经典均值不等式练习题
均值不等式
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*
,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2
211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）
一、 基本技巧
技巧1：凑项
例 已知54x
<，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性
例 求函数2
y =的值域。
技巧4：整体代换
例 已知0,0x y >>，且
191x y
+=，求x y +的最小值。
典型例题
1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是
2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd
b a 2+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4
3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )
A.[)+∞,0
B.[)+∞-,4
C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .
6. 已知,x y R +∈，且满足134
x y +=，则xy 的最大值为 .
7. 设0,0.a b >>1133a b a b
+与的等比中项，则
的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285
C.5
D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；
⑤112a b
+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()
211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11.下列命题中正确的是
A 、1y x
x
=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、4
23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小
值是2-
12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______
均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当0
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题 1、 求下列函数的最小值 （1） 已知t > 0 ,y = t t t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ; （3）、y = 1 82++x x (x > 0 ) （4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = x x x 2sin sin 62cos 12++的最小值 （5）若x> 0,y > 0,求 (x+ 22)21()21x y y ++ 的最小值 2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +5 41-x 的最大值。 3、求下列函数的最大值 （1）、y = 4 1622++x x ; （2）、若20
8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值 9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。 10、求下列函数的最大值 （1）0< x <2 3,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x - (3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 , 求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示） （4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值 （5）、已知x > 0,y > 0,且 143=+y x ,求xy 的最大值 11、求下列函数的最小值 （1）已知:x > 0, y > 0,且 ,191=+y x 求 x + y 的最小值 （2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求b a 11+的最小值 （3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若,且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______. 5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知，且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为，则的最小值为________． 10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x，y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________. 15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____． 19．已知正实数，满足，则的最大值为______.
20．已知，，则的最小值为____．
参考答案 1． 【解析】 【分析】 根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】 则，即 由题意知，则， 则 当且仅当，即时取等号 本题正确结果： 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式. 2． 【解析】 【分析】 先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时，，，所以最大值为1， 当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为， 综上的最大值为
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】 2y LX A.3 B.7C .4D .922 例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xy A.2 B.3 C.1 D.122 练习1.若x >0，则x +2的最小值为. x 练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xy A.6 B.9 C.12D 15 练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于 【】 A.2 B.3 C.6 D.9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域： （a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abc A.5 B.6 C.7 D.8 凑系数 例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R + ，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34 练习2.当0
经典均值不等式练习题
均值不等式 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。 （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 基本技巧 技巧1：凑项 例 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性 例 求函数2 y =的值域。 技巧4：整体代换 例 已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 . 6. 已知,x y R +∈，且满足134 x y +=，则xy 的最大值为 . 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则 的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 C.5 D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；
经典均值不等式练习题
均值不等式 均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件 定、等）。 2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当 _ 2 时取“=”） * a + b ________________ * 2. ⑴若a,b ? R ，则 ab ⑵若a,b ? R ，则a ? b _ 2?? ab （当且仅当 2 时取“=”） （3）若a,b ? R *，则ab 空 a b （当且仅当a =b 时取“=”） 飞2丿 2 I — a + b 则 ab < 1丄 2 a b 时等号成立。 （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数） 技巧1：凑项 例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2 - 的最大值。 4 4x —5 技巧2 :分离配凑 2 x + 7x +10 例求y （x ? T ）的值域 x +1 技巧3:利用函数单调性 2 x +5 例 求函数y 的值域 Jx 2 +4 3.均值不等式链：若a 、b 都是正数, a 2 b 2 当且仅当 （正 、 a = b a = b a 二 基本技巧
技巧4:整体代换 例 1 9 已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。 x y 典型例题 1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________ 2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值 cd 是（） A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（） A. b,] B. ] C. !-5, ■ ■- i D. 1-4,4] 4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值 a b 是（） A.1 B.5 C.4 2 D.3+2 2 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是 6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___ 3 4 7. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（） a b 1 A 8 B 4 C 1 D - 4 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（） 24 28 A. B. C.5 D.6 5 5 9. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）?
