2015年东北育才学校分流考试数学试题
辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷(解析版)
辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷（解析版）一、选择题1．平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足6||||=+PB PA ，则||PA 的取值范围是 A ．]5,1[ B ．]6,1[ C ．]5,2[ D ．]6,2[【答案】A 【解析】试题分析：由椭圆的定义可将题目条件转化为动点P 在以A 、B 为焦点、长轴等于6的椭圆上，且3,2a c ==，又根据椭圆的性质知PA 的最小值为1a c -=，最大值为5a c +=，所以正确选项为A ．考点：①椭圆的定义和性质；②数形结合的思想． 2．以下命题正确的个数为①命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x ≤≤则”； ②命题“若,αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为真命题；③命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥都有”；④“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：命题的否命题分别否定命题的条件和结论，①正确；命题“若αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为“若tan tan αβ>，则αβ>”，当αβ、处于不同单调区间上时显然为假命题，②错误；特称命题和全称命题的否定，③正确；()()22021021x x x x x x +->⇒+->⇒<->或，④正确，所以正确选项为C ．考点：①简易逻辑；②命题的真假判断．3．设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则OM ON 的最大值为A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】A 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，如下图所示：因为(2,1)(,)2OM ON x y x y ⋅=⋅=+，故可设设2,z x y =+则当直线2z x y =+经过交点A (1,10)时，z 取得最大值，最大值为12，所以正确选项为A ．考点：①简单线性规划的应用；②向量的数量积运算． 4．已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx=25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x+1>0．给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ⌝∨⌝”是假命题； ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∧”是假命题；其中正确的是A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③ 【答案】C 【解析】试题分析：命题p 中，sin 122x =>=，超出了正弦函数的值域[]1,1-，显然不存在这样的x 值，p 为假命题；命题q 中，二次项系数10>且0∆<，显然为真命题；所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，由复合命题的真假判断规则得③④正确，所以正确选项为C ． 考点：①复合命题的真假判断；②正弦函数的性质；③一元二次不等式的解法． 5．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围 A ．)22,2(πππ+k kB ．)2,(πππ+k kC ．)62,2(πππ+k kD ．(2,2)(2,2)k Z 662k k k k πππππππ+⋃++∈【答案】D【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：(2,2)2k k πθππ∈+，由于26k πθπ≠+，(2,2)(2,2)662k k k k πππθππππ∈+++ Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．6．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b ca b c ==”是“M ＝N ” 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】D 【解析】 试题分析：若“1112220a b c a b c ==<”时，则不等式21110a x b x c ++<⇔22220a x b x c ++>，则“M N ≠”，即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不充分条件； 但当“M N ==∅”，如：210x x ++<和220x x ++<，“111222a b c a b c ==”不成立， 即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不必要条件； 故“111222a b c a b c ==”是“M N =”的既不充分也不必要条件，所以正确选项为D ． 考点：①必要条件、充分条件的判断；②不等式的基本性质．7．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =, 3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200 C ．150或 -200 D ．-50或400 【答案】A 【解析】试题分析：这类题的处理通常就是用求和公式将条件转化为1a 和q 的方程组，当用求和公式一定要注意对1q =的检验．若1q =，由1010S =可得303070S =≠，故公比1q ≠，1011030130(1)101(1)701a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪∴⎨-⎪==⎪-⎩①② ②/①可得301020101171q q q q-=++=-，解得102q =，或103q =-， 等比数列{}n a 的各项均为实数，102q ∴=，代回（1）可得1101a q=-- 404140(1)10(12)1501a q S q-∴==-⨯-=-，故正确选项为A ．考点：①等比数列的前n 项和公式；②方程思想．8．已知x (]1,∞-∈,不等式()04212>⋅-++x x a a 恒成立,则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,2 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41, C ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 D ．(]6,∞-【答案】C【解析】 试题分析： 设2xt =，则22222111()0()1()1()t a a t a a t t a a t t a a t t⎛⎫++->⇒->--⇒-<+⇒-<+ ⎪⎝⎭恒成立，由(,1]x ∈-∞得11(0,2],2t t ⎡⎫∈⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭，此时问题可转化为求211t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值问题，因为2111f t t t⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开口向上，对称轴为112t =-，所以1f t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，故min 11324f f t ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()22313443021230|422a a a a a a a a ⎧⎫-<⇒--<⇒+-<⇒-<<⎨⎬⎩⎭， 所以正确选项为C ．考点：①不等式恒成立问题；②换元法；③等价转化思想．9．给定正整数(2)n n ≥按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1,2,3,,n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数．例如6n =时数表如图所示，则当2007n =时最后一行的数是A ．20072512⨯B ．200620072⨯C ．20082512⨯D ．200520072⨯【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律：()2,n k k k N =≥∈时，最后一行的数是2(1)2k k -+⨯，可得正确选项为C ．考点：观察归纳推理能力．10．设等差数列｛n a ｝{ n b }的前n 项和为n S ，n T ，若1n n S nT n =+ ，则 57a b = A ．910 B ．914 C ．1314 D ．1311【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差分别为1d 和2d ，则111112S a T b ==，即112b a =， 由2112122223S a d T b d +==+得112232a d d =-①，同理311312333334S a d T b d +==+得112243a d d =-② 由①②联解得112d a =，12d d =．故11511712114492+6614d d a a d b b d d d ++===+，所以正确选项为B ． 考点：①等差数列的通项公式及前n 项和公式；②方程思想．11．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23D ．41【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质． 12．已知z y x ,,为正实数，则222z y x yzxy +++的最大值为A ．32 B ．22 C ．54 D ．532 【答案】 【解析】试题分析：由所求代数式的结构分析，应根据基本不等式222a b ab +…着手解题，难点在于需将222x y z ++化为222211()()22x y y z +++，而2212x y +，2212y z +，于是2222222()()22xy yz xy yz x y z x y y z ++==+++++…，当且仅当2x z y ==时，等号成立，故正确选项B ． 考点：基本不等式的灵活应用．13．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ．【答案】4【解析】试题分析：根据椭圆的定义a AF AF 2||||21=+,||321AF AF =，∴2||2a AF =，23||1a AF =， 1290F AF ∠=︒,∴勾股定理得 222)2()2()23c a a =+（，化简得2285c a =，即2258c a =，所以离心率c e a ===考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理． 14．设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则=2014a ．【答案】8052【解析】 试题分析：()()()123n n n n a a a a ---=+-，()()()123n n n n a a a a ---∴-=-，∴20142013201220112010200921...413a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：偶数项－奇数项＝3，且20132012201120102009200832...945a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：奇数项－偶数项＝5，∴201420133a a -=，201320125a a -=, 201220113a a -= 201120105a a -=,………………，433a a -=，325a a -=， 213a a -=，将以上各式累加得：20041201431007510068051805118052a a a -=⨯+⨯=⇒=+=． 考点：①数列的递推公式；②累加法．15．已知正数c b a ,,满足5262+=+++bc ac ab a ，则c b a 23++最小值是______．【答案】【解析】试题分析：由已知()()()()26a ab bc ac a a b c a b a b a c +++=+++=++=+①2⨯得：()()2212a b a c ++=+=∴()()3222a b c a b a c ++=+++≥=．考点：①基本不等式；②等价变形的构造思想．16．已知在平面直角坐标系下，点B A ,分别为x 轴和y 轴上的两个动点，满足10||=AB ，点M 为线段AB 的中点，已知点)0,10(P ，)3,6(A ，则||||21AM PM +的最小值为______． 【答案】 【解析】试题分析：试题有误，无法给出解析和答案． 考点： 三、解答题 17．（本小题满分10分）设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f （x ）＝－（4－2a ）x在（－∞，＋∞）上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：解决本题只需分别求出命题p 和命题q 为真时a 的取值范围，然后将两者的交集去掉，即将使两者同时为真的a 值去掉，剩下的部分即为所求．试题解析：当命题p 为真时，命题中一元二次不等式对应方程的判别式(){}222241441604|22a a a a a ∆=-⨯⨯=-<⇒<⇒-<<,令{}|22P a a =-<<；当命题q 为真时，根据指数型函数的单调性分析知其底数3342123|22a a a a a ⎧⎫->⇒<⇒<⇒<⎨⎬⎩⎭， 令3|2Q a a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，将集合P 、Ｑ在数轴上表示如下：由上图可知，当(],2a ∈-∞-时，命题p 为假，命题q 为真，当3,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，命题p 为真，命题q 为假所以当命题p q ∨为真，p q ∧为假时，实数a 的取值范围是(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭． 