幂函数 优秀教学设计
沪科版数学七年级下册8.1《幂的运算》教学设计
沪科版数学七年级下册8.1《幂的运算》教学设计一. 教材分析《幂的运算》是沪科版数学七年级下册第8.1节的内容，主要介绍了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
这部分内容是初中学段数学的重要基础，也是后续学习代数式、函数等知识的前提。
教材通过具体的例子引导学生掌握幂的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的四则运算，对于幂的概念和简单的幂运算可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的例子和生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生理解和掌握幂的运算规律。
同时，七年级学生的抽象思维能力正在发展，需要通过大量的练习和操作活动，来巩固和提高幂的运算能力。
三. 教学目标1.理解幂的运算概念，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
2.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.能够运用幂的运算知识解决生活中的实际问题。
四. 教学重难点1.重点：同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等幂的运算规则。
2.难点：理解幂的运算规律，能够灵活运用幂的运算知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和情境，引导学生探究幂的运算规律。
2.运用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解幂的运算概念。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重练习和操作活动，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，如PPT、教案、练习题等。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用幂的运算知识解决实际问题。
3.准备一些直观教具，如幂的运算图表、幂的运算模型等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，如“一个正方形的边长是2，求这个正方形的面积”，引导学生思考如何计算面积。
然后引出幂的运算概念，告诉学生，面积可以表示为边长的平方，即2的平方。
幂的运算单元主题教学设计
幂的运算单元主题教学设计一、教学目标1. 理解幂的定义以及幂运算的基本概念。
2. 掌握幂的运算法则，能够进行简单的幂运算。
3. 能够解决与幂相关的实际问题，并能运用幂进行数值计算。
二、教学重点1. 幂的定义及运算法则的理解与掌握。
2. 幂的运算能力的培养与实际应用能力的提升。
三、教学内容及教学方法1. 幂的定义及基本概念的教学教学方法：通过讲解的方式引导学生了解幂的定义，强调幂与底数、指数之间的关系，通过示例让学生理解幂的概念。
2. 幂的运算法则的讲解和示范教学方法：通过讲解幂的运算法则，介绍幂的乘法法则、除法法则和幂的幂法则，让学生掌握幂运算的基本规则。
并结合具体的例子，进行计算演示。
3. 幂的运算练习与应用教学方法：设计一些练习题目，分为基础题和拓展题，供学生进行练习。
通过解题过程，巩固幂运算法则的掌握，并培养学生运用幂进行实际问题求解的能力。
四、教学过程安排1. 导入（5分钟）通过生活中的实例，引发学生对幂的运算的认识和理解。
2. 教学内容的讲解（15分钟）讲解幂的定义和基本概念，并介绍幂的运算法则。
3. 集体讨论与互动（10分钟）设计一些问题，引导学生进行讨论，加深对幂的运算法则的理解。
4. 幂的运算练习（20分钟）布置一些练习题目，供学生进行练习，并进行答疑解析。
5. 拓展应用（15分钟）设计一些与幂相关的实际问题，引导学生运用幂进行数值计算，并思考实际问题与幂的关系。
6. 总结与归纳（5分钟）对本节课的学习内容进行总结，并强调幂运算在数学中的重要性和应用价值。
五、教学评价与反馈1. 对学生进行小组讨论，并对学生的讨论表现进行评价和反馈。
2. 对学生完成的练习题进行批改和评价，并对错误的地方进行讲解和指导。
六、教学资源准备1. 教师课堂讲义和教学演示用的幂运算实例。
2. 学生的练习题目和解析答案。
七、教学延伸与拓展1. 引导学生进一步了解指数函数和对数函数的概念与运算规则。
2. 设计更加复杂的幂运算练习题，提供更多的实际应用问题，拓宽学生的思维和应用能力。
幂函数教学设计
3.3 幂函数一、教材分析本节是在前面学习了函数的概念以及利用函数的概念和图像观察、研究函数性质的基础上，学习探究一类新的函数。
教材首先通过给出五个函数解析式，引导学生观察它们的共同特征，引出幂函数的概念。
在结合以往学习函数的经验的基础上，通过做出2132x y x y x y x y ====，，，和1-=x y 的图像，观察图像引导学生总结幂函数的基本性质。
教材通过这种引导式的设计安排，能够培养学生观察、分析、概括、总结的能力，能够培养学生的直观想象和数学抽象的核心素养。
二、教学目标1．了解幂函数的基本概念。
2．通过探究幂函数2132x y x y x y x y ====，，，和1-=x y 的图象和性质的过程，培养学生的直观想象和数学抽象的核心素养。
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题。
三、教学重难点重点：了解幂函数的概念难点：结合这五个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质 四、教学过程（一）新知初探·自主学习观察教材中的五个例子中的函数解析式，讨论它们的共同特征，并尝试用文字语言来描述。
