高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
交错级数与任意项级数
n
2n
2 n1
(3) {S }单调有界则收敛。 2n
证: (1) 先证{S }收敛。 2n S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n 是单调递增有界数列, 故
(2) 再证{S }收敛于S。 2 n1
n1
( )n
ns
收敛， n1(ns)n绝对收敛.
(2)当 1时,
n1
( )n
ns
发散，
(3)当 1时, n1(n1s)n 交错级数，
s 1, 绝对收敛.
n1(ns)n 发散.
1 s 0, 条件收敛.
思考： 下列命题是否正确.
#2014022506
对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的“和”， 也可以按照有限个数求和的运算规律进行，比如可 以交换各项的顺序。
(2n
1
2)2
a2n2
Lebnitze条件是充分的不是必要的
判别下列级数收敛的是:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
#2014022503
2) 1 1 1 1 (1)n1 1
2! 3! 4!
n!
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是: #2014022504
（A）正确
（B）不正确
（C）不确定
绝对收敛级数与条件收敛级数的区别.
*定理8..
设pn
un
2
un
, qn
un
2
un
第7章 第3讲 交错级数和任意项级数审敛法
=1
=1
因为 = ( + 1 − )= + 1 − 1 → ∞( → ∞时),
=1
∞
所以级数 | | 发散.
=1
25
02
任意项级数审敛法
∞
( + 1 − ) .
(−1)
再考察交错级数
=1
由 +1− =
1
+1+
> 0可得:
数列 { + 1 − } 单调递减
2 →∞
∞
可知 lim ≠ 0,
→∞
故级数 (−1)
=1
1
1 2
(1 + ) 发散．
2
24
02
任意项级数审敛法
∞
例8 判别级数 (−1) ( + 1 − ) 的敛散性．
=1
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？
∞
∞
解 先考察正项级数 | | = ( + 1 − ) :
=1
∞
1
sin
1
≤ ，当 > 1时， 收敛,
证 因为
=1
∞
∞
=1
=1
sin
sin
故级数
收敛, 从而级数
绝对收敛.
18
02
任意项级数审敛法
注
∞
∞
(1)对于任意项级数 , 如果级数 收敛,
=1
∞
=1
那么级数 一定收敛, 这样可以把一大类级数的敛散
7.3任意项级数的敛散性判别
u 收敛 u 条件收敛 u 发散，
n 1 n
n 1 n
u 绝对收敛 | u
n 1 n
n 1
n
| 收敛， un收敛
n 1
n
u 收敛 u 条件收敛 u 发散，
n 1 n
n 1 n n 1
n 例： (-1) n 1
1 2 绝对收敛 n
1 n
(-1)n
n 1
条件收敛
( 1)n1 ( p 0)的敛散性。 例：判别级数 p n n 1
解： p 1时 ， | (1)
n 1
n 1
1 1 | p 收敛， 此时,原级数绝对收敛. np n 1 n
| (1) p 1时 ，
(1)n 例 判别级数 的收敛性. n 2 n ln n
解 (1)考察函数 f ( x )
1 1 1 x 1 x ( ) 2 0 2 x ln x x x ln x x ln x
1 的单调性。 x ln x
( x 2)
1 故函数 单调递减, un un1 (n 2), x ln x
n
1 0 原级数发散. 2
n
注：对于交错级数 (1)n un , 若 lim un 0, 则一定发散.
lim un 0 lim( 1) u2 n 0 lim( 1)n un 0 (1)n1un发散. n
2n n
n
n 1
例
( 1)n1 lnn 判别级数 的收敛性. n n 1
n 2 n 1 un1 un un1 ,
7.3 任意项级数敛散性的判别
lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数 当 当
x 1 x 1
x
n
lim
n
n1 x
n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时 时
原级数 原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与 有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n
k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正 项 与极限形式 级 数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法 的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1
n1
n! 5
n
发散.
