上海市格致中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(pdf解析版)
格致中学高二期末数学试卷一.填空题1.设()1224i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________.【答案】2解：()i z i 4221-=⋅+ ，()()()()2412246868121212555i i i i z i i i i -----∴====--++-，6855z i ∴=-+，因此，2z ==.2.双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为__________.【答案】3π；解：由双曲线22312x y -=，可化为221412x y -=，可得双曲线的两条渐近线的方程为y =，设双曲线的两条渐近线夹角为θ且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，则tan θ==3πθ=，即两条渐近线的倾斜角分别为3π.3.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________.【答案】()2214x y -+=解：因为抛物线24y x =的焦点为圆心即()1,0，与抛物线的准线相切的圆的半径为2．所求圆的方程为：()2214x y -+=．4.若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________.【答案】32解： 直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =.5.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________.【答案】14-解：由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y 轴上，故可得虚轴长为12m-，实轴长为2，又因为虚轴长是实轴长的2倍，故可得124m-=，解得14m =-.6.在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12AA =，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为__________.【答案】4π解：画出长方体1111ABCD A B C D -可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接BD .则因为1AB BC ==,则2BD =,又12AA =,故12BD DD ==,又1BD DD ⊥,故1BDD ∆为等腰直角三角形,故14DD B π∠=,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为4π7.如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为__________.【答案】12解：由题中正方体可得与1AC 异面的直线有：11A B ，11A D ，1BB ，1DD ,BC ，CD ；1A D ,1 B C ,1 A B ，1CD ，BD ，11B D ，共12条.故答案为：128.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】2213616x y +=解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C 的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n ，则()2225242121-⨯⨯=⋅n OF ，解得n =，则m ==，所以点P 的坐标为⎛ ⎝，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b +=因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，9.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为__________.【答案】2735解：从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C =种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：（1）恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C =种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有624=C 所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法.则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035P ==10.作一个平面截正方体1111ABCD A B C D -得到一个多边形(包括三角形)截面，那么截面形状可能是__________.(填上所有你认为正确的选项的序号)①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形【答案】①②③④⑥解：对于①，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正三角形，如图：故①正确；对于②、③，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正方形，如图：当E 、F 、G 、H 分别为所在棱的中点时，符合要求，故②、③正确；对于④，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是非正方形的矩形，如图：故④正确；对于⑤，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是五边形，但不可能是正五边形，故⑤错误；对于⑥，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正六边形，如图：若E 、F 、G 、H 、K 、M 分别为所在各棱的中点时，符合要求，故⑥正确.故答案为：①②③④⑥.11.已知复数z 满足||1z =，则i z i z -++的最大值是__________.【答案】22解：设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<．则2222cos sin 1()cos sin )1(z i z i θθθθ++-=+++-()()2221sin 21sin 2sin cos 2sin cos 2222θθθθθθ=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝-=⎭+-2cos 2sin cos 2222θθθθ=++-．02θπ≤< ，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以222z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是22当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，22cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以222z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是22；当3,24θππ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，221cos ,0sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，22z i z i θ++-=-，22z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是22．12.在平面直角坐标系中，动点(),P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点()1,1的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为22-其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④解：由题意22(1)(1)x y x y +=-+-，化简得1xy x y ++=，用(,)x y --代方程中的(,)x y 所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中,x y 互换，方程不变，因此曲线关于直线y x =对称，②正确；当0,0x y ≥≥时，方程为1xy x y ++=，即211y x =-+，记(1,0),(0,1)A B ，曲线211y x =-+(0,0)x y ≥≥在OAB ∆内部，而12OAB S ∆=，因此③正确；当0xy ≥时，曲线方程为211y x =-+，当0xy ≤时，方程为1(0)x y =≤或1(0)y x =≤，由于曲线关于直线x y =对称，由211y x y x ==-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得11x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩或11x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩，曲线W2=，④正确，故填②③④.二.选择题13.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为()A.80B.96C.108D.110【答案】C解：设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人，则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501350120500x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =.14.下列命题正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A 错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B 错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C 错误；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D 正确.15.“20z >”是“z 是非零实数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C解：设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20z >，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.16.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122S OP F P F P =-⋅.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，S 的大小变化情况为（）A.逐渐变大 B.逐渐变小C.先变大后变小D.先变小后变大【答案】B解：设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ，2221222()()()S OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-+⋅- 2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小，三.解答题17.已知n -的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024.（1）求n 的值，并求展开式所有项的系数之和；（2）写出展开式中所有x 的整数次幂的项.解：（1）因为n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024，所以21024n =，解得10n =；令1x =，则展开式所有项的系数之和为101-=；（2）由题意可得10展开式的通项公式为：()()1020510326110101022rr rr rr rrr rr T C C x C x----+⎛=⋅⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎝，当4r =时，()()20544061010223360r r r C xC x -⋅-⋅=⋅-⋅=，当10r =时，()()20510105561010221024r rr C xC x x ---⋅-⋅=⋅-⋅=，所以展开式中x 的整数次幂的项为3360，51024x -.18.已知关于x 的方程210x tx ++=的两个根是1x ､2x .（1）若12x i =+(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值；（2）若t是实数，且12||x x -=t 的值.解：（1）根据121x x ⋅=，得22111222215i i x x i --====++，利用12x x t +=-，所以2124(2)555i t i i -=-++=--，（2）根据题意，42t t x -±=，所以12x x -==当240t ->时，有26t =，t =当240t -<时，=，即242t -=-，所以t =所以t的值为，.19.等腰直角AOB ∆内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16.（1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ､N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.