人教版数学必修四第一章综合测试

第一章 平面向量

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法正确的是( ) A ．向量可以比较大小

B ．坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量

C ．向量就是有向线段

D ．距离、密度和时间都不是向量 解析：

答案： D

2．右图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →

＝( )

A.OH →

B.OG →

C.FO →

D.EO →

解析： 利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即可发现OP →＋OQ →＝FO →

. 答案： C

3．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →

D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b

解析： A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →

，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．

答案： D

4．设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →

等于( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )

D ．(－1＋m ，－7＋n )

解析： AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝(1＋m,7＋n )，而DA →＝－AD →

. 答案： B

5．已知A (4,6)，B ⎝

⎛⎭⎫－3，3

2，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－14

3，－3；④d ＝(－7,9)． 其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③

D ．①②③④

解析： AB →

＝⎝

⎛⎭⎫－7，－92. ∵⎝⎛⎭⎫143，3＝－23⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－23AB →

， ⎝⎛⎭⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－AB →， ⎝⎛⎭⎫－143，－3＝23AB →，

∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案： C

6．设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，则a 和b 的夹角θ等于( ) A ．45° B ．120° C ．135°

D ．165° 解析： ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22，

又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°. 答案： C

7．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →

)成立，则λ＝( )

A.12

B.13

C.23

D ．±13

解析： 由MN →＝13BC →，且BC →＝AC →－AB →

，得λ＝13.

答案： B

8．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2

D ．4

解析： 由于2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0， 即(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0.解得n ＝±3. 所以a ＝(1，±3)．所以|a |＝1＋(±3)2＝2.

答案： C

9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →

等于( )

A.43a ＋23b

B.23a ＋43b

C.23a －43b D ．－23a ＋43

b

解析： BC →＝2BD →

＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43

b .

答案： B

10．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →

，则顶点D 的坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫2，72

B.⎝⎛⎭⎫2，－1

2 C ．(3,2)

D ．(1,3)

解析： 设D (x ，y )，则BC →＝(4,3)，AD →

＝(x ，y －2)，

又BC →＝2AD →

，故⎩⎪⎨⎪⎧

4＝2x ，3＝2(y －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝7

2.

答案： A

11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )

A ．40 N

B ．10 2 N

C ．20 2 N

D.10 N

解析： 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.

答案： B

12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →

＝αOA →＋βOB →

，其中α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )

A ．3x ＋2y －11＝0

B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5

C ．2x －y ＝0

D ．x ＋2y －5＝0

解析： 设OC →

＝(x ，y )．

∵αOA →＝(3α，α)，βOB →

＝(－β，3β)， ∴αOA →＋βOB →

＝(3α－β，α＋3β)． ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3α－β，y ＝α＋3β.