高中数学人教B版选修2-2同步练习： 3.1 第2课时复数的几何意义
第三章 3.1 第2课时一、选择题1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1和4D ．－1和6 [答案] C[解析] 由题意解得m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.故选C.2．(2013·福建文)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限.3．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45D ．x <－45或x >2 [答案] A[解析] 由(x －1)2＋(2x －1)2<10，解得－45<x <2.故选A. 4．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确； ③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1、b 1、a 2、b 2∈R )若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.5．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[答案] B[解析]在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y 轴对称．6．在下列结论中正确的是()A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴B．任何两个复数都不能比较大小C．如果实数a与纯虚数a i对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D．－1的平方根是i[答案] A[解析]两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，a i是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.7．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1C．a＝2或a＝0 D．a＝0[答案] D[解析]由题意知a2－2a＝0且a2－a－2≠0，解得a＝0.8．复数z1＝a＋2i (a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析]∵|z1|<|z2|，∴a2＋4<5，∴a2＋4<5，∴－1＜a＜1.故选C.二、填空题9．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.[答案]±15－8i[解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∴a 2＝225.a ＝±15.则z ＝±15－8i.10．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.[答案] 3i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝3，∴a 2＋b 2＝9.又w ＝z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＋3≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠－3， 又a 2＋b 2＝9，∴a ＝0，b ＝3.11．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.三、解答题12．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，∴z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>04m 2－8m ＋3<0，解得－1＋52<m <32. 即实数m 的取值范围是－1＋52<m <32.一、选择题1．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.2．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i [答案] C[解析] 向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A ′对应复数2＋i ，又O ′A ′→＝OA →，∴O ′A ′→对应复数为1＋i.故选C.3．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数[答案] C[解析] ∵2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴排除A 、B 、D.故选C.4．若cos2θ＋i(1－tan θ)是纯虚数，则θ的值为( )A ．k π－π4(k ∈Z ) B ．k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π2＋π4(k ∈Z ) [答案] A[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝0 ①1－tan θ≠0 ② ∴选项B 、C 不满足②.D 中若k 为偶数(如k ＝0)也不满足②.故选A.二、填空题5．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i(tan B －cot A )的对应点位于复平面的第______象限.[答案] 二[解析] 由于0<A <π2，0<B <π2且A ＋B >π2∴π2>A >π2－B >0， ∴tan A >cot B ，cot A <tan B ，故复数z 对应点在第二象限．6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是____________．[答案] 15[解析] ∵log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，整理得log 22(m 2－3m －3)(m －3)2＝0， ∴2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9，即m 2＝15，m ＝±15.又 ∵m －3>0且m 2－3m －3>0，∴m ＝15.7．复数z 满足|z ＋3－3i|＝3，则|z |的最大值和最小值分别为________．[答案] 33， 3[解析] |z ＋3－3i|＝3表示以C (－3，3)为圆心，3为半径的圆，则|z |表示该圆上的点到原点的距离，显然|z |的最大值为|OC |＋3＝23＋3＝33，最小值为|OC |－3＝23－3＝ 3.三、解答题8．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )．(1)若z 是实数，求m 的值；(2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．[解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0. (3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. 9．已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？[解析] (1)|z 1|＝|3＋i| ＝(3)2＋12＝2|z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝1. ∴|z 1|＞|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部所有点组成的集合． |z |≤2表示圆|z |＝2内部所有点组成的集合， ∴1≤|z |≤2表示如图所示的圆环．。
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 3.1.3 复数的几何意义
一、选择题1．在复平面内，复数z＝i＋i2表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝i＋i2＝－1＋i，显然点(－1,1)在第二象限．【答案】 B2．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于()对称．A．实轴B．一、三象限的角平分线C．虚轴D．二、四象限的角平分线【解析】复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为z1(1，3)．复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为z2(1，－3)．点z1与z2关于实轴对称，故选A.【答案】 A3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i【解析】因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.【答案】 C4．(2013·徐州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有() A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】 设z ＝5＋b i(b ∈R )，则|z |＝25＋b 2， 又|4－3i|＝42＋(－3)2＝5， ∴25＋b 2＝5，∴b ＝0，故选A.【答案】 A5．(2013·石家庄高二检测)复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】 由复数z 的对应点在虚轴上知a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，故选D.【答案】 D二、填空题6．复数z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点在直线x ＋y －4＝0上，则实数m 的值为________．【解析】 由题意知点(m ＋1，m －1)在直线x ＋y －4＝0上，∴(m ＋1)＋(m －1)－4＝0，∴m ＝2.【答案】 27．(2013·开封高二检测)已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________．【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|三、解答题9．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【解】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面上对应点的坐标为(2m,4－m 2)．(1)若点(2m,4－m 2)在虚轴上，则有2m ＝0，即m ＝0.(2)若点(2m,4－m 2)在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧2m <0，4－m 2<0∴m <－2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点之间的距离．【解】 因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，所以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量OA →＋OB →对应的复数是2，又BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以BA →对应的复数是－8－2i ，A ，B 两点之间的距离为|BA →|＝(－8)2＋(－2)2＝217.11．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．【解】 |z |＝(1＋cos α)2＋(sin α)2＝2＋2cos α＝2|cos α2|，因为π<α<2π， 所以π2<α2<π，所以cos α2<0，所以|z |＝－2cos α2.。