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．已知5x ＋3 y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 【答案】 C 【解析】 ∵5x ＋3 y ＝1≥215xy ， ∴xy ≥60， 当且仅当3x ＝5y 时取等号． 2．函数f (x )＝x ＋4 x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D 【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4 x ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4 x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．
3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4 y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥5 4＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1 (x >－1)的最小值． 【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理． 【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0. 所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4 x ＋1 ＝(x ＋1)＋ 4 x ＋1 ＋5≥2(x ＋1)·4 x ＋1 ＋5＝9 当且仅当x ＋1＝4 x ＋1 ，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1(x >－1)，取得最小值为9. 【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c mx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝ mx ＋n ax 2＋bx ＋c (m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设 mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数． 课后作业
28道基本不等式均值不等式练习题
基本不等式习题 1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+> >2 B.b ab b a a >>+>2 C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>2 2．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42 B.8 C.9 D.12 3．已知0,2b a ab >>=，则22 a b a b +-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞- 4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．42 5．设0,1a b >>，若3121 a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+ 6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ） A.245 B.285 C.6 D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．()1,+∞ C ．()1,2 D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 34 2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞ 10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431， D ．⎥⎦ ⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式 212m a b a b +≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．9
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析 一．均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域 y＝3x解：y＝3x＋ 11 y＝x＋xx 1 3x ＝∴值域为[，+∞） 2x 1 x· ＝2； x 1 x· =－2 x 1 ≥22x1 当x＞0时，y＝x＋≥x 11 当x＜0时， y＝x＋= －≤－2 xx ∴值域为 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?
54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， ???2?3?1 ??3? 1? ???5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
例1. 当时，求y?x的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 ，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2???? 222?? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ??0,?时等号成立。?2? 技巧三：分离 例3. 求y?
均值不等式习题大全
均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明： 2222111()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122y x x x = +<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若，且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______。 5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知,且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x,y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______． 13．若，,，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________。 15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________． 18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。 20．已知，，则的最小值为____．
均值不等式习题
均值不等式习题 例1 已知m>0,求证24624m m +≥。 [思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥. 例2已知a>3, 求证: 473 a a +≥-. 练．若1->x ，则x 为何值时1 1++x x 有最小值，最小值为几？ 例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值. 1已知0x >，求12f =3x x +（x ）的最小值为 2求22x x y -=+的最小值为 5、已知：02,x <<求(2)y x x =-的最大值，并求出此时的x 的值。 6、已知：10,4 x <<则函数(14)y x x =-的最大值。 7、函数y=1 42-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为为多少？此时x 为多少？ 8、已知：0,0,,,,x y x a b y >>成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，求()2 a b cd +的最小值。 9、 已知*,,a b c R ∈，且1,a b c ++=求证：1119a b c ++≥。 10．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是 Ａ．a 2+b 2 Ｂ２ab Ｃ2a b Ｄ．a +b 11．设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 12.若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。 13．函数y=291 x x x -+-在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 14．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 __；此时的x 值为 ． 15．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为多少吨？ 16．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
