量子力学导论 答案
量子力学导论考试题及答案
量子力学导论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中，波函数的模平方代表什么？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的概率密度D. 粒子的能量2. 海森堡不确定性原理中，哪两个物理量不能同时准确测量？A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度3. 薛定谔方程是量子力学的哪个基本方程？A. 描述粒子运动的方程B. 描述粒子能量的方程C. 描述粒子自旋的方程D. 描述粒子相互作用的方程4. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒5. 量子力学中的“量子”一词意味着什么？A. 一个基本粒子B. 一个基本的物理量C. 一个离散的量D. 一个连续的量6. 波粒二象性是量子力学中的一个基本概念，它指的是什么？A. 粒子同时具有波和粒子的特性B. 粒子只能表现为波或粒子C. 粒子在宏观尺度下表现为波，在微观尺度下表现为粒子D. 粒子在宏观尺度下表现为粒子，在微观尺度下表现为波7. 量子纠缠是什么现象？A. 两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互作用B. 两个或多个粒子的波函数是相互独立的C. 两个或多个粒子的波函数是相互关联的D. 两个或多个粒子的动量是相互关联的8. 量子隧道效应是指什么？A. 粒子在没有足够能量的情况下也能通过势垒B. 粒子在有足够能量的情况下不能通过势垒C. 粒子在有足够能量的情况下更容易通过势垒D. 粒子在没有足够能量的情况下不能通过势垒9. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性？A. 光电效应实验B. 双缝实验C. 康普顿散射实验D. 光电效应实验和康普顿散射实验10. 量子力学中的“叠加态”指的是什么？A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子的状态是随机的D. 粒子的状态是确定的二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
2. 解释什么是量子力学的测量问题。
量子力学导论答案完整版(下)
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p-==∙μ （1） 总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R r μ+= r m R r22μ-= （5）m p +=21μ，m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙（2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p m up m u ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mp p -⨯++⨯= )2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m u m P m m u m m u m P m m u ⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m mμ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中、和的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而xX M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。
量子力学导论答案
ipx
dp ，
+∞
ϕ( p) = ψ ( x, t ) =
1 2π 1 2π
−∞
−ipx ∫ ϕ (x,0)e dx =
−∞
∫ δ ( x )e
−ipx
dx =
1 2π
，
+∞
∴
−∞
∫ ϕ ( p )e
i ( px − Et ) /
dp
（E = p
2
2m ）
= =
1 2π 1 2π
⎞ i ⎛ p2 t − px ⎟ +∞ − ⎜ ⎟ ⎜ 2m ⎠ ⎝ −∞
第一章
量子力学的诞生
⎧∞, x < 0, x > a ⎩0, 0 < x < a
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， V ( x) = ⎨ 试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有
a = n⋅
λ
2
( n = 1, 2 , 3 , )
（1） （2）
V = ∫ d 3 rψ *Vψ
2 ⎛ 2⎞ T = ∫ d 3 rψ * ⎜ − ⎟ψ ⎜ 2m ∇ ⎟ ⎠ ⎝
（势能平均值）
（2）
(动能平均值)
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
*
∇ψ ) − (∇ψ * ) ⋅ (∇ψ )
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
d ∫∫∫ τ
3
rψ *ψ
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1
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第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)(2)
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p-==∙μ （1） 总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m uR p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mr p p R -⨯++⨯= )2)(1(⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m pP u m p m m u m m p P u m p m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、和的算术表示式r i ∇-= R i ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M p ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。
曾谨言《量子力学导论》第二的课后答案(杂)
∫ =
1 2π
e imx2 / 2ℏt
+∞ −∞
dkϕ (k
)⋅
⎡ exp⎢−
⎢⎣
i
ℏt 2m
⎜⎛ ⎝
k
−
mx ℏt
2
⎞ ⎟ ⎠
⎤
⎥ ⎥⎦
（1）
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ 函数的性质，取
6
α = ℏt 2m ，
u
=
⎜⎛ k ⎝
−
mx ℏt
⎟⎞ ⎠
，
参照本题的解题提示，即得
∫ ψ (x,t) ≈
1 e ⋅ imx2 2ℏt 2π
2πm e −iπ ℏt
/
4
+∞
ϕ (k )δ
−∞
⎜⎛ ⎝
k
−
mx ℏt
⎟⎞d ⎠
k
（2）
=
m ℏt
e
−iπ
/
4
e
imx 2
/
2ℏtϕ
⎛ ⎜ ⎝
mx ℏt
⎞ ⎟ ⎠
（3）
2
ψ
(x,t) 2
≈
m ℏt
ϕ
⎛ ⎜
⎝
mx ℏt
⎞ ⎟ ⎠
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在 x 处的主要成分为 k = mx ℏt ，即
∫∫∫d 3rV2 (ψ
τ
*ψ
)
( ) ∫∫ ∫∫∫ ℏ
=− 2im S
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
⋅
� dS
+
2 ℏ
τ
d 3rV2ψ *ψ
��
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
量子力学答案完整版周世勋第三版
量子力学答案完整版周世勋第三版找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-?=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-?=?=??-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=?-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+--kT hce kThc λλ ? kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ??=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
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第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1）总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+=（4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pP m m um m p P u m pP m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z ky jx ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
