第三章 量子力学导论

§３.2 波粒二象性
（1）经典物理中的波和粒子
（2）光的波粒二象性 （3）德布罗意假设 （4）戴维孙－革末实验 （5）德布罗意波和量子态
（1）经典物理中的波和粒子
• 在经典物理学中波和粒子是两种仅有的、又完全 不同的能量传递的方式； • 并且不能同时用波和粒子这两个概念去描写同一 现象。
粒子的特性
• 具有完全的定域性，原则上可无限精确的确定它的质量、 动量和电荷； • 粒子可视为一质点，只要其初始的位置和速度已知，原 则上可用牛顿力学完全描述它未来的位置和速度。
波的特性
• 广延性，周期性，迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现 象。
（2）光的波粒二象性
关于光的本性的争论……
爱因斯坦的光量子理论（1905年、1917年）
卢瑟福的质疑……
“当电子从一个能态跳到另一能态时，您必须假设电 子事先就知道它要往那里跳！”
薛定谔的非难…… 电子从一个轨道跃迁到另一轨道，速度不能超光速， 即时间有限，则在此时间段内电子处于何种状态？ (3)对一些实际问题无能为力
如：氦原子光谱、氢原子光谱精细结构及谱线 自然宽度、原子如何组成分子及构成液体和固体。
E E0 sin 2 ( t )
x

则对于在x方向以恒定线动量运动的粒子，其德 布罗意波可相应的写为：
0 sin 2 ( t )
或者，
x
0e
i ( k r t )
k 2 / , 2
称之为波函数（振幅）。
波函数的概率解释：
p h / x 6.6 1025 p p
（2）不确定关系的简单导出 考虑电子的单缝衍射：
p
d

当入射电子波的波长 与狭缝的宽度d相近时，就 会出现衍射现象。如图，衍射主极大的位置决定于：

h p
d sin
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d
粒子动量的不确定度为
各种粒子对应的德布罗意波长为0.1nm时的动能…… （见课本p82）
（5）德布罗意波和量子态 氢原子中绕核运动的电子若能稳定存在，则与这 个电子相应的波就必须是一个驻波，即电子绕核运 动的周长必须是与其相应的波长的整数倍：
h h 2 r n n n p mv
h mvr L n 2
h p
德布罗意关系式
与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波。 比较
E mc
2
质能关系
普朗克常量的意义：
1900年普朗克引入这一常量时，它的意义是量 子化的量度。经过爱因斯坦和德布罗意的努力，物 质粒子的波粒二象性的观念出现了，而在物质波动 性和粒子性之间起桥梁作用的，又是普朗克常量。
量子化和波粒二象性，是量子力学中最基本的两 个概念，而同一个常量 h 在其中都起着关键的作用， 这一事实本身就说明了，这两个概念有着深刻的内 在联系。 在任何表达式中，只要有普朗克常量h的出现， 就必然意味着这一表达式的量子力学特征。
§3.4 波函数及其统计解释
（1）波粒二象性及概率概念 经典物理中的决定论 微观粒子（波 粒二象性） 适用于宏观世界 概率性的观点
不确定关系
对于光波，爱因斯坦在1917年引入了统计性的概念。 对于物质波，玻恩在1926年提出了德布罗意波的概 率解释。
波长为 、频率为 、在x方向运动的正弦电磁 波的电场强度可写作：
（2）双缝干涉实验 光的双缝干涉实验（ 1801年，英国杨氏）
x
探测器
x
I1 ( x)
S
1
x
I12 ( x)
光源
2
I 2 ( x)
经典粒子的双缝实验
x
探测器
x
n1 ( x)
S
1
x
n12 ( x)
机枪
2
n2 ( x)
无干涉现象:
n12 ( x) n1 ( x) n2 ( x)
电子的双缝实验（1961年，约恩孙）
1925年，泡利提出不相容原理，同年乌伦贝克和 古兹米特提出电子自旋假设；
1925——1928年期间，量子力学由海森伯、玻恩、 薛定谔和狄拉克等人建立起来。 近代物理学的两大理论支柱 量子力学
相对论
一是介绍新概念产生的一些重要 实验；
量子力学的主要内容
二是提出一系列不同于经典物理 的新思想；
三是给出解决具体问题的方法；
观察效应使干涉消失
D1
x
S
1
2
P 1 P 2
D2
（3）态的叠加原理 微观世界中，一事件发生的概率 P 也可表示为： wif f i
2
2
f i
概率幅
表示从i态到f态跃迁的概率幅，相当于。
f i 服从的规则：
规则一（概率幅叠加原理）
i
f
f i f i
n
n
规则二
f1
i
f2
f3
f i
（4）电子波动性的实验验证——戴维孙－革末实验 （1925年）
实验装置
实验结果
当不变时， I 随U改变，当 U=54V时，在 500角方向探 测到的反射束 强度出现一个 明显的极大。
实验解释
晶体结构
入射电子束在一系列晶面上产生布拉格衍射