解：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为AOB ∆为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px +=+，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x x p ++>，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称，又AOB ∆的面积是16，所以AO =，不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，所以点10,E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，331,x y EM m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ，()331,x y MF -=- ，441,x y EN m ⎛⎫+ =⎪⎝⎭ ，()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ= ，2EN NF λ= ，所以3133111y m y my λ+=---=，4244111y m y my λ+=---=，所以34123434111112y y my my m y y λλ⎛⎫++=----=--⋅ ⎪⎝⎭，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆，所以344y y m +=，344y y =-，所以3412341142214y y mm y y m λλ⎛⎫++=--⋅=--⋅=- ⎪-⎝⎭，所以12λλ+是一个定值，且121λλ+=-.20.已知在空间四边形ABCD 中，AD AB =，CB CD =，连结空间四边形的两条对角线AC ､BD .（1）求证：AC BD ⊥；（2）若6AB BC ==，8AC BD ==，求异面直线AB 与CD 的所成角.(用反余弦表示)解：（1）证明：取BD 中点E ，连接AE 、CE ，如图：因为AD AB =，CB CD =，所以AE BD ⊥，CE BD ⊥，又E CE AE = ，所以BD ⊥平面ACE ，因为AC ⊂平面ACE ，所以AC BD ⊥；（2）取BC 中点F ，取AC 中点G ，连接,,EF FG GE ，如图：由6AB AD CD BC ====，8AC BD ==，所以//FG AB 且132FG AB ==，//EF CD 且132EF CD ==，所以GFE ∠或其补角即为异面直线AB 与CD 的所成角，所以221252AE CE AB BD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，EG AC ⊥，所以2EG ==，在GFE ∆中，2229947cos 22339FG FE GE GFE FG FE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线AB 与CD 所成的角为7arccos 9.21.已知椭圆Γ：12222=+by a x (0a b >>)的焦距为2，椭圆Γ的左､右焦点分别为1F ､2F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A ､B 两点，||3AB =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过右焦点2F 作直线交椭圆于C ､D 两点，若1CDF ∆的内切圆的面积为π，求1CDF ∆的面积；（3）已知222:O x y b += ，R 为圆上一点(R 在y 轴右侧)，过R 作圆的切线交椭圆Γ于M ､N 两点，试问2MNF ∆的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解：（1）由椭圆焦距为2可得2221c a b =-=，()21,0F ，又过右焦点2F 作x 轴的垂线交椭圆于A ､B 两点，||3AB =，不妨设点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2223121a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，解得24a =，23b =，所以椭圆Γ的方程为22143x y +=；（2）由题意1CDF ∆的周长1121248CDF l CF CF DF DF a =+++==V ，又1CDF ∆的内切圆的面积为π，所以1CDF ∆的内切圆的半径为1=r ，所以1CDF ∆的面积11142CDF CDF S l r =⋅=V V ；（3）由题意22:3O x y +=e ，圆心为()0,0，半径为，若MN斜率不存在时，不妨设点,22M N ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎭⎭，此时2MNF ∆的周长2224MNF l NF MF MN =++=V ；当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，则2211143x y +=即2211334x y =-，则21122MF x ====-，同理，22122NF x =-，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2224384120k x kmx m +++-=，>0∆，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，由直线MN 与O=，即()2231m k =+，所以MN ==222434343k k k ===+++，因为R 在y 轴右侧，所以0km <，所以()221212221114224442224343km MF NF x x x x k k +=-+-=-+=+=-++2434443k ==-+，所以2MNF ∆的周长222MNF l MF NF MN=++V 22444343k k =-+=++；综上，2MNF ∆的周长为一定值，且周长24MNF l =V .。
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期末数学试题解析
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．空间中，“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要答案：B由线面平行的判断定理和性质定理判断即可得出结论. 解：由线面平行的判定定理可知,当直线l 在平面α内，l 平行于平面α上的一条直线，则不能得出结论“直线//l 平面α”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”不充分条件；由直线和平面平行性质定理可知,“直线//l 平面α”则经过直线l 的平面和平面α相交,那么直线l 和交线平行，所以能得出“直线l 平行于平面α上的一条直线”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”必要条件. 故选：B 点评：本题考查直线和平面平行的判断定理和性质定理，考查理解辨析能力，属于基础题. 2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 答案：D根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 解：根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+ 11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c=， 则()112AA AB AD +-+ 1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，故选：D. 点评：本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.3．一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（ ）A ．321P P P >>B ．321P P P >=C ．321P P P =>D ．321P P P ==答案：D因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cos S P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，， ∴321P P P ==． 故选:D ． 点评：本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．4．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球.A ．14B ．15C ．16D ．17答案：B圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可. 解：如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R ，实心小球的半径为r 22r r R R ++=，解得：(32)R r =+，因为小球球心在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，2EF =，周长为2EF π， 所以22rn EF π≤，即()(22(322)22222215.16222r r R r EFn rr rπππππ⎡⎤+++⎣⎦≤====+≈.故该工艺品最多可放入15个小球. 故选：B.点评：本题考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.二、填空题5．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是______. 答案：38由随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 解：由题意，随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立， 所以数字朝上恰好出现一次的概率为123113(1)228P C =⨯⨯-=. 故答案为：38.点评：本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用独立重复试验的概率计算公式进行求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使得点B 和D 的距离为1，则二面角B AC D --的大小为______. 答案：2π设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知BOD ∠即为所求，易证BOD ∆为等腰直角三角形，故2BOD π∠=，从而得解． 解：设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，而翻折之后的图形如图所示，BOD ∴∠为二面角B AC D --的平面角．2OB OD ==1BD =， BOD ∴为等腰直角三角形，且2BOD π∠=，∴二面角B AC D --的大小为2π． 故答案为：2π． 点评：本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于基础题．7．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 答案：15π分析：由已知中圆锥的底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，圆锥的母线长5l =，则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.8．若6a x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则a ＝_____答案：4先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a 的值． 解：∵62x x ⎛- ⎝⎭展开式的通项公式为T r+1＝66(r r r C x -=⋅⋅•x ﹣2r ＝r r 6(C ⋅•x 6﹣3r ，令6﹣3r ＝0，可得 r ＝2，∴展开式的常数项为226(C ⋅＝60，解得a ＝4．故答案为4． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．某校开设A 类选修课5门，B 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种 答案：70根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数. 解：由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：A 类2门，B 类1门，共有215440C C =种，或A 类1门，B 类2门，共有1254C C 30=，所以不同的选法共有403070+=种方法.故答案为：70 点评：本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型. 10．如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为______.答案：17-设AB a ，则2AC a =，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥，所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在AEC 中，用余弦定理可求得结果.