考点：①命题与简易逻辑；②集合；③不等式和指数型函数；④简易逻辑与集合间关系的内在联系．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ． （Ⅰ）求列数}{n a 列的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T【答案】（Ⅰ） 122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ） 12(37)14,*n n T n n N +=-+∈． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本题已知n s 的表达式，而且是唯一的条件，所以切入口非11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩莫属，但在具体的求解过程中需注意观察并正确构造辅助数列方可顺利解题；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论结合已知条件不难得出42(34),n N*n n S n -=-∈，显然符合错位相减法的特征，则n T 可求．试题解析：（Ⅰ）当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=， 当2≥n 时，1--=n n n S S a ，11232--⨯+=n n n a a ，于是232211+=--n n n n a a ，令n n n a b 2=，则数列}{nb 是首项11=b 、公差为23的等差数列，故213-=n b n ， ∴122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ）由1232442(34),n N*2(31)nn n nn n n S a S n a n -⎧=-⋅+⎪⇒-=-∈⎨=-⎪⎩， ∴()()()123421122252823102372342n n nn T n n n --=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……①①2⨯得：()()()2345112122252823102372342n n n n T n n n -+=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……② ①－②得：()123421112323232323232342n n n n n T n --+-=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯--⨯，∴()()()2111321223422(37)14,*12n n n nn T n T n n N -++⨯--=-+--⨯⇒=-+∈-．考点：①n a 与n s 的关系；②错位相减法；③辅助数列的构造和应用． 19．（本小题满分12分）在ABC∆中，(5,)(5,0),9B A B AC 、、边上的中线长之和为． （Ⅰ）求ABC ∆重心G 的轨迹方程（Ⅱ）设P 为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos BPC ∠的最小值．【答案】（Ⅰ）22194x y +=； （Ⅱ）19-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为AB 、AC 边上的中线长为定值9，由重心G 的性质,知2963GB GC +=⨯=，即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，且62BC >=，所以G 点轨迹符合椭圆轨迹定义，根据椭圆定义相关性质易求得G 点轨迹方程；（Ⅱ）据已知，点P 在椭圆上，由椭圆定义可得6PB PC +=（定值），BC =，由余弦定理可得cos BPC ∠的表达式，结合相关等价变形和基本不等式可得所求． 试题解析：（Ⅰ）设AB AC 、的中点分别为M N 、（如下图所示），则据题意()229633GB GC BM CN +=+=⨯=,即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，6BC >=,∴G 点轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，∴据题意可设椭圆方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则26a =，2c =,即3,a c =，根据椭圆的相关性质得2222234b a c =-=-=，所以G 点的轨迹方程为22194x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P 在椭圆上（如上图所示），由椭圆定义可得6PB PC +=（定值） ，BC =，由余弦定理可得()222222206202cos 222PB PC PB PC PB PC BC PB PC BPC PB PC PB PC PB PC+-⋅-+---⋅∠===⋅⋅⋅1612PB PC=-⋅，显然当PB PC ⋅取得最大值时cos BPC ∠最小，63922PB PC PB PC +≤==⇒⋅≤，即PB PC ⋅的最大值为9，所以cos BPC ∠的最小值为1681112999-=-=-⨯． 考点：①椭圆的定义和性质；②椭圆的标准方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．20．（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过n *(n 12)n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的货币依次为,,n n n A B C 试分别求出,,n n n A B C 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案．【答案】（Ⅰ）()40,12,*n A n n n N =≤∈，()222,12,*n B n n n n N =+≤∈，()112,12,*2n n C n n N -=-≤∈；（Ⅱ）当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案构成首项为40常数列；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列；正确应用等差、等比数列的前n 项和公式不难得出所求；（Ⅱ）首先令12n =，得出三种奖励方案的最高奖额，然后根据所得大小关系列出不等式并解出相关n 的取值范围，得出具体选择方案．试题解析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案是首项为40的常数列，所以()40,12,*n A n n n N =≤∈；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列,所以由等差数列的前n 项和公式得：()()214422,12,*2n n n B n n n n n N -=+⨯=+≤∈；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列，所以由等比数列的前n 项和公式得： ()()()1112112212,12,*1222n n n n C n n N --==-=-≤∈-；（Ⅱ）令12n =则124012480A =⨯=，212212212312B =⨯+⨯=，1112122047.52C =-=， ∴由()2240222380238038n n A B n n n n n n n n >⇒>+⇒-<⇒-<⇒<， 1124092n n n C A n n ->⇒->⇒>， 所以在12关内，第二种方案没有选择的价值，能过10关及以上选第三种方案，否则选第一种方案，即当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案． 考点：①等差、等比数列的定义和前n 和公式；②数列知识在解决实际问题中的运用；③不等式在方案决策中的应用．21．（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析，()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ） (1,1),(2,1),(2,2)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本题的落脚点在{}n b 上，所以首先从条件1*3(1)()n n n b a n N -=+∈的特征入手，里面有因式(1)n a +，提示我们可以考虑在条件11122333n n n a a --=+-中构造(1)n a +，从而使条件特征显现出，成为解题的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的结论并结合已知求出1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求得n s ，将之代入题设中的不等式，通过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似性． 试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时， 由1211111122121(1)3(1)3(1)233333n n n n n n n n n n a a a a a a -------=+-⇒+=++⇒+=++， 1*3(1)()n n n b a n N -=+∈，即2n ≥时，1122n n n n b b b b --=+⇒-=，又()()1111311112b a -=+=⨯+=，∴数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式得：()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11123(1)23n n n n n a b a n n --+=+=⇒=，所以12(1)133(1)313n n n S -==--， 则111111323331111(3)313333n n n n nn n nm S m S m m m m --+----==-=--------，由13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得212111(3)3131(3)3131n m n m m m -<-⇒>--+--+， *(3)310,,1,2n m m N m -∴-∈=∴>当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)．考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比数列的前n 项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧．22．（本小题满分12分）已知椭圆116222=+y a x ，离心率为53． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过4>a 的椭圆的右焦点F 任作一条斜率为k （0≠k ）的直线交椭圆于A ，B 两点，问在F 右侧是否存在一点D )0,(m ，连AD 、BD 分别交直线325=x 于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212516x y +=或2225125616x y +=；（Ⅱ）5m =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义及其,,,a b c e 间的基本关系易求得“a ”值（不一定是定义中的a ），从而得到椭圆的方程，求解时注意分焦点在x 轴和y 轴上两种情况进行讨论；（Ⅱ）本题属于解析几何的综合性题型，解题的关键在于将“形”的特征用“数”的形式定量地刻画出，由与点D 有直接关系的A B 、、M 、N 四点着手，通过共线关系找到彼此的内在联系和数量关系；其次通过直径所对圆周角是直角构造向量垂直也是解决本题的一个关键所在，是对已知条件的深层次的挖掘；在些基础上，充分运用方程思想和精确的运算及推理不难得出所求．试题解析：（Ⅰ）当焦点在x 轴上时，由2222221616161625332555a c a c a a c c aa ⎧⎧-=-=⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2212516x y +=．当焦点在y 轴上时，由22222161625631225455a c a c a c c ⎧⎧-==-⎪⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2225125616x y +=． 综上所述，所求椭圆方程为2212516x y +=或2225125616x y +=． （Ⅱ）如图所示：设直线AB 的方程为()()3,0y k x k =-≠，()()1122342525,,,,M ,,,33A x y B x y y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由()()222222316515025400012516y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，根据韦达定理（根与系数的关系）得：21221501625k x x k +=-，21222254001625k x x k -=+，∴由()()()()2112121222232563316253y k x k y y k x x k y k x =-⎧-⎪⇒=--=⎨+=-⎪⎩ …… ① M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且325,3MD m y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,DA x m y =-,∴()()()1311313252533y m y x m y m y m x -⎛⎫--=-⇒= ⎪-⎝⎭,同理可得()()2423253y m y m x -=-, ∴()()()21234123259m y y y y m x m x -=-- ……②根所题意,2MFN π∠=（直径所对圆周角），即0FM FN FM FN ⊥⇔⋅=，∴233434416,y 31625603916,3FM y y y y FN y ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒+=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩……③ 由①、②、③得：()()()()()22222123252562561164000916259m k k m m x m x k --⨯=-⇒+-=--+， 210k +>，∴由21640005m m -=⇒=±，点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =．∴存在满足条件的D 点，且5m =．考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根下系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．。