高中数学选修2-2学案5：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义教材新知知识点 复数的几何意义提出问题平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应． 问题1：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？导入新知1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←−−−→一一对应对应平面向量内的点 ； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r ＝(a ，b )． 3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ uuu r ，则OZ uuu r 的模叫做复数z 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|z |＝a 2＋b 2.化解疑难探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ uuu r 之间的关系可用如下图表示：注意：复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应点的坐标不是(a，b i)，而是(a，b)，做题时要注意这一点．常考题型题型一复数与复平面内点的一一对应例1实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限？(2)位于第四象限？(3)位于直线x－y－3＝0上？类题通法探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z＝a＋b i(a，b∈R)的点，则(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．活学活用1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点：(1)在虚轴上，求复数z；(2)在实轴负半轴上，求复数z.题型二复数与平面向量的一一对应例2 (1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA u u u r ，OB uuu r 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA u u u r 对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.①求向量AB u u u r ，AC u u u r ，BC uuu r 对应的复数；②判定△ABC 的形状．类题通法复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．活学活用2.在复平面内，O 是原点，向量OA ―→对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB ―→对应的复数；(2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．题型三 复数模的计算例3 求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．类题通法复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．活学活用3.已知复数z＝3＋a i，且|z|＜4，求实数a的取值范围．随堂即时演练1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠23．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋a i在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.4．已知3－4i＝x＋y i(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－y i|，|y＋2i|的大小关系为________．5．在复平面内画出复数z1＝12＋32i，z2＝－1，z3＝12－32i对应的向量1OZu u u u r，2OZu u u u r，3OZu u u u r，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．——★参考答案★——问题1：[答案]一一对应．问题2：[答案]一一对应．问题3：[答案]由问题1、问题2可知能一一对应．导入新知1． 虚轴 实数 原点2． (1)Z (a ，b )例1 解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0， 即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．活学活用1.解：(1)若复数z 对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1，或m ＝2，此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0， 解得m ＝1，所以z ＝－2.题型二 复数与平面向量的一一对应例2 (1) [答案]B[解析]向量OA u u u r ，OB uuu r 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OAu u u r ＝(2，－3)，OB uuu r ＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA u u u r ＝OA u u u r －OB uuu r ＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA u u u r 对应的复数是5－5i.(2)解：①由复数的几何意义知：OA u u u r ＝(1,0)，OB uuu r ＝(2,1)，OC u u u r ＝(－1,2)，∴AB u u u r ＝OB uuu r －OA u u u r ＝(1,1)，AC u u u r ＝OC u u u r －OA u u u r ＝(－2,2)，BC uuu r ＝OC u u u r －OB uuu r ＝(－3,1)，∴AB u u u r ，AC u u u r ，BC uuu r 对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②∵|AB u u u r |＝2，|AC u u u r |＝22，|BC uuu r |＝10，∴|AB u u u r |2＋|AC u u u r |2＝|BC uuu r |2，∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．活学活用2. 解：(1)设向量OB ―→对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R)，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1)．根据对称性可知x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R)，则点C 的坐标为(x 2，y 2)， 由对称性可知x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.例3 解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ， ∴|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|. 活学活用3.解：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝32＋a 2，由已知得 32＋a 2＜4， ∴a 2＜7，即－7＜a ＜7，∴a ∈(－7，7).随堂即时演练1．[答案]B[解析]实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限．2．[答案]A[解析]∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.3．[答案]5[解析]复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 4．[答案]|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|[解析]由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，得x ＝3，y ＝－4， 而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20. ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.5．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32， (－1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r ，3OZ u u u u r 如图所示． |z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义课时目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之 间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方 法．1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点__________或向量__________表 示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ __________.一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i2．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆5．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)6．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取 值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)7．复数z ＝3＋4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则向量OZ 1→对应的复数为________． 8．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．9．已知复数3＋i 、2－i 在复平面内对应的点为A 、B ，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上； (2)实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .11.(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小；(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．能力提升12．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答案知识梳理1．实轴 虚轴 原点 2．Z (a ，b ) OZ → 3.a 2＋b 2 作业设计1．C [复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标 公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.] 2．D3．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0，∴点在第四象限．]4．A [由|z |2－2|z |－3＝0解得： |z |＝3或|z |＝－1(舍)，故选A.] 5．C [∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.]6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．－3－4i解析 由题意Z 点的坐标为(3,4)， 点Z 关于原点的对称点Z 1(－3，－4)， 所以向量OZ 1→对应的复数为－3－4i. 8．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i. 9．2解析 ∵A (3,1)，B (2，－1)，∴k AB ＝－1－12－3＝2.10．解 (1)若复数z 对应的点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝ 6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上时， m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2， ∴复数z ＝0. 11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32，∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.(2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)． 12．D [∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．] 13．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝－3.因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。