）∴ =∇1r r R Mm ∇+∇1；仿此可设 =∇2r r R Mm ∇-∇1 （2）代入（1）中，得 ⎪⎭⎫⎝⎛∇+∇-∇+∇-=r R r R m M m m m M m m M i p 121221 r i ∇-= （3）()2121r r i p p P ∇+∇-=+=)2(Ri ∇-= （4）p r P R L ⨯+⨯=只要将（3）、（4）式中的p 、P 以相应的算符代入即可。
6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a ）电子偶素（positronium ，指-+-e e 束缚体系） （b ）u 原子（muonic atom ）（c ）u 子偶素（muonium ，指-+-u u 束缚体系） 解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：22412nue E n-=, p e p e m m m m u +=。
（a ）电子偶素能级 22414n ue E n-=，（2e ee e e m m m m m u =+=）（b ）u 原子能级 22412ne u E u n-=，（p u p u u m m m m u +=）（c ）u 子偶素能级22414ne m E u n-=，（2u uu u u m m m m m u =+=）6.4）对于氢原子基态，计算p x ∆⋅∆。
解： * 在求坐标系中，空间反演：r r -→（ϕπϕθπθ+→-→-,,r r ）。
氢原子基态波函数为 021301001a rea -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=πψ （1）宇称为偶。
由于均为奇宇称算符，所以 0 ,0==x p x （2） 由于100ψ各向同性，呈球对称分布，显然有222222223131pp p p r zyxzy x ====== （3）容易算出 ()τψd r r 210022⎰=⎰2-2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθπd d r d r e a r a rs i n 10230203a = （4）=2p ⎰∇-τψψd 10021002()[]⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=τψψψψd 1001001001002⎰∇=τψd 21002⎰2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ϕθθψd drd r r sin 21002202a = （5）因此 2x20a =， 022a xx x =-=∆ （6）2223a p x=，0223a p p p xx x =-=∆ （7）3=∆⋅∆x p x （8）测不准关系的普遍结论是 2≥∆⋅∆x p x （9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。
而且3很接近式（9）规定的下限2。
6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区()a r 2>（即0<-V E ）的几率。
解：氢原子基态波函数为 area -⎪⎭⎫⎝⎛=2131001πψ，22uea=，相应的能量 a eue E 222241-=-=动能 ()reaeV E r T 2212+-=-=0<-=V E T 是经典不允许区。
由上式解出为a r 2>。
因此，电子处于经典不允许区的几率为⎰⎰⎰∞-=a ar d d dr r eap 2020223sin 1ππϕθθπ（令a r 2=ξ）⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=423324ξξξd ea a 2381.0134==-e6.6）对于类氢原子（核电荷Ze ）的“圆轨迹”（指1,0-==n l n r 的轨迹），计算 （a ）最可几半径； （b ）平均半径； （c）涨落[]2122rrr -=∆解：类氢原子中电子波函数nlmψ可以表示为()()()()ϕθϕθψ,1,lm l n lm l n nlmY r u rY r R r r == （1）（a ） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ()0=r u d rd l n r （2）决定。
1-=n l 时，0=r n 。
()naZr nn eCr r u --=1,0代入（2）式，容易求得 Z a n r 02=几 （4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。
（b ）在nlmψ态下，各λr 之间有递推关系（Kramers 公式）()()[]01241212222212=-+++-+--λλλλλλrZa l rZa r rn(5)（参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197） 在（5）式中令0=λ，注意到10=r 。
可设an Z rnlm21=(6)依次再取2,1=λ，得到()[]aZ l l nrnlm13212+-=)1(22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n l a Zn n （7）（c ）()[]222213512⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=a Z l l n nr nlm())1(22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n l a Z n n n （8）因此，r 的涨落[]2122rrr -=∆Z an n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4223 （9）121222+=+=∆n n n n rr （10）可见，n 越大，r r ∆越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。
6.7）设电荷为Ze 的原子核突然发生-β衰变，核电荷变成()e Z 1+，求衰变前原子Z 中一个K 电子（s 1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子()1+Z 的K 轨迹的几率。
解：由于原子核的-β衰变是突然发生的。
可以认为核外的电子状态还来不及变化。
对于原来的K 电子，其波函数仍未 ()aZrea Z r Z -⎪⎭⎫⎝⎛=213100,πψ （1） 而新原子中K 电子的波函数应为 ()()()arZ ea Z r Z 121331001,1+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+πψ （2）将()r Z ,100ψ按新原子的能量本征态作线形展开：()()r Z Cr Z nlmnlmnlm,,100∑=ψψ （3）则衰变前的s 1电子在衰变后处于新原子的()r Znlm,1+ψ态的几率为()()210021Z Z C p nlm nlmnlm ψψ+== （4）因此，本题所求的几率为=100p ()()()()()2212262332100100411drr e aZZZ Z a r Z +-+=+ππψψ()6363321111211-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Z Z Z Z Z（5）展开时保留到第三项当1>>Z ，上式可近似取成 2100431Zp -≈ （5’）例如， 10=Z , 9932.0100≈p ；30=Z , 9992.0100≈p 。
6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为()222ra e rer V λ--=（10<<<λ） （1）a 为Bohr 半径，求价电子的能级。
提示：令()()121''+=-+l l l l λ，解出()212'12812121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=l l l λ解：取守恒量完全集为()z L L H ,,2，其共同本征函数为()()()ϕθϕθψ,,,lm Y r R r =()()ϕθ,lm Y rr u =（2）()r u 满足径向方程()Eu u r a e r e ur l l u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-22222"2212λ（3） 令 ()()121''+=-+l l l l λ （4）式（3）就可以化为 ()Eu u r e ur l l u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-222''"2212（3’） 相当于氢原子径向方程中l 换成'l 。
所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。
后者能级为an eE n 222-=， 1++=l n n r ， ,2,1,0=r n （5）将l 换成'l ，即得价电子的能级：an eE nl 2'22-=，1''++=l n n r （6）通常令 l l l ∆+='（7）1'+∆++=l r l n n l n ∆+= （8）l ∆称为量子数l 和n 的“修正数”。