浙江省宁波市余姚中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题

浙江省宁波市余姚中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数3i()12ia z a +=∈+R 实部与虚部相等，则a 的值等于 A ．-1 B ．3C ．-9D ．92．曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ）A ．135︒-B ．45°C ．45︒-D ．135°3．下列求导运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()1ln 2x x'= C ．()333log xx e'=D ．()22x x x e xe '=4．下列推理中正确的是（ ）A ．把()a b c +与log ()a x y +类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+B ．把()a b c +与sin()x y +类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+C ．把()n ab 与()n x y +类比，则有：()n n n x y x y +=+D ．把()a b c ++与()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，应假设（ ） A ．三角形的三个内角都不大于60︒B ．三角形的三个内角都大于60︒C ．三角形的三个内角至多有一个大于60︒D ．三角形的三个内角至少有两个大于60︒6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin ()f x a x x a R =-∈，则下列错误．．的是（ ） A ．无论a 取何值()f x 必有零点 B ．无论a 取何值()f x 在R 上单调递减 C ．无论a 取何值()f x 的值域为R D ．无论R 取何值()f x 图像必关于原点对称8．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（ ）A ．都不可能使3枚全部正面朝上B ．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C ．都不可能使3枚全部反面朝上D ．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上9．已知,(0,)a b e ∈，且a b <，则下列式子中一定正确的是（ ） A ．ln ln a b b a < B ．ln ln a b b a > C ．ln ln a a b b >D ．ln ln a a b b <10．已知函数()()23xf x x e =-，若关于x 的方程()()22120f x mf x e --=的不同实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为（ ） A ．3 B ．1或3C ．3或5D ．1或3或5二、双空题11．若复数z 满足(1)12z i i -=+，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限；z =________.12．若()*111()12331f n n N n =++++∈-，用数学归纳法验证关于()f n 的命题时，第一步计算(1)f =________；第二步“从n k =到1n k =+时”，(1)()f k f k +=+________．13．已知函数3223fx x mx nx m =+++（）在1x =-处极值为0，则m =____,n =___ ． 14．已知函数3()2f x x ax =-+，若函数()f x 的一个单调递增区间为(1,)+∞，则实数a 的值为_______，若函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是_______．三、填空题 15．已知函数1()sin 2f x x x =-，(0,)x π∈，则()f x 的最小值为______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123a =-，且12(2)nn n S a n S ++=≥，则2019S =________．17．设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意的[,]x a b ∈，都有|()()|(0)f x g x k k -≤>，则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是“k 度和谐函数”，[,]a b 称为“k 度密切区间”．设函数()ln f x x =与1()mx g x x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________．四、解答题18．已知复数2(1)3(1)2i i z i++-=+（i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若21z az b i ++=+，求实数,a b 的值．19．设函数3()(0)f x ax bx c a =++≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-．（1）求,,a b c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．20．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知数列{}n a 满足，12a =，()()*11)2n n a a n N +=-+∈．（1）求{n a -的通项公式；（2）在数列{}n b 中，()*11342,23n n n b b b n N b ++==∈+，()*43n n b a n N -<≤∈．22．已知函数()()x2f x x 3e x 4x =--+,()xg x xe 5x 1=-+． