人教版高中数学必修5第一章解三角形练习题及答案

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高中数学必修五第一章解三角形单元检测试卷2Word版含答案

【答案】 1
7 ．在△ABC 中，若 sin A ∶ sinB∶ sinC＝ 5 ∶ 7 ∶ 8 ，则B 的大小是
．
【解析】由正弦定理知： a＝2 Rsin A ，b ＝2 Rsin B，c＝ 2 Rsin C．设 sin A ＝5 k，sin B＝7k ，sin C＝8 k ，
∴a＝10 Rk， b ＝14 Rk ，c＝16 Rk，
sin C＝2 3sin B，则 A ＝( ) A ． 30 °
B． 60 °
C． 120 °
D． 150 °
【解析】 ∵ sinC＝2 3sin B，由正弦定理，得 c＝ 2 3 b ，
b 2＋ c2－a2 － 3bc ＋c2 － 3 bc ＋ 2 3 bc 3
∴ cosA ＝
＝
＝
＝，
2bc
2bc
单元检测试卷（二）
(建议用时： 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
c2－ a2－b 2
1 ．在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b ，c，若
>0 ，则△ABC ( )
2ab
A ．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
a2＋ b 2－c2
【解析】由题意知
∴a∶b ∶c＝ 5 ∶ 7 ∶ 8 ，
25 ＋64 － 49 1
π
∴ cosB＝
＝，∴B＝ .
2 × 5 ×８ 2
3
π 【答案】
3
8 ． (2014 ·天津高)考在△ABC 中，内角 A ，B，C 所对的边分别是 a， b ，c.已
1
知 b － c＝ a,2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为

必修5解三角形知识点和练习题(含答案)

【译文】玉露凋伤枫树林，——白露凋伤了漫山遍野的枫林，巫山巫峡气萧森。

——巫山巫峡的气象满目萧瑟阴森。

江间波浪兼天涌，——峡中的江水波涛滚滚汹涌连天，塞上风云接地阴。

——塞上风云漫卷密布天地一片阴沉。

丛菊两开他日泪，——秋菊已开两度回想他日再流泪，孤舟一系故园心。

——孤舟靠岸系绳也系着我游子的故园心。

寒衣处处催刀尺，——深秋季节处处都在为游子征夫赶制寒衣，白帝城高急暮砧。

——傍晚白帝城头传来急促的捶布声。

【译文】群山万壑赴荆门，——千山万壑逶迤不断奔赴荆门山，生长明妃尚有村。

——这里遗留有生长明妃的香溪村。

一去紫台连朔漠，——一别汉宫便与北方荒漠连一起，独留青冢向黄昏。

——最后只留下青冢向着漠漠黄昏。

画图省识春风面，——画工曾经辨识昭君美丽的面容，（却因一己私欲致使昭君嫁匈奴），环佩空归月夜魂。

——只有死后魂灵徒然在月夜归来。

千载琵琶作胡语，——千年以来琵琶弹奏的胡地乐曲，分明怨恨曲中论。

——还分明倾诉着她内心的怨恨情。

【译文】风急天高猿啸哀，-- 风急天高猿猴啼叫显得十分悲哀，渚清沙白鸟飞回。

-- 水清沙白的河洲上空鸟儿在盘旋。

无边落木萧萧下，-- 无边无际的树木萧萧地飘下落叶，不尽长江滚滚来。

-- 望不到头的长江水滚滚奔腾而来。

万里悲秋常作客，-- 悲对秋景感慨万里漂泊常年为客，百年多病独登台。

-- 一生当中疾病缠身今日独上高台。

艰难苦恨繁霜鬓，-- 历尽了艰难苦恨白发长满了双鬓，潦倒新停浊酒杯。

-- 穷困潦倒偏又暂停了浇愁的酒杯向量知识点的归纳一、知识梳理：（1）本章要点梳理：1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，特别注意：)(21→→+ACAB表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||AB表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、-（或-）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。

