反证法
反证法的定义 数学
反证法的定义数学反证法是一种由数学家威廉爱德华卡尔的卡尔定理发展而来的推理方法，它用于证明某种定理的真实性。
反证法是一种充满智慧和创造力的推理方式，它旨在通过辩论，比较和证明某一观点的正确性，以便于证明目标定理的真实性。
反证法的定义是：反证法是用来证明某一特定观点的正确性的一种推理方式，它通过对该观点的另一种情况进行论证，从而得出结论。
反证是一种负面证明，它经常通过假设要证明的事实是错误的，以及假设与已经证实的事实相抵触，从而证明该事实是正确的。
反证法在数学中有着广泛的应用，主要用于证明某一主张是正确的，而不是推测一个假设来证明它是正确的。
例如，假设x是一个正整数，我们可以利用反证法来证明x的立方数是奇数。
首先，我们假设x的立方数不是奇数，即x的立方数是偶数。
因此，结论就是x必须是奇数。
反证法也可以用于解决一些平面几何问题，以证明某些图形是否满足某一条件。
例如，假设有一个几何图形，我们可以利用反证法来证明它是否满足直角三角形的条件。
我们首先假设该几何图形不满足直角三角形的条件，即它的三角形的三个角不全为直角，而是有些角是钝角。
如果一个三角形有两个钝角，则这个三角形的三条边的长度都不相等，由此可以得出结论，即原来假设的几何图形不满足直角三角形的条件是错误的，因此原来假设的几何图形确实满足直角三角形的条件。
除了上述应用，反证法也被广泛应用在其他领域，如政治经济学、法律学和数理统计学等，以及一些哲学论文中，用来证明论文或定理的正确性。
由于反证法在数学中具有重要的意义，因此，在数学教学和学习过程中，需要重视反证法的理解和运用。
首先，数学教师应注意在教授定理的同时，详细介绍反证法的基本概念，培养学生对反证法的正确认识。
其次，教师应提供大量的实际例子，以说明反证法的运用，让学生更加熟练的掌握反证法的用法，同时提高学生对反证法的敏感性。
最后，在数学课堂上，教师应提供反证法的几何实验，一方面可以让学生进行反证法的证明，另一方面可以使学生在熟悉实际情况的基础上，熟悉抽象的概念，将概念转化为证明定理的能力培养灵活起来。
反证法的应用
反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法思想
反证法思想反证法思想是一种激励人们思考的思维方式，它改变了传统的推理方式，更加注重自我反省的力量，把理论的发展推向更高的高度。
反证法思想源于中国古代的反证法，并在近代又有所发展，已经成为了一种重要的思维方法，说明了反证法思想的重要性和普遍性。
反证法思想是一种以反证法思维为基础的方法论，它以反证法作为解释事物背后的客观真理的中心思想，以提出质疑、反驳、变通的方式来分析事物的本质，以此发掘事物的真相。
反证法思想中，反证法是一种推理方式，它不再像传统推理那样单纯依据想象后推理出结论，而是从情况本身与事实中推理出结论，以正反来把零碎的知识和事实有机地联系起来，逐步推知本质。
通过反证法思想，可以鼓励人们思考，同时更好地理解事物及其背后的逻辑关系，同时掌握经验之谈。
反证法思想可以帮助我们更深入地思考，从而更好的应对复杂的社会环境。
在社会问题的解决中，反证法思想可以有效表达、传达有效的观点，从而激发自主思考的能力。
反证法思想也可以帮助我们深刻理解科学的真谛，而不是片面受到权威的影响而形成的一种单一的观点。
反证法思想也帮助我们掌握复杂的事物，从而更好地利用经验，提升我们在解决问题时的综合素养。
从具体实践来看，反证法思想可以帮助我们更好地分析和认识问题，让我们从多个角度考虑问题，从而更准确地把握问题的本质，确保最终的解决方案不会出让自身的利益和权益。
举例来说，在解决社会政治问题时，我们可以使用反证法思想，将认识问题的方法从两个方面（理论与实践）中拆分出来，即辩证思考，把问题分析得更细致，从而更好地处理社会政治问题。
总之，反证法思想是一种重要的思维方式，它不仅可以激发自主思考，更可以帮助我们更深入地思考，从而更好的应对复杂的社会环境。
它可以帮助我们更加灵活、明智地处理各种问题，在解决社会政治问题时，可以让我们从多个角度考虑问题，从而更准确地把握问题的本质，确保最终的解决方案不会出让自身的利益和权益。
反证法的一般步骤反证法怎么假设口诀反证法定义
一、反证法的步骤四、反证法的一般步骤步骤假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。
反证法的论证过程首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。
五、只能用反证法证明的命题1.有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。
这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的，比如根号2是无理数。
2.很多已知当中只有两个元的问题。
由于条件有限，基本上也只能采用反证法。
这类问题通常是一个公理体系里只有A、B两项，由已知命题推未知命题的真假。
3.对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。
而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。
而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。
如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。
4.证明一个集合有无穷多个元素：①用反证法。
即证明如果它是有限的，则会存在矛盾；②与另外一个无穷集合建立映射，这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
宜用反证法证明的几类问题
数学篇反证法是一种间接证明方法.它着眼于问题的反面，先假设命题结论的反面成立，再根据假设的反面结论和题设条件进行缜密的推理论证，推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果，得出假设不成立，最后判定原命题为真命题.那么，什么情况下适合运用反证法解题呢？下面介绍几种宜用反证法解题的命题形式.一、唯一型命题唯一型命题是指所要求证的结论中含有“唯一”“只有一个”等字眼的命题.由于唯一就是“独一无二”，解题时一般不好直接论证，常常需借助反证法来予以证明.此类问题中结论的反面是“不是唯一的”“至少有两个不同的”，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.例1求证：若m ≠0，则关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.分析：该命题的结论涉及唯一性，因此求证时可以考虑用反证法.证明：因为m ≠0，所以x =-n m是mx +n =0的一个解，假设mx +n =0(m ≠0)的解不是唯一的，不妨设x 1，x 2都是mx +n =0的解，这里x 1≠x 2，则有mx 1+n =0①，因为x 1≠x 2，所以m =0，这显然与已知条件中的m ≠0相矛盾，故而假设不成立，所以当m ≠0，关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.评注：在利用反证法解题时，同学们特别要注意反面假设的正确性，否则会使整个反证过程出错.对于唯一性命题而言，“唯一”，即“有且只有一个”，其假设的反面为“不止一个”，也就是“至少有两个”.二、否定型命题否定型命题是指命题的结论以“无”“没有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出现.因为我们所掌握的绝大部分概念、公理、定理、法则、公式等都是肯定性的断言，所以直接证明较难，故采用反证法可把否定性的断言转化为某种肯定性的断言，从而找到推理的途径.例2如图1所示，在☉O 中，MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，交点为R .求证：MN 、PQ 不能互相平分.