解：设AB a ，则2AC a =，因为60APC ∠=︒，所以2PA PC a ==，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥， 如图：所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在PAB △中,2cos 4AB aPBA PB ∠===，所以sin 4PBA ∠==， 所以在直角AEB △中，sin AE AB EBA =⋅∠=，同理CE =， 在AEC 中，222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅222214142161614216a a a a +-=⨯17=-. 故答案为：17-.点评：本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档题.11．在由二项式系数所构成的杨辉三角形，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3； 答案：34依题意有1314C 2C 3nn =，()()!13!13!142!13314!14!n n n n n -==--，解得34n =. 点评：本题主要考查二项式系数与杨辉三角的对应关系，考查组合数的计算公式.二项式展开式的二项式系数为01C ,C ,,C n n n n ，由于计数是从0开始的，故第14，与15项的比为1314C 2C 3nn =，在用阶乘表示组合数的计算公式，约分后解方程可求得n 对应的数值.12．集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将i A 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______. 答案：1980根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可. 解：因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=，所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案为：1980 点评：本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题. 13．太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______. 答案：sin dα太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d AC αθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.解：光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα点评：本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．14．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．答案：15, 66⎛⎫ ⎪⎝⎭解：试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积15166-=【考点】1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法15．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．答案：①③根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③． 点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．16．有7个评委各自独立对A 、B 两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______. 答案：532将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率. 解：由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532点评：本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.三、解答题17．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A 的估计值； （2）求续保人本年度平均保费的估计值. 答案：（1）1120；（2）1.1925a . （1）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求()P A 的估计值；（2）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 解：（1）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”． 事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，()P A 的估计值为：1101120020=； （2）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.75202101.1925200a a a a a a x a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==点评：本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．属于基础题.18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是边AB 及BC 的中点，将AED 、BEF 及DCF 折起，使A 、B 、C 三点重合于1A 点.（1）求三棱锥1A EFD -的体积； （2）求1A D 与平面DEF 所成角的大小. 答案：（1）13；（2）1arcsin 3.（1）首先证明1A D ⊥平面1A EF ，再求三棱锥的体积；（2）首先证明平面1A MD ⊥平面EFD ，再说明1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，并求角的大小. 解：（1）由条件可知11A E A D ⊥，11A F A D ⊥，且111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥平面1A EF ，1A EF 是等腰直角三角形，1111122A EFS∴=⨯⨯=, 1111111123323A EFD D A EFA EF V V S A D --∴==⨯⨯=⨯⨯=； （2）取EF 的中点M ，连结1A M ，DM ，11A E A F =，1A M EF ∴⊥，同理，DM EF ⊥，且1A MEF M =EF ∴⊥平面1A MD ,又EF ⊂平面1A MD ，∴平面1A MD ⊥平面EFD ，且平面1A MD 平面EFD MD =，∴1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，1A D ⊥平面1A EF ，11A D A M ∴⊥ 1122A M EF ==，()222212325222DM DE EF ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111sin 3A M A DM MD ∴∠==, 即11arcsin 3A DM ∠= ，1A D 与平面DEF 所成角为1arcsin 3.点评：本题考查垂直关系，几何体的体积，线面角，重点考查直观想象能力，计算能力，推理证明能力，属于基础题型. 19．（1）已知()2fx kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.答案：（1）[)1,2；（2）见解析（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可． 解：解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩， 解得12x ≤<， ∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a <-即20a -<<时，解得21x a≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-； 当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-； 当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．20．如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，底面边长AB a ，高1AA h =.（1）若a h =，求异面直线1BD 和1CF 所成角的大小； （2）计算四面体11BCD F 的体积（用,a h 来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a 和高h 满足：23h a k +=（k 为定值），则当底面边长a 和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？ 答案：（1）5；（223h ；（3）3a k =，14h k =，取得最小.（1）延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH ， 得111BCFGB C F H 是直四棱柱，证明1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面1BF C 法向量，求出1D 到平面1BF C 的距离，可得四面体11BCD F 的体积. （3）求出正六棱柱的表面积2633Sha a , 正六棱柱的体积233Va h ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.解：（1）补形如图：延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH 由正六边形性质知BCFG 是平行四边形，从而得111BCFGB C F H 是直四棱柱，则1//BC HF 且1=BC HF 所以四边形1BCF H 是平行四边形，所以1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小. 在三角形1BD H 中，由平面几何知识和余弦定理得：17D Ha ，5BHa ，12BD a ,22222211115cos 210252BH BD HD HBD BH BD a a15arccosHBD（2）如图，建立分别以1,FB FE FF ，为,,x y z 轴的空间直角坐标系，则 (3,0,0)B a ，3,,0)C a a ，133,)2a aD h ，1(0,0,)F h (0,,0)BCa ，1(3,0,)BF a h ，13(,,)22a aCD h 设平面1BF C 法向量为(,,)n x y z =100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ , 030ay ax hz =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则3az h，0y = 3(3,0,)a n h所以1D 到平面1BF C 的距离1222233302292393a a a hn CD h dna h a h又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ,22211BC BF F C122111322BF CSBC BF a a h11122221113332239D BF CBF C V S d a a h h h （3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin 606332S ha a haa正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h 2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a又2h k = 22221()22416V hk h h h k kh Skkk 所以当=4k h 时，VS 有最大值，也即SV取得最小值， 此时=4k h ，6a k = 点评：本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题. 21．对任意*n N ∈，定义(1nn a b +=+n a ，n b 为正整数.（1）求33a b +，44a b +的值； （2）求证：2221n n a b -=； （3）设nn na cb =是否存在实数0λ>，使得()()10n n c c λλ+--<对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 答案：（1）12，29；（2）证明见解析；（3）存在，λ=（1）分别令3n =和4n =，将3(1+和4(1+展开，求得3344,,,a b a b 的值，进而求得结果；（2）分别列出n a 和n b 的值，列出关系，得到222(1)nn n a b -=-，从而证得结果；（3）假设存在实数0λ>，满足条件，根据题意找关系，确定出nn na cb =的极限，求得结果. 解：（1）(31167=++=+所以337,5a b ==，所以3312a b +=，(411624417+=+⨯+⨯=+，所以4417,12a b ==，4429a b +=；（2）12233(11(2)n nn n n n n C C C C =+⋅+++，所以224361222n n n n a C C C =++++，132522n n nn b C C C =+++，所以222()()n n n n n n a b a a -=224361325224361325[(1222)2(22)][(1222)2(22)]n n n n n nnnnn nnC C C C C C C C C C C C =++++++++⋅++++-+++12232[(1(2)]n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++2233[1(]nn n n n C C C C ⋅-⋅-⋅++-(1(1[(1(1)n n n n =-=+=-，所以2221nn a b -=；（3）由（2）知，2221n n a b -=，设2221n n a b -=，== 可以发现132522n n n n b C C C=+++会随着n 的增大而增大，=n的增大而减小，并且会越来越接近与1，所以nn na cb =要大； 当2221n n a b -=-时，== 同理可以确定nn na cb =会随着会随着n ，从而可以得出满足()()10n n c c λλ+--<的λ.点评：该题考查的是有关二项式定理的有关问题，涉及到的知识点有二项式定理和数列的综合题，在解题的过程中，注意极限的思想的应用，属于难题.。
