等式为，解得，1+≥m x m m x x 2)1(1<+-+-123+<m x 所以；1231+<≤+m x m 综上所述，当时，不等式的解集为空集，0≤m 当时，解集为． 0>m }12321|{+<<-m x m x。