2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案
2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案一、选择题1. 实数0.3π中是无理数的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2. 某几何组合体的主视图和左视图为同一视图，如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）3. 实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A.ac>bcB.-a-c>-b-cC.-a<-b<-cD.|a-b|=a-b4. 为了响应国家“节约用水”的号召，在东北育才学校某班级中，随机调查6名同学的家庭一年用水量（单位：吨），记录如下：10、9、8、9、9、12，则这组数据的平均数和中位数是分别是（ ） A.9.5；9 B.9.5；8.5 C.9；9.5 D.9.5；105. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交边AD 于点E ，且BE=12，CE=5，则点A 到BC 的距离是（ ）A. 125B.4C. 6013D. 6076. 关于x 的方程x 1x 2a a=233--+的解大于33，则实数a 的取值范围是（ ） A.a>2 B.a>3 C.a<2 D.a<37. 如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=6，∠CBA=15°，则CD 的长是（ ）A. 8. 如图，在Rt △ABC 中，BC=a 、AB=c ，CD 为斜边上的高，DE ⊥AC ，设△ADE 、△CDB 、△ABC 的周长分别为P 1、P 2、P ，则当12P P P+取得最大值时，sinA=（ ）A.12B.23 D.349. 如图，点A 在函数1y x =的图像上，B C （，是利用性质“函数1y x =的图像上任意一点A 满足求下列问题：作∠BAC 的平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数1y x=的图像上运动时，则点F 总在（ ）上运动。
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一数学下学期第一次阶段考试试题
2014-2015学年度下学期第一阶段考试高一年级数学科试卷1.α是第二象限角，5sin 13α=，如此cos α=BA.513-B.1213-C.513D.1213 2.集合|,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,42k N x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，如此有C A.M N = B.M N≠⊃ C.M N≠⊂ D.M N =∅3.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 A A.向左平移6π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位4.在等腰直角三角形ABC 中，假设M 是斜边AB 上的点，如此AM 小于AC 的概率为CA.14B.12 C.22 D.35.函数sin()cos()44y x x ππ=--是B A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数6.设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan7c π=，如此 D A.a b c << B.a c b << C.b c a << D.b a c <<7.按如下程序框图，假设输出结果为170，如此在判断框内应补充的条件为CA.7i ≥B.9i >C.9i ≥D.10>i8.函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，如此如下各式中符合条件的解析式是DA.4sin(4)6y x π=+B.2sin(2)23y x π=++ C.2sin(4)23y x π=++ D.2sin(4)26y x π=++9.2()sin ()4f x x π=+，假设(lg5)a f =，1(lg )5b f =，如此C A.0a b += B.0a b -= C.1a b += D.1a b -=10.函数11y x =-的图象与曲线2sin (24)y x x π=-≤≤的所有交点的横坐标之和等于CA.2B.3C.4D.611.函数()2sin2xf x = 的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，如此b a -的值不可能是DA.43πB.2πC.83πD.143π12.函数sin (1tan tan )2xy x x =+⋅的最小正周期A A.π B.π2 C.2πD.23π13.sin 300=.2-14.x ，y 的取值如下表：x0 1 3 4 y2.24.34.86.7假设y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a ∧=+，如此a = . 2.615.523sin cos =-x x ，如此5sin 2cos()4xx π=+ .7316.函数)6sin(3)(πω-=x x f 〔0>ω〕和1)2cos(2)(++=ϕx x g 〔20πϕ<<〕 的图象的对称轴完全一样. 假设]2,0[,21π∈x x ，如此)()(21x g x f -的取值范围是 .7[,4]2-17.如图，点A ，B 是单位圆上的两点， A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，假设点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. 〔Ⅰ〕求1＋sin2α1＋cos2α的值；〔Ⅱ〕求cos ∠COB 的值．[来解：〔Ⅰ〕∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα＝45，cosα＝35 ∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sinαcosα2cos2α＝4918.…………………………………5分〔Ⅱ〕∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310 …………………………………10分18.21)4tan(=+απ. 〔Ⅰ〕求αtan 的值；〔Ⅱ〕求2sin 2cos 1cos 2a αα-+的值.解：〔Ⅰ〕αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα， 解得31tan -=α………………6分〔Ⅱ〕2sin cos1tan2cos2αααα-==-115326=--=-………………………………………12分19.进入2014年金秋，新入职的大学生陆续拿到了第一份薪水. 某地调查机构就月薪情况调查了1000名新入职大学生，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图〔每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月薪在[1000,1500)单位：元〕．〔Ⅰ〕求新入职大学生的月薪在[3000,4000)的频率，并根据频率分布直方图估计出样本数据的中位数；〔Ⅱ〕为了分析新入职大学生的月薪与其性别的关系，必须按月薪再从这1000人中按分层抽样方法抽出100 人作进一步分析，月薪在[3500,4000)的被抽取出的人中恰有2位女性. 假设从月薪在[3500,4000)的被抽取出的人随机选出2人填写某项调查问卷，求这2人中至少有一位男性的概率.解：〔Ⅰ〕新入职大学生的月薪在[3000,4000)的频率为(0.00030.0001)5000.2+⨯=………………………………………………………………………3分估计中位数x为0.0002500⨯+0.0004500⨯+0.0005(2000)x⨯-0.5=解得2400x=……………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕依题意，月薪在[3500,4000)的被抽取出10010000.000150051000⨯⨯⨯=人，且恰有2位女性. 记3位男性为1a、2a、3a，2位女性为1b、2b. 从这5人中抽取2人的所有取法有：12(,)a a、13(,)a a、11(,)a b、12(,)a b，23(,)a a、21(,)a b、22(,)a b，31(,)a b 、32(,)a b 、12(,)b b 共10种. ……………………………………………10分记事件A =“2人中至少有一位男性”，如此事件A 含9个根本事件故9()10P A =……………………………………………………………………12分20.函数()sin()f x x ωϕ=+〔0ω>，0ϕπ<<〕的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π.〔Ⅰ〕求ω，ϕ的值；〔Ⅱ〕设()()()4g x f x f x π=⋅-，求函数()g x 的单调递增区间. 解：〔Ⅰ〕由最小正周期为π可知22==T πω,由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=, 又0ϕπ<<,333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=,2πϕ=,〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 ()sin(2)cos 22f x x xπ=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x= 解24222k x k ππππ-≤≤+得 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈21.函数xx x x x f cos sin 2)62cos()62cos()(+-++=ππ.〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数)(x f 在区间]3,3[ππ-上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.解：〔Ⅰ〕()cos 2cos 22sin cos 66f x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6sin2sin 6cos2cos ππx x -=+6sin2sin 6cos2cos ππx x +x x cos sin 2+x 2cos 232⨯=x 2sin +x 2cos 3=x2sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 212cos 232 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 3cos 2cos 3sin 2ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx ………………………………4分 ∴()f x 的最小正周期为ππ==22T ……………………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx ， 由33ππ≤≤-x ，得πππ≤+≤-323x ，∴当232ππ=+x ，即12π=x 时，()f x 取得最大值2；………………………10分当332ππ-=+x ，即3π-=x 时，()f x 取得最小值3-…………………12分22.如下列图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥. 〔Ⅰ〕设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； 〔Ⅱ〕求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.。
辽宁省沈阳市东北育才学校1415高二上学期第二次段考—