1、幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 注意：1、幂函数的系数是1； 2、幂函数的自变量是底数； 3、幂函数的指数是常数。
例1：判断下列说法是否正确。
(1) 一次函数和二次函数都是幂函数． (2) (2)f(x)＝2x 3是幂函数． (3) (3)f(x)＝x －5是幂函数．解析：（1）错误；（2）错误；（3）正确 课堂练习11.下列函数：①y ＝x 3；②y ＝0.5x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A.1 B ．2 C ．3 D ．4 2．幂函数f (x )的图像过点(3，39)，则f (8)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 2、幂函数的图像和性质①尝试画出2132x y x y x y x y ====，，，和1-=x y 的图象（学生尝试动手操作，教师归纳演示）②通过观察图像，说出每个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，完成课本的表格。
高一数学必修1《幂函数》教案
高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。
2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质。
2. 画出幂函数的图象。
3. 不等式解法。
教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。
2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。
教学方法：1. 归纳法。
2. 演示法。
3. 分组讨论法。
教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。
2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。
（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。
（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。
3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。
（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。
（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。
4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。
（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。
二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。
2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。
3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。
教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。
2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。
幂函数教案
幂函数教案
幂函数是高中数学中的一个重要概念，也是一个重要的函数类型。
在教学中，我会采用以下教学方法来帮助学生理解和掌握幂函数的概念和性质。
一、引入部分：
我会通过一个简单的例子来引入幂函数的概念。
让学生观察并思考一下图形，从而了解幂函数的定义和特点。
例：画出函数y=x²的图像，并观察图像的特点。
二、定义和性质：
然后，我会给出幂函数的定义和一些基本性质，例如幂函数的定义域、值域、图像的特点等。
再通过一些具体的例子来说明这些性质。
例：给出函数y=2ⁿ的定义和一些性质，例如定义域是实数集，值域是正数集，图像是一个上凸函数等。
三、幂函数的图像和性质：
接下来，我会通过一系列的例题来帮助学生更好地理解和掌握幂函数的图像和性质。
例如画出函数y=2ⁿ的图像，让学生观
察图像的特点，并解释函数的增减性、奇偶性、极限等性质。
例：求函数y=2ⁿ的增减性、奇偶性和极限。
四、幂函数的应用：
最后，我会给出一些幂函数的应用问题，例如经典的利息问题、指数增长问题等，让学生运用已学的知识解决实际问题。
通过这些应用问题，学生能够更好地理解幂函数在实际生活中的应
用。
例：小明存了一笔钱，年利率为3%，如果每年利息都重新投资，求n年后，小明总共的存款。
通过这样的教学方法，学生可以更直观地理解幂函数的概念和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。
同时，我也会通过课堂练习和作业等方式来巩固学生对幂函数的理解和掌握。
幂函数教案：高中数学必修的章节之一
幂函数教案：高中数学必修的章节之一在高中数学必修的课程中，幂函数是一道重要而又基础的数学知识，更是我们学习其他数学知识的基础。
因此，针对高中数学必修中的幂函数教案，我们需要作出详细的讲解和探究，同时需要结合一些实例和练习来帮助学生更好地理解和掌握这一知识，提高数学素养和解题能力。
一、教学目标1.理解幂函数的定义和性质，知道其图像特征并能用具体实例说明。
2.能变形解决简单的幂函数的运算。
3.能应用指数函数和对数函数的性质，解决幂函数与指数函数、对数函数的联立方程。
二、教学重点1.在数轴上绘制幂函数的图像并分析其特征。