高一数学必修5练习：第一章解三角形过关检测 Word版含解析

第一章过关检测一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小关系不能确定答案:A解析:∵sin A>sin B,∴2R sin A>2R sin B,即a>b.∴A>B.2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为()A.2B.8C.D.答案:C解析:∵=2R=8,∴sin C=,∴S△ABC=ab sin C=abc=×16.3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220,则BC长为()A.20B.75C.51D.49答案:D解析:由S=AC·AB·sin A=×16×AB·sin 60°=4AB=220,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则A的大小是()A. B. C. D.答案:C解析:∵=2c,∴由正弦定理得2sin C=≥2=2,当且仅当时等号成立,∴sinC=1,C=,A=.5.在△ABC中,b=a sin C,c=a cos B,则△ABC一定是()A.等腰三角形但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形但不是等腰三角形D.等腰直角三角形答案:D解析:由c=a cos B得,c=a×-,∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,∴b=a sin C=a×=c,∴△ABC是等腰直角三角形.6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是()A.0<a<3B.≤a<3C.2<a≤3D.1≤a<答案:B解析:∵三角形为钝角三角形,∴--⇒≤a<3.7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为()A.45°B.60°C.90°D.120°答案:C解析:由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,∴cos A=-.∴A=60°,又,∴.∴sin B=sin A=.∴B=30°,∴C=180°-A-B=90°.8.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为()A. B.C. D.答案:D解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD= a.在△ABD中,由余弦定理,得cos A=-=-.又∵A为△ABC的内角,∴sin A=.在△ABC中,由正弦定理得,.∴sin C=·sin A=.9.设a,b,c是△ABC的三条边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,有()A.f(x)=0B.f(x)>0C.f(x)≤0D.f(x)<0答案:B解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bc cos A·x+c2,∵Δ=(2bc cos A)2-4b2c2=4b2c2·(cos2A-1)<0,且b2>0,∴f(x)>0.10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1) mB.120(-1) mC.180(-1) mD.240(-1) m答案:B解析:如图,∠DAB=15°,∵tan 15°=tan(45°-30°)=°-°°°=2-.在Rt△ADB中,又AD=60,∴DB=AD·tan 15°=60×(2-)=120-60.在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,∴DC=AD·tan 60°=60.∴BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).∴河流的宽度BC等于120(-1) m,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.设△ABC的外接圆半径为4,且sin B sin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a=.答案:4解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,即cos A=-=-=-,∴cos A=-,A=120°.又∵=2R,∴a=2R sin A=2×4×sin 120°=4.12.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=,AC的取值范围为.答案:2()解析:由正弦定理得.∵B=2A,BC=1,∴.∴=2.∵△ABC是锐角三角形,∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,∴30°<A<45°.又AC=2cos A,∴AC∈().13.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 m.答案:1 000解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.又AS=1 000 m,由正弦定理知,°°∴BS=2 000sin 15°.∴BD=BS·sin 75°=2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500(m),且DC=ST=1 000sin 30°=500(m),从而BC=DC+DB=1 000(m).14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且a cos B+b cos A=c sin C,则角B=.答案:解析:由m⊥n,得cos A-sin A=0,即A=.由余弦定理及a cos B+b cos A=c sin C,有a·-+b·-=c sin C,即2c2=2c2sin C,∴sin C=1,解得C=,∴B=π-.三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.(2)由sin C=2sin A及,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得cos A=-.又A∈(0°,180°),∴A=120°.(2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C=.又sin B+sin C=1,∴sin B=sin C=.∵0°<B<60°,0°<C<60°,∴B=C.∴△ABC是等腰钝角三角形.17.已知a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,B=,c=8,cos C=-.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解:(1)∵cos C=-,∴sin C=-.∵,B=,∴,即b=7.(2)∵sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=-,∴S△ABC=bc sin A=×8×7×=6.18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.由正弦定理得,得AB=×sin C==1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因为0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理,得BC=×sin A==500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)内.。

数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)

数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)解三角形1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C=.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.、已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C在有解时只有一解。

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°8、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.9、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.10、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).12．在ABC △中，已知内角A π=3，边3BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 13．在ABC中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c14．在ABC中,,a b c分别为,,A B C∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。