辽宁省沈阳市东北育才学校2014—2015学年度上学期第二次阶段性考试高二数学文试题答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线y 2= 2x 的准线方程是A ． y=B ．y=－C ．x=D ．x=－ 2. 命题“存在R ， 0”的否定是A.不存在R, >0B.存在R, 0C.对任意的,0D.对任意的,>0 3.在R 上定义运算⊙：⊙，则满足⊙ 的实数的取值范围为A. B ． C. D.4.已知点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ． D ．5. “数列 ()满足 (其中为常数)”是“数列 ()是等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率是A. B.2 C. D.7. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是A ．B ．C ．D ．8. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A.1B.2C.5D.4 9. 已知双曲线的两个焦点分别为、，则满足的周长为的动点的轨迹方程为 A. B.（） C. （）10. 若函数f (x )=e x cos x ，则此函数图象在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为 A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角11. 已知，且方程03)623(2=-++-+-b a x b a x 的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则的取值范围为A ．B ．C ．D ． 12. 已知，则的最小值为A ．B ．10C ．D ． 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 已知等差数列中，，，则__________ 14. 已知函数，数列的通项公式为，那么“函数在单调递增”，是“数列为单调递增数列”的 条件15. 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切恒成立，则实数的取值范围是___16.圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:()222210x y a b a b+=>>可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的。
辽宁省沈阳市东北育才学校2014_2015学年高一数学上学期第一次段考试卷(含解析)
辽宁省沈阳市东北育才学校201 4-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2，3}∩{1，2，4}={1，2}，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行．解答：解：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或直线与平面平行，∴直线上有无数多个点都在平面外．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：通过证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．解答：解：△ABC是直角三角形，说明如下；∵A∈α，C∈α，∴AC⊂α；又∵PB⊥α，∴PB⊥AC；又∵PC⊥AC，PB∩PC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC；∴△ABC是直角三角形．故选：A．点评：本题考查了空间中的垂直关系的判断问题，解题时应明确线线垂直和线面垂直的判断与性质是什么，是基础题．4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选D．点评：本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．解答：解：设正方体的棱长为a，不妨设a=1，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=a，即R==；所以外接球的表面积为：S球=4πR2=3π．则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6：3π=2：π．故选B．点评：本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算．6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可．解答：解：∵函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴排除B，D．∵f（0）=1﹣0=0＞0，∴排除C，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数取值符合是否对应是解决函数图象的基本方法．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α考点：空间点、线、面的位置．专题：空间位置关系与距离．分析：对两条不相交的空间直线a与b，有a∥b 或a与b是异面直线，从而得出结论．解答：解：∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或 a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．点评：本题主要考查立体几何中线面关系问题，属于基础题．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．解答：解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：=．棱柱的体积为：SH==3．由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A1﹣B1BC的体积为：V三棱柱=×3=1．故选：C．点评：本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，由∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，从而AD＞BC．由已知得sin，sin∠ABC=，从而∠ABC＞∠BAD．解答：解：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，∵∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，∴AD＞BC．∵平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，BD⊥l，垂足为D，∴BD⊥α，∴sin，∵AC⊥l，垂足为C，∴AC⊥β，∴sin∠ABC=，∵AC＞BD，∴sin∠ABC＞sin∠BAD，∵∠ABC和∠BAD都是锐角，∴∠ABC＞∠BAD．故选：A．点评：本题考查线段大小的比较，考查角的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，由此能求出球心到截面ABC的距离．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，∴PA，PB，PC两两垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，如右图，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，∵球半径r=，∴正方体的棱长为2，∴正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为．故选：C．点评：本题考查球心到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF．又AB⊥α，且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以②不可以成为增加的条件．AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．故选：C．点评：本题考查能成为增加条件的命题个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由于该四面体不是正四面体所以可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2，由于运算量较大，故用排除法求解．解答：解：由于四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体体，可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2进一步来求它们的体积相对较麻烦，故使用排除法求出当侧棱长为2，2，2时底边长为1，1，1时利用锥体上顶点在下底面上的射影在中心位置，进一步求得h=V==故选：C点评：本题考查的知识点：正四面体的定义，及体积的运算公式，排除法在实际问题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=15．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．解答：解：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内，连结AD，BE，CF 平面α∥β∥γ，AD∥BE∥CF，，DF=20，求得：EF=15；（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，过D作DH∥AC，平面α∥β∥γ，∴AB=DG，BC=GH，进一步得GE∥HF，利用平行线分线段成比例得：，DF=20，求得：EF=15，故答案为：15．点评：本题考查的知识要点：面面平行的性质定理，直线的位置关系，平行线分线段成比例定理．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是m=n．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设球的半径为R，利用圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，可得πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2，即可得出结论．解答：解：设球的半径为R，则∵圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，∴πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2∴m=n．故答案为：m=n．点评：本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是3．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知：球心的连线组成底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可顶点小球的球心到水平桌面α的距离．解答：解：由题意，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，求得它的高为1，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3．故答案为：3．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．解答：解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）点评：本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由E，F分别是线段PA、PD的中点，得到EF∥AD，由ABCD为正方形，得到BC∥AD，再由直线平行于平面的判定定理得到BC∥平面EFG．（2）由平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，得到GD⊥平面AEF，由此先证明EF⊥AE，再由题设条件求三棱锥E﹣AFG的体积．解答：（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，∴EF∥AD．…又∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴BC∥EF．…又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG …（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…又∵EF∥AD，PA⊥AD，∴EF⊥AE．…又∵AE=EF==1，GD==1，．∴×GD=．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的计算．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形，从而FA1∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A1F，结合线面平行判定定理，得到A1F∥平面ECC1．（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC1⊥平面ABCD，得CC1⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC1．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．解答：解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．∵平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，∴FM∥B1B且FM=B1B．…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥B1B且AA1=B1B∴FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．∴FA1∥AM．∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…∴CE∥AM，可得CE∥A1F．∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴A1F∥平面ECC1．…（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1取CD中点G，连接BG…在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又∵EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．∴BG⊥平面ECC1．