量子力学导论
第三章 量子力学导论 15节 薛定谔方程3
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态),(t r →ψ在势场 ),(t r U →中随时间变化的 规律 规律；
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。
它的 正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。
3．具体的势场 ),(t r U →决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 ),(t r U → 的具体形式，只要我们知道了微观粒子初始时刻的状态),(00t r →ψ原则上说，只要通
过 薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 ),(t r →ψ。
4．薛定谔方程中有虚数单位i ，所以),(t r →ψ一般是复数形式。
),(t r →
ψ表
示概率波， 2),(t r →ψ是表示粒子在时刻t 、在空间某处出现的概率。
因而薛定谔方程所描述的态随时间变化的规律，是一种统计规律。
5．在薛定谔方程的建立中，应用了),(22
t r U p E →+=μ，所以是非相对论的结果；同 时方程不适合一切0=μ的粒子，这是方程的局限性。
能级简并度量子力学导论(1)
能级简并度量子力学导论(1)
量子力学是一门探寻微观世界的新型物理学，采用数量化的方式，研究微观粒子的性质和行为。
在量子力学中，能级简并度是一个非常重要的概念，它描述了同一个能量值下存在的不同量子态。
以下将从量子力学基本概念、量子力学中的简并现象、简并度的计算及其应用方面介绍能级简并度的相关知识。
一、量子力学基本概念
在理解能级简并度之前，需要了解一些量子力学的基本概念。
量子力学中存在波粒二象性，微观粒子既可以表现为波又可以表现为粒子。
在量子力学中，能量和动量不再是连续的，而是量子化的，取不同的离散值。
此外，根据波粒二象性，微观粒子还存在着概率性。
二、量子力学中的简并现象
简并是指在同一能级上，存在多个不同的波函数（能态），它们的能量值相同，而且不同波函数之间没有明显的区别。
量子力学中存在简并现象，是由于能级之间的距离比较小，所以不同的能态可以具有相同的能量值，这种现象在经典力学中并不存在。
三、简并度的计算及其应用
简并度是能级简并的数量，计算简并度需要观察微观粒子的对称性，从而得出相应的简并度。
在分子物理学和固体物理学中，简并度的计算是十分重要的，可以用来解释物质的性质和特性。
在分子物理学中，通过计算分子中的简并度，可以预测分子的转动和
振动模式等，进而解释分子的热力学性质及光谱特性。
在固体物理学中，通过简并度的计算，可以说明固体材料的能带结构和磁性行为等。
总之，能级简并度是量子力学中的重要概念，描述了同一能级下存在
的不同态。
在分子物理学和固体物理学等领域应用广泛，可以揭示物
质的性质和特性。
[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1
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第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
量子力学导论
量子力学导论量子力学导论量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学理论，是现代物理学中最重要和基础的学科之一。
它的诞生标志着经典物理学的破产，为我们对微观世界的认知提供了全新的视角。
量子力学最早的经典实验基础是黑体辐射实验，通过对物体发出的光的颜色和强度的研究，揭示了微观世界的奇特规律。
但在传统的经典物理学中，光被认为是一种波动现象，与物质之间没有直接的关联。
然而，20世纪初，物理学家们提出了量子力学的基本原理：波粒二象性和不确定性原理。
波粒二象性指的是微观粒子既可呈现波动性，又可表现出粒子性。
不确定性原理则表明，在测量微观粒子属性时，无法同时准确地确定位置和动量等参数。
量子力学进一步发展出薛定谔方程，该方程描述微观粒子在空间中的行为。
薛定谔方程的解即波函数，通过波函数可得到粒子的概率分布和运动规律。
量子力学的理论得到了广泛的应用，例如在固体物理、原子物理和分子物理等领域有着重要的作用。
其中，量子力学在原子核物理研究中发挥了巨大的作用，成功解释了核衰变、核物理束缚等现象。
此外，在材料科学研究中，量子力学也能够解释材料的电子结构与性质。
尽管量子力学为我们揭示了微观世界的奥秘，但它也存在一些挑战和争议。
例如，波函数坍缩问题。
在量子力学中，当观测到微观粒子时，波函数会从一个波束坍缩为一个确切的位置，这引出了一些哲学上的问题。
此外，量子力学与相对论的统一也是物理学家们长久以来的追求。
两者之间存在的矛盾和问题，尚待进一步的研究和探索。
总之，量子力学是一门令人着迷和深奥的学科，它向我们展示了微观世界的奇妙规律，也为人类在科学研究和技术应用方面带来了巨大的进步。
随着科学技术的不断发展，相信量子力学会继续为我们揭示更多微观粒子行为的奥秘。
量子力学：导论.[德]瓦尔特.顾莱纳
![量子力学：导论.[德]瓦尔特.顾莱纳](https://img.taocdn.com/s3/m/c074262abd64783e09122bdc.png)
