两直线平行,内错角相等
用“内错角”、“同旁内角”判定平行线
10.2 平行线的判定
第4课时 用“内错角”、“同旁 内角”判定平行线
1 课堂讲解 由“内错角相等”判定两直线平行
由“同旁内角互补”判定两直线平行
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
根据平行线的定义. 如果平面内的两条直线不相 交，就可以判断这两条直线平行. 但是，由于直线无 限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接 根椐定义来判断两条直线是否平行. 那么，有没有其 他判定方法呢？
1 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若要使 AB∥CD，则需要添加的条件是( ) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5
2 如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是 __________．
3 如图，已知∠1＝120°，当∠2＝________时， a∥b，理由是____________________________．
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
知识点 1 由“内错角相等”判定两直线平行
思考 如图，直线a，b被直线c所
截，如果内错角∠2和∠4相等， 你能根据上面的基本事实，说 明直线a∥b吗？
归纳
由于∠2＝∠4，又∠2＝∠1(为什么？)，故∠1 ＝∠4，即同位角相等，根据上面的基本事实，得直 线a∥b，这样，我们可以得到判定两条直线平行的第 2种方法：
平行线判定与性质(自创)
例3.如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 求证:AB∥CD. A D
• 证明： ∵AC∥DE （已知） B ∴ ∠3= ∠2 (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠1=∠3(等量代换) ∴AB ∥ CD (内错角相等，两直线平行)
1 2
3
C E
怎样证 ∠B+∠BCD=180 °
2 1 7
3 4 D
B
∵ AB∥CD
∴∠2=∠6 ∵∠6+∠5=180 ° ∴∠2+∠5=180°
∴∠4+∠7=180°
∵ ∠2=∠4 ∠5=∠7
∵ AB∥CD 3.己知AB∥CD,MN分别交AB.CD于E、F,GE、HF分别平分 ∠BEF.∠DFN.求证GE∥HF 由此你能得出什么结论? M
A
E 1 G B
∵ b⊥a ∴∠1=90°
∵b∥c ∴∠2=∠1=90° ∴ c⊥a
a
∴∠3=∠1=90°
∴∠1+∠4=180° ∴∠4=90°
2.已知，如图：∠2+∠5=180° 求证: AB∥CD （写出两种方法） C
E A 6 5 F 8 2 1 3 4 B
7
D
对顶角相等可用 于等量代换
邻补角也互补
2.已知，如图：∠2+∠5=180° 求证: AB∥CD （写出两种方法）
平行线的判定
平行线的性质
襄阳二十中任永刚
典型例题
两个角,两条线
两个角,两条线
两个角,两条线
平行线的判定 判定定理 判定定理：由角的关系得直线平行
条件 结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
例1. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC
高中证明线线平行的方法
高中证明线线平行的方法
在高中数学中，证明两条直线平行的方法有多种，主要包括以下几种：
1. 定义法：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
2. 同位角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
3. 内错角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相同，这两条直线平行。
4. 垂直于同一条直线的两条直线平行：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
5. 平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
6. 平行四边形的对边平行：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。
7. 梯形的两底平行：梯形的两底是平行的。
8. 三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）：三角形（或梯形）的中位线平行于第三边（或两底）。
9. 线段比例法：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
这些方法在实际证明过程中可以灵活应用，需根据具体的几何图形和条件选择最适合的方法进行证明。
平行判定的六个定理
平行判定的六个定理
平行判定的六个定理是几何学中非常重要的定理，它们可以帮助我们判断两条直线是否平行。
下面我将逐一介绍这六个定理。
第一个定理是同位角定理。
同位角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同位角相等的两个角所对应的直线必定平行。
第二个定理是内错角定理。
内错角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么内错角相等的两个角所对应的直线必定平行。
第三个定理是同旁内角定理。