上海市闸北区2019-2020学年高二下学期期末2份数学联考试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．22．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π3．已知随机变量()2,X B p ，()22,YN σ，若()10.36P X <=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.32D ．0.364．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A ．21种B ．315种C ．153种D ．143种5．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A 、B 、C 、D 、E 、F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且C 、D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A ．72B ．84C ．96D ．1206．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19B ．7C ．26D ．127．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ）A ．3-B ．C ．3±D ．8．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限9． “若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是（ ） A ．0x ∃<有()0f x <成立，则12a < B ．0x ∃<有()0f x ≥成立，则12a <C ．0x ∀≥有()0f x <成立，则12a <D ．0x ∃≥有()0f x <成立，则12a <10．已知定义在R 上的函数()f x 在()2,+∞上单调递增且()00f =，若()2f x +为奇函数，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),20,4-∞-⋃B ．()0,4C ．()(),20,2-∞- D ．()(),02,4-∞⋃11．执行下面的程序框图，如果输入的9N =，那么输出的S =（ ）A ．11112310+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+B ．11112!3!10!+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ C ．1111239+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+D ．11112!3!9!+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12．已知函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称，且对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有()()12120f x f x x x ->-，则使得()()211f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()1,1-D ．()(),10,-∞-+∞二、填空题：本题共4小题 13．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.14．已知直线20ax y ++=与双曲线2214y x -=的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 ．15．已知离散型随机变量ξ服从正态分布(2,1)N，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<=____.16．已知则______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)
建平中学2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2020.06.30说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写．一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________． 【答案】4π2．二项式()101x +的展开式中5x 的系数为_____________．【答案】2523．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________．【答案】4．若2666n nC -=，则正整数n 的值为_______________．【答案】375．已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最小值为_____________．【答案】1-6．数据110,119,120,121的方差为_____________． 【答案】19.257．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，设111222333d b c A d b c d b c =，111222333a d c B a d c a d c =，111222333a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________． 【答案】08．已知{}*,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________．【答案】20391909．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫=⎪⎝⎭，小明同学为了求解此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫=⎪⎝⎭，则a b +=_____．【答案】210．111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!++++++++++=_______． 【答案】41417511．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点CA BCD -的外接球的体积为_____________．【答案】612．()()()()23465432654321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立，则3a =______________． 【答案】6二、选择题（每题5分，满分20分）13．三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为（ ） （A ）11123132a a a a （B ）11123132a a a a -（C ）1112233132a a a a a （D ）1112233132a a a a a -【答案】B14．已知球O 的半径为1，A B 、为球O 上的任意两点，则A B 、两点的球面距离的最大值为（ ） （A ）2 （B ）π （C ）2π （D ）2π+ 【答案】B15．从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测，则“老杨被抽中进行检测，但老王未被抽中进行检测”的概率为（ ）（A ）1920 （B ）97102 （C ）19396（D ）48510302【答案】D16．已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =，设12112x x D y y =和12212x x D z z =，则“a b ∥”是“120D D ==”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】A三、解答题（本题共有5大题，满分76分） 17.（14分）已知34z i =+，其中i 为虚数单位． （1）求Re Im z z z +-的值；（2）若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=，其中z 为z 的共轭复数，求x 的值． 【答案】（1）Re Im 342z z z +-=+=．（2）336164401x y x z x z y x y y ⎧+==⎧⋅+⋅=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩，故1x =．18.（14分）已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱Γ的高为1h ，体积为1V ，圆柱Λ的高为2h ，体积为2V ，其中12h h >．（1）求12h h 的值； （2）求12V V 的值． 【答案】（1）由题意得129,4h h ==，故1294h h =． （2）设圆柱Γ的底面半径为1r ，圆柱Λ的底面半径为2r由题意得2221111112222222444942999492r V r h r h r V r h r h ππππ⎛⎫⎛⎫==⇒==⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1249=V V ．19.（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．（1）若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小； （2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小； （3）若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离． 【答案】（1）以A 为坐标原点，射线1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系()()()()12,0,0,0,2,1,0,0,4,0,2,0B M A C ()()12,2,1,0,2,4BM AC =-=- ()112022140BM AC BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⇒⊥故异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π． （2）()()()()12,0,0,0,0,4,0,0,0,0,2,2B A A M()()()12,0,4,2,0,0,0,2,2BA AB AM =-==设平面ABM 的一个法向量为n ，直线1BA 与平面ABM 所成角为θ则()1110100,1,1sin arcsin 252BA n n BA nθθ⋅=-⇒===⇒=⨯⋅故直线1BA 与平面ABM 所成角为10arcsin． （3）()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,0,2,1B C A M()()()1112,0,4,0,2,4,0,2,1A B AC A M =-=-=- 设平面1A BC 的一个法向量为n ，点M 到平面1A BC 的距离为d则()130,2,113A M n n d n⋅=-⇒=== 故点M 到平面1A BC 的距离为1．20.（16分）三棱锥P ABC -中，已知APB BPC CPA ∠=∠=∠，设,,PA a PB b PC c ===，其中0,0,0a b c >>>．（1）若2APB π∠=，证明：PA BC ⊥；（2）若2APB π∠=，判断ABC △是否为锐角三角形，并求出此时ABC △的面积S （用,,a b c 表示）；（3）若3APB π∠=，1abc =，判断三棱锥P ABC -的体积是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2APB BPC CPA π∠=∠=∠=，即,PA PB PA PC ⊥⊥,,PA PB PA PC PB PC P ⊥⊥=，故PA ⊥平面PBCPA ⊥平面PBC ，BC 平面PBC ，故PA BC ⊥．（2）在Rt APB △中，AB ==在Rt BPC △中，BC == 在Rt CPA △中，AC =在ABC △中，2222cos 00,22AB AC BC A A AB AC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AB BC AC B B AB BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AC BC AB A C AC BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭S == 综上所述，ABC △为锐角三角形，此时ABC △的面积S =（3）在射线PB 和PC 上分别取点D 和E 使得PD PE a ==，联结,AD AE 和DE在三棱锥P ADE -中，PA PD PE a ===，3APB BPC CPA π∠=∠=∠=故AD AE DE a ===，即三棱锥P ADE -为正四面体，易知3P ADE V -=333P ABC P ADE abc abc V V a a --==== 故三棱锥P ABC -．