解题指南扬州市梅岭中学陈溪数学篇行证明，显然存在难度.若能从命题结论的反面着手，利用反证法推出矛盾，则可以使问题轻松获证.证明：假设MN 、PQ 相互平分于点R .因为MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，所以点R 与点O 并不重合.连接OR 、OM 、ON .因为OM ＝ON ，R 为MN 的中点（由假设条件得出），所以OR ⊥MN ，同理可得OR ⊥PQ ，从而可知过点R 有MN 、PQ 两条直线同时垂直于OR ，这显然与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，故假设不成立，所以MN 、PQ 不能互相平分.评注：对于否定型命题而言，它的反面往往为肯定性判断，运用肯定性的断言去推理一个命题要比运用否定性的断言去推证一个命题更直观、容易.三、至少（多）型命题至少（多）型命题的结论中经常出现“至少”“至多”“最少”“最多”等这样的词语，由于结论涉及的对象往往不止一个，我们能找到直接论证的理论依据很少，故常用反证法.通过添加否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而使命题容易获证.例3若a 1a 2=2(b 1+b 2)，试证明:方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.分析：题目中出现“至少”的字眼，因此可以借助“反证法”进行求证.证明：假设两个方程都没有实数根，则有△1<0，△2<0，所以△1+△2<0.①又因为△1+△2=a 21-4b 1+a 22-4b 2=a 21+a 22-4(b 1+b 2)=a 21+a 22-2a 1a 2=(a 1-a 2)2≥0，②显然①与②矛盾，故假设不成立，所以方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.例4试证明：任给m ，n ，p 三个实数，则下列三个不等式中至多有两个不等式同时成立：|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |.分析：题目中出现“至多”一词，因此可以利用反证法予以证明.证明：根据实数的性质，不妨设实数m ，n ，p 在数轴上对应的三点如图2中M 、N 、P所示：图2那么就有：|m |=OM ，|n |=ON ，|p |=OP ，|n -p |=NP ，|p -m |=MP ，|m -n |=MN .假设这三个不等式同时成立，由|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |可知，OM <NP ，ON <PM ，OP <MN ，而OP =ON +NP >ON +OM =MN ，即OP >MN ，这与“OP <MN ”相矛盾，故而假设不成立，所以三个不等式中至多有两个不等式同时成立.评注：若题目中的结论词是“至少有一个”，则反设结论词为“一个也没有”；结论词是“至少有n 个”，则反设结论词为“至多有（n -1）个”；结论词是“至多有一个”，则反设结论词为“至少有两个”；结论词是“至多有n 个”，则反设结论词为“至少有（n +1）个”.总之，对于某些数学命题，若直接证明行不通，同学们要注意以退为进，逆向思考，巧用反证法，从而出奇制胜.解题指南22。
浅谈反证法的原理及应用
浅谈反证法的原理及应用
反证法，又称绝对可信法，它是一种建立事实与结论之间联系或
者验证事实的逻辑推理方法。
它的特点是先提出一个假设，然后不断
分析、考察这一推测，最后得出一种证据，以此来支持最初提出的十
字论断，以结束讨论。
反证法通常会让讨论者穷尽一方面之所有推类
与反例，以全盘考虑，从而得出一个普遍性的小结或者断定。
反证法在历史上的应用十分的广泛，早在古希腊就有关于反证法
的描述和使用。
古希腊哲学家苏格拉底就是反证法的代表者，他提出
了2种反证法来验证理论或者结论：证明法和拆解法。
另一位哲学家
阿基米德也使用了反证法，他把事实拆分成更小的部分，从而查找最
终的结论。
到中世纪，反证法对哲学家们来说，尤其是僧侣学者，而言则甚
为重要，他们很多时候就是通过反证法讨论和找到自己的观点和结论。
在现代，反证法的应用更加的广泛，出现在法律、社会科学研究、教育、商业、甚至是人际关系之中，在这些领域中，反证法都是一个有
效得、公正合理得逻辑思维模式，以此来解决问题。
反证法的基本思想主要是：认为一个主张或者理论是正确的，那
么就必须能够反驳那些与之相反的观点；如果反驳正确，则该观点可
以被接纳；但如果反驳失效，则可以放出原观点。
因此，反证法在许
多领域中都得到了贴切的应用，有助于让我们做出更好的决定和正确
的判断。
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。
一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。
二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。
同样地，可知b也是2的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。
2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。
考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。
根据素数的定义，M必然是一个合数。
而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。
然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。
这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。
3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。
设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。
同样地，可知b也是3的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。
4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
反证法课件
2
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例3、已知a1+a2+a3+a4>100,求证：a1,a2,a3,a4中
至少有一个数大于25。
例4、求证：2, 5不可能是一个等差数列中的三项。 1，
例5、如图，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面， 平面α与β相交于直线b，求证：直线a平且a = x - 2y +
§1.3. 反证法
一.复习
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法:已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论
由因导果 分析法: 结论 已知条件 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎.
由假设
推出矛盾.
那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.
原命题成立.
反证法：(命题的否定)
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法：
①假设原命题不成立，
反证法的基本步骤：
②经过正确的推理,得出矛盾，
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法
得出矛盾的方法：
四步
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