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) 2
= − ∇ ⋅ ψ *∇ψ 2m
−ψ∇ψ *
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴ ∂ ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
1
+∞
ψ (x,0)e−ikx dx 是ψ (x,0) 的 Fourier 变换。
2π −∞
waterysun 提示：利用
( ) lim α e e iπ / 4 −iαx2 = δ x 。
α →∞ π
证：根据平面波的时间变化规律
eikx → ei(kx−ωt ) ，
ω = E = k 2 2m ，
2π
t
=
m 2π
t
exp⎢⎣⎡i⎜⎜⎝⎛
mx 2 2t
−
π 4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
ψ (x,t) 2 = m 。
2π t
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ (x,0) ，证明在足够长时间后，
ψ (x,t) =
m exp[− iπ
t
4]⋅
exp⎢⎣⎡
imx 2 2t
⎤ ⎥⎦
⋅
ϕ
⎜⎛ ⎝
mx t
⎟⎞ ⎠
∫ 式中 ϕ(k ) =
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
量子力学导论 格里菲斯
量子力学导论格里菲斯量子力学是现代物理学中的重要分支，它描述了微观世界中的粒子和它们之间的相互作用。
在这个领域的导论中，《格里菲斯量子力学导论》是一本经典教材，被广泛使用于大学物理课程中。
本文将围绕这本教材展开讨论，介绍量子力学的基本概念和原理。
让我们来了解一下量子力学的起源。
在20世纪初，科学家们发现了一系列微观现象，这些现象无法用经典物理学的理论解释。
为了解决这些问题，量子力学应运而生。
量子力学的基本假设是，微观粒子的性质不是连续的，而是以离散的能级存在。
这些能级被称为量子态，而粒子的状态则由量子态的组合来描述。
量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
根据量子力学的原理，粒子既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波动的特性。
这种波粒二象性在实验中得到了验证，例如双缝实验和康普顿散射实验。
这些实验揭示了粒子既可以像粒子一样在空间中定位，也可以像波动一样传播和干涉。
另一个重要的概念是量子力学的不确定性原理。
根据这个原理，我们无法同时准确地确定粒子的位置和动量。
这是由于测量的过程会干扰粒子的状态，使得我们无法同时获得粒子的位置和动量的准确值。
这个原理是量子力学与经典物理学的一个显著区别，它揭示了微观世界的不确定性和统计性质。
在格里菲斯的导论中，还介绍了量子力学的数学形式。
量子力学使用矩阵和波函数来描述粒子的状态和性质。
波函数是量子力学中的核心概念，它包含了粒子的所有可能状态和概率分布。
通过运算符和波函数的乘积，我们可以计算出粒子的各种物理量，例如能量、动量和角动量。
除了基本概念和数学形式，格里菲斯的导论还涵盖了量子力学的应用。
量子力学在原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域都有广泛的应用。
例如，它可以解释原子光谱、分子结构和固体电子性质等现象。
量子力学也是现代技术的基础，例如激光、半导体器件和量子计算等。
总结起来，格里菲斯的《量子力学导论》是一本系统介绍量子力学的教材，它涵盖了量子力学的基本概念、原理和应用。
量子力学导论
（2）单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
7个电子在观 察屏上的图像
100个电子在 屏上的图像
屏上出现的电子说明了电子的粒子性
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形 成了衍射图样
说明 “一个电子”就具有的波动性
（3）正确理解微观粒子的波粒二象性 1) 粒子性
2）物质世界的层次与量子力学 ①宏观、低速物体（>10-6m，布朗颗粒 ） ----牛顿力学
②微观物体（原子尺度~10-10m=1Å ） ----量子力学 ③介观物体（分子团簇~10-7~10-9m ） ----量子力学效应明显 纳米技术 ④标志量子效应的特征量 h~Planck常数 量纲=[能量]· [时间] =[动量]· [长度] =[角动量]
量子力学原子、分子、原子核、固体
量子电动力学(QED)电磁场
量子场论原子核和粒子
进一步认识的问题．．．．
交叉学科：量子化学、量子光学、量子计算、量子信息、量 子统计力学、磁性量子理论……
§11 经典物理学的困难
一. 经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相 当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
基本 数据
a 0.3μ m V 50kV
dபைடு நூலகம் 1μ m
0.05 A
o
质子、中子、原子、分子„也有波动性