21.（18分）已知抛物线()2:20C x py p =>，过定点()()0,0M m m >作直线AB 交抛物线C 于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，其中120,0x x <>．（1）若2212x x =，求直线AB 的斜率； （2）若1240x x m +=，求p 的值；（3）若点P 是直线:0l y m +=上任意一点，设直线,,PA PB PM 的倾斜角分别为,,αβγ，是否存在实数λ使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立，若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）设直线AB 的斜率为k ，则()22122212121212122202x x y y x x p p k x x x x p x x ---====--- 故直线AB 的斜率为0．（2）设直线AB 的方程为y kx m =+22122220242x pyx pkx pm x x pm m p y kx m⎧=⇒--=⇒=-=-⇒=⎨=+⎩故p 的值为2．（3）设点P 的坐标为()0,x m -，故101cot x x y m α-=+，202cot x x y m β-=+，0cot 2x mγ-= 1020102001212cot cot cot 222x x x x x x x x xy m y m kx m kx m mλαβλγ----++=+=+-++++ ()()()1201200221212224cot cot cot 242kx x m kx x x mx x k x x km x x m mλαβλγ+-+-⇒++=-+++ 212212222202x x pk x py x pkx pm x x pm y kx m ⎧+==⎧⎪⇒--=⇒⎨⎨=-=+⎪⎩⎩()()()0002222224cot cot cot 22242k pm m kx pk mx x k pm km pk m m λαβλγ-+--⇒++=--+⋅+ ()()2000222cot cot cot 12222x pk m x x m mm pk m λλαβλγ-+⎛⎫⇒++=-=-- ⎪+⎝⎭ cot cot cot 0αβλγ++=对0R x ∀∈恒成立，则1022λλ--=⇒=-综上所述，存在实数2λ=-使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立．。
2019-2020学年下海市静安区数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年下海市静安区数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．30【答案】C【解析】试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45故选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．2．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由203x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)B ， 代入目标函数2z x y =+得2124z =⨯+=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．已知集合{}(){}22,0,|lg 2x M y y x N x y x x ====-，则()R M C N ⋂为（ ） A ．(]1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合M ，N ，和R C N ，然后计算()R M C N ⋂.【详解】解：由0x >，得21x y =>，故集合()1M =+∞， 由220x x ->，得02x <<，故集合()02N ，=，][(),02,R C N =-∞⋃+∞所以()[)2,R M C N ⋂=+∞故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.4．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A ．18253-B ．18252-C ．17253-D ．17252-【答案】A【解析】【分析】 利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n 项和为S n n1212-==-2n ﹣1， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()n n 12+=，可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．5．若数列{}n a 是等比数列，则“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】证明由10a >，1q >可以得到数列{}n a 单调递增，而由数列{}n a 单调递增，不一定得到10a >，1q >，从而做出判断，得到答案.【详解】数列{}n a 是等比数列，首项10a >，且公比1q >，所以数列110n n a a q -=>，且1n n n a a q a +=>， 所以得到数列{}n a 单调递增；因为数列{}n a 单调递增，可以得到首项10a >，且公比1q >，也可以得到10a <，且公比01q <<.所以“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题.6．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】【分析】设AD 是等腰三角形的高.将AP 转化为AD DP +，将AB AC +转化为2AD ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC ⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A 、B 两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局A 队获胜的概率是12外，其余每局比赛B 队获胜的概率都是13.假设各局比赛结果相互独立.则A 队以3:2获得比赛胜利的概率为（ ）A ．427B ．281C ．1681D ．827【答案】A【解析】分析：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，利用独立事件同时发生的概率公式可得结果.详解：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，因为各局比赛结果相互独立，所以队以3:2获得比赛胜利的概率为2224211433227P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 点睛：本题主要考查阅读能力，独立事件同时发生的概率公式，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.9．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.292【答案】C【解析】【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.10．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．45B ．75C ．180D ．360【答案】C【解析】【分析】由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】 由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=++++==（）（）， 得到590a =，则2852180a a a +==．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=.11．如果21()2n x x -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A ．0B ．256C ．64D ．164【答案】D【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果n 是偶数，则中间一项(第12n + 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大.12．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为2，则m n=（ ）A．2 B．3 C ．1 D ．2【答案】A【解析】试题分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y，可得00OM y k x ==，21211AB y y k x x -==--，由AB 的中点为M ，可得1201202,2x x x y y y +=+=，由,A B 在椭圆上，可得2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得()()120120220m x x x n y y y -⋅+-⋅=，整理得2m n =，故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题：本题共4小题13．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.【答案】32π【解析】【分析】先求出截面圆的半径，再算截面面积。
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末2份数学考试试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）A ．316B ．34C ．1316D ．142．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%3．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )A ．()2sin12g x x π=-B ．2()2sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()2sin 123g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2cos3g x x π=4．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．45．在复平面上，复数2ii+对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--7．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．在某项测量中测量结果()2~3,(0)X N σσ>，若X 在(3,6)内取值的概率为0.3，则X 在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.99．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球10．已知数列{}a n 的前n 项和为n S ，且()*2120n n n a a a n N +++-=∈，若16182024aa a ++=，则35S =（ ） A ．140B ．280C ．70D ．42011．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.512．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四二、填空题：本题共4小题13．求经过点()43-，，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线方程为________. 14．若函数1()sin 22asin 3f x x x x =--在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是_______. 15．过点()3,1P 的直线l 与圆()()22:224C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值 时，直线l 的倾倒角等于___________．16．样本中共有5个个体，其值分别为1-，0，1，2，1．则样本方差为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年上海市第二中学高二下学期期末数学试题(解析版)