故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…点评：本题给出正四棱柱，求证线面平行并探索线面垂直，着重考查了空间线面垂直、平行的判定与性质等知识，属于中档题．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接由f（﹣x）=﹣f（x）恒成立整理得到（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立，由此求得m的值；（Ⅱ）当m＞0时有m=1，代入原函数借助于指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（Ⅲ）判断出函数f（x）的奇偶性，结合单调性把存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f （2）≤0能成立，转化为存在x∈[﹣2，2]，使得k≤e x+x+2能成立．利用导数求出函数g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上的最大值得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=为奇函数，∴对于其定义域内的任意x有f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得：（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立．∴m2=1，m=±1；（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）==．∵2x为增函数，∴f（x）==为减函数；（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，又f（﹣x）=，∴f（x）为奇函数．由存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，得存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）≤﹣f（2）=f（﹣2）能成立．即e x+x﹣k≥﹣2，也就是k≤e x+x+2能成立．令g（x）=e x+x+2．则g′（x）=e x+1＞1．∴g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上为增函数．．∴若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e2+4．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，解答此题（Ⅲ）的关键在于对题意的理解，是中档题．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线线平行⇒线面平行证明（1）；根据线面垂直⇔线线垂直可证（2）；设AD=x或设DC=x，利用垂直关系判定△，△A1CB，△A1DC的形状，构造以A1B为变量，x 为自变量的函数，求函数的最小值即可．解答：解：（本小题共14分）（1）证明：∵DE∥BC，DE⊂面A1DE，BC⊄面A1DE∴BC∥面A1DE…（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．由BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，∴BC⊥面A1DC．…（3）设DC=x则A1D=6﹣x由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形．，即==…当x=3时，A1B的最小值是．即当D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…点评：本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题．设出变量，构造函数利用求函数最值的方法求解，是此类题的常用方法．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由局部奇函数的定义：存在x∈[﹣1，1]，f（﹣x）=﹣f（x），这样求出m=，所以要求m的取值范围，只要求函数的值域，而该函数的值域，根据利用导数求函数最值的方法求解，即先求该函数在[﹣1，1]上的极值，比较端点值，从而求出最值；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义：f（x）+f（﹣x）=0，得到4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，令2x+2﹣x=n（n≥2），带入上式得n2﹣2mn+2m2﹣8=0，关于n的方程有解，所以求出n=m，所以需要m+≥2，即，同过讨论m和2的关系解该不等式便得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[﹣1，1]，使f（﹣x）=2﹣x+m=﹣2x﹣m；∴，令g（x）=，则g′（x）=；∴﹣1≤x＜0时，，∴，g′（x）＜0；0＜x≤1时，，∴，g′（x）＞0；∴g（0）=2是g（x）在[﹣1，1]上的最小值，又g（﹣1）=g（1）=，所以g（x）的最大值是；∴2，∴，∴；即实数m的取值范围为；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（﹣x）=0；∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0；令2x+2﹣x=n（n≥2），则：n2﹣2mn+2m2﹣8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；∴，m∈；∴（1）；①当2≤m≤，时（1）式恒成立；②当时，，将该不等式整理成m2﹣2m﹣2≤0，解得；∴；综上得m的取值范围为[1﹣，2]．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，利用导数求函数最值的过程，以及解一元二次不等式．。
2015-2016学年辽宁东北育才学校高一(下)段考(二)数学试题(解析版)
2015-2016学年辽宁东北育才学校高一（下）段考（二）数学试题一、选择题1．与sin 2016 最接近的数是（ ）A ．211 B ．21- C ．22 D ．1- 【答案】B 【解析】试题分析：()()1sin 2016=sin 1800216sin 216sin 18036sin 362+==+=-≈- ,故选B.【考点】诱导公式．2．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为52，则实数k 的取值范围为（ ）A. [)16,64B.[)32,64 C. [)16,32 D.()32,64【答案】C 【解析】试题分析：运行程序框图可知24132,log 41;4,1log 8;22a S a S ==⨯===⨯=838,log 162;2a S ==⨯=165516,2log 322;a 32,42a S ==⨯=⨯==这时应输出S ，也就是说16应该满足a k ≤，但32不满足a k ≤，所以1632a ≤<，故选C.【考点】程序框图中的循环结构.3．设向量、、满足=++，且0=⋅，4||,3||==则||的值为（ ） A. 7 B. 5 C. 7 D. 5 【答案】C【解析】试题分析：由0=++c b a 可得a b c +=- ，所以2222a a b b c +⋅+= ，即222a b c += ，又4||,3||==，所以27b = ，所以||b =C.【考点】向量数量积的性质.4．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为（ ） A. 2700 B. 2400 C. 3600 D. 3000 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知高三抽取了6人，设高一、高二的人数和为x ，根据分层抽样的方法可知146900x =，所以141502100x =⨯=，所以全校的总人数为3000，故选D.【考点】分层抽样．5．ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222a c b -=，且s i n 6c o s s i n B A C =⋅，则b 的值为（ ）A ． 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】试题分析：因为s i n 6c o B A C =⋅，所以22222226,23b c a b c a c b bc +-=⨯∴-=，又222a c b -=，所以222,33b b b =∴=，故选B.【考点】正弦定理和余弦定理．6．已知C B A 、、是平面上不共线三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=，则P 一定为ABC ∆的（ ） A ．AB 边中线的三等分点（非重心） B ．AB 边的中点 C ．AB 边中线的中点 D ．重心 【答案】A【解析】试题分析：因为O 是ABC ∆的重心，所以0O A O BO C ++=,由)22121(31++=可得64OP OA OB OC =++ ,所以12OP OC = ,所以P 一定为ABC ∆的边AB 上的中线的非重心的三等分点，故选A.【考点】平面向量的线性运算．7．已知,31)tan(,54sin ,20-=-=<<βααπα则=βtan （ ）A.3-B.3C.31D.31-【答案】B【解析】试题分析：由于40,sin 25παα<<=，所以34cos ,tan 53αα==，所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+4tan 13431tan 3ββ-==--，解得tan 3β=，故选B.【考点】两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式.8．如图，ABC ∆的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=，AB AQ BA BP n ⋅+⋅=，则（ ）A. 31m n ==，B.24m n ==，C. 26m n ==，D.3m n =，但m n ，的值不确定 【答案】C【解析】试题分析：因为P Q ，分别是AC BC ，中点，所以根据平面向量的线性运算AB AP BA BQ m⋅+⋅=可得()()()211222m A BA=⋅-,所以2,m =由AB AQ BA BP n⋅+⋅= 可得()1112222n A B AQ BP ⎛⎫⎛=⋅-=⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝2233622AB AB ===,故选C. 【考点】平面向量的线性运算与数量积运算.9．在4,2,1中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M ，对M 中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V ，分别在向量集合M 、V 中各任取一个向量，其满足0<⋅的概率是（ ）A. 61B.125C.187D. 3613【答案】D【解析】试题分析：在4,2,1中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M ，则集合()()()()()(){}1,2,1,4,2,4,4,2,4,1,2,1M =共6个元素，由于集合V 中的每个向量与M中的向量大小相等且数量积为零，所以()()()()()()()()()()()(){}2,1,2,1,4,1,4,1,4,2,4,2,2,4,2,4,1,4,1,4,1,2,1,2V =------------，共有12个元素，所以分别在向量集合M 、V 中各任取一个向量，共有61272⨯=种不同的取法.若在M 取()1,2a =，则在V 中有4个元素()()()()2,1,2,1,4,2,4,2----与其数量积为0，4个元素与其数量积大于零，4个元素与其数量积小于零，同样当()2,1a =时，V 中也有4个元素与其数量积小于零；当()1,4a =时，V 中有2个元素()()4,1,4,1--与其数量积等于零，5个元素与其数量积大于零，5个元素与其数量积小于零，同样当()4,1a =时，V 中也有5个元素与其数量积小于零；当()2,4a =时，V 中有4个元素()()()()4,2,4,22,12,1----与其数量积等于零，4个元素与其数量积大于零，4个元素与其数量积小于零，同样当()4,2a =时，V 中也有4个元素与其数量积小于零，所以使得0<⋅的概率是26137236=，故选D. 【考点】平面向量的数量积.10．在ABC Rt ∆中，C ∠是直角，4,3==CA CB ，ABC ∆ 的内切圆交CB CA ,于点E D ,，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界），若y x +=，则y x +的值可以是（ ）A.1B.2C.4D.8 【答案】B【解析】试题分析：设圆心为O ，半径为r ，则,,OD AC OE BC ⊥⊥可解得()112r C A C B A B =+-=,连接DE ，则当1x y +=时，P 在线段DE 上，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得2,2CM CD CN CE ==，连结MN ，则.22x y CP CM CN =+ 则点P 在线段MN 上时，122x y+=故2x y +=.同理，当4x y +=或8x y +=时，点P 不在三角形内部，排除C 、D,故选B.【考点】平面向量基本定理与共线向量定理. 【方法点睛】本题主要考查了平面向量基本定理与共线向量定理在解决几何问题中的应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解答本题时，应先求出直角三角形的内切圆半径，然后根据三点共线的向量表达式求得x y +分别取1,2,4时点P 的轨迹，通过排除法逐步排除选项，要比直接运算省时省力. 11．下列四个命题：①函数|1cos 2|)(2-=x x f 的最小正周期是π； ②函数)232sin(π+=x y 是偶函数； ③函数x b x a x f cos sin )(-=的图象的一条对称轴为直线4π=x ，则0=+b a ；④函数)4sin()(π+=x x f 在]2,2[ππ-上单调递增．上述说法中正确的是（ ）A.