2019人教版高中数学选修2-2学案第3章3.1-3.1.2复数的几何意义含解析
第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义A 级 基础巩固一、选择题1．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数解析：显然z 是非负实数．答案：D2．当0＜m ＜1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：当0＜m ＜1时，1＜m ＋1＜2，－1＜m －1＜0，所以z 对应的点在第四象限．答案：D3．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1，3)D ．－1＋3i解析：设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3， 所以复数z 对应的点为(－1，3)，所以z ＝－1＋3i.答案：D4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 对应点的轨迹是1个圆．答案：A5．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.答案：B二、填空题6．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．解析： Z 1与Z 2的坐标分别为(1，－1)，(3，－5)，所以|Z 1Z 2|＝（1－3）2＋（－1＋5）2＝2 5.答案：2 57．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．解析：由题意可知z ＝a ＋i.根据复数的模的定义，得|z |＝a 2＋1，而0<a <2，故1<|z |< 5.答案：(1，5)8．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以z ＝i. 答案：i三、解答题9．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R)．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值． 解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38. 即a 的值为－38. B 级 能力提升1．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，所以x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2. 答案：C2．若复数(k －3)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是__________________．解析：依题意，有k－3＜0且k2－4＞0，解得k＜－2或2＜k＜3.答案：(－∞，－2)∪(2，3)3．设z为纯虚数，且满足|z＋1|＝|－2＋i|，求复数z.解：因为z为纯虚数，所以可设z＝a i(a∈R，a≠0)，所以|z＋1|＝|a i＋1|＝a2＋1.又|－2＋i|＝（－2）2＋12＝5，所以a2＋1＝5，解得a＝±2，所以z＝2i或z＝－2i.。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 3-1 复数的几何意义
§3.1.2 复数的几何意义学习目标学习过程一、学情调查，情景导入（预习教材P 52~ P 53，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、问题展示，合作探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数3复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？三、达标训练，巩固提升1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4. 若1z =+，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <>（3）0,0a b =≤ （4）0b >四、知识梳理，归纳总结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义； 3．复数的模.五、预习指导，新课链接1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？。
高中数学选修2-2课时作业10：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R2．已知复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，集合A ＝{}－1，0，1，2，B ＝{}－2，－1，1.若a ，b ∈A ∩B ，则|z |等于( )A ．1B.2 C ．2 D ．43．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u r 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x的对称点为点B ，则向量OB uuu r 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆二、填空题6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．8．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.三、解答题9．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点：(1)位于虚轴上？(2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？10．已知复数z＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．——★ 参 考 答 案 ★——1．[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．[答案]D2．[解析]因为A ∩B ＝{}－1，1，所以a ，b ∈{}－1，1，所以|z |＝a 2＋b 2＝ 2.[答案]B3．[解析]因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB uuu r 对应的复数为－2＋i.[答案]B4．[解析]由23<m <1，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0， ∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．[答案]D5．[解析]因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又因为a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．[答案]C6．[解析]由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2， 所以1＜a 2＋1＜5，故1＜a 2＋1＜ 5.[答案](1，5)7．[解析]由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ， 解得m ＝9.[答案]98．[解析]法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，等式两边取模，得|z |＝|z |－12＋12.两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.[答案]i9．解：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4， 即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。
高中数学选修2-2课时作业13：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] A [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] C[解析] ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系[答案] B[解析] ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数[答案] A[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数模的定义与应用题点 利用模的定义求复数[答案] D[解析] 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] 5[解析] 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形[答案] (x －2)2＋y 2＝8[解析] 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系[答案] 3＋4i[解析] 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模[答案] ⎣⎡⎭⎫322，3 [解析] 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数解 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z－1|＝|a i－1|＝a2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a2＋1＝2，解得a＝±1，所以z＝±i.13．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．考点复数的几何意义题点复数的模及其应用解方法一∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7)．方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－7<a<7.四、探究与拓展14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)，∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2
结论： 1.减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义 复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？ 提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要 条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d.
类型一 复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以 表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以 表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以 表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
高中数学人教B版选修2-2练习课件：3.1.2 复数的几何意义
x＋1＝2， 2 设 D 点的坐标为(x，y)，则 y＋0 3 ＝2， 2 即 D 点的坐标为(3,3)． ∴D 点对应的复数为 3＋3i.
x＝3， ∴ y＝3.