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调减区间； （Ⅱ）证明:()()f x g x <；（Ⅲ）当()x ,3∞∈-时，()f x ax 3≤-恒成立，求实数a 的值.参考答案1．A 【解析】 试题分析：3i 12ia z +=+,又因为3i()12ia z a +=∈+R 的实部与虚部相等， 所以，故.考点：复数的运算点评：本题考查了复数的概念及除法运算的方法，属基础题. 2．D 【分析】对函数进行求导得2y x '=-，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】2122y x x =-， 2y x '∴=-， 1|121x y ='∴=-=-，即曲线2122y x x =-在点3(1,)2-处切线的斜率为1-，故曲线2122y x x =-在点3(1,)2-处切线的倾斜角为135︒，故选：D ． 【点睛】本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x=⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222xxx x e xex e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题. 4．D 【分析】利用对数运算法则、和角的正弦公式、乘方运算、乘法的结合率，即可得出结论． 【详解】对A ，根据对数运算法则，可得log log log a a a xy x y =+，故A 不正确； 对B ，利用和角的正弦公式，sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+，故B 不正确； 对C ，令1,2x y n ===，左边为4，右边为2，等式显然不成立，故C 不正确； 对D ，利用乘法的结合律，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础. 5．B 【分析】根据反证法可知，假设应该否定结论，即可求解. 【详解】由反证法可知，只需要把结论否定即可， 应该假设：三角形的三个内角都大于60︒ 故选：B 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于容易题. 6．C 【分析】根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可. 【详解】由()y xf x '=的图象可得：当1x >时,()0xf x '>,∴()0f x '>,即函数()y f x =单调递增；当01x <<时,()0xf x '<,∴()0f x '<,即函数()y f x =单调递减；当10x -<<时,()0xf x '>,∴()0f x '<,即函数()y f x =单调递减；当1x <-时,()0xf x '<,∴()0f x '>,即函数()y f x =单调递增, 观察选项,可得C 选项图像符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题. 7．B 【分析】根据(0)0f =知函数有零点，判断A 正确；根据11a -时()0f x '<，()f x 单调递减，否则，()f x 单调增函数，判断B 错误；根据()f x 是奇函数，且()f x 在R 上是单调函数，判断C 正确；根据()f x 是定义域R 上的奇函数，判断D 正确． 【详解】对A ，函数()sin ()f x a x x a R =-∈，且(0)0f =，∴无论a 取何值()f x 必有零点，故A 结论正确；对B ，()cos 1f x a x '=-，当11a -时()0f x '<，()f x 在R 上单调递减，否则，()f x 可能是单调增函数，故B 结论错误； 对C ，()f x 的定义域为R ，且当x →+∞时，()f x →-∞；当x →-∞时，()f x →+∞()f x 值域是R ，故C 结论正确；对D ，()sin f x a x x =-的定义域是R ，且()()f x f x -=-，()f x ∴是定义域R 上的奇函数，图象关于原点对称，故D 结论正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断考查函数的零点以及单调性和值域应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 8．C 【分析】先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可. 【详解】对A ，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A 错误；对B ，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C 选项的证明，发现此种情况不可能，故B 错误；对C ，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C 正确；对D ，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题. 9．B 【解析】 设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，在(0,)e 上()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()f a f b <，即ln ln ,ln ln a b b a a b a b<<,A 不正确；设()ln ,g x x x =则()1ln g x x '=+，当1(0,)x e∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当1(,)x e e∈时，()0,()'>g x g x 单调递增，∴C,D 均不正确,选B.点睛：利用导数比较不等式大小，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 10．A 【解析】由题可知f′（x ）=（x+3）（x ﹣1）e x ，由e x ＞0可知f （x ）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减． 