2.掌握幂函数的运算规则，以及幂函数与指数函数、对数函数的联立方程解法。
三、教学难点1.理解并掌握幂函数的定义和性质，知道幂函数的图像特点。
2.掌握幂函数的运算规则，能解决幂函数的简单运算。
3.掌握幂函数和指数函数、对数函数联立方程的解法。
四、教学过程1.幂函数的定义和性质幂函数是形如y=x^a（a为实数）的函数，其中x>0(x=0时，a>0)。
幂函数的图像特征与指数函数相似，是利用对数函数的概念、运算，指数函数的知识，掌握的一个重要的数学工具。
幂函数的图像特征：当a>1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐加速，当a=1时为与x 轴正比例函数y=x，当0<a<1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐减缓，最后趋近于x轴。
当a<0时，幂函数y=x^a的图像下降，且在x轴右侧有垂直渐近线x=0，在x轴左侧有水平渐近线y=0。
2.幂函数的运算规则加减法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数相加或相减。
即x^a+x^b=x^(a+b)，x^a-x^b=x^(a-b)。
乘法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数乘积。
即x^a*x^b=x^(a+b)。
幂函数的运算可以变形为指数函数和对数函数的运算，如x^a=y，可变形为a=logx(y)或者y=x^a，可变形为a=logy(x)。
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.3幂函数教学设计
3.3 幂函教材分析：幂函数的定义，=y x ，2=y x ，3=y x ，12=y x ，1=y x -五个幂函数的图象和性质． 本课时内容是幂函数，幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数与其他基本的初等函数经过运算、复合得到的．幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数．在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，1=y x -，=y x ，2=y x 等都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是建立在学生已有的函数学习经验上的，学习中主要体现的数学抽象是在归纳五个具体函数共性基础上进行的．“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示——图象与性质——应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究，因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础． 学情分析：学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试建构本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法．画出3=y x ，12=y x 的图象会有一定难度．教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点，得出3=y x 是奇函数，12=y x 的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技术的应用．在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳做好铺垫．基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个具体幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容和方法． 教学目标：1.通过具体实例，了解幂函数的定义，会画=y x ，2=y x ，3=y x ，12=y x ，1=y x -五个幂函数的图象，理解它们的性质；2.通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 教学过程：（一）幂函数定义的抽象问题1：我们知道函数可以用来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子： （1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜w kg ，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=2a ，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的棱长为b ，那么立方体的体积V=3b ，这里V 是b 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长S c =，这里c 是S 的函数；（5）如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v t 1= km /s ，即v=1t -，这里v 是t 的函数．观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行必要的补充．最后明确指出：这几个函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．教师给出幂函数的定义，并进行板书． 追问（1）：这几个函数中有没有你熟悉的函数？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．