高考均值不等式经典例题
高考均值不等式经典例 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICA
高考均值不等式经典例题 1.已知正数。，dC满足〃+，而+ A + S = 15,则5a+助+女+10的最小值为。 2.设M是“8C内一点，且丽・元=2点乙4 = 30。，定义/(") = (〃?,〃,“其中"解,〃分别 1 1 4 是的面积，若/(M)=(不乂)，)，则—+ —的最小值为 ______________________ . 2 x y 3.已知实数m>匕〃 > 1,则 4 + ±4的最小值为 ____________ 。 2 2m-1 ??-1 4.设a>b>c>0.2a2 + — +—)- -1 Oac + 25c2的最小值为_______ 。 ab a(a-b) 5.设凡b,ceR,且2、2”=2号2“+2b+ 2'=2-,贝Ijc的最大值为。 1 4 6.已知会吕。中,。+人=2,—1 + ―^ = 10,则△A3。的外接圆半径R的最大值sin A sin B 为O 1 i 2 7.已知a 2 , ]JIJ a+b的最大值为0 8. a也c均为正数，且cL+2aZ? + 2ac + 4〃c = 12 ,贝lj a + 〃 + c的最小值为。 9. a.b,c e /?*,a(a + b + c) + bc = 4- 2>/3 t则2a + b+c的最小值为。 10.函数/(X) = Ji - 2x + 2G寸的最小值为o 11.已知x >0,y > 0,x + 2y + 2冷，=8,则x + 2y的最小值为。 12.若kN3(keN"),贝IJlog”，与log：1的大小：0 13.设正数为y,z满足3xy + 4y2-.0,则当？取最大值时，^ + ,一2的最大值z V y Z 为o 14.若平面向量a,B满足2a-b <3 ,贝的最小值为。 15.某几何体的一条棱长为"，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为"的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为。和〃的线段，则。+〃的最大值为O 2
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 5 .设a>0, b>0,贝U 以下不等式中不恒成立的是( 1 1 A . (a+b ) ( ) > 4 a b C . a 2+b 2+2> 2a+2b 二 .填空题： 8. _____________________________________________ 设x>0,则函数y=2— - — X 的最大值为 ________________________________________ ;此时X 的值是 _________ X 9 .若x>1,则log 2X + log X 2的最小值为 _______________ ；此时X 的值是 ________ 。 2 11 .函数f （x ）= 仝 （X 工0）的最大值是 ；此时的X 值为 X 4 2 一、选择题 1 .已知a 、b €（ 0，1）且a ^b ,下列各式中最大的是（ 2 2 A. a+b B.2 . ab C. 2a b D. a +b 2 . x € R,下列不等式恒成立的是( ) 2 1 2 A. X 2 +1>X B . ^^<1 C . lg(x 2 +1) > lg(2x) X 1 .X 2+4>4X 3 .已知x+3y-1=0，则关于2X 8y 的说法正确的是（ D. A .有最大值8 B .有最小值2 2 C .有最小值8 4 . A 设实数X , y, m n 满足x 2+y 2=1, n i +n 2=3那么mx+ny 的最大值是 有最大值2 2 A. 3 B. 2 D. 3 . 3、小,2 B. a +b > 2ab D. J ab Va Vb 6. F 列结论正确的是（ A. 1 当X >0且X 工1时，lgx+ > 2 ig X .当 X >0 时，.x+ 1 > 2 J X C. 1 当X > 2时，X +丄> 2 X .当O
均值不等式练习题
一、选择题 1．若0≥x ，0≥y 且，那么2 32y x +的最小值为（ ） A. 2 B. D. 0 2．设若的最小值 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<< =<<，则集合M N 等于（ ） A.{|x b x < B.{|}x b x a << C.{}2a b x x +<< D.{|}2 a b x x a +<< 4．对于函数)(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥, )()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(, ,那么函数)(x f 在区间 B. 2 C. 4 D.5．若0x >，则 ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数,x y 满足 ） A.[)2,+∞ B.()2,6 C.[]2,6 D.[]4,0- 7．设0,0a b >>，若1a b +=，则 ） A ．8 B ．4 C ．1 D 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ．18 B ．14 C ．1 D ．32 9．已知，则的最小值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是. B. 2 C. 4 D. 8 12．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实 数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0) a b ab a b *=+*+*. ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 13．若直线01=+-by ax 平分圆C ：014222=+-++ y x y x 的周长，则ab 的取值范围是 14．已知关于x 的不等式022 >++b x ax (0≠a )，且b a >，则 A ．2 C.．1 15．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1 =⊕b a (0>ab )的最小值是（ ） A ． 10 B ．9 C 16．若0>>b a ，则代数式( ) A.2 B. 3 C.4 D. 5 17．若0>a ，0>b ，且2=+b a ,则下列不等式恒成立的是( )
均值不等式练习题
. 一、选择题 1．若 x 0 ， y 0 且 ，那么 2x 3y 2 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 3 2．设 若 的最小值 ( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 8 4 3．若 a b c 会集 M { x |b x a b }, N { x | ab x a} ，则会集 M I N 等于（ ） 2 A. { x | b x ab} B.{ x |b x a} C.{ x | ab a b a b a} x } D. { x | x 2 2 4．关于函数 y f (x) ( x I ), y g(x) ( x I ),若对任意 x I ,存在 x 0 使得 f (x) f ( x 0 ) , g(x) g( x 0 ) 且 f (x 0 ) g( x 0 ) ,则称 f (x) , g(x) 为“兄弟函数”,已知 f ( x) x 2 px q , g(x) x 2 x 1 定义在区间 [ 1 ,2] 上的“兄弟函数”,那么函数 f (x) 在区间 [ 1 ,2] 上的最大值为 x 2 2 A. 3 C. 4 5 B. 2 D. 2 4 5．若 x 0 ，则 x 1 的最小值为（ ） x A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数 x, y 满足 x 2 y 2 2x 2 3y 3 0 ，则 x 3y 的取值范围是（ ） A. 2, B. 2,6 C. 2,6 D. 4,0 7．设 a 0, b 0 ，若 a b 1，则 1 1 ） a 的最小值是（ b 1 A ． 8 B ． 4 C ． 1 D ． 4 8．正数 x, y 满足 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为 A ． 1 B ． 1 C ． 1 D ． 3 8 4 2 9．已知 ，则 的最小值是 () A. 4 B. 3 C. 2 D. 1