量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章 力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明[][]H H A A dt d ,,222=-证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1=, 令[]C H A =,则[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1,11222 -===, [][]H H A A dtd ,, 222=-∴5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dtdA 证：束缚定态为:：()()t iE n n n et -=ψψ,。

在束缚定态()t n,ψ，有()()()t E t ti t H nnnn,,,ψψψ=∂∂= 。

其复共轭为()()()t r E er ti t r H nnt iE nnn ,,****ψψψ=∂∂-=。

⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n dt dA dt dA ψψ,()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙∙n n n n n n A A A dtd ψψψψψψ,,, ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1,1,1-++∂∂= []()()n n HA AH i H A i ψψ--=,1,1[][]()0,,1=-=A H H A i。

5.3）(){} x x iaP x aa D -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+是()a D x 的本征态，相应的本征值为ikae -证：()()()()()a x ea x x a D k a x ik x +=+=+φψψ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=⋅=,证毕。

5.4）设m 表示z L 的本征态（本征值为 m ），证明m ee y z ikL ikLθϕ--是角动量L 沿空间()ϕθ,方向的分量n Lθϕθϕθcos sin sin cos sin z y x L c L L ++n L L n ⋅==的本征态。

证：算符θy ikL e-相当于将体系绕y 轴转θ角，算符ϕz ikL e-相当于将体系绕z 轴转ϕ角，m 原为z L 的本征态，本征值为 m ，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的'z 轴（开始时和实验室z 轴重合）已转到实验室坐标系的()ϕθ,方向，即方向，m Y lm =变成了ψ，即变成了n L 的本征态。

本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为 m 。

（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）5.5）设Hamilton 量()V uP H +=22。

证明下列求和规则 ()u x E E nnm m n 222=-∑ 。

x 是r 的一个分量， n∑是对一切定态求和，n E 是相应于n 态的能量本征值，n E n H n =。

证： [][]x x x p ui p i u p x u H x =⋅==221,21,2（∆） =A ()∑-nnm m n x E E 2()mE E n n x m m n n-=∑[]mxH n m Hx n n x m n-=∑[]m H x n n x m n,∑-=[])(2,21∆∑-=m P x n n x m u xn m P n n x m u i x n∑-= ∑-=nx n xP m u i又=A ()∑-nm n m x n n E E m []m x n n H x m n∑=,)(∆∑-=nx n xP m u i=∴A 2 ()∑-n x x m xP x P m u i []∑-=n x m P x m u i ,u i u i 2 =⋅-=，=∴A ()u x E E nnm m n 222=-∑。

不难得出，对于Z Y ,分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设()F ,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为()[][]k F H F k F E E nnkk n ,,212=-∑ （1） 证：式（1）左端令==A ()k F n n F k E Enk n∑-()k FH HF n n F k n-=∑[][]k F H F k ,,= （2）计算中用到了公式1=∑nn n。

由于F H ,是厄米算符，有下列算符关系：[]()[]F H HF FH F H H F FH HF F H ,,-=-=-=-=*++++++（3）式（2）取共轭()+，得到=A =+A [][]+kF H F k ,,[]k F F H k ++=,[])3(,k F F H k -= （4）结合式（2）和（4），得=A ()[][]k F H F k F E E nnkk n ,,212=-∑ 证毕。

5.7）证明schr ödinger 方程变换在Galileo 变换下的不变性，即设惯性参照系'K 的速度υ相对于惯性参照系K 运动（沿x 轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：'''',,,t t z z y y vt x x ===+=。

（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系()()()t x V t t x V t x V ,,,'''''=-=υ （2）证明schr ödinger 方程在'K 参照系中表为 ''222''2ψψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂∂V x m t i在K 参照系中表为 ψψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂∂V x m t i 2222 其中 ()t t x t m x m i ,2exp '2υψυυψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=证：由波函数的统计解释，ψ和'ψ的意义完全相同。

()()t x w t x ,,2=ψ， 是t 时刻在x 点找到粒子的几率密度；()()'''2''',,t x w t x =ψ，是't 时刻在'x 点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即()()''',,t x w t x w = （6）从（1）式有 ()()t x w t t x w ,,'=-υ （6’） 由此可以得出， ψ和'ψ两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以()()()()t t x e t x e t x t x iS iS ,,,','''υψψψ-== （7） ()()()t x e t t x t x iS ,,,'ψυψ-=- （7）由（1）式， x x ∂∂=∂∂', t x v t ∂∂+∂∂=∂∂', 222'2x x∂∂=∂∂（3）式变为：()()()'''''''''222,,,2t x t x V t x x m ψψ+∂∂-()()'''''',,t x ti t x x i ψψυ∂∂+∂∂= （8）将（7’）代入（8）式，可得()ψυψυψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂-t S x S x S m t S m i t x V x x S m i x m 2222222222,2ti ∂∂=ψ（9）选择适当的()t x S ,，使得（9）→（4），0=-∂∂υxSm 。

（10） 02222222=∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅tS x S x S m x S m i υ （10’） 从（10）可得 ()t f x m S +=υ。

（11） ()t f 是τ的任意函数，将（11）代入（10’），可得22υm t f -=∂∂ 积分，得 ()C t m t f +-=22υ 。

C 为积分常数，但0=υ时，'K 系和K 系重合，'ψ应等于ψ，即S 应等于0，故应取0=C ，从而得到t m x m S22υυ-= （12）代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m x m i 2'211exp υυψψ （13）逆变换为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2'''21exp t m x m i e iS υυψψψ （13’） 相当于式（13）中的υυ-→，带”，“的量和不带”，“的量互换。

讨论：()t x S ,的函数形式也可用下法求出：因()t x S ,和势能V 无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K 和'K 系中的表现形式，即可确定()t x S ,.沿x 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为υm P P -='2222''212122υυυυm P E m P m P m P E +-=+-== （14）据此，K 系和'K 系中相应的平面波波函数为() Et Px i e -=ψ， () '''''t E x P i e -=ψ （15）（1）、（14）代入（15），即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m x m i 2'211exp υυψψ此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K 和'K 系的相对速度υ，而与粒子的动量P 无关，所以上式适用于任何自由粒子。

它正是所求的变换关系。