高中数学必修5第一章解三角形单元测试题有答案

高二周末测试〔一〕第一卷〔选择题共60分〕一选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.△ABC中，A30o，C105o，b8，那么等于〔〕A4B42C43D 4 52.△ABC中，B45o，C60o，c1，那么最短边的边长等于〔〕6613 3B2C2D23 .长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B 120°C135°D150°a b c4.△ABC中，cosAcosBcosC，那么△ABC一定是〔〕A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5.△ABC中，B60o，b2ac，那么△ABC一定是〔〕A 锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形6.△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A 有一个解B有两个解C无解D不能确定7 .△ABC中，b8，c83，S VABC163，那么A等于〔〕A30o B60o C30o或150o D60o或120obc8.△ABC中，假设A60o，a3，那么sinAsinB sinC等于〔〕1A2B23D29 .△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两局部，那么cosA〔〕A1B13D032410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为〔〕A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，那么塔高为〔〕12 A.米 B. 米米米13海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B、C间的距离是()海里海里C.56 海里 3 海里第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于。

(完整版)高一数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题(含答案),推荐文档

C . a=1,b=2, / A=100C . b=c=1, / B=451 .正弦定理abc2R 或变a ・ A ・ c ain △・ain R ・ain C■ K/ ■ vzn u i L M / ・ w iii sin A sin B sinC222bc acco AUUo / v2a 2 2b c 2bccosA 92bc 92.余弦定理：b 22 2 a c 2accosB 或c a QCO l-< c b 22ac2cb 2 a2bacosC.2 22ba ccos C2ab3.（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式〔、△ ABC 中,a=1,b= 3 , / A=30 °，则/ B 等于A . 60°B . 60° 或 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是A . a=1,b=2 ,c=3 ( )C . 30° 或 150°D . 120°( )B . a=1,b= .2，/A=30 °3、在锐角三角形 ABC 中，有( )A . cosA>sinB 且 cosB>sinAC . cosA>sinB 且 cosB<sinAB . cosA<sinB 且 cosB<sinA D . cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c — a)=3abc ，且 sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是A .直角三角形D .等腰直角三角形1、在厶ABC 中，已知内角 A —,边BC 2.3.设内角B(1)求函数y f (x)的解析式和定义域；(2)求y 的最大值.2、在VABC 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，若si nAsi nBB .等边三角形C .等腰三角形 5、C 为三角形的三内角，且方程(sinB—si nA)x 2+(si nA — sinC)x+(si nC — sin B)=0有等根，那么角 B6、满足A=45 B>60 ° C . B<60 D . B w 60°,c= , 6 ,a=2的厶ABC 的个数记为 m,则a m 的值为B .D .不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是B ,点离地面的高度AB等于asin sin A .sin( )B .asin sin cos( )asin cos C .sin( )a cos sin D .cos( )9、A 为 ABC 的一个内角,且 sinA+cosA = 172,肌 ABC 是三角形•11、在4 ABC 1 中，若 S ABC = (a 2+b 2 — c 2),那么角/ C=412、在4 ABC 13、在4 ABC① B=60 亠31 中，a =5,b = 4,cos(A — B)= 一，则 cosC= _____ .32中，求分别满足下列条件的三角形形状：,b 2=ac ; ② b 2ta nA=a 2ta nB ;sin A sin B ③ sin C=cos A cos Bx ，周长为—求 a:b:c2 ，3、在锐角三角形ABC中，有( )23、在 VABC 中 a, b, c 分别为 A, B, C 的对边，若 2sinA(cosB cosC) 3(sinB sinC), (1)求A 的大小；(2)若a .61,b c 9，求b 和c 的值。

