量子力学导论习题答案(曾谨言)

第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2

1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j

ljm φ，这相当于

2

1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数

jm

m m j 21

121

解：8.2节式（21a ）（21b ）:

()21),0( 21+=≠-=m m

l l j

j

j

ljm φ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+++=

+1

1121

lm lm Y m l Y m l l ()

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-++---+=+=2

1,2121,21212

1,21j j m j j m j j Y

m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-=j l

j

ljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+++--+++-++=≠-=21

,2121

,21

1122121

),0( 21

j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l

此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2

12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为

jm ∑

=

2

22112211m jm m j m j m j m j

2

12

12

12

12

1212

1211

11

11

11

1-

-

+

=

m j jm

m j m j jm

m j

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++=+=2121122121211221111111111121

121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ，

2

1

111

112212

121⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++=＋j m j jm

m j

而2

12-=m 时，

2

1

111

112212

12

1⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=-

＋j m j jm

m j

对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有

2

1

1111

11221,2

12121⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+--=-

＋j m j m

j m j

2

1

1111

11221,2

12

12

1⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=-

-

＋j m j m j m j

9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，

JM

j 2

ψ

()()212

1

2

121jm jm m m JM m j jm ψ

ψ

∑

=

（1）

利用CG 系数的对称性，证明

()

JM

j J

j JM

j p 2

2

212ψ

ψ

--=

由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数

证：由式（1），

JM

j p 2

12

ψ

()()122

1

2

121jm jm m m JM jm jm ψψ∑

=

把21m m ↔,

()()121

22

112jm jm m m JM jm jm ψ

ψ

∑

=

利用CG 系数的对称性 (

)

()()212

1

2

112212jm jm m m J

j JM m j m j ψ

ψ

∑

--=

()

JM

j J

j 2

2ψ

--= (2)

对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()

12-=--J

j ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2m

a x =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此

()()0,2,32,12 --=j j J

可验证：态JM

j 2

ψ

的总数为()12+j j 。 [()()12121

20

+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()

12=--J

j ，故J 也必须为偶数

0,2,22,2 -=j j J

9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L L =+21，s s s =+21，J s L =+（总