令f （x ）=t ，则方程必有两根t 1，t 2（t 1＜t 2）且12212t t e=-注意到f （﹣3）=6e ﹣3，f （1）=﹣2e ，此时恰有t 1=﹣2e ，236t e =，满足题意． ①当t 1=﹣2e 时，有236t e=， 此时f （x ）=t 1有1个根，此时f （x ）=t 2时有2个根； ②当t 1＜﹣2e 时，必有2360,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 此时f （x ）=t 1有0个根，此时f （x ）=t 2时有3个根； ③当﹣2e ＜t 1＜0时，必有t 2＞6e ﹣3，此时f （x ）=t 1有2个根，此时f （x ）=t 2时有1个根； 综上所述，对任意的m ，关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣212e =0均有3个不同实数根， 故选A ．点睛：这个题目考查的是复合函数方程的根的问题，一般对于这种题目，先是设内层函数为t ，抽象出外层函数，先找到外层对应几个t ，再找到一个t 对应几个根，从而求得最终函数的零点个数．在处理根的个数问题时，多数情况下可以转化为两个函数图像的交点问题．11．二2【详解】因为()()()()221211213213(1)12111122i i i i i z i i z i i i i i +++++-=+⇒====-+--+- 所以复数z 在复平面上对应的点13,22⎛⎫-⎪⎝⎭位于第二象限；z ==故答案为：(1). 二(2). 【点睛】本题考查复数的四则运算，还考查了其几何意义与求模，属于基础题. 12．32 11133132k k k ++++ 【分析】直接根据条件计算(1)f 的值，写出(1)f k +的表达式，再观察得到答案. 【详解】()*111()12331f n n N n =++++∈-， ∴13(1)122f =+=；111111111(1)11233(1)1233133132f k k k k k k +=++++=++++++++--++ 111()33132f k k k k =+++++， 故答案为： 32；11133132k k k ++++. 【点睛】本题考查数学归纳法的推理过程，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 13．2. 9. 【解析】分析：先求出236f x x mx n '=++（） ，得方程组2(1)360(1)130f m n f m n m '--+⎧⎨--+-+⎩＝＝＝＝ ，解出即可；详解：236f x x mx n '=++（） ∴2(1)360 (1)130f m n f m n m '--+⎧⎨--+-+⎩＝＝＝＝， 解得：1 3m n ⎧⎨⎩＝＝ ，或2 9m n ⎧⎨⎩＝＝ ，但1 3m n ⎧⎨⎩＝＝时2360f x x mx n '=++≥（）恒成立，即1x =-无极值，故舍去.即答案为2 9m n ⎧⎨⎩＝＝. 点睛：本题考察了求函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．14．3 (,3]-∞【分析】先求导，再利用'(1)0f =即可求出a 的，根据函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，可得2()30f x x a '=-，在(1,)+∞恒成立，求出a 的范围即可【详解】（1）3()2f x x ax =-+，2()3f x x a ∴'=-，函数()f x 的一个单调递增区间为(1,)+∞，∴'(1)0f =，∴303a a -=⇒=.（2）函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，2()30f x x a ∴'=-，在(1,)+∞恒成立，23a x ∴，在(1,)+∞恒成立，3a ∴，故答案为：3；(-∞，3].【点睛】本题考查导数和函数的单调性的关系、函数恒成立的问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．6π-【解析】【分析】先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【详解】 由题意，函数1()sin 2f x x x =-，则1'()cos 2f x x =-，(0,)x π∈， 令'()0f x <，解得03x π<<，令'()0f x >，解得3x ππ<<，则函数()f x 在(0,)3π递减，在()3ππ,递增，所以min ()()sin 3636f x f ππππ==-=，故答案为：62π-． 【点睛】 本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟练利用导数得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．20202021- 【分析】 利用数列的递推关系可得112n nS S -+=-，再利用不完全归纳法可得答案. 【详解】112n n n n nS a S S S -=-++=， ∴112n n S S -+=-， ∴2121324S S S =⇒=-+-，2331425S S S =⇒=-+-， 3441526S S S =⇒=-+- 可归纳推理得到：201920202021S =-， 故答案为：20202021-. 【点睛】 本题考查数列的递推关系和不完全归纳法的应用，考查逻辑推理能力.17．[1,1]e -+【分析】由“e 度和谐函数”，得到对任意的1[x e ∈，]e ，都有|()()|f x g x e -，化简整理得1m e lnx m e x -++，令11()()h x lnx x e x e=+，求出()h x 的最值，只要m e -不大于最小值，且m e +不小于最大值即可． 【详解】函数()f x lnx =与1()mx g x x -=在1[e ，]e 上是“e 度和谐函数”， ∴对任意的1[x e ∈，]e ，都有|()()|f x g x e -， 即有1||lnx m e x +-，即1m e lnx m e x-++， 令11()()h x lnx x e x e =+，22111()x h x x x x -'=-=， 1x >时，()0h x '>，1x <时，()0h x '<，1x =时，()h x 取极小值1，也为最小值，故()h x 在1[e，]e 上的最小值是1，最大值是1e -． 