d a sin

d
a
a
如图，强波束射出的条件是：
x
探测器
x
n1 ( x)
S
1
x
n12 ( x)
电子枪
2
n2 ( x)
出现干涉图像:
n12 ( x) n1 ( x) n2 ( x)
28只电子
1000只电子
干涉现象不是由 微观粒子相互之 间作用产生的， 而是独立的微观 粒子属性的集体 贡献。
1万只电子
几百万只电子
电子每次只能从 一个缝通过，但 结果是两个缝都 对它起作用。
由
px p sin
sin d
即
h h px p x x x

xpx h
严格的证明给出：
xpx 2 t E 2
（3）应用举例 【例1】束缚粒子的最小平均动能。 若粒子被束缚在限度为r的范围内，即 x r
则粒子的动量的不确定度 p x
玻恩把 中发现一个粒子的概率。
2
解释为在给定时间、在 r 处单位体积
•波函数的概率解释是量子力学的基本原理之一； •经典波与量子波的不同： 经典波 经典波振幅可测量 量子波 波函数只可测量其
2
，
即概率。
经典波的波幅不同对 应不同的波动状态 波函数所代表的是概率 分布，其值只具有相对 意义。
，则要用相对论公式
总能量 且
E Ek m0c2 E 2 p2c2 m02c4
1 p Ek ( Ek 2m0c 2 ) c
可得
实验的意义 戴—革的电子衍射实验有力地证明了电子的 波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十 年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中性 原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具有波 动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。 且波长都由 =h/p 确定，进一步证实了德布罗 意假设的真实性。 因为 h 很小， 当 p = mv 很大时，， 宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系 式不适用。
第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
量子力学导论
玻尔理论的困难 波粒二象性 不确定关系 波函数及其统计解释 薛定谔方程 平均值与算符 氢原子的薛定谔方程解
§３.1 玻尔理论的困难
(1) 玻尔在1913年提出的氢原子理论获得了很大的 成功：成功解释了氢光谱之谜，从理论上算出了里德 伯经验常量；量子态的概念得到弗兰克－赫兹实验的 直接验证；解,从某种意义上说,就是对 “惊奇”的不断摆脱。 ——爱因斯坦
19世纪末的三大发 现揭开了近代物理 发展的序幕
1895年的X射线
1896年的放射性
1897年的电子
1900年，普朗克为解决黑体辐射问题，提出辐射 源能量量子化的概念； 旧 量 子 论 1905年，爱因斯坦为解决光电效应问题，提出光 量子的概念； 1913年，玻尔把量子化的概念应用于氢原子问题， 成功的解释了氢光谱；
2
f i
n
2 n
规则三
i
v
f
f i f v vi
规则四
i
f
f
ff ii f i f i
i
（4）干涉实验的解释 只开缝1
x S 1 x1 1S
I1 ( x) x S
2 1 2 2
x1 1S x2 2S
2
只开缝2 双缝齐开
I 2 ( x) x S
2
x S x1 1S x 2 2 S
h
p h
或

p k
光的粒子性：
• 光电效应和康普顿效应等 证明光的粒子性。 • 光在与物质作用，转移能 量时显示粒子性。

光是粒子性和波动性的矛盾统一体 光的波动性:
• 光是一种电磁波，并被干涉、 衍射、偏振等实验和麦克斯 韦理论完全证明。 • 光在传播时显示波动性。
（3）德布罗意假设 1924年，德布罗意在其博士论文中提出所有的物质 粒子都具有波粒二象性的假设，并认为动量为 p 的粒 子，伴随的波的波长为：
c E 3.3 10 8 eV 2t 2tc
此即与该激发态相应的谱线的自然宽度，由能级 的固有寿命决定的。
（4）互补原理 玻尔对互补原理概括的叙述是：“一些经典概念的应 用不可避免地将排除另一些经典概念的同时应用，而 这‘另一些经典概念’在另一些条件下又是描述现象 所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又 互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成对现象的 详尽无遗的描述”。 如果说，海森堡的不确定关系从数学上表达了物质 的波粒二象性，那么玻尔的互补原理则从哲学的角度 概括了波粒二象性。