→ → → 解法二：由已知，得OA＝(0,1)，OB＝(1,0)，OC＝(4,2)， → → ∴BA＝(－1,1)，BC＝(3,2)． → → → ∴BD＝BA＋BC＝(2,3)． → → → ∴OD＝OB＋BD＝(3,3)． ∴点 D 对应的复数为 3＋3i.
课后提升训练
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解析：复数不能比较大小，排除选项 A，B. 又|z1|＝ 52＋32，|z2|＝ 52＋42. ∴|z1|<|z2|.故选 D.
答案：D
• 4．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点 到原点的距离为__________．
解析：∵|z|＝ －52＋－122＝13， ∴对应点到原点的距离为 13.
→ → 2．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为( A．0 C．－3i B．－3 D．3
)
→ 解析：由OZ＝(0，－3)，得点 Z 的坐标为(0，－3)， → ∴OZ对应的复数为 0－3i＝－3i.故选 C.
答案：C
知识点二
复数的模
• 3.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式 正确的是( ) • A．z1>z2 B．z1<z2 • C．|z1|>|z2| D．|z1|<|用
• 5.在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B， C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解法一：由已知，得点 A，B，C 的坐标分别为 A(0,1)， 3 B(1,0)，C(4,2)，则 AC 的中点为 E(2，2)． 由平行四边形的性质，知 E 也是 BD 的中点．
2019-2020学年数学选修2-2人教B版新素养同步练习：3.1.3 复数的几何意义应用案巩固提
姓名，年级：时间：[A 基础达标]1．下列不等式正确的是（）A．3i＞2iB．|2＋3i｜＞|1－4i|C．|2－i|＞2D．i＞－i解析:选C。
两虚数不能比较大小,A、D错误；又|2＋3i|＝错误!＜|1－4i｜＝错误!,B不正确，故选C.2．给出复平面内的以下各点:A(3，1)，B(－2，0），C（0，4)，D（0，0)，E（－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( ）A．1 B．2C．3 D．4解析:选C。
A,C,E三点对应的复数分别为3＋i，4i,－1－5i,是虚数，B，D对应的是实数，因此共有3个点对应的复数为虚数．3．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三角限D．第四象限解析：选D.因为错误!<2〈π,所以sin 2>0,cos 2<0。
所以复数z在复平面内对应的点(sin 2，cos 2）位于第四象限．4．在复平面内对应于复数a＋b i和－a＋b i(a,b∈R）的两点的关系是（）A．关于虚轴对称B．关于实轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选A.a＋b i对应于点(a，b），－a＋b i对应于点(－a,b）．又（a，b）与(－a，b）关于虚轴对称，所以选A。
5．已知0<a<2，复数z＝a＋i（i为虚数单位），则｜z|的取值范围是( ）A．(1,3) B．（1，5)C．(1，5) D．(1,错误!）解析:选C。
|z|2＝a2＋1，因为0<a<2，所以1〈｜z｜2〈5,所以1〈｜z|<错误!,故选C.6．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2错误!i的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．解析:由题意得(m－3,2m)在直线y＝x上,则有2错误!＝m－3，解得m＝9。
答案：97．已知复数a＋i，2－i在复平面内对应的点分别为A，B，若直线AB的斜率为－1，则a ＝__________．解析:易知A（a，1)，B（2,－1）,故k AB＝错误!＝－1⇒a＝0.答案:08．在复平面内,O为坐标原点，向量错误!对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量错误!对应的复数为________．解析：因为点B的坐标为（3，－4)，所以点A的坐标为（－3，4），所以点C的坐标为(3,4），所以向量错误!对应的复数为3＋4i.答案:3＋4i9．实数m取什么值时，复数z＝m（m－1）＋（m－1）i.（1）表示复数z的点位于第一象限；（2)表示复数z的点位于直线y＝2x上？解：（1）由表示复数z的点位于第一象限，可得错误!解得m〉1，即当m〉1时，表示复数z的点位于第一象限，故m的取值范围是(1，＋∞）；(2）由表示复数z的点位于直线y＝2x上，可得m－1＝2m（m－1），解得m＝1或m＝错误!.即当m＝1或m＝12时，表示复数z的点位于直线y＝2x上．10．已知复数3x＋2y＋（x2＋y2－1)i(x，y∈R)是一个实数，试在复平面内画出复数z＝x ＋y i所对应的点Z构成的图形．解：由于3x＋2y＋(x2＋y2－1)i（x，y∈R)是实数，则有x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1,所以复数z＝x＋y i所对应的点Z构成的图形是单位圆．如图所示．［B 能力提升］11．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A。