同旁内角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同旁内角之和为180度的两个角所对应的直线必定平行。
第四个定理是平行线夹角定理。
平行线夹角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同侧内角之和为180度的两个角所对应的直线必定平行。
第五个定理是平行四边形定理。
平行四边形定理指出，如果一个四边形的对边平行，则这个四边形是平行四边形。
第六个定理是三角形内部直线定理。
三角形内部直线定理指出，如果
一条直线穿过一个三角形的两个边且与第三条边不相交，则这条直线
所对应的两个角所对应的直线必定平行。
这六个定理在几何学中非常重要，它们可以帮助我们判断两条直线是
否平行，从而解决很多几何问题。
在实际应用中，我们可以根据这些
定理来判断两条直线是否平行，从而解决一些实际问题，比如在建筑
设计中，我们需要判断两条墙面是否平行，以确保建筑结构的稳定性。
总之，平行判定的六个定理是几何学中非常重要的定理，它们可以帮
助我们判断两条直线是否平行，从而解决很多几何问题。
在学习几何
学时，我们应该认真学习这些定理，并掌握它们的应用方法。
例谈证明两条直线平行的常用方法
数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127数学篇学思导引又因为△MNR由△MNQ沿MN边所在的直线折叠，所以∠RNM=∠QNM，∠QMN=∠RNM.所以RN∥MP.(内错角相等，两直线平行)评注：在证明两条直线平行时，同学们要注意借助平行线的判定定理，证明这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角相等，或者同旁内角互补.二、利用“三角形或梯形的中位线定理”由三角形或梯形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.因此，在证明两条直线平行时，若题目涉及中点，同学们要注意构造中位线，利用三角形或梯形的中位线定理进行求证.例2如图2所示，已知AM平分∠BAC，BM⊥AM，垂足为M，且BN=NC.求证：MN∥AC.分析：由题意可知，点N为边BC的中点，因此要证明MN与AC平行，可以从三角形中位线入手.不妨延长BM交AC于点P，这样只要证明M为边BP的中点，问题自然得证.证明：延长BM交AC于点P.因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM.因为BM⊥AM，所以∠AMB=∠AMP=90°.又因为AM为公共边，所以△AMB≌△AMP，所以BM=PM.因为BN=NC，所以MN为△BCP的中位线，所以MN∥PC，即MN∥AC.评注：三角形或梯形中位线定理反映了图形间线段的位置关系和数量关系.因此，当问题涉及三角形或梯形的中点时，同学们要注意考虑三角形或梯形的中位线，利用三角形或梯形的中位线定理来破解问题.三、利用“平行四边形对边平行”的性质对边平行且相等，是平行四边形的重要性质之一.因此，在证明两条直线平行时，若问题涉及平行四边形，同学们要注意结合已知条件，先证明这两条直线所在的四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对边平行”这一性质判定这两条直线平行.例3如图3所示，已知BD平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AF∥EC.分析：本题涉及平行四边形，仔细观察图形，不难发现，要想证明AF∥EC，实际上只要证明四边形AECF为平行四边形即可.根据已知条件AE⊥BD，CF⊥BD，可以得到AE∥CF.然后由四边形ABCD为平行四边形，易知AB与DC是平行且相等的，进而推出∠ABE=∠ADF.再由∠AEB=∠CFD=90°，易知Rt△ABE与Rt△CDF为全等三角形，由此得到AE=CF，最后根据平行四边形的性质，确定四边形AECF为平行四边形，从而得出AF∥EC.证明：因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，且∠AEB=∠CFD=90°.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，且AB=DC，∠ABE=∠CDF.由此可证Rt△ABE≌Rt△CDF.所以AE=CF，所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥EC(平行四边形对边互相平行).评注：平行四边形的两组对边是平行且相等的，利用这一性质既可以证明两直线平行，也可以证明两直线相等.总之，证明两条直线平行的方法多种多样，同学们在平时的学习中，既要注意夯实基础知识，掌握基本定理和推论，又要注意强化训练，结合具体问题，灵活选择恰当的证明方法，从而快速、准确、高效地解题.图2图328。
2、3、平行线的性质(一)
简写为： 两直线平行，同旁内角互补. 符号语言: ∵a∥b,
∴ 2+ 4=180°.
平行线的性质：
性质１：两直线平行，同位角相等． 性质２：两直线平行，内错角相等． 性质３：两直线平行，同旁内角互补．
例1、如图有一块梯形的玻璃，已知量得∠A＝115°， ∠D＝100°，请你想一想，梯形的另外两个角各是多 少度。 解：∵AD∥BC （已知）
解∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
同位角相等).
a
3
2
1
b 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠2=∠3(等量代换).
c
结论
a
1 3 2
平行线的性质2
b
两条平行线被第三条直线所截， c 内错角相等.
简写为： 两直线平行，内错角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠2=∠3.