人教A版高中数学必修五第一章解三角形综合练习.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修5第一章《解三角形》综合练习一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，则k 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(-∞，0) C ．(-21，0) D ．(21，＋∞) 5在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2397．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．135<<x B ．13＜x ＜5 C ．2＜x ＜5 D ．5＜x ＜58．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 10．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则∠C 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．120°或60°二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________． 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．6．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝________；|AB ＋AC |＝________．7．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 9．若△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝1，则面积S 的取值范围是________．10．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积S ＝4222c b a -+，则角C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共40分)1．在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？ 2．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △3．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b -c ＝2，求a ．4．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式． (2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．5．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．6．半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a -b )sin B ． (1)求角C ； (2)求△ABC 面积的最大值．参考答案一、选择题1．D 分析：由正弦定理得，BbA a sin sin =， ∴ sin B ＝23sin =a A b ， ∴ ∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵ ∠A ＝30°，∠B ＝120°， ∴ ∠C ＝30°，∴ BA ＝BC ＝6， ∴ S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，CcB b A a sin sin sin ==， ∴ sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴ A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．D 分析：∵ AB ·BC ＝-BA ·BC ， ∵ BA ·BC ＝|BA ||BC |cos B ＝21(|BA |2＋|BC |2-|AC |2)＝21(52＋72-82)＝5 ∴ AB ·BC ＝-BA ·BC ＝-5 6．B 分析：∵ S △ABC ＝21×1×c ×sin60°＝3，∴ c ＝4，∴ a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝13 ∴ R ＝339sin 2=A a∵ a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ∴33922sin sin sin ==++++R C B A c b a7．A 分析：由三角形三边的关系，得1＜x ＜5，(1)当1＜x ＜3时，由22＋x 2＞32解得5＜x ＜3； (2)当3≤x ＜5时，由22＋32＞x 2解得3≤x ＜13，由(1)(2)可知5＜x ＜13．8．D 分析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，得a 2＋2ab ＋b 2-c 2＝3ab∴212222=-+ab c b a ，∴ cos C ＝60° 9．C 分析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知三角形的三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的边为c ，∴ 最大的角为∠C ．由余弦定理得cos C ＝21532)7()5()3(222-=⨯⨯-+k k k k k ，∴ ∠C ＝120°． 10．D 分析：由c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，得(a 2＋b 2)2-2(a 2＋b 2)c 2＋c 4＝a 2b 2，∴ (a 2＋b 2-c 2)2＝a 2b 2，∴ a 2＋b 2-c 2＝±ab ，∴ cos C ＝212222±=-+ab c b a ， ∴ ∠C ＝120°或∠C ＝60°．二、填空题1．23或3 分析：sin C ＝23230sin 32=︒，则∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3． 2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理CcB B cC c B b sin sin sin 2sin sin ==得， ∴ sin C ＝21，∴ ∠C ＝30°或150°．3．22 分析：∵ c ＝2R sin C ，∴ R ＝22sin 2=C c．4．60°或120° 分析：∵ S △ABC ＝21bc sin A ，∴ 23＝21×2×3sin A ，∴ sin A＝23， ∴ ∠A ＝60°或120°． 5．6＋23 分析：∵B b A a sin sin =，∴ ︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b， ∴ b ＝4．∴ S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23． 6．719 分析：由三角形法则知|AB -AC |2＝|BC |2＝|AB |2＋|AC |2-2|AB |·|AC |·cos A ＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7 ∴ |AB -AC |＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|AB ＋AC |2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴ |AB ＋AC |＝197．57 分析：∵ A ＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A ，AB 、AC 为x 2-9x＋8＝0的两个正实数根，则AB ＋AC ＝9，AB ×AC ＝8∴ BC 2＝AB 2＋AC 2-2×AC ×AB ×cos A ＝(AB ＋AC )2-2×AC ×AB ×(1＋cos A )＝92-2×8×23＝57 8．-71分析：先由c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C 求出c ＝3，∴ 最大边为b ，最大角为B ， ∴ cos B ＝712222-=-+ac b c a ． 9．(0，163] 分析：S △ABC ＝21ab sin C ＝43ab ＝16341434)(432=⋅=+⋅≤b a (0<a <1)可得0<S △ABC ≤163． 10．45° 分析：S △ABC ＝21ab sin C ＝21224222222=⋅-+=-+ab ab c b a c b a ab cos C ∴ sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝1，∴ C ＝45°三、解答题1．解：∵ A ＝30°，b ＝10(1)当0＜a ＜b sin A 时无解，即0＜a ＜5时，无解． (2)当a ＝b sin A 时，有一解，即a ＝5时，有一解．(3)当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，即5＜a ＜10时，有两解． (4)当a ≥b 时，有一解，即当a ≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a ＜5时，无解；a ＝5或a ≥10时，有一解；5＜a ＜10时，有两解．2．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7， S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．3．解：由S △ABC ＝21bc sin A ，得123＝21×48×sin A ∴ sin A ＝23∴ A ＝60°或A ＝120°a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝(b -c )2＋2bc (1-cos A )＝4＋2×48×(1-cos A )当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝213 当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝2374．解：(1)∵ a ＋b ＝16，∴ b ＝16-a S ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43 (16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163． 5．解：∵ sin C ∶sin A ＝4∶13∴ c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b k k由①、②消去2b ，得 13k 2-16k ＋3＝0③解得k ＝133或k ＝1， ∵ k ＝133时b ＜0，故舍去． ∴ k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4． 6．解：(1)∵R C cB b A a 2sin sin sin === Rb B Rc C R a A 2s i n ,)2(s i n ,)2(s i n 2222===∴ ∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B ∴ 2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·Rb 2 ∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴ 232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴ C ＝30° (2)∵ S ＝21ab sin C ＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值22432)231(2R R +=+．。