上海市第二中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（ ）A.总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B.总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C.总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D.总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 【答案】B【解析】根据总体、样本及样本的容量的概念，得到答案. 【详解】 根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 故选B 项. 【点睛】本题考查总体、样本及样本的容量的概念，属于简单题.2．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上是单调递减的函数为（ ） A.y x = B.3y x =-C.12log y x= D.1y x x=+【答案】B 【解析】【详解】由题意得，对于函数y x =和函数12log y x =都是非奇非偶函数，排除A 、C ．又函数1y x x=+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，排除D ，故选B ． 3．设，则的值为（ ） A ．2 B ．0C ．D ．1【解析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：故选： 【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.4．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能值只能是（ ）． A.0 332【答案】C【解析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】解：由题意可得：问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，则通过代入和赋值的方法，当3(1)3,f =时，此时得到圆心角为,,036ππ，然而此时0x =或1x =时，都有2个y 与之对应，根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”，因此，只有当3x =时，此时旋转6π，满足一个x 对应一个y ，所以()1f 的可能值只能是3，故选:C.本题考查了函数的定义，重点考查了函数的对应关系，属基础题. 二、填空题5．已知集合{}|12A x x =->，则R C A =_______. 【答案】[]1,3-【解析】先求出集合A ，再求R C A 得解. 【详解】由题得{}|31A x x x =><-或， 所以R C A =[]1,3-. 故答案为：[]1,3- 【点睛】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．【答案】1【解析】由函数()3f x x a =+在0x =时有意义，且()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()00f =，求出,a 再代入求解即可. 【详解】解：因为函数()3f x x a =+为奇函数，所以()3000f a =+=，即0a =， 所以()3f x x =， 所以()3111f ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题. 7．四个整数1，3，3，5的方差为______． 【答案】2【解析】由方差公式2222121[()()...()]n S x x x x x x n =-+-++-，将数据代入运算即可.解：因为1，3，3，5的平均数为133534+++=， 由方差公式可得222221[(13)(33)(33)(53)]24S =-+-+-+-=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了平均数及方差公式，重点考查了运算能力，属基础题.8．函数f （x 的定义域是 ． 【答案】（0，3］【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足31log 00x x -≥⎧⎨>⎩，即03x <≤，故定义域为（0，3］. 【考点】对数函数.9．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的值为______．【答案】84【解析】由921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式99319921()r r r r rr T C x C x x --+==，再由930r -=求解即可.【详解】解：由921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式99319921()r r r r rr T C x C x x --+==，令930r -=，即3r =，即展开式的常数项为3984C =，故答案为：84. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题. 10．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．【解析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式13V S h =底运算即可得解.解：设圆锥的高为h ，由勾股定理可得h =，由圆锥的体积可得21133V π=⨯=，故答案为：3. 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.11．已知函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围______．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，等价于'240y x a =-≥在[]1,3x ∈恒成立， 再利用最值法运算即可. 【详解】解：因为24y x ax =-，所以'24y x a =-，因为函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，所以'240y x a =-≥在[]1,3x ∈恒成立， 即2xa ≤在[]1,3x ∈恒成立， 又 当1x =时，2x取最小值12， 即12a ≤， 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了导数的应用，属基础题.12．地球的半径为R ，在北纬45︒东经30°有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，飞机从城市A 上空飞到城市B 上空的最短距离______． 【答案】3R π即可. 【详解】解：由地球的半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为cos 452R =o ， 又两座城市的经度分别为30°，120︒，故经度差为90︒，则连接两座城市的弦2R =，则,A B 两地与地球球心连线夹角为60o ，即3π，则,A B 两地之间的距离是3Rπ, 故答案为：3Rπ. 【点睛】本题考查了球面距离，重点考查了弧所对应的圆心角及弧长公式，属基础题.13．已知a 常数，则12lim 2nn n nnn a C C C →+∞++++=L ______．【答案】1【解析】由二项式系数性质可得012...2n nn n n n C C C C ++++=，再结合数列极限的求法即可得解. 【详解】因为012...2n nn n n n C C C C ++++=， 则12...21n nn n n C C C +++=-，所以12lim 2nn n n n n a C C C →+∞++++=L 12lim 2nn n a →+∞-+=1lim (1)12n n a →+∞-+=， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了二项式系数及数列极限，属基础题.14．已知函数()f x =，()g x =，则函数()()y f x g x =+的值域______．【答案】【解析】先由函数定义域的求法得函数()()y f x g x =+的定义域为[]1,1-， 再将解析式两边平方，再结合二次函数值域的求法即可得解.解：因为函数()f x =，()g x =，所以()()y f x g x =+=1010x x +≥⎧⎨-≥⎩ 且2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：11x -≤≤，即y = (11)x -≤≤，则233y =+=+又11x -≤≤，则21990()244x ≤--+≤，即 236y ≤≤，又0y >，即y ，即函数的值域为，故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求法及根式函数值域的求法，重点考查了运算能力，属中档题.15．已知a ，b 是正整数，a b ¹，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a bx y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 【答案】25【解析】先分析题意，再结合不等式的结构配凑，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，29491212x x x x+=+--， 再结合不等式的性质即可得解. 【详解】解：由当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a b x y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，则当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22949(23)2512122(12)x x x x x x ++=+≥=--+-，当且仅当故答案为：25. 【点睛】本题考查了运算能力，重点考查了类比能力及分析处理数据的能力，属基础题.16．已知2()22f x x x b =++是定义在[-1,0]上的函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是_______【答案】13[28,--）【解析】由函数定义域及复合函数的关系可得110210b b ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1,02b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()00f x y =，则()00f y x =且00y x ≠，所以函数()222f x x x b =++图像上存在两点关于直线y x =对称，由y x m =-+与抛物线联立，解得中点在y x =得32m =-，从而232302x x b +++=在[]1,0-有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【详解】因为()min 1122f x f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()()max 01f x f f b ==-=，所以1101,02210b b b ⎧-≤-≤⎪⎡⎤⇒∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪-≤≤⎩时满足()0f f x ⎡⎤≤⎣⎦； 设()00f x y =，则()00f y x =且00y x ≠，所以函数()222f x x x b =++图像上存在两点关于直线y x =对称，令:l y x m =-+由2223022y x m x x b m y x x b=-+⎧⇒++-=⎨=++⎩ 设()11,M x y 、()22,N x y 为直线与抛物线的交点，线段MN 中点为(),E E E x y ，所以()1298032b m x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，所以33,44E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，而E 在y x =上，所以32m =-，从而232302x x b +++=在[]1,0-有两不等的实数根， 令()23232h x x x b =+++，所以()()39802110132,2830023104b h b b h b ⎧⎛⎫∆=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=+≥⎪⎪⎡⎫⇒∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪=+≥⎪⎪⎪-<-<⎪⎩。
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含答案
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷2020.07一. 填空题1. 若一个实系数一元二次方程的一个根是112i z =+，则此方程的两根之积为2. 1−的平方根为3. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，3AB =，14AA =，则11A C 与1B C 所成角的余弦值为4. 262()x x−的二项展开式中3x 项的系数为5. 设A 、B 是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且 ||1AB =，则A 、B 两点的球面距离为6. 在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有 种7. 由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为8. 请列举出用0、1、2、3、4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的， 且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是二. 选择题9. 复数i a b +（,a b ∈R ）和i c d +（,c d ∈R ）的积是实数的充要条件是（ ）A. 0ad bc +=B. 0ac bd +=C. ac bd =D. ad bc =10. ①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行； ③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行； 以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题11.（1）设*,m n ∈N ，m n ≤，求证：1111m m n n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：2321n n >+（3n ≥，*n ∈N ）.12. 如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=，将△ABD 沿BD 翻折，使点A 移至点P .（1）求证：BD PC ⊥；（2）若二面角P BD C −−的平面角为60°，求PC 与平面BCD 所成角的大小.13. 如图，我们知道，圆锥是Rt △AOP （及其内部）绕OP 所在的直线旋转一周形成的几 何体，我们现将直角梯形11AOO A （及其内部）绕1OO 所在的直线旋转一周形成的几何体称 为圆台，设1O 的半径为r ，O 的半径为R ，1OO h =.（1）求证：圆台的体积3313R r V h R rπ−=⋅−； （2）若2R =，1r =，3h =，求圆台的表面积S .14. 现新定义两个复数111i z a b =+（11,a b ∈R ）和222i z a b =+（22,a b ∈R ）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212i z z a a b b ⊗=+.（1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证： 1231213()z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；（2）设运算÷为运算⊗的逆运算，请推导运算÷的运算法则.。