p=w ，S=2a ，v=1t -分别是初中学习过的一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数的特殊情况，这种形式的函数称为幂函数．追问（2）：能否根据幂函数的定义将上述五个问题中对应的幂函数写出来？ 师生活动：学生思考后回答，教师根据学生回答的幂函数的解析式写出来，并进行纠错．追问（3）：你能说出幂函数解析式的特征吗？判断下面几个函数是否为幂函数，并说出理由．（1）4=y x ；（2）2=y x -；（3）=2x y ；（4）2=2y x ；（5）3=1y x +；（6）13=y x 师生活动：学生思考后回答，并阐述原因，教师根据学生的回答进行评价和强调：底数是自变量，自变量的系数为1，指数为常数，幂x α的系数为1，解析式等号右边只有一项．根据幂函数的定义（1）（2）（6）是幂函数，（3）（4）（5）不是幂函数．设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问（1）使学生建立幂函数与之前已学函数的联系；追问（2）引导学生抓住幂函数的解析式的形式特点；追问（3）使学生对幂函数的定义加以辨析应用，强化理解．（二）幂函数的图象与性质问题2：我们知道了什么是幂函数，结合以往的学习经验，我们应该研究些什么呢？ 师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出：根据我们学过的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容．追问：如何研究幂函数的这些性质呢？根据学生交流讨论情况，教师可以适时地引导归纳，得到：根据初中学习函数的经验，可以先用描点法画出函数图象，再观察图象得到函数的性质.在画图过程中也可以利用解析式来帮助我们简化画图过程．设计意图：引导学生回顾已有经验，得出研究函数的一般内容和方法．问题3：这五个幂函数中=y x ，2=y x ，1=y x -的图象是我们熟悉的，如何画出3=y x 和12=y x 的图象呢？追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过解析式可以得到函数的定义域和奇偶性，3=y x 定义域是R ，是奇函数；12=y x 定义域是非负实数组成的集合，既不是奇函数也不是偶函数，可以通过这些性质简化作图的过程．学生利用描点法进行作图，在一个平面直角坐标系中画出五个幂函数的图象，教师利用信息技术进行画图并演示．设计意图：引导学生体会研究一类函数的一般方法．其中，让学生先观察3=y x 和12=y x的解析式特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质进行初步判断，可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映出函数的性质特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．问题4：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？师生活动：学生观察思考后回答，教师引导补充并将这些性质填入表格中． 追问：再观察这五个幂函数的图象上是否有某些特殊点可以体现出它们的共同特点？在第一象限内函数图象还有什么变化趋势？师生活动：学生观察思考后回答，教师引导得到结论：五个函数的图象都过点（1，1），在第一象限内函数1=y x -的图象“当x 越来越大时，图象无限靠近x 轴，当x 趋于0时，函数图象无限靠近y 轴”．设计意图：引导学生通过观察图象得出五个幂函数各自的性质，并在此基础上归纳出共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质．问题5：利用函数的图象我们得到了五个幂函数的基本性质．事实上，观察得到的结论是不可靠的，我们还应对其加以严格的证明．例：证明幂函数=y 在[0，+∞)上是增函数．师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价． 解析：函数的定义域是[)0+，∞， 1∀x ，∈2x [0，+∞)，且12<x x ，有 ()()12=f x f x -==．因为12<0x x ->0，所以()()12<f x f x ，即幂函数()=f x 0+［， ∞）上是增函数． 设计意图：引导学生能够对观察到的性质进行理性的思考，利用解析式对结论进行严格的证明，提高学生思维的严谨性．同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用．问题6：练习，教科书第91页练习1，2，31.已知幂函数()y f x =的图象过点(2，求这个函数的解析式． 解析：设幂函数解析式为=y x α．将点(2=2α，得1=2α． 12=y x ∴，0x （≥）． 设计意图：检测学生对幂函数定义的理解，并规范数学语言表述．2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）()()3315 14--．， ．；（2）111514--，．．；（3）11221.2 0.9 -,解析：（1）由于幂函数3=y x 在R 上单调递增，且15<14-．-．，()()3315<14∴-．-．．（2）由于幂函数1=y x在()0 ∞，-上单调递减，且15<14<0--．．， 11>1514--∴．．．（3）1112221009= ,119-⎛⎫ ⎪⎝⎭．．． 由于12=y x 在0+［， ∞）上单调递增，且1012>>11>09．．， 1112221012>>119⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．．，即112212>09>-．．师生活动：教师引导学生得出使用幂函数的性质比较大小的基本思路和方法：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小．