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评4 Word版含答案

学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为() A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为()A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】如图所示，sin∠CAB＝2040＝12，∴∠CAB＝30°.【答案】 B3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/小时B．14海里/小时C．142海里/小时D．20海里/小时【解析】如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x cos 60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x －16)(x ＋6)＝0. ∴x ＝16或x ＝－6(舍)． ∴N 与D 之间的距离为16米．【答案】 C 二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1-2-26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ m.图1-2-26【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33 ＝1006(m)．【答案】 100 66．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C 处，若A 处与C 处的距离为3海里，则x 的值为．【解析】 x 2＋9－2·x ·3cos 30°＝(3)2，解得x ＝23或x ＝ 3. 【答案】3或2 37．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km. 【导学号：05920062】【解析】如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM＝302(km)．【答案】30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68 n mile 的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin 120°＝PMsin 45°，∴MN＝68×3222＝34 6.又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，∴船的航行速度v＝3464＝1726(n mile/h)．【答案】172 6三、解答题9．平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1、F2的大小分别为1 N、6＋22N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．【解】如图，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.∵∠BOC＝45°，∴∠ABO＝135°.在△OBA中，由余弦定理得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos 135°＝4＋2 3.∴|F|＝1＋3，即|F3|＝3＋1.又由正弦定理得sin∠BOA＝|F2|sin∠ABO|F|＝12.∴∠BOA＝30°.∴∠BOD＝150°.故F3的大小为(3＋1)N，F1与F3的夹角为150°.10. (2016·焦作模拟)如图1-2-27，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30 km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙)，此时B 、D 两处相距42 km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．图1-2-27【解】设∠ABD ＝α，在△ABD 中，AD ＝30， BD ＝42，∠BAD ＝60°.由正弦定理得AD sin α＝BDsin ∠BAD ，sin α＝AD BD sin ∠BAD ＝3042sin 60°＝5314，又∵AD <BD ， ∴0°<α<60°，cos α＝1－sin 2α＝1114，cos ∠BDC ＝cos(60°＋α)＝－17. 在△BDC 中，由余弦定理得BC 2＝DC 2＋BD 2－2DC ·BD cos ∠BDC ＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3 844，BC ＝62 km ，即渔政船乙要航行62 km 才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为() A．5米B．10米C．15米D．20米【解析】如图，由题意得，AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD.设塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝ABtan 30°＝3x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos 120°，∴(3x)2＝x2＋100＋10x，解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.1507分钟 B.157分钟C ．21.5分钟D ．2.15小时【解析】如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos 30°－sin ∠ACB ·sin 30°＝2114.【答案】 21144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值．【解】 (1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200，AC ＝120，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.。

(新人教A版)高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习必修5

A 级基础巩固一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( D )A ．10 kmB ． 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km ．2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ．γ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，γ[解析] 本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km ．二、填空题7．在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__6__km ．[解析] 如图所示，由题意易知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32＝6(km)．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝__1063__cm ．[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ．三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos α1－β1．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos β2＋α2．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2tsin45°＝10－2t sin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝53－33<5．答：经过53－33小时小船甲处于小船乙的正东方向．。

