流体力学-势流理论

第六章势流理论

本章内容：

1．势流问题求解的思路

2．库塔----儒可夫斯基条件

3. 势流的迭加法

绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流

4．布拉休斯公式

5．库塔----儒可夫斯基定理

学习这部分内容的目的有二：

其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：

１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：

1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法

3、物面条件，无穷远处条件

4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位

置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念

7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

8、附加惯性力，附加质量的概念

本章难点：

1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

3．附加惯性力，附加质量的概念

§６-1 几种简单的平面势流

平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：

1）绕一个无穷长机翼的流动，

2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，

则这一问题就可以按

一、均匀流

流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，

V ｘ＝V o ， V y ＝０

dx V dy V dx V dy y

dx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=

ϕϕ

ϕ 积分：φ＝V ox （６-4）

如图６-3

流函数的全微分为，

dy V dy V dx V dy y

dx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=

ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６

-5 如图６-4

由（６-4）和（６

-5 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６

-3 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3中的虚线。

均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。

平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。

设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ

πｒｖｒ＝Ｑ

∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）

在直角坐标中，有

x y V y

x V y x ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=

ψϕψϕ

在极坐标中有：

r r s V r s r V s r ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=

ψθϕϕθ

ψψϕ11 （６-7） 图６-6 点源和点汇

极坐标中φ和ψ

的全微分：

θ

πψπϕθ

πθθθψψψπθθθϕϕϕ2ln 222Q r

Q d Q d rV dr V d dr r d dr r Q d rV dr V d dr r d r s s r ===+-=∂∂+∂∂==+=∂∂+∂∂=

（６-8）

流线：为θ＝const ，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const

，就是和流线正交的一组

由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点； 如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合， 图６-7扩大壁面和源的互换性乃是汇点。 源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩），渠道中理想流体的流动，如图６-7所示。

三、偶极子 图６-8偶极

偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→

Ｍ（δｘ→０） （６-9）

则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。 用迭加法求φ和ψ。

)ln (ln 22121r r Q

-+

+=π

ϕϕϕ 由图６-8 (ａ)所示： 121cos θδx r r +≈

因此

)cos 1ln(2cos ln 2ln 2)ln (ln 22

22

2

22

1

2121r x Q

r x r Q r r Q r r Q θδπθδπππϕϕϕ+=

+==-+

+=

式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式

将φ展开并略去δｘ二阶以上小量得

当δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ。其中ｒ,θ为Ａ点的极坐标，这样便可从 上式得到偶极子的速度势为

⋅

⋅⋅⋅-+-=+3

2)1ln(3

2z z z z 2

1cos 2r x Q θδπϕ≈