因此如果底数不同需转化为同底数幂才能选择一个适当的幂函数进行比较说明，同时要注意函数的单调区间． 设计意图：检测学生对幂函数3=y x 和1=y x 单调性的应用，使用时提示：幂函数1=y x的图象不连续，因此要注意单调区间的描述．3.画出函数1=y x - ||的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．师生活动：学生分析思考后回答，教师引导归纳得出：这是一个分段函数，也是一个偶函数，它的定义域是{}|0x x ≠．当>0x 时，1=y x -是我们熟悉的五个幂函数之一，当<0x 时的函数图象与>0x 时的函数图象关于y 轴对称．如下图：单调性是：+x ∈（0，∞）单调递减，x ∈-（∞,0）单调递增 设计意图：检测学生对一般函数研究思路和方法的理解掌握．（三）归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：（1）什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说出幂函数具有哪些性质吗？ （2）结合对五个幂函数图象的研究过程，你能归纳一下学习函数的研究内容和方法吗？师生活动：教师引导学生归纳：1．判断一个函数是否为幂函数，关键是判断其是否符合=y x α(α为常数)的形式； 2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比归纳的思想从五个幂函数的角度分析=y x α(α为常数)的图象与性质；3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质解决幂值比较大小的问题．设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，总结研究函数的内容、思路和方法． （四）布置作业教科书第91页，习题3.3第1，2，3题． 六、目标检测设计已知函数()21=5m f x m m x ---()是幂函数，且当0+x ∈（， ∞）时，f x ()是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义，得25=1m m --， 解得=3m 或=2m -．当=3m 时，2=f x x ()在0+(，∞)上是增函数；当=2m -时，3=f x x -()在0+(，∞)上是减函数，不符合要求． 故=3m ．设计意图：检测学生对幂函数定义和性质的理解，并重视数学语言表述的规范和思维的严谨．。
幂函数 教案
3.3幂函数教学设计教 学 过 程知 识师生活动 设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容） 1.判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=x+1；（2）f （x ）=1x x2+。
2.已知函数)(x f 为奇函数，若1)(02++=>x x x f x 时，，则=)0(f ，)2(-f =参考答案：偶 奇 0，-7 二、新授课 （一）创设情景，引出课题 活动一、问题一：学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？ （二）预习课本，得出新知 活动二、问题二：阅读课本89-90页，思考并小组讨论完成以下问题1. 幂函数是如何定义的？2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？知识点1．一般地,函数y=x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.（三）结合函数、新知探究 活动三：在同一坐标系中画出函数y ＝x ，y ＝x ２，y ＝x ３，y ＝21x 和y ＝x －１的图象幂函数的性质教师展示题目，学生作答。
让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.学生独立完成，教师组织学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
学生自己列表描点画图回忆上节课所学知识点。
建立联系。
实际情景，激发学生兴趣阅读能力，数学抽象作图能力培养，数形结合，通过图像抽象出幂函数的性质，数学抽象体会数学的发展过程幂函数y=x y=x2y=x3y=y=x-1定义域R R R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞) R[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数公共点(1,1)活动四、问题三：1.五个函数都过那个点？2.哪些函数为奇函数？哪些函数为偶函数？有非奇非偶函数吗？3．单调性一致吗？哪个函数不一致？4.哪个函数的图像有界？活动五：完成下列例题1.教材91页例2.教材91页练习1，2活动五：教材91页练习3教师组织，学生口述，教师评价学生合作学习，讨论得出结论，教师组织教师引导，学生参与学生独立完成，教师组织展示学生独立完成，教师组织展示与评价总结归纳，数学的整体化，巩固训练数学抽象，发现问题能力的培养逻辑推理，用数学思维理解世界运算能力培养，数学应用逻辑推理能力，运算能力的训练，理解数学概念。
“幂函数”教学设计