①B. ①④C. ②③D. ①②③ 【答案】C【解析】试题分析：①2()|2cos 1|cos2f x x x =-=,所以其最小正周期为2π，故①错误；②22sin()cos 323y x x π=+=，所以②正确；③若4π=x 是x b x a x f cos sin )(-=的对称轴，则422f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两边平方可得2220a b ab ++=，所以0=+b a ，故③正确；④当x [,]22ππ∈-时，设3,444t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin y t =在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先增后减，故④错误. 【考点】三角函数的周期性、奇偶性、对称轴和单调性等性质.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的周期性、奇偶性、对称轴和单调性等，属于基础题.处理这类问题时，常需要把函数化成正弦型或余弦型函数，结合正弦曲线或余弦曲线来判断.本题①中，把函数化成余弦函数取绝对值后，其周期要减半；②中利用诱导公式化成余弦函数，其周期性就容易判断了；③中根据辅助角公式化成正弦型函数后，根据其对称轴恰好是其最值点，化简即得,a b 的关系；④中通过换元转化为正弦函数即可判断其单调性.12．已知O 是锐角ABC ∆内一点，满足||||||OC OB OA ==，且30=∠A ，若m B CC B 2sin cos sin cos =+，则实数=m （ ）A ．23-B ．C ．2D ． 12-【答案】D 【解析】试题分析：因为c o s c o s 2s i n s i nB C AB AC mOA C B += ,所以()()c o s c o s 2s i n s i nB C OB OA OC OA mOA C B -+-=，两边同乘以OA 可得()()2c o s c o s 2si n s i nB C OB OA OA OC OA OA mOA C B -⋅+-⋅= ,设OA OB OC R ===,由于2,A O B C AO C∠=∠=,所以()()222c osco sc o s 21c o s s i n si n B C R C R B mRC B-+-=,所以()()1s i nc o s s i nc2m BC C BB C =-+=-+=，故选D. 【考点】平面向量的线性运算及三角恒等变换.【方法点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及其几何意义，考查了两角和的正弦公式、二倍角公式和诱导公式，属于中档题.本题解答的关键是根据向量减法的运算法则把,A B A C 转化为,O B O A O C O A --，通过两边同乘以OA ，把c o s c o s 2s i n s i nB C AB AC mOA C B +=化成()()2c o s c2s i nsB C OB OA OA OC OA OA mOA C B -⋅+-⋅= ，再由圆内接三角形的性质得到()sin cos sin cos m B C C B =-+，通过三角恒等变换得到m 的值.二、填空题13．已知AD 为ABC ∆的角平分线,︒=∠==60.3,2A AB AC ，则=AD .【答案】536 【解析】试题分析：在ABC∆中，由余弦定理可得22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， BC =由正弦定理可得sin sin AB A C BC ⨯==因为AD 为ABC ∆的角平分线，所以CD =, 在ACD∆中，由正弦定理可得sin ,2sin sin 30sin 305145AD CD CD C AD C ⋅=∴==⨯=【考点】正弦定理、余弦定理.14．已知角α的终边上一点的坐标为)32cos ,32(sin ππ,则角α的最小正值为 . 【答案】116π【解析】试题分析：点)32cos ,32(sinππ即为122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以角α的终边位于第四象限，又tan α=，所以2,6k k παπ=-∈Z ，所以角α的最小正值为116π.【考点】三角函数的定义．15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是_____________．①平均数3x ≤；②标准差2s ≤； ③平均数3x ≤且极差小于或等于2； ④平均数3x ≤且标准差2s ≤； ⑤众数等于1且极差小于或等于1. 【答案】③⑤【解析】试题分析：①错，可举反例：0,0,0,0,0,0,7，其平均数3x ≤，但不符合上述标准；②错，可举反例7,7,7,7,7,7,7，其标准差02S =≤,也不符合上述标准；③对，只要极差小于2，就一定符合上述标准，若极差小于或等于2，有可能是()()()()10,1,2;21,2,3;32,3,4;(4)3,4,5;54,5,6.在平均数3x ≤的情况下，只有()()()1,2,3成立，符合上述指标；④错，举反例0,3,3,3,3,3,6其平均数3x ≤，标准差2S ≤,也不符合上述标准；⑤对，在众数等于1，且极差小于或等于1的情况下，最大数不超过5，符合标准.故正确的命题序号为③⑤.【考点】平均数、众数、极差、方差与标准差等统计的基本概念.【方法点睛】本题主要考查了平均数、众数、极差、方差与标准差等统计的基本概念，属于中档题.这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明样本的特征，若要掌握样本特征往往需要全面把握.若要说明命题不能成立，可通过取反例说明，或者通过它们的统计定义，找出符合要求的选项即可.16．已知ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，则下列命题中正确的有_________．（填上你认为所有正确的命题序号） ①若C B A c b a cos :cos :cos ::=，则ABC ∆是正三角形； ②若C B A c b a sin :sin :sin ::=，则ABC ∆是正三角形； ③若CcB b A a tan tan tan ==，则ABC ∆是正三角形； ④若C ab c b a sin 32222=++，则ABC ∆是正三角形.【答案】①③④【解析】试题分析：①若C B A c b a c o s :c o s :c o s::=，由正弦定理可得::s i n :s i n :s i a b c A B C =，所以sin :sin :sinC cos :cos :cos A B A B C =,因此必有3A B C π===,所以A B C ∆是正三角形；②由正弦定理可得2s i n ,b 2R s i n ,a R A B c R C ===，所以::sin :sin :sin a b c A B C =对任意三角形都成立，所以②错误；③若CcB b A a t an t an t an ==，结合正弦定理可得s i n s i n s i ns i n :s i n :s i n C t a n :t a n :t a n ::c o s c o s c o sA B C A B A B C A B C ==,所以c o s c A B C ==,因此A B C ==,ABC ∆是正三角形,所以③正确；④利用正弦定理可把Cab c b a sin 32222=++化为222sin sin sin sin sin A B C A B C ++=，由于A B C π++=,所以()C A Bπ=-+,通过三角恒等变换可得()sin 0A B -=,所以A B =,同理可得B C =,所以ABC ∆是正三角形，故④正确.【考点】正弦定理及三角恒等变换.【方法点睛】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状及三角恒等变换，属于中档题.解答本题的关键是根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,其中R 是外接圆半径，把边角混合式转化为角的关系，进而通过三角函数的知识得到三个内角的关系，本题解答的难点是命题④，化成角后式子中三角的地位是相同的，所以只需要得到判断出A B =即可得到A B C ==.三、解答题17．设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b B a 3sin 2=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =2b =，求cos C ．【答案】（I ）60A =︒；（II【解析】试题分析：（I ）根据题意及正弦定理可得sin A =，又因为A 是锐角，所以60A =︒；（II ）先由余弦定理求得边c ，再根据余弦定理即可求得cos C 的值.试题解析：（Ⅰ）因为b B a 3sin 2=，由正弦定理得：2sin sin A B B =.所以sin A =. 又因为A 是锐角，所以60A =︒.（Ⅱ）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-.因为a =2b =，60A =︒，所以有2742c c =+-，整理得2230c c --=. 解得3c =.由余弦定理得222cos2a b c C ab +-===. 【考点】正弦定理和余弦定理解三角形.18．已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，且当]6,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为2.（1）求a 的值，并求)(x f 的单调增区间；（2）将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数)(x g y =，求方程2)(=x g 在区间]2,0[π上的所有根之和.【答案】（1）0a =，)(x f 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z ；（2）3π.【解析】试题分析：（1）当]6,0[π∈x 时，2,662x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最小值为22,a +=可求得0a =，要求其单调递增区间可令222262k x k πππππ-≤+≤+解不等式即可；（2）由平移变换的法则可得()2sin(4)16g x x π=-+，令()2s i n (4)126g x x π=-+=可得到1sin(4)62x π-=，根据三角函数线即可求得方程在]2,0[π上的根.试题解析：（1）()2sin(2)16f x x a π=+++因为，]6,0[π∈x 时，()f x 的最小值为2，所以，22,0a a +==.由2[2,2],622x k k k z πππππ+∈-+∈，可得)(x f 的单调增区间为[,],36x k k k z ππππ∈-+∈（2）()2sin(4)16g x x π=-+由1()2sin(4)12,sin(4)662g x x x ππ=-+=-=， 12,,124x x ππ==121243x x πππ+=+=【考点】正弦函数单调性及在给定区间上的最值，图象变换、已知三角函数值求角等.19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bay bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑ ）【答案】（1）53；（2）5ˆ32y x =-；（3）线性回归方程是可靠的． 【解析】试题分析：（1）从5组数据中选取2组数据共有10种情况，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是53；（2）求出,x y ，再根据回归系数公式求得ˆb，代入样本中心点(),x y ，即可求得ˆa ，据此即可求得回归直线方程；（3）求出10,8x x ==，y 的观测值判断其是否符合标准，即可判断方程的可靠性. 试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， 所以 43()1105P A =-=． 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是53（2）由数据，求得1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=，3972xy =. 31112513*********i ii X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434ii X==++=∑，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅-===--∑∑ ， 5271232a y bx =-=-⨯=-所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． （3）当x=10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2； 同样，当x=8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． 【考点】古典概型及回归直线方程的求解和应用.20．如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处,A B 观察塔尖P 及山顶Q .已知,,A B O 在同一水平面，,,,,P Q A B O 在同一平面且与水平面垂直．设塔高PQ h =，山高QO H =，AB m =，BO n =，仰角PAO α∠=，仰角Q A O β∠=，仰角PBO θ∠=．试用,,,m αβθ表示h .【答案】tan (tan tan )tan tan h m θαβθα-=⋅-．【解析】试题分析：在直角三角形,,AOP AOQ BOP 中分别根据正切的定义表示出tan ,tan ,tan αβθ解方程组即可求得h 关于的表达式.试题解析：由题意得：tan ,tan ,tan .H hm n H m n H hn αβθ+⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=⎪⎩即：tan (),tan (),tan .H h m n H m n H h n αβθ+=+⎧⎪=+⎨⎪+=⋅⎩ 所以tan ()tan ,tan ()tan .m n n m n h n αθβθ+=⋅⎧⎨++=⋅⎩整理得tan (tan tan )tan tan h m θαβθα-=⋅-.