高中人教A版数学必修二教师用书第1章 1.3.2 球的体积和表面积 Word版含答案

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高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积

多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要典题例解迁移应用
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=��2��,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
��球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2

高中数学人教A版必修二1.3.2《球的体积和表面积》ppt课件

《考向标》P18－ P20
编后语
果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
研读教材P23 思考部分 1. 球的体积与表面积公式；
2. 完成P27例4的证明，体会公式的运用； “圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。”
3. 自我检测：P28 练习 T1，T2
例1：已知⊙O1是半径为R的球O的小圆，且⊙O1的
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。

新人教A版高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课件必修2

解析:球面上的四点 P、A、B、C,PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5,且这三条线段两两垂直,是长方体的一个角,扩展为长方体,两者的外接球相同,
长方体的对角线长为 32 42 52 =5 2 ,外接球的半径为 5 2 . 2
2
外接球的表面积为
4
π

5
2 2

=50π,故选 C.
(A) 44 π (B) 484 π (C) 81 π (D)16π
3
9
4
解析:如图,正四棱锥 P ABCD 中,PE 为四棱锥的高,根据球的相关知识可知,四
棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上,因为底面边长
为 4,
所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中,
(A) 1 2
(B)1
(C)2
(D)3
2.(球的表面积)(2015 大同一中高二(上)月考)三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C )
(A)1 倍 (B)2 倍 (C) 9 倍 (D) 7 倍
5
4
3.(球的体积)(2015 唐山市高二(上)期中)用一平面去截球所得截面的面积为 2π ,已知球心到该截面的距离为 1,则该球的体积是( C )
3 2
3
×2=(18+9π)m3.
(2)根据三视图可知,该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成,所以其表面
积为 S=S 半球+S 侧= 1 ×4π×12+π×1× 5 =(2+ 5 )π. 2
答案:(1)(18+9π ) (2)(2+ 5 )π
题型三组合体的表面积与体积

【高中教育】高中数学 1.3.2 球的体积和表面积素材新人教A版必修2.doc

1.3.2 球的体积和表面积知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：图8如图8，在三棱锥S —ABC 中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA ⊥面ABC ，求三S —ABC .解：设内切球的球心为O ，球的半径为r,则V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC . 又∵V O —SAB 、V O —SAC 、V O —SBC 、V O —ABC 的高都是r ，SA ⊥面ABC ，∴V S —ABC =V O —SAB +V O —SAC +V O —SBC +V O —ABC =r 31(S △SAB +S △SAC +S △SBC +S △ABC ) =21131)112124*********(31∙∙=∙∙+∙+∙∙+∙∙r . ∴r=633331-=+. 点评：若一个简单n 面体有内切球，且简单n 面体的各个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,…,S n ，简单n 面体的体积为V ，则此简单n 面体的内切球的半径为r=nS S S S V +++3213. 用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.。

人教A版高中数学必修二1.3.2球的体积与表面积课件

4 3
R3
32
3
结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半
径是体对角线的一半
（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则对角线长为 a2 b2 c2
3.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的
体积之比为（）
A
A
(A)2∶5 (B)1∶2
(C)2∶3 (D)4∶9
R
O
B O1
C2
O
A2
O
B
令上下两个截面圆的圆心分别为C1 、C2，半径分别为r1、r2
由 r12 5 得r12 5，由 r22 8 得r22 8
在RtOC1A1中,OC1
R2 r12
R2 5
B1 B2
在RtOC2 A2中,OC2 R2 r22 R2 8
C1 C2
A1 A2
OC1 OC2 2, R2 5 R2 8 1
R2 2R 2 R3.
V球
2 3 V圆柱
（2） S球 4 R2，
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练一练
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2. 4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是__1_:_4__.
球的表面积是大圆面积的4倍
R
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 2 ，
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面3 积。
分析：由题可得：球内切于圆柱
作圆柱的轴截面（如图）

高一数学人教版A版必修二课件：1.3.2 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个
几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表
面积为16＋20π，D.8
解析答案
(2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_3_∶__1_∶__2_.
3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算. 5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
返回
解析答案
(2)在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M 为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为多少？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )
A.2π＋2 3
B.4π＋2 3
C.2π＋2 3 3
解析答案
1 23 45
5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 ________.
解析答案
规律与方法
1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V 柱体＝Sh S S V 台体＝31h(S＋ SS′＋S′) S′＝0 V 锥体＝31Sh. 2.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求 VA－BCD，h＝S△3BVCD. 这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝ VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.