一、内容和内容解析1.内容幂函数的定义，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12五个幂函数的图象与性质.2.内容解析幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数进行运算、复合得到的.学生初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数都是由幂函数y =x 0，y =x ，y =x 2，y =x -1经过运算得到的，幂函数y =x ，y =x 2，y =x -1也是最基本的一次函数、二次函数和反比例函数，学生对他们的图象和性质都非常熟悉.从这个角度来说，幂函数的学习是在此基础上的自然延伸.在教材中，幂函数这一部分的学习被安排在函数的概念及其表示和函数的基本性质之后，指数函数与对数函数之前.一方面，在学生系统学习了一般函数的概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和表达具体函数的功能；另一方面，幂函数作为高中阶段学生研究的第一类具体函数，在研究内容、方法和路径上对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.基于以上分析，本节课的教学重点是幂函数的图象与性质.二、目标和目标解析1.目标（1）了解幂函数的定义，会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的图象，理解它们的性质并能进行简单应用.（2）通过对幂函数的研究，体会研究一种具体函数的内容和方法.（3）在对具体函数的图象与性质的探究过程中，理解函数图象与性质的探究方法，感受数与形的相辅相成，体会数形结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2.目标解析达成以上目标的标志如下.（1）能从几个具体的幂函数解析式的共性中抽象出幂函数的一般形式；会作出函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x -1，y =x 12的草图，并根据图象得到它们的性质；能应用幂函数的性质解决一些简单问题.（2）在研究幂函数之前，先根据初中研究函数的经验制定出探究方案，确定探究内容和方法，进而依收稿日期：2020-11-02作者简介：王琦（1983—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“幂函数”教学设计王摘要：幂函数是一类重要的基本初等函数．本节课在回顾初中研究函数的经验的基础上，梳理研究一般函数的内容、方法和路径，进而按照这样的路径对幂函数展开研究.学生经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系.幂函数的研究过程既是对高中所学的函数概念、表示法和基本性质的进一步理解和应用，也为后续其他函数的研究做出了示范．关键词：幂函数；图象与性质；数形结合照方案实施研究，并在过程中对实施细节进行合理调整，经历研究函数的完整过程.（3）在对y=x3和y=x 12的图象和性质进行研究的过程中，体验不同的研究方式，感受形的直观、数的精确，以及数与形的紧密联系、对立统一.在运用定义判断函数y=x 12的单调性的过程中，发展数学运算素养.三、教学问题诊断分析学生在初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺乏方法的梳理和总结.本节课先引导学生对经验进行梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，这既为本节课的研究提供了方案，也为后续其他函数的研究提供了模板.初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函数的图象，再根据图象直观感知函数的性质.经过本章前一阶段的学习，学生掌握了用符号语言精确刻画函数单调性和奇偶性的方法，可以直接通过解析式分析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的探究方式有了更多的可能.本节课中，教师引导学生体验这些探究方式，使学生在探究过程中感受数与形的相互转化和紧密联系.基于以上分析，确定本节课的教学难点在于幂函数图象与性质的探究.四、教学过程设计1.从实际情境中抽象出幂函数的定义问题1：回答下列问题.（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付的价钱p是多少元？这里p是w的函数吗？（2）如果正方体的边长为a，那么正方形的面积S 是多少？这里S是a的函数吗？（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V 是多少？这里V是b的函数吗？（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？（5）如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v是多少？这里v是t的函数吗？师生活动：教师给出实际情境，学生思考后得出五种情境所对应的函数解析式.其中，对于（4）中的c= S，教师须告知学生S也可以记作S12；对于（5）中的v=1t，教师应引导学生将其表达为v=t-1.【设计意图】函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具.从这一系列实际问题中，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到研究幂函数的必要性和幂函数的应用价值.中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景.幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用.同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.问题2：这些函数在解析式的结构上有什么共同特征？师生活动：教师引导学生抛开现实意义，关注几个函数解析式的结构.通过观察，学生发现这些函数的函数值都是自变量的若干次方.教师引导学生将几个函数中的自变量都用x表示，函数值都用y表示.学生发现这几个函数的解析式都具有y=xα的形式，其中x是自变量，α是常数.