2019-2020学年下海市名校数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年下海市名校数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1 B．1-C．2-D．2【答案】A 【解析】 【分析】先根据()f x 的单调性确定出最小值从而确定出1x 的值，再由不等式即可得到2x 的范围，根据二次函数零点的分布求解出a 的取值范围. 【详解】 因为()()()1112,22x f x x x x +'=-=∈-+∞++， 所以当()2,1x ∈-- 时，0fx，当()1,x ∈-+∞时，0fx ，所以()f x 在()2,1--上递减，在()1,-+∞上递增，所以()()min 10f x f =-=，所以11x =-， 又因为121x x -≤，所以220x -≤≤，因为()2244g x x ax a =-++对应的()2444a a ∆=--，且()g x 有零点，（1）当()24440a a ∆=-->时，2a >+2a <-，所以()()200020g g a -≥⎧⎪≥⎨⎪-≤≤⎩，所以88044020a a a +≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，所以12a -≤<-（2）当()24440a a ∆=--=时，2a =+2a =- 此时[]22,0x a =∈-，所以2a =-综上可知：12a -≤≤-min 1a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．714B．4221C．36D1841【答案】A【解析】【分析】以A为坐标原点，以AB，AD，1AA为x，y，z轴正向建系，设12AA=，(0,2,)N a，(2,1,0)E,1(0,0,2)A,1(2,1,2)A E=-,设11A M t A E=，得(2,,22)M t t t-，求出2MN取最小值时t值，然后求1,AM CD的夹角的余弦值．【详解】以A为坐标原点，以AB，AD，1AA为x，y，z轴正向建系，设12AA=，(0,2,)N a，(2,1,0)E,1(0,0,2)A,1(2,1,2)A E=-,设11A M t A E=，由11AM AA A E=+得(2,,22)M t t t-，则2222222164(2)(22)5(22)55MN t t t a t t a⎛⎫=+-+--=-++--⎪⎝⎭，当25220tt a⎧-=⎪⎨⎪--=⎩即25t=，65a=时，2MN取最小值165.此时1(2,0,2)CD=-，4262,,(2,1,3)5555AM⎛⎫==⨯⎪⎝⎭，令(2,1,3)n=．得11117cos,cos,1422n CDAM CD n CDn CD⋅<>=<>===⨯．故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN的取最小值时M的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．3．已知函数1()e ln(1)1x x f x ae x -=-+-存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1eln2-∞+ B ．()-eln 2,+∞ C ．(),eln2-∞- D ．()1eln2,++∞【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，求得导数，构造1xy e x =--，求得导数，判断单调性，即可得到()g x 的单调性，可得()g x 的范围，即可得到所求a 的范围． 【详解】由题意，函数1()e ln(1)1x x f x aex -=-+-，令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，则()111(1)x xx e e x g x ee x e x ---'=-+=⋅++， 由1xy e x =--的导数为1xy e =-， 当1x >时，110x e e ->->，则函数1xy e x =--递增，且10xy e x =-->，则()g x 在(1,)+∞递增，可得()()11ln 2g x g e >=+，则1ln 2a e >+， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A ．5种 B ．4种C ．9种D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分成两类方法相加. 【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C. 【点睛】本题考查分类加法计数原理.5．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,32a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.6．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A ．349B ．198C ．197D ．350【答案】A 【解析】【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ，求出()P A 和()P AB ，即可求得答案. 【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ； 则949394936(),()100991009998P A P AB =⨯=⨯⨯ ∴()63(|)()9849P AB P B A P A === 故选：A. 【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-= D ．()()22233x y -++=【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，， 以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=． 故选:A. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.8．已知椭圆22214x y a +=，对于任意实数k ，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线:1l y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ） A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=【答案】D 【解析】分析：当l 过点10-（，）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l l 过点（1，0）时，直线l 和选项D 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同， 当k=0时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同．排除A 、B 、D ． 详解：由数形结合可知，当l 过点10-（，）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l 过点（1，0）时，直线l 和选项C 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选C ． 当0k =时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选B ． 直线l l 斜率为k ，在y 轴上的截距为1；选项D 中的直线20kx y +-=斜率为k -，在y 轴上的截距为2，这两直线不关于x 轴、y 轴、原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等． 故选C ．点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．9．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是（ ）A ．23B ．14C ．13D ．34【答案】C 【解析】 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A ，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ，则p+2p=3p=1， 解得p=13，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上， 则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B ，则对应的概率为23×23×23=827， ②若先按顺时针开始从A→C ，则对应的概率为13×13×13=127，则概率为827+127=927=13， 故选：C. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线22(>0)y px p =，弦AB 过焦点，ABQ △为阿基米德三角形，则ABQ △的面积的最小值为（ ）A ．22pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的知识，可得1AQ BQ k k ⋅=-，即三角形ABQ △为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线AB 垂直x 轴时，面积取得最小值2p . 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，过A ，B 的切线交于Q ， 直线AB 的方程为：2px my =+， 把直线AB 的方程代入22(>0)y px p =得：2220y pmy p --=，所以22121212,,24p y y pm y y p x x +==-=，则2||2(1)AB p m ==+，由导数的知识得：AQ BQ k k ==所以1AQ BQ k k ⋅=-，所以AQ BQ ⊥，所以222||||||AQ BQ AB +=，因为222221111||||(||||)||[2(1)]2444S AQ BQ AQ BQ AB p m =⋅≤+==+，当0m =时，可得S 的最大值为2p ，故选B. 【点睛】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线AB 过抛物线的焦点，则切线AQ 与切线BQ 互相垂直，能使运算量变得更小. 11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]36【答案】B 【解析】因为32x ππ<<，所以33323x ππωππωπω-<-<-，由正弦函数的单调性可得32{33232ππωπωπππ-≥-≤，即1132{313232ωω-≥-≤，也即56{31126ωω≥≤，所以51169ω≤≤，应选答案B 。
2019-2020学年下海市静安区数学高二下期末考试试题含解析
