4-4力矩的功定轴转动的动能定理

l
dt
2l
8
例（习题4-33）在题 习题 ）在题3-30的冲击摆问 的冲击摆问 题中， 题中，若以质量为 m′ 的均匀细棒代 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？ 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？
解：
(1)若为绳时（题3-30的解法） 若为绳时（ 的解法） 若为绳时 的解法 a、子弹与物块在最低点碰 、 撞，系统的动量守恒 b、物块做圆周运动的过程 、 中机械能守恒 c、物块做圆周运动能越过 、 最高点的条件： 最高点的条件：
F向心力 ≥ M 物 g
(2)当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时 分析： ①细棒和摆钟构成一个刚体，可绕O 分析： 细棒和摆钟构成一个刚体，可绕 轴作定轴转动。 轴作定轴转动。在A处，子弹与摆钟碰撞， 处 子弹与摆钟碰撞， 使刚体获得绕O轴转动的角速度 轴转动的角速度w。 使刚体获得绕 轴转动的角速度 。若取子 摆钟和细杆为系统， 弹、摆钟和细杆为系统，在碰撞过程中刚体 受到定轴O的水平方向作用力 的水平方向作用力， 受到定轴 的水平方向作用力，系统所受合 外力不等于零，系统的动量不守恒。但由于 外力不等于零，系统的动量不守恒。 转轴对刚体的作用的作用线过转轴O,不产生 转轴对刚体的作用的作用线过转轴 不产生 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 系统的角动量守恒。 系统的角动量守恒。 设摆钟对O点的转动惯量为 ， 设摆钟对 点的转动惯量为J，则J=m1l 2 点的转动惯量为 细棒对O点的转动惯量为 细棒对 点的转动惯量为 J ' ，则 J ' = 1 m ' l 2
O v0 l A R
α
作业： 作业：
一匀质细棒长为l 质量为m， 可绕通过其端点O 一匀质细棒长为 ， 质量为 ， 可绕通过其端点 的水平轴转动，如图所示。 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。 ，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的 质量也为m ， 它与地面的摩擦系数为 µ。 相撞后物体 质量也为 沿地面滑行一距离s而停止 求相撞后棒的质心C 而停止。 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地 面的最大高度h， 面的最大高度 ， 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆 的条件。 的条件。
以棒和地球所组成的系统为研究对 在转动过程中只有保守内力（ 象。在转动过程中只有保守内力（重 作功。 力）作功。
r N
)θ
水平状态机械能
E初 = 0
J 2 l E末 = ω − mg sin θ 2 2
mg
θ 角时机械能
由机械能守恒得
J 2 l ω − mg sin θ = 0 2 2 dω 3g 3g α= = cos θ ω= sin θ
解：分两个阶段进行考虑 (1)子弹射入细杆 使细杆获得初 子弹射入细杆,使细杆获得初 子弹射入细杆 速度。因这一过程进行得很快,细 速度。因这一过程进行得很快 细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 杆发生偏转极小 可认为杆仍处于 竖直状态。 竖直状态 。 子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩 无外力矩,满足角动量 析的系统 无外力矩 满足角动量 守恒条件。 子弹射入细杆前、 守恒条件 。 子弹射入细杆前 、 后 的一瞬间,系统角动量分别为 的一瞬间 系统角动量分别为
a
m0
2
L0 = m0v0a
1 2 L = Jω 其中 J = m0a + 3 ml
由角动量守恒， 由角动量守恒，得：Jω = m0v0a (2)子弹随杆一起绕轴O 转 (2)子弹随杆一起绕轴O 子弹随杆一起绕轴 以子弹、 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统， 成一系统，只有保守内力作 机械能守恒。 功，机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点，系统在始 为重力势能零点， 末状态的机械能为： 末状态的机械能为：
ωB ≥ 0 从而可取 ω B = 0 的条件求得子弹的最小
8(3m1 + m ')( 2m + m ') gl v≥ 3m 2
速率值为
一长为l 质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 一长为 、质量为 的匀质细杆，可绕光滑轴 在 铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m 铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为 0 的子弹水 平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中， 平射入与轴相距为 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏 求子弹的初速v 转到θ=300，求子弹的初速 0。