德布罗意获1929年 诺贝尔物理奖 戴维逊、汤姆逊 共同获1937年 诺贝尔物理奖
▲如何理解宏观粒子也具有波动性？ 对非相对论情况
m 2mE
按麦氏分布，最大能量（最可几）概率正 比于 kT 能量写为 E ckT h h 最大能量对应的波长 m m cmT 波粒二象性是普遍的结论 宏观粒子也具有波动性，m大时， 0
量子力学导论
量子力学导论量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它研究微观世界的物质和能量的行为规律。
本文将为您介绍量子力学的基本概念、原理和应用。
一、量子力学的基本概念量子力学是在20世纪初由物理学家们发现和建立的，它与经典力学有着本质上的区别。
在经典力学中，物体的位置和动量可以同时确定，而在量子力学中，我们只能知道这些物理量的概率分布。
量子力学的基本概念包括波粒二象性、量子叠加原理、量子纠缠等。
波粒二象性是指微观粒子既可以表现出粒子特性，如位置和动量，又可以表现出波动特性，如干涉和衍射。
这一概念首先由德布罗意提出，并通过实验证实了电子、中子等粒子的波动性。
量子叠加原理是指在没有测量之前，量子系统可以处于多个状态的叠加态。
当进行测量时，量子系统将会坍缩到其中一个确定的状态。
这一原理揭示了量子力学中困扰人们已久的测量问题。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联关系，当其中一个粒子的状态发生改变时，其他粒子的状态也会立即改变，即使它们之间的距离非常远。
这一现象被爱因斯坦称为“鬼魅般的长程作用”。
二、量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括薛定谔方程、算符理论、测量理论等。
薛定谔方程描述了量子系统的演化过程。
它是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到系统的波函数。
波函数可以用来计算粒子的概率分布以及其他物理量的期望值。
算符理论是量子力学的基础，它描述了物理量的测量和演化过程。
在量子力学中，物理量由算符来表示，测量结果是算符在波函数上的期望值。
测量理论是量子力学中一个重要的概念。
根据量子力学的测量理论，量子系统在进行测量时会坍缩到一个确定的状态，并且测量结果是具有随机性的。
三、量子力学的应用量子力学在各个领域都有着广泛的应用，尤其是在原子物理、量子信息和纳米技术等领域。
在原子物理中，量子力学被用来解释原子核的结构、原子光谱和核衰变等现象。
量子力学的出现使得人们对原子世界有了更深入的了解。
在量子信息中，量子力学的概念被用来研究量子计算和量子通信。
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量子力学的建立
➢ 1900年，普朗克能量量子化 ➢ 1905年，爱因斯坦光量子说 ➢ 1913年，玻尔提出原子结构模型 ➢ 1924年，德布罗意提出物质波概念 ➢ 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克 等人建立了完整的量子力学理论
量子力学的内容
1、产生新概念的一些重要实验。 2、不同于经典理论的新思想。 3、解决具体问题的方法。
§3.1、玻尔理论的困难
原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学 规律应用于微观粒子。
➢ 卢瑟福的质疑。 逻辑上的恶性循环
➢ 薛定谔的非难。
E2
h
E1
“遭透的跃迁”
玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手 无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第 二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。
电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描 述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子 波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的， 也突破了玻尔理论的局限性。
今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他 领域也有广阔的应用前景。
➢ “光电技术”领域 ➢“纳米物理与纳米技术”领域 ➢“分子器件” 小尺度发展领域 ➢“量子生物”、“量子化学”交叉学科 等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说， 量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。
海森堡
玻恩 M.Born (1882-1970) 薛定谔
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
WERNER HEISENBERG ERWIN SCHRODINGER
(1901-1976)
(1887-1961)
5
一张世界上智慧最集中的照片！
第五次索尔维会议与会者合影（1927）
6
主要内容： 1、玻尔理论的困难