如图，一束平行光线 AB 与DE 射向一个水平 镜面后被反射，此时 ∠1 =∠2，∠3 =∠4． （1）∠1 与∠3的大小有什么关系？ ∠2与∠4 呢？ （2）反射光线BC与EF也平行吗？
A． B． C． D． 3.下列说法中正确的是（ D ） A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
做一做
比 一 比 看 谁 能 行
4.如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC 上，若∠2=50°，则∠1的大小是（ C ） A．30° B．40° C．50° D．60° 5.如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b， ∠1=60°，则∠2的度数为（ C ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6.如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别 交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若 ∠1=60°，则∠2的度数为（ B ） A．15°B．30°C．45°D．60° 7.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个 顶点分别放在直尺的一组对边上．如果 ∠1=25°，那么∠2的度数是（ C ） A．30° B．25° C．20° D．15
初一上册数学平行线的判定
初一上册数学平行线的判定
一、平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
二、平行线的性质
1. 两条平行线被一条直线所截，同位角相等。
2. 两条平行线被一条直线所截，内错角相等。
3. 两条平行线被一条直线所截，同旁内角互补。
三、平行线的判定方法一：同位角相等
如果两直线的同位角相等，则这两条直线平行。
四、平行线的判定方法二：内错角相等
如果两直线的内错角相等，则这两条直线平行。
五、平行线的判定方法三：同旁内角互补
如果两直线的同旁内角互补，则这两条直线平行。
六、平行线的判定方法四：直线被一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补
如果一条直线被另一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则这两条直线平行。
七、平行线的判定方法五：直线被两条平行线所截，对应角相等
如果一条直线被两条平行线所截，对应的同位角或内错角相等，则这两条直线平行。
八、平行线的判定方法六：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
过直线外一点，只能画出一条与给定直线平行的直线。
九、平行线的判定方法七：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
十、平行线的判定方法八：若两直线同时与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行。
“平行线性质”评课稿[优秀范文五篇]
“平行线性质”评课稿[优秀范文五篇]第一篇：“平行线性质”评课稿平行线的性质（一）点评稿本课例目标定位准确，重点突出，难点突破讲究方法，课堂流程推进流畅，教师的主导作用和学生的主体地位体现充分，其突出特点体现在以下几个方面：（一）课程生活化本课从轻轨线、伸缩门的情境引入，梯形残片内角的计算，到去校园中寻找平行线性质运用的实际例子，都进行了生活化处理，既符合学生的认知规律，也形成了课例课程生活化突出的特色。
（二）探究过程化课例的第二个突出特色是探究过程化。
从生活情景抽象建立数学模型后，老师引导学生猜想平行线同位角的数量关系，学生或自主或合作，采用度量、剪接叠合、推理论证等多种方式，论证自己的猜想，得出结论。
这种探究过程反复经历，很有价值，既体现了学生知识的自我建构，更让学生学习了实证探究的方法。
（三）思维训练多样化课例特别重视对学生思维能力的训练，思维品质的提升。
从生活现象建模，训练抽象思维；经历猜想—实证—结论过程，训练归纳思维；运用结论解决实际问题，训练演绎思维。
学生根据图形编题并上台展示，既培养了学生提出问题的能力，也训练了他们的表达能力。
总之，这是一堂体现新理念、有特色的好课。
第二篇：《平行线的判定和性质复习》课评课稿《平行线的判定和性质复习》课评课稿沈越前几天听了马艳华老师的展示课，马对本节课的每个教学环节关注细微，总体感觉，学生学起来轻松，教师听起来顺畅，就我个人而言，收获颇多，受益匪浅，一节课的展示、交流，体现教师对教材的解读深度，饱含了处理教学问题的经验丰富，彰显教师干练的教学风格，本人将这节课听后感觉简单地给大家梳理了一下，与大家共同交流、探讨：本节课是在学生已经学习了平行线的性质和平行线的判定的基础上进行教学的。
这节课是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到。
它为今后三角形内角和、三角形全等、三角形相似等知识的学习奠定了理论基础，学好这部分内容至关重要。
在这节课的学习中，马老师先组织学生利用手中的量角器对“两直线平行，同位角相等”这一公理进行验证，再通过资源课件的演示对学生进行讲解，使学生加深对这一知识点的理解。
平行线的判定定理
平行线的判定定理
首先,先理顺下关于平行线的判定所可能用到的公理、定理
公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（即：同位角相等,两直线平行）
定理：1、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行；
2、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行；
3、两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）.
既然是公理,也就是劳动人民在日常生活中总结出来的常识,这是不需要证明的.其他的几个定理,均是依托公理而展开,可以算是公理的特殊化、简单化、具体化.
另外,有关其他定理的证明,比如：如何将相等的内错角转换成相等的同位角,这需要做图,分析角.
最后,提醒下,关于平面几何方面的证明题目,一定要有规范的步骤,谨遵口诀：
条件：同位角相等结论：两直线平行。
条件：内错角相等结论：两直线平行。
条件：同旁内角互补结论：两直线平行。
5.2.3.1平行线的性质(1)
猜一猜: 如果a//b,∠1和∠2相等吗？
a b
2
1
c
心动
不如行动
c
a b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
性质发现
平行线的性质1
两条平行线被第三条直 线所截，同位角相等.
a
b c
2
1
条件：①平行线 ②被第三条直线所截 结论：同位角相等.
两直线平行，同位角相等. 简写为： 推理书写: ∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等)
（１）求证DE∥BC; （２） ∠C的度数.
A
解：(1)∵∠ADE=60 °,
D
E C
（已知） B ∠B=60 ° ∴∠ADE=∠B （等量代换）
∴DE∥BC (同位角相等，两直线平行)
练习2
已知∠ADE=60 °,∠B=60 °,∠AED=40°.
（１）求证DE∥BC; （２） ∠C的度数.
D E C A
解: ∵ ∠1= 54° (已知)
∴ ∠2=∠1 =54°(对顶角相等)
∵ a∥b (已知)
3 2 4
a 54 ° 1 b
∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等)，
∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠3= 180°－ ∠2= 180° － 54°=126°
练习2
已知∠ADE=60 °,∠B=60 °,∠AED=40°.
A D
解：∵梯形上下底AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180° ∵∠A=115°，∠D=100° ∴∠B=180°-115°=65°， ∠C=180°-100°=80° 梯形的另外两个 角分别是65°和80°. B B