F d A= Fdx
F = ma
m
F dt
M d A= M dθ
M = Jβ
J M dt
∫ F dt = P − P
0
∫ M dt = L − L
0
1 2 1 2 ∫ F d x = 2 mv − 2 mv0
1 2 1 2 ∫ M dθ = Jω − Jω0 2 2
作业： 作业：
OA为一均质木棒，R为 为一均质木棒， 为 为一均质木棒 一木球，两者固定在一起， 一木球，两者固定在一起， 可绕水平的O轴转动 轴转动。 可绕水平的 轴转动。它们 对O轴总的转动惯量为 I ， 轴总的转动惯量为 R， 一子弹以角 α 射入木球 R， 并嵌入在球心。 并嵌入在球心。 求：子弹嵌入后，两者共同 子弹嵌入后， 的角速度。 的角速度。
4
4. 刚体的重力势能
的物体， 对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重 力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。 力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。 即：
质心高度为： 质心高度为：
∑∆mi hi hc =
∴Ep = mghc
表明： 表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质 量集中在质心时所具有的势能一样。 量集中在质心时所具有的势能一样。
B
O
A
v 得：mvl = m l + ( J + J ')ω A 2
3
的过程中， ②细棒和摆钟从A→B的过程中，取摆钟、细 细棒和摆钟从 的过程中 取摆钟、 棒、地球组成研究系统，只有重力作功，外力 地球组成研究系统，只有重力作功， 和非保守力作功为零，系统机械能守恒。 和非保守力作功为零，系统机械能守恒。以A 点为重力势能零点， 点为重力势能零点，有：
) θ
mgl 1 2 sin θ 动能增量： J ω − 0 = 2 2
3g ω = sin θ l 对上式求全微分
2
mg
3g ω= sin θ l
dθ ( = ω) dt
dω 3g dθ 2ω cos θ = dt l dt
dω 3g α= = cosθ dt 2l
7
解法三：利用机械能守恒定律。 解法三：利用机械能守恒定律。
1 l 3l 1 ( J + J ')ωA2 + m ' g = m1 g(2l ) + m ' g + ( J + J ')ωB 2 2 2 2 2
B
O
A
③由于细棒和摆钟构成一个刚体，摆钟到 由于细棒和摆钟构成一个刚体， 转轴距离不变，因此， 转轴距离不变，因此，摆钟作圆周运动的 条件为： 条件为：
A = ∫ dA = ∫ Mdθ = θ
1
dω M = Jα = J dt
θ2
∫ω
ω2
1
J ω dω
1 1 2 2 = J ω2 − J ω1 = Ek 2 − Ek 1 2 2
刚体定轴转动的动能定理： 刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体 所做的功等于刚体转动动能的增量。 所做的功等于刚体转动动能的增量。
联立，并代入J 将上式与 Jω = m0v0a 联立，并代入 值，得
1 2− 3 v0 = (ml + 2m0a)(ml2 + 3m0a2 )g m0a 6
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 d v d2 x dx a= = 2 v= dt dt dt 1 2 P = mv EK = mv 2 刚体的定轴转动 dθ dω d2 θ α= = 2 ω= dt dt dt 1 2 L = Jω EK = 2 Jω
O
C
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力矩的功是力矩作用的空间累积效果
力矩的功率（瞬时功率）： 力矩的功率（瞬时功率）：
dw Mdθ = P= = Mω dt dt
2.刚体定轴转动的动能 2.刚体定轴转动的动能
个质元的动能： 第i个质元的动能： v = 1 1 2 2 2 ∆Eki = ∆mi vi = ∆mi ri ω 2 2 整个刚体的转动动能： 整个刚体的转动动能：
m
例：
已知杆质量m， 绕一端点转动， 已知杆质量 ，长 l ，绕一端点转动， 1 2 初状态水平静止，如图。 初状态水平静止，如图。 J = ml 。 3 求位于任意 角θ 时，ω、α 为多少？
)θ
解法二： 解法二：用刚体定轴转动的动能定理
力矩作功：A = ∫ Mdθ
0
θ
r N
=∫
θ
0
mgl mgl cos θ dθ = sin θ 2 2
(1)
a
θ
1 2 l m0 E0 = Jω + mg(a − ) 2 2 l E = m0 ga(1− cosθ ) + mg(a − cosθ ) 势能零点 2
由机械能守恒， 由机械能守恒，E=E0, 代入θ=300，得：
1 2 l 1 l1 ) Jω + mg(a − ) = m0 ga(1− ) + mg(a − 2 2 2 22
rω
v ri
∆mi
v vi
1 1 2 Ek = ∆m1v1 + ∆m2 v2 2 + +LL 2 2
1 1 2 2 = ∆m1r1 ω + ∆m2 r2 2ω 2 +LL 2 2 1 = (∑ ∆mi ri 2 )ω 2 = 1 J ω 2 2