（或sin sin()sin()cos h m θαβθαβ-=⋅-.)【考点】直角三角形中的边角关系及其应用及正弦定理在实际问题中的应用.21．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9．（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+ ，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）．【答案】（1）6m =，8n =；（2）2 5.2s =甲，22s =乙，甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）710. 【解析】试题分析：（1）由两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9及样本平均数的公式即可求得m ，n 的值；（2）根据样本方差的公式()()()2222121n s x xxxx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦可求得2s 甲和2s 乙，平均数反映了两组数据的平均数取值水平，方差反映了样本数据的波动大小；（3）设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，列出所有可能的数组共25个基本事件，从中找出满足而17a b +≤的基本事件有11个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有14，即该车间“质量合格”的基本事件有14个，故该车间“质量合格”的概率为1072014=． 试题解析：（1）根据题意可得：9)121197(51=++++=m x 甲，∴6=m ，9)111097(51=++++=n x 乙，∴8=n ； （2）根据题意可得：2.5])912()911()99()97()96[(51222222=-+-+-+-+-=甲s ，2])911()910()99()98()97[(51222222=-+-+-+-+-=乙s ，∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)7,7(),11,6(),10,6(),9,6(),8,6(),7,6(,)8,7(，)9,7(，)10,7(，)11,7(，)7,12(),11,11(),10,11(),9,11(),8,11(),7,11(),11,9(),10,9(),9,9(),8,9(),7,9((12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)7,7(),11,6(),10,6(),9,6(),8,6(),7,6()8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,9(),7,9(共计11个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有14，即该车间“质量合格”的基本事件有14个，故该车间“质量合格”的概率为1072014=． 【考点】茎叶图、样本平均数和方差、古典概型中某事件的概率.【方法点睛】本题主要考查了茎叶图、样本平均数和方差、古典概型中某事件的概率，属于基础题.解答本题首先根据样本平均数与方差的公式求得,m n 的值，根据平均数和方差的数学意义，平均数反映了样本数据的平均取值水平，方差反映了样本数据的波动大小，据此可对样本作出估计；古典概型中某事件的概率通常采用列举法一一列出所有的情况，从找找出满足条件的基本事件，即可求得所求的概率.22．已知ABC ∆的面积S 满足132≤≤-S ,且2-=⋅,θ=∠ACB . (Ⅰ)若)2sin ,2(cos ),2cos ,2(sin B B A A ==,求|2|+的取值范围； (Ⅱ)求函数2)4cos(cos sin 34)4sin()(--+-+=πθθθπθθf 的最大值.【答案】（I ）]3,1[；（II ）2max -=y .【解析】试题分析：（I ）2-=⋅可得2,,cos 2,CA CB ACB ab θθ⋅=∠== 得由132≤≤-S 可得tan [2124ππθθ∈∴≤≤，由向量模的公式得1m n ==，而sin 2cos2cos2sin 2m n A B A B⋅=+sin(22)sin(22)sin 2sin 2A B C C πθ=+=-=-=-，所以22|2|||44||m n m m n n+=+⋅+54sin 2θ=-，根据三角函数即可求得|2|+的取值范围；（II ）根据三角恒等变换可得()cos )cos 2fθθθθθ=+--，换元处理，可设)4sin(2cos sin πθθθ+=+=t ，由三角函数的值域可得]2,26[∈t ，所以21s i n c o s 2t θθ-=，这样可得关于t 的二次函数，通过研究其单调性求得其最大值.试题解析：]1,32[tan sin 21,2cos ,,2)1(-∈====∠=⋅θθθθab S ab ACB CB CA 得由 所以412);,0(],1,32[tan πθππθθ≤≤∈-∈所以而()sin 2,cos2m =A A ，()cos2,sin 2n =B B∴22sin 2cos 21m =A+A = ，1n =θπ2sin 2sin )22sin()22sin(2sin 2cos 2cos 2sin -=-=-=+=+=⋅C C B A B A B A θ2sin 45||44|||2|222-=+⋅+=+226412πθππθπ≤≤≤≤，所以因为]3,1[2sin 45∈-θ,所以∈-|2|]3,1[（2）2)4cos(cos sin 34)4sin()(--+-+=πθθθπθθf 2cos sin 34)cos (sin 2--+=θθθθ设)4sin(2cos sin πθθθ+=+=t243412ππθππθπ≤+≤≤≤，所以因为 所以]2,26[∈t ，23223222134222-++-=--⋅-=t t t t y 对称轴∉=126t ]2,26[,所以当26=t 时，2max -=y 【考点】向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的值域与最值等.【方法点睛】本题主要考查了向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的值域与最值等，考查了换元法及函数的思想方法，属于中档题.研究向量的模通常根据22a a = 进行转化，本题第一问根据这一性质把问题转化为正弦函数在给定区间上的值域问题；本题解答的难点是第二问中通过三角恒等变换把函数化为()=+--，通过换元进一步转化为二次函数在定cos)cos2fθθθθθ区间上的最值来求解.。
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试数学(理)试题Word版含答案
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤。 ）
17. （本小题满分 12 分）
如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
AB 为直径，且 AB 2 km, O 为圆心， C 为
圆周上靠近 A 的一点， D 为圆周上靠近 B 的一点，且 CD ∥ AB ．现在准备从 A 经过 C 到
，
abc
类比这个结论可知：四面体 S— ABC的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，内切球半径为 R，
四面体 S— ABC的体积为 V，则 R 等于（
）
A．
V
S1 S2 S3 S4
B．
2V
S1 S2 S3 S4
C．
3V
S1 S2 S3 S4
D．
4V
S1 S2 S3 S4
8． 已知
是 R 上的单调增函数，则 的取值范围是 （ ）
D 建造一条观光路线，其中 A 到 C 是圆弧 AC ， C 到 D 是线段 CD . 设 光路线总长为 y km .
（１）求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
AOC
x rad ，观
（２）求观光路线总长的最大值 .
C
D
A
O
B
( 第 17 题图 )
18. （本小题满分 12 分）
已知数列 { bn} 的通项公式为
7 2 的“分裂”中最小的数是 1,最大的数是 13；若 m3 的 “分裂 ”中最小的数是 241,则最大的数
是
．
14. 已知函数 f x a ln x, a R ，若曲线 y f x 与曲线 g x x 在交点处有共同的切
辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学(文)试题
2015-2016学年度下学期高二第二次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合B A x xx B x x x A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于（ ） A ．}21|{<<x x B ．}321|{><<x x x 或 C ．}10|{<≤x x D ．}310|{><≤x x x 或 2.下列命题中，真命题是（ ）A ．,20xx R ∀∈> B ．1,lg 0x x ∃>< C ．1,02xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭ D ．110,log 0x R x ∀∈<3. 函数20.4log (34)y x x =-++的值域是（ ）．A ．(0,2]-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)+∞4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg ||y x = 5.“22a b>”是“11a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6． 下列说法正确．．的是 A ．命题",0"x x R e ∀∈>的否定是",0"xx R e ∃∈>.B ．命题 “已知,,x y R ∈若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题 .C ．“22x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”⇔2min max "(2)()x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”.D ．命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题. 7．记函数212131)(23+-=x x x f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ，若M N ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．21≥a B ．21≤a C ．31≥a D ．31≤a 8．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③B ． ①②C ．①③D ． ①②③9.已知)(x f 的定义在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===，则( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<10．设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞11.的图像上关于原点对称的点有（ ）对 A. 0B. 2C. 3D. 无数个12.已知正实数c b a ,,满足c c a b c ace ln ln ,21+=≤≤，则a b ln 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．]2ln 21,1[+ C ．]1,(--∞e D ．]1,1[-e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数y =的定义域为______________．14.已知函数1223)(--=x x x f ，则=+⋯+++)1110()113()112()111(f f f f .15.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间[]b a ,上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 .16.已知()**1,11,(,)(,)f f m n N m n N =∈∈，且对任意*,m n N ∈都有：①(,1)(,)2f m n f m n +=+； ②(1,1)2(,1)f m f m +=.则(,)f m n = . 三、解答题（本大题共6小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l2分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表1：男生 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进频数 15 x 5 频数 15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写2×2列联表（在答题纸上），并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． 参考数据与公式：K 2=，其中n=a+b+c+d ．临界值表： P （K 2＞k 0） 0.1 0.05 0.01 k 02.7063.841 6.63518.(本小题满分l2分)已知命题:p 关于实数x 的方程224410x mx m -+-=的一根比1大另一根比1小；命题:q 函数1()2x f x m -=-在区间()2,+∞上有零点．（1）命题p q ∨真，p q ∧假，求实数m 的取值范围．（2）当命题p 为真时，实数m 的取值集合为集合M ，若命题：2,10x M x ax ∀∈-+≤为真，则求实数a 的取值范围．19．(本小题满分l2分)已知函数||()(0,1,)x b f x a a a b R +=>≠∈．（1）若()f x 为偶函数，求b 的值；（2）若()f x 在区间[2,)+∞上是增函数，试求,a b 应满足的条件． 20．(本小题满分l2分)已知函数21()(,)2f x ax x c a c R =-+∈满足条件：①(1)0f =；②对一切x R ∈，都有()0f x ≥．（1）求,a c 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分l2分)已知函数21()ln ().2f x a x bx b a x =+-+ （1）当1,0a b ==时，求()f x 的最大值；（2）当1b =时，设,αβ是()f x 两个极值点，且,(1,]e αββ<∈（其中e 为自然对数的底数）． 求证：1212,[,],|()()| 1.x x f x f x αβ∀∈-<请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
