导数与函数的极值、最值 (共30张PPT)
[答题启示] 对含有字母参数的函数在确定其单调性时， 一般要根据字母 的取值范围进行分类讨论， 其方法是以函数在定义域内的极值点 为分界点，把定义域划分为若干个区间，在不同区间上确定导数 的符号，对极值的确定也要根据字母的取值进行讨论．
[跟踪训练] ex 已知函数 f(x)＝ x . (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)设 g(x)＝xf(x)－ax＋1，若 g(x)在(0，＋∞)上存在极值点， 求实数 a 的取值范围．
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)， ∴g′(x)＝ex－a， ①当 a≤1 时 g′(x)＝ex－a>0， 即 g(x)在(0， ＋∞)上递增， 此时 g(x)在(0， ＋∞)上无极值点． ②当 a>1 时，令 g′(x)＝ex－a＝0，得 x＝ln a； 令 g′(x)＝ex－a>0，得 x∈(ln a，＋∞)； 令 g′(x)＝ex－a<0，得 x∈(0，ln a)． 故 g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增， ∴g(x)在(0， ＋∞)有极小值无极大值， 且极小值点为 x＝ln a. 故实数 a 的取值范围是 a>1.
1 [解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a， 若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 若 a＞0，则当 x∈0，a时，f′(x)＞0； 1 当 x∈a，＋∞时，f′(x)＜0. 1 所以 f(x)在0，a上单调递增， 1 在a，＋∞上单调递减．
1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
——[悟· 技法]—— 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
a x－a (2)由 f′(x)＝1－x ＝ x ，x>0 知： ①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数， 函数 f(x)无极值； ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－ aln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大 值．
Байду номын сангаас
微专题(六)——数学思想 ——分类讨论思想在导数中的应用 (2015· 课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范 围．
1 [解题视点] (1)对 f(x)＝ln x＋a(1－x)求导， 得 f′(x)＝x －a， 1 讨论 a 的情况判断 f′(x)＝x－a 的正负， 进而判断函数的单调性． (2)利用(1)的结论判断函数取得最值的情况，再利用最大值 1 fa>2a－2，进而求出实数 a 的取值范围．
a 解析： (1)由已知得 f(x)的定义域为 x∈(0， ＋∞)， f′(x)＝x ＋ a＋2x 2＝ x . 2x－4 当 a＝－4 时，f′(x)＝ x . ∴当 0<x<2 时， f′(x)<0， 即 f(x)单调递减； 当 x>2 时， f′(x)>0， 即 f(x)单调递增． ∴f(x)只有极小值，且在 x＝2 时，f(x)取得极小值 f(2)＝4－ 4ln 2. ∴当 a＝－4 时，f(x)只有极小值 4－4ln 2.
(2)由(1)知 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以 f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，即 6(x－1)(x＋2)＝0，解得 x＝－2 或 x＝1. 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 即 f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当 x∈(－2,1)时，f′(x)<0， 即 f(x)在(－2,1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即 f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝21， 在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－6.
考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017· 湖北省七市(州)联考)设 n∈N*，a，b∈R，函 aln x 数 f(x)＝ xn ＋b，已知曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝ x－1. (1)求 a，b； (2)求 f(x)的最大值．
a1－nln x [解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ . n＋1 x ∴f′(1)＝a，又切线斜率为 1，故 a＝1. 由曲线 y＝f(x)过点(1,0)，有 f(1)＝b＝0.故 a＝1，b＝0. 1－nln x ln x (2)由(1)知 f(x)＝ xn ，f′(x)＝ n＋1 . x 令 f′(x)＝0，即 1－nln x＝0，解得 x＝e . 当 0<x<e 时，有 f′(x)>0，得 f(x)在(0，e )上是增函数； 当 x>e 时，有 f′(x)<0，得 f(x)在(e ，＋∞)上是减函数． 1 故 f(x)在 x＝e 处取得最大值 f(e )＝ne.