2019-2020学年下海市静安区数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数f(x)＝e x (x －b)(b∈R)．若存在x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b 的取值范围是( ) A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．35,26⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．2eC ．2e D ．1e4．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.根据2K 表得到下列结论，正确的是（）A ．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”5．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.96．已知i 为虚数单位，复数z 满足11iz i+=-，则复z =（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -7．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3329．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K 2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 10．已知函数()21x mf x -=-为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f = ，()2c f m =，则,,a b c的大小关系为 ( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11． “所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理 A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大小前提不一致D ．错误，因为大前提错误12．已知二项式2012(2)(1)(1)(1)n nn x a a x a x a x +=+++++++L ，且16a =，则12n a a a +++=L ( )A ．128B ．127C ．96D ．63二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5,则 ɑ=______________ 14．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．15．在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得222sin 1sin 2sin 89+++=o o o L ________．16．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x20ax dx =⎰________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），A ，B 是C 上的动点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的极坐标方程和点D 的直角坐标； （2）利用椭圆C 的极坐标方程证明2211OAOB+为定值.18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线22x ty t m=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0m >）交于点A ，与曲线C 交于点B （异于极点），且8OA OB ⋅=，求m .19．（6分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 20．（6分）已知函数()()22f x x x a x R =++-∈． （1）当0a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立，求实数a 的取值范围． 21．（6分）已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.22．（8分）已知矩阵A ＝12⎡⎢⎣21⎤⎥⎦，向量93α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α； （2）求A 5α的值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】先求得的共轭复数z ，由此判断出其对应点所在象限. 【详解】依题意1z i =+，对应点为()1,1，在第一象限，故选A. 【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 2．A 【解析】'()(1)x f x e x b =-+，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()0f x xf x +>，即存在1[,2]2x ∈，使得()(1)0xxe x b xe x b -+-+>，即221x x b x +<+在1[,2]2恒成立，令221(),[,2]12x x g x x x +=∈+，则2222'()0(1)x x g x x ++=>+，所以()g x 在1[,2]2上单调递增，所以max8()(2)3g x g ==，故83b <，所以b 的取值范围是8(,)3-∞，故选A. 3．A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可.【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立， 所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A 【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题. 4．C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断得解. 【详解】因为7.8 6.635> ，根据2K 表可知；选C. 【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.5．D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤． 详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选：D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式． 【详解】 解：复数11i z i+=-(1)(1)2(1)(1)2i i ii i i ++===-+， 故选：C ． 【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题． 7．D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.8．B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力. 9．B 【解析】 【分析】由27.245K ≈，结合临界值表，即可直接得出结果. 【详解】由27.245 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B 【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型. 10．C 【解析】试题分析：因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，21210x mx mx m x m m ---∴-=-∴--=-∴=()()21xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞上单调递增，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====，因为220log 3log 5<<，c a b ∴<<，故选C ．考点：函数的单调性【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数m 的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小． 11．A 【解析】 【分析】根据三段论定义即可得到答案. 【详解】根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A. 【点睛】本题主要考查逻辑推理，难度不大. 12．D 【解析】 【分析】把二项式(2)nx +化为[1(1)]n x ++，求得其展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+，求得6n =，再令0x =，求得01264n a a a a ++++=L ，进而即可求解． 【详解】由题意，二项式(2)[1(1)]n nx x +=++展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+， 令1r =，可得112(1)n T C x =+，即16n C =，解得6n =， 所以二项式为66(2)[1(1)]x x +=++，则0061a C ==， 令11x +=，即0x =，则6012264n a a a a ++++==L ，所以1263n a a a +++=L ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式(2)[1(1)]nnx x +=++，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．-1 【解析】分析：展开式2x 的系数为()51x +的二次项系数，加上ax -与()51x +展开式中x 的系数乘积的和，由此列方程求得a 的值.详解：()()()()523451111510105ax x ax x x x x x-+=-+++++，其展开式中含2x 项的系数1055a +=， 解得1a =-，故答案为1-.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求某一项的系数，是常见的题目.142 【解析】 【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】复数z 满足方程||2z i +=， 设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2. 【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 15．8944.5()2或 【解析】令222sin 1sin 2sin 89S =+++o o o L ， 则：222sin 89sin 88sin 1S =+++o o o L ，两式相加可得：()()()2222222sin 1sin 89sin 2sin 88sin 89sin 189S =++++++=o oo oo oL , 故：44.5S =，即222128944.5sin sin sin ︒︒︒+++=L . 16．13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===L ， 令1r =，可得5x5156a C=，5= 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）2223sin 4ρρθ+=，(2,；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可求出椭圆C 的极坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求出点D 的直角坐标即可；（2）利用（1）中椭圆C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据极坐标系中ρ和θ的定义，结合三角函数诱导公式即可证明. 【详解】（1）由题意可知，椭圆C 的普通方程为2214x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入椭圆C 的普通方程可得， 椭圆C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=， 因为点D 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以4cos 34sin3x y ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点D的直角坐标为(2,.（2）证明：由（1）知，椭圆C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=， 变形得22413sin ρθ=+，由OA OB ⊥，不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以2222121111OAOBρρ+=+222213sin 13sin 23sin 3cos 524444πθθθθ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=+==， 所以2211OAOB+为定值54. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及利用极坐标系中ρ和θ的定义求解椭圆中的定值问题；考查逻辑推理能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于中档题.18． (1)24y x =. (2)2m =. 【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷(pdf解析版)
x 0.85a 60 a 50 1.25a 30 1.5a 30 1.75a 20 2a 10 1.1925a . 200
18．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E 、 F 分别是边 AB 及 BC 的中点，将 △AED 、 △BEF 及 △DCF
出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
60
50
30
30
20
10
（1）记 A 为事件“一线保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P A 的估计值；
（2）求续保人本年度平均保费的估计值.
解：（1）该险种的 200 名续保中事件 A 的人数为： 60 50 110 ， PA的估计值为： 110 11 .
200 20
由直线和平面平行性质定理可知，“直线 l // 平面 ”则经过直线 l 的平面和平面 相交，那么直线 l 和交线平
行，所以能得出“直线 l 平行于平面 上的一条直线”故“直线 l 平行于平面 上的一条直线”是“直线 l // 平
面 ”必要条件.
14．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 AB a ， AD b ， AA1 c ，
7 解：设 AB a ，则 AC 2a ，因为 APC 60 ，所以 PA PC 2a
过 A 作 AE PB ，垂足为 E ，连接 CE ，则根据 PAB PCB ，可得 CE PB
所以 AEC 为二面角 A PB C 的平面角，
AB a 在 PAB 中， cosPBA 2 2 2 ，
为 ai i 1, 2,...,120 ，则 a1 a2 ... a120 ______.