由xα的运算结果叫做幂，引出幂函数的名称，从而点明课题并板书幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.【设计意图】从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师引导进行.学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，提升数学抽象素养.追问：根据定义，你能再列举出几个幂函数吗？师生活动：学生根据定义进行举例，认识幂函数解析式的结构特征.教师引导学生将α取不同类型的常数，并指出当α取其他实数时，幂的含义会在后续课程中学习.【设计意图】根据定义进行举例，需要学生在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，是一个综合的思维过程.这个过程可以培养学生提出问题、分析问题的能力.2.探究幂函数的图象和性质环节1：梳理研究路径，明确研究内容.问题3：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、二次函数和反比例函数的内容、过程和方法.学生总结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图象—性质—应用.【设计意图】学生初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动经验.调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法，不仅可以通过对这些基本活动经验的梳理规划幂函数的研究路径，也可以为后续课程中其他函数的研究做出示范.追问1：如何作出幂函数y=xα的图象？师生活动：学生发现幂函数y=xα是一类函数，指数α的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的.教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理方式.学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一般，对α取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在规律性.教师提议本节课抛砖引玉，只从α为正整数的情况中选取三个较简单的，即y=x，y=x2，y=x3，从α为负整数的情况中选取一个较简单的，即y=x-1，从α为分数的情况中选取一个较简单的，即y=x 12=x进行研究.掌握研究方法后，对于其他幂函数的图象，可以让学生课后自行探究.【设计意图】引导学生借助初中研究函数的经验，找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的研究思路.追问2：在研究它们的图象和性质之前，我们应该先明确什么？师生活动：学生回答“定义域”，并求出这五个幂函数的定义域.教师关注学生是否注意到了定义域应写成集合的形式.【设计意图】研究一个函数首先要明确其定义域，设计这个问题正是为了帮助学生强化这一认识.追问3：作出函数图象后可以研究哪些内容？师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如表1所示.表1y=xy=x2y=x3y=x-1y=x12定义域RRR{}x|x≠0[)0，+∞图象值域奇偶性单调性【设计意图】梳理一个具体函数的研究内容并用表格呈现出来，这为本节课后面的研究搭建了框架，有助于学生建立研究具体函数的一般思路.此外，将研究结论通过表格形式呈现，便于学生将几种函数的图象和性质进行对比，发现规律.环节2：探究五个幂函数各自的图象和性质.问题4：将函数y=x，y=x2，y=x-1的图象和性质填入表格相应位置.师生活动：根据初中所学相应结论，学生代表将黑板上函数y=x，y=x2，y=x-1的对应表格补充完整，其余学生在笔记本上完成.教师针对黑板上表格的填写情况进行适当点评，如定义域、值域要写成集合形式，y=x-1单调区间的写法等，如表2所示.表2问题5：如何得到函数y=x3的图象？师生活动：学生回答“列表、描点、作图”.追问1：自变量取哪些值进行描点？师生活动：学生可能取-2，-1，0，1，2.追问2：能不能减少描点的个数？师生活动：教师引导学生思考哪种性质对函数的研究有事半功倍的作用.学生经过思考，不难发现y=x3是奇函数，图象关于原点对称，可以先作出y=x3在y轴右侧的图象，再根据对称性就可以得到y轴左侧的图象了.学生在笔记本上完成作图并填写函数性质，学生代表展示结论，师生点评并总结出研究函数时可以在明确定义域后优先考查函数的奇偶性.【设计意图】通过函数y=x3的图象与性质的探究过程，使学生体会到：在研究函数的过程中，为了提高研究效率，应该优化研究顺序，如优先考查函数的奇偶性.问题6：如何探究函数y=x 12的图象和性质？师生活动：学生根据上一问题总结的经验，考虑优先考查函数的奇偶性.追问1：函数y=x 12的奇偶性如何？师生活动：学生发现函数y=x 12的定义域不关于原点对称，从而判断出函数y=x 12为非奇非偶函数.追问2：既然奇偶性可以不借助图象判断，那么单调性是否也可以直接判断呢？师生活动：学生经过思考认为可以用单调性的定义来判断.追问3：用定义判断函数单调性的步骤是什么？师生活动：学生回忆前面所学知识，回答出“任取—作差—整理—断号—结论”的步骤.进而师生依照步骤判断函数y=x 12的单调性.其中，“整理”这一步对学生而言是个难点，学生很难独立想到“分子有理化”的方法，需要教师介绍.师生共同完成对函数的单调性的判断.追问4：根据函数y=x 12的定义域、奇偶性和单调性，你能否画出它的示意图？师生活动：学生在笔记本上作出符合定义域、奇偶性和单调性的函数示意图，但不同学生的示意图凹凸性可能有所不同.教师巡视并将典型的示意图拍照展示.