对于更复杂的原子，则更加暴露玻尔和索末菲 理论的不足。就是对于氢原子，它们也不是十分完 善的。例如无法解释光谱线的强弱，也无法解释用 更加精确的方法测得的“谱线的精细结构”。
§3.2、波粒二象性
一、经典物理中的波和粒子 两种不同的能量传播方式，不能同时使用。
经典粒子
➢ 完全定域性，可精确确定其质量、动量和电荷。 ➢ 可视为一个质点，并可根据牛顿力学进行完全描述。
The Nobel Prize in Physics 1929
光具有波动性和粒子性。那么， 实物粒子，就是那些静止质量不为零 的粒子，是否具有波的性质呢？
( Louis Victor due de Broglie 1892-1960 )
年轻的法国学者德布罗意（De Broglie），当时他在物 理界并不知名，在1923年首先提出了这个问题。
又
x vt
即
x 1
v
可得
x 2
如果两者频率相等， 则没有拍出现。但 是要完全肯定没有 拍现象出现，必须 观察无限长时间才 行，而此时所测量 的波已经在空间无 限扩展。
Байду номын сангаас
二、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定光是一种电磁波 20世纪初，光量子
1905年，爱因斯坦 E h
1917年，爱因斯坦 p h p k
h
E, P v, 通过h把波动性与粒子性联系起来！
光在传播时显示出波动性，而在转移能量 时显示出粒子性！
—— 康普顿实验结论
光既不是经典意义上的粒子，也不是经典意义 上的波，是一种兼有波动性和粒子性的客观存在。
两者不会同时出现！
第三章 量子力学导论
主要内容：
§3.1 波尔理论的困难 §3.2 波粒二象性 §3.3 不确定关系 §3.4 波函数及其统计解释 §3.5 薛定谔方程 §3.6 平均值与算符 §3.7 氢原子的薛定谔方程解
2
经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善 的阶段。主要表现在以下两个方面：
经典的波
➢是某种实在的物理量随空间和时间作周期性变 化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。 ➢具有确定的频率、波长。 ➢ 可精确测定频率和波长，在空间无限扩展。
确定的空间位置 确定波的频率、波长
粒子为一质点 在空间无限扩展
波长的测定 拍频： 1 2
观察一个拍的时间： 1
则 t 1 或 t 1
然而，至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
4
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于19251928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量 子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系 中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
(1) 应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学 客体的运动。牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果。 1897年汤姆逊发现了电子，这个发现表明电子的行为类似 于一个牛顿粒子。
(2) 光的波动性在1803年由杨氏干涉实验有力揭示出来， 麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的 波动性置于更加坚实的基础之上。
3
经典物理学的困难
进入20世纪后，经典物理学受到冲击。经典理论在解 释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。
主要是以下以个问题： 1）黑体辐射问题 ；2）光电效应 ；3）氢原子光谱
1900年，普朗克在解释黑体辐射问题时提出能量量子化的 概念；1905年，爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念。 1913年，玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解释了 氢光谱。
2、波粒二象性 3、不确定关系 4、波函数及其统计解释 5、薛定谔方程 6、量子力学问题的几个简例 7、量子力学对氢原子的描述
重点：
1、两个重要概念：量子化概念及波粒二象性概念
2、一个重要关系式：不确定关系 3、一个基本原理：态叠加原理 4、两个基本假设：波函数的统计解释及薛定谔方程 5、三个重要实验：
波粒二象性
1、粒子性 ➢ 指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。
➢ 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 没有确定的轨道 应摒弃“轨道”的概念！
2、波动性 ➢ 指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍 射”、等现象。 ➢ 但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。
三、德布罗意假设 发现电子的波动性