精品：【全国百强校】辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试理数试题(原卷版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数iiz -+=23的虚部为（ ） A.1 B.1- C.i D.i - 2.若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为（ ）A. (,)0+∞B.102∞（，）（，）-+U C.(,)2+∞ D.(,)-103.若i z +=1，则=-+⋅1z z z （ ）A.1-B.12+C.32+D.122+4.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A.103 B.4 C. 163D.6 5.如图，元件)4,3,2,1(=i A i 通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流 能在M ，N 之间通过的概率是（ ）A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891 6.设20πθ<<，已知θcos 21=a ，n n a a +=+21，则猜想=n a （ ）A.n2cos2θB.12cos2-n θC.12cos2+n θD.n2sin2θ7.某校赛艇运动员10人，3人会划右边，2人会划左边，其余5人两边都能划，现要从中选6人 上艇，平均分配在两边上划桨，有（ ）种不同的选法（不考虑同侧队员间的顺序）A.675B.575C.512D.5458.在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为（ ） A.41 B.43 C.643 D.9649.已知函数()()f x x f x 3'=-+22，()n f '=2，则二项式n xx )2(+展开式中常数项是（ ）A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项 10.已知函数()y f x =（x R ∈）的图象上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ， 则该函数的单调递减区间为（ ）A.[)+∞-,1B.(]3,∞-C.(]1,-∞-D.[)+∞,3 11.一个口袋中有编号分别为0，1，2的小球各2个，从这6个球中任取2个，则取出2个球的编 号数和的期望为（ ）A.1B.1.5C.2D.2.5 12.已知∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是（ ）A.321e B.322e C.323e D.3e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.有一名同学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概 率是 .14.已知5025001250(2)a a x a x a x -=++++L ，则0150||||||a a a +++=L .15.一个正四面体的骰子，四个面分别写有数字3，4，4，5，则将其投掷两次，骰子与桌面接触面 上的数字之和的方差是 .16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以123A A A ，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件. 再从 乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件。
【数学】辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高一上学期第一次阶段测试
辽宁省沈阳市东北育才学校 2015届高一上学期第一次阶段测试数学试题360。
形成的空间几何体为B .一个圆锥和一个圆柱 D .一个圆锥和一个圆台3.直线m, n 均不在平面：内，给出下列命题: ①若 m//n , n//：,则m 〃 ：； ②若 m 〃 ：，： // -,则m 〃：③若 m _ n , n _ ：•，则m 〃 ：•； ④若 m _ 一：，：• _ :,则m 〃 . 其中正确命题的个数是 （） C. 2 D.1■-的距离相等，则:与1的位置关系为5.棱台的上下底面积为16和81,有一平行于底面的截面面积为A. 1 : 1B.1 : 2C. 2 : 36•如图，在正方体 ABCD - AB1GD 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（A . 3个B . 4个C . 5个7.已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA —平面ABC ，则下列结论不正确的是（）A . CD //平面 PAFB . DF —平面 PAFC . CF // 平面 PABD . CF —平面 PAD、单选题： （母题5分，满分60分） A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直A .一个圆锥 C .两个圆锥2.用一个平面去截一个几何体, 得到的截面是四边形， 则这个几何体可能是A .圆锥B .圆柱C .球体D •以上都可能A. 4B. 34.平面〉上有不共线三点到平面36,则截得的两棱台的高的比1 .一个直角三角形绕斜边旋转 D. 3 : 4第6题图&如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的 正方形，且=ADE 、厶BCF 均为正三角形，EF//AB ,EF =2 , 则该多面体的体积为MJ.9.如图所示, B .三34 c.-3第8题图若 门是长方体ABC^A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后 得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1上异于B 的点,EH//A I D 1，则下列结论中不正确的是A. EH // FGB.四边形EFGH 是矩形 C o -是棱柱D. 】是棱台B第9题图10.若一个三棱锥中,有一条棱长为a ,其余棱长均为 则其体积F （a ）取得最大值时a 的A.1值为（）C.V211.在长方体ABCD - AB1GD 1中,AB = . 2 , BC = AA 1 = 1，点 M 为 ABi 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点 P 、Q 可以重合），则IGMP PQ的最小值为（2 A.-23 c.—412.若直线a上的所有点到两条直线m、n的距离都相等，则称直A. 1 线a为“m、n的等距线”.在正方体E、F、G、H分别是所在棱中点,中点，则在直线MN , EG , FH ,的等距线”的条数为（）B. 2ABCD — A BjC 1D1 中，M、N分别为RD中，是“C. 3EH、FGA D1、ABD. 4（2） AB 〃 平面 ADC-18•如图，在几何体 ABDCE 中，AB 二AD , AE —平面ABD , M 为线段BD 的中点,、填空题： （每题5分，满分2013.如图所示，正方体 ABCD - 中,以下四个结论：① 直线AM 与CG 是相交直线； ② 直线AM 与BN 是平行直线； ③ 直线BN 与MB 1是异面直线； ④ 直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为 _________ （注：把你认为正确的结论序号都填上 ）. 14•已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 4・一◎二，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 _____________ 15.在三棱柱 ABC - A^G 中，侧棱AA —平面AB i C 1,AA 1 =1，底面 ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 .16•已知正 ABC 三个顶点都在半径为 2的球面上，球心 0到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点，过点E 作球0的截面，则截面面积的最小值是 ___________ .第15题图三、解答题：（17题10分，18-22题，每题12分，满分70分） 17.如图，在正三棱柱 ABC - AB 1C 1中，点D 是棱BC 的中点. 求证：（1） AD _ GD ；第13题图MC // AE , AE = MC .(1)求证：平面BCD丄平面CDE ；⑵若N为线段DE的中点，求证：平面AMN //平面BEC .第18题图19.如图，四棱锥P「ABCD中，底面ABCD为正方形，PD _平面ABCD , PD =AB ,E，F，G，H 分别为PC、PD、BC、PA 的中点.求证：(1) PA//平面EFG ;(2) DH —平面EFG .第19题罔20.如图，AB为圆柱的轴，CD为底面直径，E为底面圆周上一点，AB - 1 , CD = 2 ,求(1)三棱锥A — CDE 的全面积; (2)点D 到平面ACE 的距离.21.如图(1)所示，在梯形 BCDE 中，BC // DE , BA _ DE ，且EA =DA = AB =2CB =2，如图(2)沿AB 将四边形 ABCD 折起，使得平面 ABCD与平面ABE 垂直，M 为CE 的中点.是棱BB 上的一点. (1)求证：MD _ AC ；⑵ 试确定点M 的位置，使得平面 DMC 1丄平面CC 1D 1D .参考答案、 单选题： （母题5分，满分 60分） 1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.D 8.A 9.D 10.D 11.C 12.B_、填空题： （每题 5分，满分 20分）2913. ③④14.-15.16.-二⑴求证：AM - BE ；(2)求三棱锥C -BDE 的体积.22.如图所示，在直四棱柱ABCD - A ! B 1C 1D 1 , DB 二 BC , DB _ AC ，点 MA第22题34三、解答题：（17题10分，18-22题，每题12分，满分70 分）17. 提示：（1）AD _ 平面B1 BCC1（2）AB〃OD18. 解：⑴•/ AB= AD, M为线段BD的中点，二AM丄BD.•/ AE 丄平面ABD, MC // AE,「. MC 丄平面ABD.••• MC 丄AM••• AM丄平面CBD.又MC//AE, MC=AE •四边形AMCE为平行四边形，• EC // AM ,• EC 丄平面CBD ,•平面BCD丄平面CDE.⑵•/ M为BD中点，N为ED中点，• MN // BE由（1）知EC // AM 且AM A MN = M , BE A EC = E,•平面AMN //平面BEC.19•提示：（1）EF//AB, EG//PB ,•平面FAB//平面EFG （2）DH 丄PA, DH 丄AB, • DH 丄平面FAB• DH 丄PB由（1）EF//AB, EG//PB• DH 丄EG DH 丄EF• DH丄平面EFG320. (1) 2 3(2)21. ⑴证明：•平面ABCD丄平面ABE，由已知条件可知，DA丄AB , AB丄BC,平面ABCD门平面ABE = AB,••• DA丄平面ABE, CB丄平面ABE.取EB的中点N,连接AN、MN ,在A ABE中，T AE = AB, N为EB的中点，• AN 丄BE.在A EBC 中，•/ EM = MC , EN = NB,「. MN II BC,又••• CB丄平面ABE,• MN 丄平面ABE ,• MN 丄BE.又••• AN A MN = N ,• BE 丄平面AMN ,又••• AM 平面AMN ,• AM 丄BE.(2)解：T平面ABCD丄平面ABE,AE丄AB，平面ABCD A平面ABE = AB , • AE丄平面ABCD , 即AE丄平面BCD.E. C 1 1 一亠、 1 1 又・S ABCD = ><BC ><BA = — X1 >2= 1,.••二棱锥C-BED 的体积=V E-BCD = XS ABCD XEA=—2 23 32X1 2 =.322. (1)证明：由几何体ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱，得BB1 I DD1 , BB1 =DD1,•四边形BB1D1D是平行四边形，• B1D1 II BD.而BD 平面A1BD , B1D1 二平面A1BD , • B1D1 I 平面A1BD.⑵证明：连接B1D,T BB1丄平面ABCD, AC 平面ABCD, • BB1丄AC.又T BD丄AC ,且BD A BB1 = B, • AC丄平面BBQ.而MD 平面BB1D , • MD 丄AC.⑶解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1丄平面CC1D1D.取DC的中点N , D1C1的中点N1 ,连接NN1交DC1于0,连接0M , BN , B1N1,如答图4所示.T N是DC的中点，BD = BC ,• BN丄DC.又T DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,易知平面ABCD丄平面DCC1D1,••• BN 丄平面DCC1D1.又可证得0是NN i的中点，且四边形BB l N i N是平行四边形, • BM II ON且BM = ON，•四边形BMON是平行四边形，• BN II OM ,• OM 丄平面CC i D i D.•••OM 二平面DMC1,•平面DMC i丄平面CC i D i D.。