( 3 )
( 1)
n1
n1
n ln n
解：对于级数 因 n ln n 再考察
un 1 n ln n
1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1
1 n
n1
发散 故
1 n ln n
n
n
un l
N,
故对 当 即
存在正整数
un l
n
n N
高等数学 数项级数的敛散性判别法 课件
定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
任意项级数敛散性的判别
n n
收敛 ， n收敛
发散 ， n收敛
4
例题
sin n 例 判别级数 2 的收敛性. n 1 n sin n 1 1 解 2 , 而 2 收敛, 2 n n n 1 n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数绝对收敛.
5
例题（证明题）
12
结论
根据比值判别法：判定 n 发散，则 n发散
n
发散时， ，但若 n可能收敛，也可能发散
13
例题（利用上述结论）
xn 例：利用上述结论判别 n的敛散性 x n 1 xn n n 1 解：考虑级数 , lim x x n lim n x n n n 1 n (1) x 1, （2） x 1, xn xn 收敛， 绝对收敛 n n xn xn 发散， 发散 n n
x 证明：任意项级数 绝对收敛，对于任意的 x. n 1 n!
解：考虑 x , 采用比值判别法 n! lim
n n
n
n 1 lim n n
故
x n 1 lim (n 1)!
n
x n 1
x n!
n
0 1
xn xn 收敛， 绝对收敛 n! n!
n 1 （－ 1 ） 发散; x 1, 条件收敛 n n
14
（3） x ＝1，x 1,
判断任意项级数的步骤
1 : lim n 0, 发散 2： lim n＝0，将 n 转化为 n
（ 1 ） n 收敛 n 绝对收敛
若用比值判别法： n发散 （2） n 发散， 直接考虑原级数 若不用比值判别法：
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专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （ ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
2. 若级数∑∞=-+-1166)2(n nn n n an 收敛，求a 。
解：∑∑∑∞=∞=-∞=-+-=+-11111666)2(66)2(n n n n nn n n n n nan n n a n ∑∑∞=∞=-+-=1111)31(61n n n na∑∞=--11)31(n n 收敛（1|31|<-），故∑∑∑∞=∞=-∞=-=--+-111111)31(6166)2(n n n n n n n n a n a n 收敛，而∑∞=11n n 发散，从而0=a 。
（倘若0≠a ，则∑∑∞=∞=⋅=11111n n n a a n收敛，矛盾）3. 判定级数∑∞=+--11)13()1(n nn 的敛散性。
解：令13-=n n a ，则0>n a ，且nea n n n 3ln 3ln ~13ln =-=，而n n 13ln >（1≥n ），∑∞=11n n 发散，故∑∞=13ln n n 发散，由比较判别法的极限形式知∑∞=1n n a 发散，级数∑∞=+-11)1(n n n a 不绝对收敛。
级数∑∞=+-11)1(n n n a 为交错级数，}{n a 单调递减且0lim =∞→n n a ，由交错级数的莱布尼兹定理知∑∞=+--11)13()1(n nn 收敛。
故级数∑∞=+--11)13()1(n n n 条件收敛。
4. 判定级数∑∞=+-121)!2()!()1(n n n n 的敛散性。
解：令)!2()!()1(21n n a n n +-=，由于 !!)!22()!2()!1()!1(lim||lim 1n n n n n n a a n n n n +++=∞→+∞→ )22)(12()1(lim 2+++=∞→n n n n41=由比值判别法知∑∞=1||n na收敛，故原级数∑∞=+-121)!2()!()1(n n n n 绝对收敛。
5. 对常数p ，讨论级数∑∞=+-+-111)1(n pn nnn 何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 解：令pn n nn a -+=1，0>n a ，则pp n nn n n n n a )1(11++=-+=212121~)111(1+=++=p pp nnn n nn下面分三种情形说明：（1）当121>+p （21>p ）时∑∞=+12121n p n收敛，由比较判别法的极限形式知∑∞=1n na收敛，原级数∑∞=+-+-111)1(n pn n nn 绝对收敛。