1m e ∴-且1m e e +-，11m e ∴-+．故答案为：[1,1]e -+.【点睛】本题考查函数新定义及运用、考查不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意转化为求函数的最值. 18．（1）1z i =-（2）3,4a b =-=【分析】（1）利用复数的四则运算，即可得答案；（2）将复数1z i =-代入21z az b i ++=+，再利用复数相等，即可得答案.【详解】（1）2(1)3(1)233551225i i i i i z i i i ++-+--====-++. （2）∵复数21,1z i z az b i =-++=+，∴2(1)(1)1i a i b i -+-+=+，∴(2)1a b a i i +-+=+，∴1a b +=，21a +=-，∴3,4a b =-=.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数相等的概念，考查运算求解能力，属于基础题.19．（1）2,12,0a b c ==-=（2）最大值是18，最小值是-【分析】（1）根据奇函数可得0c ，再利用导数的几何意义和二次函数的最值，可得,a b 的值； （2）利用导数可得函数的单调区间和极值，进而求得函数的最值.【详解】（1）∵()f x 为奇函数，∴(0)0f c ==，∵2()3f x ax b '=+的最小值为12-，∴0,12a b >=-，又直线670x y --=的斜率为16，∴(1)36f a b '=+=-， ∴2,12,0a b c ==-=.（2）3()212f x x x =-，2()6126(f x x x x '=-=+-，列表如下：∴函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，∵(1)10,(3)18f f f -==-=，∴函数()f x 在[1,3]-上的最大值是18，最小值是-【点睛】本题考查导数的几何意义、导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.20．（1）见解析；（2）(0,1).【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21．（1）1)n n a =-（2）见解析【分析】（1）利用构造法得到(11)n n a a +={n a 为等比数列，再求出数列的通项公式；（2）利用数学归纳法进行证明，即可得答案；【详解】（1）由题设：()11)21)(1)(2n n n a a a +=+=++(1)n a =+所以，数列{n a是首项为21的等比数列，∴1(21)1)n n n a -=.（2）用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =112,2b a <==11b a ≤（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<≤- 当1n k =+时，(1(334(3(40232323k k k k k k k b b b b b b b +--+-+-===>+++，又1323k b <=-+，所以((21(3(323k k k k b b b b +-=<-+(443411)k k a a -+≤=．也就是说，当1n k =+时，结论成立，*43,n bn a n N -<≤∈．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式、数学归纳法的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22．(1) f (x )的单调递减区间是()ln2,2.(2)证明见解析.(3) 2a =.【解析】【分析】(Ⅰ) 求导()()()22x f x x e =--'，由()0f x '<，即可得到函数()y f x =的单调减区间； (Ⅱ) 记h (x )＝f (x ) -g (x ),设法证明()max 0h x <，即可证明()()f x g x < .(Ⅲ) 由题()(),33x f x ax ∈-∞≤-当时，恒成立，即()2433x x a x e x +--≥-，易证1x e x ≥+,当0x =时取到等号，由()24313x a x x x +--+≥- 得()()()21343x x x a x +-≤+--,由此可求a 的值.【详解】(Ⅰ) 因为()()324x x f x e x e x =+--+'()()222x x e x =---()()22x x e =--由()0f x '<，得ln22x <<所以f (x )的单调递减区间是()ln2,2.(Ⅱ) 记h (x )＝f (x ) -g (x )＝2391x e x x --+-, ()329x h x e x '=--+,()320,x h x e '=--<'所以(h x '）在R 上为减函数因为()()060,1370h h e =-''=>+<所以存在唯一0(0,1x ∈），使0)0h x '=（即003290xe x --+=， 00329x e x -=-,当()0,x x ∈-∞时，()0h x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<.所以()()02000max 391x h x h x e x x ==--+- 20009291x x x =-+-+-2001110x x =-+-()()001100x x =---<所以()()f x g x < .(Ⅲ) 因为3x <,所以()2433x x a x e x +--≥-,易证1x e x ≥+,当0x =时取到等号，由()24313x a x x x +--+≥- 得()()()21343x x x a x +-≤+--,()20a x -≥,所以20a -=即2a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。