浙江省宁波市余姚中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题

浙江省宁波市余姚中学2020-2021学年高二下学期3月月考

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．若复数3i

()12i

a z a +=∈+R 实部与虚部相等，则a 的值等于 A ．-1 B ．3

C ．-9

D ．9

2．曲线2122y x x =

-在点31,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭处的切线的倾斜角为（ ）

A ．135︒-

B ．45°

C ．45︒-

D ．135°

3．下列求导运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()1

ln 2x x

'= C ．()

333log x

x e

'

=

D ．()

22x x x e xe '=

4．下列推理中正确的是（ ）

A ．把()a b c +与log ()a x y +类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+

B ．把()a b c +与sin()x y +类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+

C ．把()n ab 与()n x y +类比，则有：()n n n x y x y +=+

D ．把()a b c ++与()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =

5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，应假设（ ） A ．三角形的三个内角都不大于60︒

B ．三角形的三个内角都大于60︒

C ．三角形的三个内角至多有一个大于60︒

D ．三角形的三个内角至少有两个大于

60︒

6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知函数()sin ()f x a x x a R =-∈，则下列错误．．的是（ ） A ．无论a 取何值()f x 必有零点 B ．无论a 取何值()f x 在R 上单调递减 C ．无论a 取何值()f x 的值域为R D ．无论R 取何值()f x 图像必关于原点对

称

8．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（ ）

A ．都不可能使3枚全部正面朝上

B ．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上

C ．都不可能使3枚全部反面朝上

D ．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上

9．已知,(0,)a b e ∈，且a b <，则下列式子中一定正确的是（ ） A ．ln ln a b b a < B ．ln ln a b b a > C ．ln ln a a b b >

D ．ln ln a a b b <

10．已知函数()(

)

2

3x

f x x e =-，若关于x 的方程()()2

2

12

0f x mf x e --

=的不同实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为（ ） A ．3 B ．1或3

C ．3或5

D ．1或3或5

二、双空题

11．若复数z 满足(1)12z i i -=+，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限；

z =________.

12．若()*11

1

()123

31

f n n N n =+

+++

∈-，用数学归纳法验证关于()f n 的命题时，第一步计算(1)f =________；第二步“从n k =到1n k =+时”，(1)()f k f k +=+

________．

13．已知函数3223f

x x mx nx m =+++（）在1x =-处极值为0，则m =____,n =___ ． 14．已知函数3()2f x x ax =-+，若函数()f x 的一个单调递增区间为(1,)+∞，则实数a 的值为_______，若函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是_______．

三、填空题 15．已知函数1

()sin 2

f x x x =

-，(0,)x π∈，则()f x 的最小值为______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123

a =-，且12(2)n

n n S a n S ++=≥，则2019S =________．

17．设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意的[,]x a b ∈，都有|()()|(0)f x g x k k -≤>，则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是“k 度和谐函数”，[,]a b 称为“k 度密切区间”．设函数()ln f x x =与1()mx g x x -=在1,e e ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________．

四、解答题

18．已知复数2(1)3(1)

2i i z i

++-=+（i 为虚数单位）

（1）求z ；

（2）若21z az b i ++=+，求实数,a b 的值．

19．设函数3()(0)f x ax bx c a =++≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线

670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-．

（1）求,,a b c 的值；

（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．

20．已知函数)f x =（

a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

21．已知数列{}n a 满足，12a =，()()

*

11)2n n a a n N +=-+∈．