（2）当121≤+p （21≤p ）时∑∞=+12121n p n发散，由比较判别法的极限形式知∑∞=1n na发散，原级数∑∞=+-+-111)1(n pn n nn 不绝对收敛。
两种小情形：(i) 当1210≤+<p （2121≤<-p ）时，0lim =∞→n n a 。
令)1()(x x x x f p ++=（0>x ）由于)12)(1()(1++++='-x x p x x x x f p且01>-p x，01>++x x ，而021)12(lim >+=+++∞→p x x p x 所以x 充分大时)(x f 单调增，于是n 充分大时，)(1n f a n =单调减少，由交错级数的莱布尼兹定理知原级数∑∞=+-+-111)1(n pn nnn 收敛，从而条件收敛。
（ii ）当021≤+p 时，n 充分大时，0lim ≠∞→n n a ，原级数∑∞=+-+-111)1(n p n n nn 发散。
注：nn n n ++=-+111，nn n n -+=++1116. 设00=a ，n n a a +=+21， ,2,1,0=n ，讨论级数∑∞=---112)1(n n n a 是绝对收敛、条件收敛还是发散？ 解：00=a ，01202a a >=+=，归纳假设n n a a <≤-10，则n n a a +<+-221，n n a a +<+-221，亦即1+<n n a a ，数列}{n a 单调递增。
221<=a ，归纳假设2<n a ，则22221=+<+=+n n a a ，数列}{n a 有上界。
由单调有界定理知数列}{n a收敛，设A a n n =∞→lim ，对等式n n a a +=+21两边取极限有n n n n a a A +==∞→+∞→2lim lim 1A a n n +=+=∞→2lim 2解之得2=A 。
令n n a b -=2，由于n n n nn n a a b b --=+∞→+∞→22lim lim11nnn a a -+-=∞→222lim)22)(2()2(4limn n n n a a a ++-+-=∞→nn a ++=∞→221limnn a ∞→++=lim 2212221++=21=由比值判别法知∑∞=1n nb收敛，故原级数∑∞=---112)1(n n n a 绝对收敛。
7. （1）判定级数∑∞=-1)1(n nn的敛散性。
（2）若当∞→n 时，n a 与n1未等价无穷小，试问交错级数∑∞=-1)1(n n na 是否一定收敛？若收敛，证明之；若不一定收敛，举一发散的例子。
解：（1）数列}1{n单调递减且收敛于0，由交错级数的莱布尼兹定理知交错级数∑∞=-1)1(n nn收敛。
（2）不一定收敛。
取n na nn 1)1(1--=，则na n 1~，且 ∑∑∞=∞=---=-11)1)1(1()1()1(n n n n n nn na∑∑∞=∞=--=111)1(n n nnn ∑∞=-1)1(n nn 收敛，∑∞=11n n 发散，故∑∞=-1)1(n n na 发散。
8. 设级数∑∞=1n n a 条件收敛，极限r a a nn n =+∞→1lim存在，求r 的值，并举出满足这些条件的例子。
解：因级数∑∞=1n na条件收敛，故级数∑∞=1n na不可能是正项级数或负项级数（因为正项级数或负项级数只有可能发散或绝对收敛）。
由r a a nn n =+∞→1lim 知||||lim 1r a an n n =+∞→。
下面分三种情形说明：（1）若1||<r ，则由比值判别法知∑∞=1||n na收敛，故∑∞=1n n a 绝对收敛，与题设条件矛盾。
故1||≥r 。
（2）若1||>r ， 1||||lim 1>=+∞→r a a nn n ，当n 充分大时，数列|}{|n a 单调递增，故0||lim ≠∞→n n a ，从而0lim ≠∞→n n a ，故∑∞=1n na发散，与题设条件矛盾。
故1||=r 。
（3）若1=r ，1lim 1=+∞→nn n a a ，当n 充分大时，n a 与1+n a 同为正或同为负，级数∑∞=1n n a 不可能条件收敛。
故1-=r 。
综上得1-=r 。
如级数nn n1)1(1∑∞=-条件收敛，且1)1(1)1(lim lim 11-=-⋅+-=+∞→+∞→n n n nn n n n a a习题1. 判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛？（1）∑∞=+--11ln )1(n n nn（2）)1()1(11n n n n -+-∑∞=+（3）∑∞=-2ln )1(n nnn2. 就常数p 讨论级数∑∞=-2ln )1(n pnn n何时绝对收敛、条件收敛、发散？ 3. 就常数p 讨论级数∑∞=-+1))1(1ln(n pnn 何时绝对收敛、条件收敛、发散？努力就有收获!。