最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)

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量子力学曾谨言练习题答案

量子力学曾谨言练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界的行为规律。

而曾谨言练习题则是量子力学学习过程中的一种重要辅助工具，有助于加深对于量子力学理论的理解和应用。

在这篇文章中，我们将探讨一些量子力学曾谨言练习题的答案，帮助读者更好地理解这一复杂而又神奇的学科。

首先，我们来看一个经典的量子力学练习题：双缝干涉实验。

在这个实验中，一束光通过两个狭缝后形成干涉条纹。

问题是，如果我们只通过其中一个缝让光通过，干涉条纹会发生什么变化？答案是，当只有一个缝让光通过时，干涉条纹会消失。

这是因为双缝干涉实验中的干涉效应依赖于两个缝同时让光通过，以形成干涉图样。

当只有一个缝让光通过时，就无法形成干涉，因此干涉条纹消失。

接下来，我们来看一个更复杂的问题：薛定谔方程。

薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子行为的基本方程。

问题是，如何求解薛定谔方程？答案是，薛定谔方程是一个偏微分方程，可以通过一些数值和解析方法进行求解。

数值方法包括有限差分法和有限元法，可以通过离散化空间和时间来近似求解。

解析方法则包括分离变量法和变分法等，可以通过一系列数学技巧来得到解析解。

薛定谔方程的求解是量子力学研究的基础，对于理解和预测微观世界的行为至关重要。

除了理论问题，量子力学还涉及到一些实验上的考察。

例如，光电效应是量子力学的重要实验现象之一。

问题是，为什么在光电效应中，只有光的频率大于某个临界值时，才能引起电子的发射？答案是，光电效应是由光子与金属表面电子的相互作用引起的。

当光子的能量大于金属表面电子的束缚能时，光子能够将电子从金属中解离出来，形成光电子。

而光子的能量与频率有直接关系，即E=hf，其中E为光子的能量，h为普朗克常数，f为光的频率。

因此，只有光的频率大于某个临界值，光子的能量才能够大于金属表面电子的束缚能，从而引起电子的发射。

最后，我们来看一个与量子力学应用相关的问题：量子计算。

量子计算是利用量子力学的特性来进行计算的一种新型计算方式。

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

1 mω 2 a 2 。 2
−a
0
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
.
由此得
a = 2 E / mω 2 ，
（2）
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 1 2 2 2 2 2 ∫ p ⋅ dx = 2 −∫a 2m( E − 2 mω x ) dx = 2mω −∫a a − x dx = 2 mω a 2 ⋅
ψ ( x, t ) = ϕ (k ) =
1 2π
+∞
2 m ⎡ imx ⎤ ⎛ mx ⎞ ⋅ϕ⎜ exp[− iπ 4] ⋅ exp ⎢ ⎟ t ⎦ ⎝ t ⎠ ⎣2 t ⎥
式中
−∞
∫ψ (x,0)e
α →∞
−ikx
dx 是ψ ( x,0 ) 的 Fourier 变换。
提示：利用
lim
α iπ / 4 −iαx e e = δ (x ) 。 π
= −∇ ⋅ s
所以
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
∂ω +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
V1 与 V2 为实函数。
2 ∂ ψ (r , t ) = − ψ (r , t ) ∇ 2ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ∂t 2m
d d 3 rψ 1* r ,.t ψ 2 r , t = 0 。 ∫ dt
ip0 x /
( ) ( )
⎛ p2 ⎞ i ⎜ p0 x − 0 t ⎟ / ⎜ m ⎟ 2 ⎝ ⎠
2.4 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = e
，求ψ ( x, t ) 。

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。

曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。

在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。

1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。

如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。

这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。

而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。

2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。

它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。

波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。

3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。

即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。

这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。

4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。

这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。

5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。

与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。

以上是曾谨言量子力学练习题的答案。

量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。

希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。

曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。

以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。

求波函数的归一化常数 \( A \)。

答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。

将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。

求粒子的能级。

答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第九章力学量本征值问题的代数解法9—1）在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数jljm φ，这相当于21,21===s j l j 的耦合。

试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m j m j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’）对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ，即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