教师引导学生认识到可以通过描出几个特殊点来判断函数图象的走势，并在课堂上运用信息技术快速得到函数y=x12的图象.教师要帮助学生认识到对函数性质的研究，可以让我们对函数的图象有一个大致的认识，对性质探究得越深入、细致，对图象的刻画就越精细，在后续课程中还会对函数的更多性质进行研究.【设计意图】初中阶段，学生大多数情况下只能通过图象来直观感知函数的性质.在前几节课中，我们用精确的符号语言定义了函数的单调性和奇偶性，学生可以直接通过函数的解析式分析函数的性质.这就使得我们可以根据函数的性质分析图象的特征，从而丰富了得到函数图象的方法.对函数y=x12的图象与性质的教学设计，是为了让学生经历更多的探究方式，感受多种探究方式的特点，为今后更加灵活、高效地研究具体函数做准备.此外，数与形是相互联系、相互转化的，因此从形来认识数、从数来认识形都是教学中要引导学生体会的，这里的设计也有这样的目的.环节3：探究幂函数的性质.问题7：通过对这五个函数的分析，我们发现他们的图象和性质有着各自的特点，那么它们作为一类函数，有没有什么共性呢？我们将这五个函数的图象放到同一坐标系中观察一下，有什么发现吗？师生活动：教师展示五个幂函数在同一坐标系下的图象，学生观察图象发现它们存在公共点，师生从数的角度说明这个点是所有幂函数的必过点.学生还可能发现这五个函数图象都经过第一象限，都不经过第四象限.教师可以引导学生从函数的奇偶性、单调性、渐近性等角度对这几个函数的性质进行梳理.学生通过前面总结的表格容易猜想“α为奇数的幂函数是奇函数，α为偶数的幂函数为偶函数”，证明留给学生课下完成.对于幂函数在()0，+∞上的单调性，学生可能会猜想“当α>0时，幂函数在()0，+∞上单调递增；当α<0时，幂函数在()0，+∞上单调递减”.教师肯定学生的认真观察和积极思考，建议学生课后作出更多幂函数的图象来进一步验证猜想，对于比较肯定的猜想可以尝试加以论证，并告诉学生这就是科学研究经常用到的方法.对于学生发现的性质，如果时间允许，教师可以通过信息技术软件演示验证.【设计意图】幂函数作为一类函数，是否存在共性和规律呢？这是由特殊到一般的探究思路.学生通过研究五个特殊幂函数的图象和性质，容易对一般幂函数的性质进行猜想.在这个过程中，学生从形到数，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程，体会数与形的联系，提升“四能”.此外，由特殊到一般，观察、猜想、论证的过程也正是很多科学研究的过程，学生经历这样的过程有助于体会科学研究的方法，提升科学探究的能力.3.幂函数的应用问题8：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.53，()-1.43；（2）1.5，1.4.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数的单调性比较大小，口答结论.教师根据学生的作答情况，进行追问或点评.【设计意图】该问题是幂函数性质的简单应用.学生通过解答该题，体会利用函数的单调性比较大小的方法.问题9：已知函数f()x=x3，且f()t2+t+1<-f()2-t2，求实数t的取值范围.师生活动：学生经过思考，利用本节课所学函数y=x3的性质进行解答.学生之间可以互相启发和补充.教师根据学生的作答情况，进行引导、追问和点评.【设计意图】该问题是幂函数性质（奇偶性、单调性）的综合应用.4.课堂小结问题10：通过今天的学习，你认为对一个新函数应该研究哪些内容？如何研究？师生活动：师生共同归纳出研究函数的步骤.（1）明确函数的概念及定义域.（2）探究函数的图象与性质.（3）函数的应用：数学应用、实际应用、科学应用.其中，对于函数图象与性质的探究，在初中主要是先作出图象，再探究性质.通过前面几节课的学习，我们对函数的性质有了更进一步的认识，既可以通过图形语言来直观感知，也可以运用符号语言来严谨论证.数与形的联系更加紧密，图象与性质的研究方法更加灵活，希望学生课下认真体会.【设计意图】学生回顾研究函数的过程、内容和方法，强化基本活动经验.用精确的符号语言定义函数的性质后，教师引导学生体会函数图象与性质的研究方法更加丰富，数与形的联系更加密切，数与形的转化更加灵活.五、目标检测设计1.已知幂函数y=f()x的图象经过点()2，2，试求出这个函数的解析式.【设计意图】考查幂函数的定义.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）()-1.5-1，()-1.4-1；（2）()-1.52，1.42.【设计意图】考查幂函数y=x-1和y=x2的性质. 3.试独立探究函数f()x=x-2的图象和性质.【设计意图】考查探究函数图象与性质的方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。
人教版高中数学必修1： 2.3幂函数教案
2.3 幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α=的函数．二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 21x y =； 2x y =；1-=x y ；3x y =的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数x y =； 21x y =； 2x y =；3x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2x y =是偶函数；（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3x y =和21x y =是增函数，函数1-=x y 是减函数；（4）在第一象限内，函数1-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数αx y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。