ex 解：(1)f(x)＝ x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， exx－1 ∴f′(x)＝ x2 . 当 f′(x)＝0 时，x＝1. f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表： 1 x (－∞，0) (0,1) (1，＋∞) 0 f′(x) － － ＋ f ( x) 极小值 故 f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0,1)．
x－2ex＋ax＋2 x＋2 (2)g′(x)＝ ＝ x3 (f(x)＋a)． x3 由(1)知，f(x)＋a 单调递增． 对任意 a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0. 因此，存在唯一 xa∈(0,2]， 使得 f(xa)＋a＝0，即 g′(xa)＝0. 当 0<x<xa 时，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>xa 时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 因此 g(x)在 x＝xa 处取得最小值，最小值为 exa－axa＋1 exa＋fxaxa＋1 exa g(xa)＝ ＝ ＝ . 2 x2 xa xa＋2 a
考向一 利用导数研究函数的极值[自主练透型] [例 1] 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
a [解析] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－x . 2 (1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－x (x>0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x －1)，即 x＋y－2＝0.
——[通· 一类]—— 2．函数 y＝2x3－2x2 在区间[－1,2]上的最大值是________． 2 2 解析：y′＝6x －4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝3. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0， 2 8 f(3)＝－27，f(2)＝8. ∴最大值为 8. 答案：8
考向三 函数极值与最值的综合问题 [互动讲练型] x－2 x [例 3] (2016· 全国甲，理 21)(1)讨论函数 f(x)＝ e 的单 x＋2 调性，并证明：当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0； ex－ax－a (2)证明：当 a∈[0,1)时，函数 g(x)＝ (x>0)有最小 x2 值．设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
a＋2x (2)∵f′(x)＝ x ，∴当 a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 即 f(x)在 x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； a a 当 a<0 时，由 f′(x)>0 得，x>－2，∴f(x)在(－2，＋∞)上单 a a 调递增；由 f′(x)<0 得，x<－2，∴f(x)在(0，－2)上单调递减． a a a ∴当 a<0 时，f(x)的最小值为 f(－2)＝aln(－2)＋2(－2)． a a a 根据题意得 f(－2)＝aln(－2)＋2(－2)≥－a，即 a[ln(－a)－ ln2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得 a≥－2， ∴实数 a 的取值范围是[－2,0)．
——[悟· 技法]—— 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间 ( 或开区间 ) 上 的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最 值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性 和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数 的最值．
——[通· 一类]—— 3． (2017· 云南省第一次统一检测)已知常数 a≠0， f(x)＝aln x ＋2x. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于－a 时，求实数 a 的取值范围．
x x ＋ 1 e exa e ex 于是 h(a)＝ ， 由( )′＝ >0， 单调递增． 所 x a ＋2 x＋2 x＋22 x＋2 1 e0 exa e2 e2 以，由 xa∈(0,2]，得2＝ <h(a)＝ ≤ ＝4. 0＋2 xa＋2 2＋2 ex 1 e2 因为 y＝ 单调递增，对任意 λ∈(2， 4 ]，存在唯一的 xa x＋2 ∈(0,2]，a＝－f(xa)∈[0,1)，使得 h(a)＝λ. 1 e2 所以 h(a)的值域是（2， 4 ]. 1 综上，当 a∈[0,1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是（2， e2 4 ]. x
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件
x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一 利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次 函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
第三节 导数与函数的极值、最值
栏目索引
第三节 导数与函数的极值、最值
教 材
1.函数的极值与导数
研
2.函数的最值
读
总纲目录 栏目索引
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考 考点一 函数的极值问题 点 突 考点二 函数的最值问题 破 考点三 函数的极值与最值的综合应用
教材研读
教材研读 栏目索引
1.函数的极值与导数
(1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值 都① 小 ,则f(a)叫函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值
x,g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,
2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
考点突破 栏目索引
解析 由题意可得f(x)max<g(x)max,x∈(0,2].易知g(x)max=g(2)=0, f '(x)=ax-
(2a+1)+
0,
1 e
时,
f
'(x)<0,函数f(x)单调
递减;当x∈
1 e
,
时,
f
'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f
1 e
=-
1.
e
教材研读 栏目索引
6.(202X靖江高级中学阶段检测)已知函数f(x)=2f '(1)ln x-x,则f(x)的极大
值为
.