= −∇ ⋅ s
所以
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
∂ω +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
V1 与 V2 为实函数。
2 ∂ ψ (r , t ) = − ψ (r , t ) ∇ 2ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ∂t 2m
得a =
2 +a +a
π
2
= mωπ a 2 = n h
2 n nh = mωπ mω
（3）
代入（2），解出
En = n ω, a 2 − u 2 du =
n = 1, 2 , 3 ,
（4）
积分公式：
∫
∫
2π
u a2 u arcsin + c a2 − u2 + 2 2 a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。提示：利用
1 mω 2 a 2 。 2
−a
0
a
x
1
.
由此得
a = 2 E / mω 2 ，
（2）
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 1 2 2 2 2 2 ∫ p ⋅ dx = 2 −∫a 2m( E − 2 mω x ) dx = 2mω −∫a a − x dx = 2 mω a 2 ⋅
∫p
即
x
⋅ dx = n x h ,
(n x
= 1, 2 , 3 ,
)
p x ⋅ 2a = n x h ∴ p x = n x h / 2a ,
（ 2a ：一来一回为一个周期）
同理可得，

曾谨言--量子力学习题及解答

dv ， 1
（1）（2）（3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c

8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2

k
2 E
2

k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E

k

这里 =2θ，这样，就有
2
A B E

k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2），便有
A E
这样，便有

k n h 2
E

k

E
n h 2 k
nh
其中 h

k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

R p qBR

2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

又因为动能耐 E

p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ），那么

量子力学第四版卷一[曾谨言著]习题答案解析

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1）其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。

a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =，（2）a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3）代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

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试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）:()21),0( 21+=≠-=m ml l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m jm j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’）对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ，即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2max =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此()()0,2,32,12Λ--=j j J可验证：态JMj 2ψ的总数为()12+j j 。

[()()1212120+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()12=--Jj ，故J 也必须为偶数0,2,22,2Λ-=j j J9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L L =+21，s s s =+21，J s L =+（总角动量）证明：（a ）s L +必为偶数；（b ）s L s L J -+=,,Λ。

当0=s 时，L J =（偶）； 1=s 时，1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，也可以为偶。

证：自旋的耦合：2121==s s ，⎩⎨⎧=).(0).(1反对称，单态对称，三重态s轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2Λ-=l l L其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以0=s 时，.0,,22,2Λ-=l l L 1=s 时，.1,,12,2Λ-=l l L在两种情况下，s L +都为偶数，但s L s L J -+=,,Λ对于0=s ，==L J 偶；1=s ，1,,1-+=L L L J 。

J 可以为奇，也可以为偶［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj 耦合方案，似乎J 必为偶数）。

提示：在本题中，若用jj 耦合来分析，=j ？是否只有一个j 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj ψ，证明z z j j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率却相等，即()121+j 。

提示：利用()1200+-=--j m jmj mj （P235，式（23））证：Dirac 符号表示，有 00jj ψJM j j 21=00jj =，JM JM j j =21∑=122112211m JM m j m j m j m j （1）在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令21-=。

则（1）成为 00jj ∑--=mm jmj m jmj 00 （2）其中00m jmj -即为耦合表象中的态00jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1,Λ各可能值）的几率。

由提示，()1200+-=--j m jmj mj （3）121002+=-∴j m jmj （4）即，对于给定的j j j ==21所合成的态00jj ψ，z zj j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率与m 的具体取值无关，皆为)121+j 。

9－5）设J J =+21，在jm j j 21态下，证明（取1=η）02211====y x y x j j j j ，()()()()1211122111++-+++=j j j j j j j j mj z()()()()1211111222++-+++=j j j j j j j j mj z zj m 1-=证：（参剖析，8.68等）9－6）在()z L L ,2表象(以为lm 基矢)中，1=l 的子空间的维数为3，求x L 在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出x L 的本征值和本征态解：在()z L L ,2表象中，1=l 的子空间中的基矢为lm m 1=，1,0,1-=m 。

由于()()11±+±=±m j m j m j jm J μ()()m j m j jm J m j x -++=+1211 ()()m j m j jm J m j x ++-=-1211()121-++=J J J x 。

对于本题，以上方式中l j →，x x L J →，±±→L J ，()z z L J →不难求得()()()()()()01111110011'======----x x x x x mmx L L L L L L()()()()2210011010====--x x x x L L L L 。

∴ x L 在此三维空间中的矩阵表示为［()z L L ,2表象］⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010********x L （1）设x L 的本征值为λ()1=η，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a φ，则本征方程为02102121021=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---c b a λλλ （2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：(),012=-λλ1,0,1-=λ. （3）将1=λ代入（2），可得02=+-ba ， 022=+-cb a， 02=-c b。

由此得 2b c a ==，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212 b c b a归一化()112122=++b ，取 21=b 。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴12121 1φ 1~+=λ （4）同理，将1,0-=λ分别代入（2），可求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴12121 2φ 0~=λ ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121213φ 1~-=λ 。