高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件

D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（）（ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心，正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表面积展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )

人教A版高中数学必修二第1章 1.3 1.3.3 球的体积和表面积

正解：如图 2(1)，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平行平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之差，即为 102－36－ 102－64＝2(cm)．
图2 如图 2(2)，当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之和，即为 102－36＋ 102－64＝14(cm)．
球的体积例 1：(1)球的表面积增大为原来的 4 倍，则体积增大为原来的____倍； (2)三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的______倍； (3)把半径分别为 3,4,5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是______．
思维突破：(1)球的表面积增大为原来的 4 倍，即半径增大为原来的 2 倍，所以体积增大为原来的 8 倍．
ab＝ 3 有ac＝ 5
bc＝ 15
，有(abc)2＝15，
所以 V＝abc＝ 15.
c＝ 5 b＝ 3 ， a＝1
所以对角线长为 12＋ 32＋ 52＝ 9＝3. 外接球的半径为32，外接球的体积为43×π×323＝92π. 答案： 15 92π 3
3－1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为5
C．25
D．125
球的表面积
例 2：已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
解：如图 1，设截面圆心为 O′，连接 O′A，设球半径为
R，
则
O′A＝23×
23×2＝2
3
3 .
在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2，
例 3：已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 3， 5， 15，则长方体的体积为____________；外接球的体积为__________；对角线的长为____________．

高一数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积

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探究一探究二探究三思想方法当堂检测
课前预习案
课堂探究案
球的表面积和体积 4√2 【例1】 △ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB= ,AC=2, BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积. 思路分析:由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC 解:因为 AB=4√2,AC=2,BC=6, 外接圆圆心 ,所以可求球半径. 所以 AB2+AC2=BC2,即△ABC 为直角三角形.
= × π×33+ ×π×32×4=30π.
1 3
答案:C
明目标、知重点
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与球有关的组合体 √3 【例3】各棱长均为的四面体内有一内切球,求该球的体积. 思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积解:
明目标、知重点如图,在四面体 S-ABC中,取底面△ABC的中心为O ,连接SO ,O A,
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解法一: 作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a,那么 CC'=a,OC= 即a + 从而 V 因此 V
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变式训练1 若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为 .
解析:设两个球的半径分别为 R,r(R>r), 4π�� 2 -4π�� 2 = 48π, 则由题意得 �� + �� = 6, �� = 4, (�� + ��)(��-��) = 12, ��-�� = 2, 即整理得解得 �� = 2. �� + �� = 6, �� + �� = 6, 故两球的体积之差的绝对值为

【精编】人教A版高中数学必修二课件1.3球的体积和表面积-精心整理

的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，定长叫做球的半径．
与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
球的概念与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，定长叫做球的半径．
与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．
A
RO C
B
球的表面积半径是R的球的表面积是
1.3.2 球的体积和表面积
讲授新课
球的概念
A
RO C
B
讲授新课
球的概念与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
ห้องสมุดไป่ตู้
讲授新课
球的概念与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
球的概念与定点的距离等于或小于定长的点
S＝4R2
球的体积半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
制作不易尽请参考
32 48

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球的体积和表面积
．了解并掌握球的体积和表面积公式．
．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)
教材整理球的表面积与体积公式阅读教材“练习”以下至“练习”以上内容，完成下列问题．
．球的体积
设球的半径为，则球的体积＝π.
．球的表面积
π
设球的半径为，则球的表面积＝
，即球的表面积等于它的
大圆面积的倍．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()球的体积之比等于半径比的平方．( )
()长方体既有外接球又有内切球．( )
()球面展开一定是平面的圆面．( )
()球的三视图都是圆．( )
【解析】()错误．球的体积之比等于半径比的立方．
()错误．长方体只有外接球，没有内切球．
()错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．
()正确．球的三视图都是圆．
【答案】()×()×()×()√
()
()已知球的体积为π，求它的表面积．
【精彩点拨】借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．
【自主解答】()设球的半径为，则由已知得
π＝π，
＝.
所以球的体积：＝×π×＝π.
()设球的半径为，由已知得
π＝π，
所以＝，
所以球的表面积为：
＝π＝π×＝π.
．一个关键
抓住球的表面积公式球＝π，球的体积公式球＝π是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．．两个结论
()两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；
()两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
．()球的体积是，则此球的表面积是( )
．π
．π
()用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为
( )。