答案 2ln 2-2
解析 由题意知f '(x)= 2 f '(1)-1,令x=1,得f '(1)=2f '(1)-1,解得f '(1)=1,所以
第三节 导数与函数的极值、最值
教 材
1.函数的极值与导数
研
2.函数的最值
读
总纲目录 栏目索引
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考 考点一 函数的极值问题 点 突 考点二 函数的最值问题 破 考点三 函数的极值与最值的综合应用
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1.函数的极值与导数
(1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值 都① 小 ,则f(a)叫函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值
x,g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,
2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
考点突破 栏目索引
解析 由题意可得f(x)max<g(x)max,x∈(0,2].易知g(x)max=g(2)=0, f '(x)=ax-
(2a+1)+
0,
1 e
时,
f
'(x)<0,函数f(x)单调
递减;当x∈
1 e
,
时,
f
'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f
1 e
=-
1.
e
教材研读 栏目索引
6.(202X靖江高级中学阶段检测)已知函数f(x)=2f '(1)ln x-x,则f(x)的极大
值为
.
答案 2ln 2-2
解析 由题意知f '(x)= 2 f '(1)-1,令x=1,得f '(1)=2f '(1)-1,解得f '(1)=1,所以
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
2019-2020学年人教A版选修1-1 导数与函数的单调性、极值、最值问题 课件(40张)
又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝m1 (m＋e)． 再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e，1)． 答案：(e，1)
4.x2＋2ax6的展开式的中间项系数为 20，如 图阴影部分是由曲线 y＝x2 和圆 x2＋y2＝a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积 S＝ ________．
于是 m＝－2a73＋2，M＝42－ ，a2， ≤0a<<3a.<2，
所以 M－m＝22a7－3，a2＋≤2a7a3，<30. <a<2， 当 0<a<2 时，可知 y＝2－a＋2a73单调递减， 所以 M－m 的取值范围是287，2. 当 2≤a<3 时，y＝2a73单调递增，
所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax
－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
所以 f′(x)＝2－xb2＋1x＝2x2＋x2x－b. 因为 x＝1 是 f(x)＝2x＋bx＋ln x 的一个极值点， 所以 f′(1)＝0，即 2－b＋1＝0. 解得 b＝3，经检验，适合题意，所以 b＝3. 所以 f′(x)＝2－x32＋1x＝2x2＋x2x－3， 令 f′(x)<0，得 0<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．
则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
4.x2＋2ax6的展开式的中间项系数为 20，如 图阴影部分是由曲线 y＝x2 和圆 x2＋y2＝a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积 S＝ ________．
于是 m＝－2a73＋2，M＝42－ ，a2， ≤0a<<3a.<2，
所以 M－m＝22a7－3，a2＋≤2a7a3，<30. <a<2， 当 0<a<2 时，可知 y＝2－a＋2a73单调递减， 所以 M－m 的取值范围是287，2. 当 2≤a<3 时，y＝2a73单调递增，
所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax
－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
所以 f′(x)＝2－xb2＋1x＝2x2＋x2x－b. 因为 x＝1 是 f(x)＝2x＋bx＋ln x 的一个极值点， 所以 f′(1)＝0，即 2－b＋1＝0. 解得 b＝3，经检验，适合题意，所以 b＝3. 所以 f′(x)＝2－x32＋1x＝2x2＋x2x－3， 令 f′(x)<0，得 0<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．
则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.3.2函数的极值与导数 (共88张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学导数与极限ppt课件
lim an ＝a，读作“当
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)