反证法(初中课件)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
1.命题”三角形中最多有一个内角是直角“的结论 的否定是（ C ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
C
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1， 求证： l3∥l2
l1
P
证明： l2 假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为Pl3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 所以假设不成立， 即l3∥l2
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
第3章反证法
§4 反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)3．掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 反证法阅读教材P65～P67“练习”以上内容，完成下列问题．1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3-4-1表示：→→→图3-4-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．( )【解析】 (1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]用反证法证明否定性命题 等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋，S3＝9＋3. 【导学号：67720020】(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝(n∈N＋)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【精彩点拨】 第(1)问应用a n＝a1＋(n－1)d和S n＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项b p，b q，b r成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知得∴d＝2，故a n＝2n－1＋，S n＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得b n＝＝n＋.假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝b p b r，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在[再练一题]1．已知方程f(x)＝a x＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．【证明】 假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.又当x0<0时，0<ax0<1，故0<－<1，即0<－1＋<1,1<<2，解得<x0<2.这与x0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．用反证法证明“至多”“至少”问题 已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．【自主解答】 假设x＋，y＋，z＋都小于4，即x＋<4，y＋<4，z＋<4，于是得＋＋<12，而＋＋＝＋＋≥2 ＋2 ＋2 ＝12，这与＋＋<12矛盾，因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q[再练一题]2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.【证明】 假设与都不小于2，即≥2，≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，∴假设不成立，原命题成立．故与至少有一个小于2.[探究共研型]用反证法证明“唯一性”命题探究1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．探究2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】 假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点． 已知一点A和平面±.求证：经过点A只能有一条直线和平面±垂直．【精彩点拨】 【自主解答】 根据点A和平面±的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①，点A在平面±内，假设经过点A至少有平面±的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面²，平面²和平面±相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面±，AC⊥平面±，a*±，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面²内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．①(2)如图②，点A在平面±外，假设经过点A至少有平面±的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面²，平面²和平面±相交于直线BC，因为AB⊥平面±，AC⊥平面±，BC*±，所以AB⊥BC，AC⊥BC.②在平面²内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有一条直线和平面±垂直．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．[再练一题]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[构建·体系]1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是( )①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④【解析】 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用．【答案】 C2．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】 不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】 D3．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤bC．a＝b D．a≥b【解析】 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.【答案】 B4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．【解析】 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．【答案】 a，b，c中至少有一个偶数5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，则”1＝4b2－4ac≤0，”2＝4c2－4ab≤0，”3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。