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评1 Word版含答案

学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22， ∴∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B ＝45°，故选C.【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶3∶2C ．2∶3∶1D ．3∶1∶2【解析】设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝12∶32∶1＝1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为() A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝23a·sin B可化为：3sin B＝23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B≠0，∴sin A＝3 2，∴∠A＝60°或120°，又cos A＝cos C，∴∠A＝∠C，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．【答案】 C二、填空题5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理bsin B＝csin C得b＝c sin Bsin C＝1×2232＝63.【答案】6 36．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.【解析】在△ABC中，∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或B＝56π.又∵B＋C<π，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝π－π6－π6＝23π.∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝1.【答案】 17．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B＝________. 【解析】由正弦定理得3sin A＝2sin B·sin A，∵sin A≠0，∴sin B＝3 2.又0<B<180°，∴B＝60°或120°.【答案】60°或120°三、解答题8．在△ABC中，已知acos A＝bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状. 【导学号：05920059】【解】令asin A＝k，由正弦定理得a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.代入已知条件，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．【解】由正弦定理得asin A＝bsin B，即b＝a·sin Bsin A＝3×12sin 60°＝ 3.由于∠A＝60°，则∠B<120°，又sin B＝1 2，∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝a sin Csin A＝2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D．72【解析】∵asin A＝bsin B，∴sin Bsin A＝ba.∵3a＝2b，∴ba＝32.∴sin Bsin A＝32.∴2sin2B－sin2Asin2A＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin Bsin A2－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72.【答案】 D2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A【解析】由正弦定理asin A＝bsin B，∴a sin B＝b sin A，在△ABC中，0<sinB≤1，故a sin B≤a，∴a≥b sin A．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，B＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B .∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A －∠B ＝0即∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.。

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必修5第一章《解三角形》练习题
一、选择题
1．在ABC中，6a，30B，120C，则ABC的面积是（）

A．9 B．18 C．39 D．318
2．在ABC中，若bBaAcossin，则B的值为（）
A．30 B．45 C．60 D．90
3．在ABC中，若Babsin2，则这个三角形中角A的值是（）
A．30或60 B．45或60 C．60或120 D．30或150
4．在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A．10b，45A，70C B．60a，48c，60B

C．7a，5b，80A D．14a，16b，45A
5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322xx的根，则第三边长是（）
A．20 B．21 C．22 D．61
6．在ABC中，如果bcacbcba3))((，那么角A等于（）
A．30 B．60 C．120 D．150
7．在ABC中，若60A，16b，此三角形面积3220S，则a的值是（）
A．620 B．75 C．51 D．49
8．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）

A．223 B．233 C．23 D．33
9．在ABC中，若12cb，45C，30B，则（）
A．2,1cb B．1,2cb C．221,22cb D．22,221cb
10．如果满足60ABC，12AC，kBC的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）
A．38k B．120k C．12k D．120k或38k
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11．在ABC中，若6:2:1::cba，则最大角的余弦值等于_________________．

12．在ABC中，5a，105B，15C，则此三角形的最大边的长为____________________．
13．在ABC中，已知3b，33c，30B，则a__________________．
14．在ABC中，12ba，60A，45B，则a_______________，b_______________．
三、解答题
15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．
17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，
航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的
危险？
18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向
航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔
A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．

19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h
（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取

2
＝1.4,3＝1.7）．

20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如上图）的东偏南)102(cos方
向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径
为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有
多少小时？

O
P
θ

45
°
东

西

北
东

15
45

ACBD

图1 图2

A
C

B
北
北
152
o

32
o
122
o
ACBD

必修5第一章《解三角形》练习题参考答案xkb1.com
CBDDB BDB A D 11．41 12、621565 13、6或3 14、61236a，24612b
15．在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝3．
在△ACD中，AD2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o＝7，∴AC＝7．
∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝21×1×3×sin60o＝343．
16．∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，
∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA．而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即

cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0∴2cosBcosC＝0．∵ 0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝2或C＝2，即△ABC是直角三角形．
17、解：过点B作BD⊥AE交AE于D 由已知，AC=8，∠ABD=75°，
∠CBD=60°
在Rt△ABD中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°
在Rt△CBD中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°
∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,

∴8.3460tan75tan800BD∴该军舰没有触礁的危险。

18．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝235，
∴AC＝235sin30o＝435．答：船与灯塔间的距离为435n mile．
19. 解：如图 ∵A150 DBC450 ∴ACB300，
AB= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）= 21000(m ) ∴在ABC中∴
ACBABABCsinsin

∴)26(1050015sin21210000BC∵ADCD， ∴0sinsin45CDBCCBDBC

＝)26(1050022＝)13(10500＝)17.1(10500＝7350山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米)
20．解：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得：OP=300，PQ=20t，
OQ=r(t)=60+10t，因为102cos，α=θ-45°,所以1027sin，54cos
由余弦定理可得：OQ2=OP2+PQ2-2·OP·PQ·cos
即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t·54即0288362tt，解得121t,242t

2t
121t

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时？