安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测(文科)数学(含解析)
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测 数学（文科） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{x|0≤x＜2}，B＝Z（Z为整数集），则A∩B＝（ ） A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．复数z满足（i－2）z＝4＋3i，则|z|＝（ ）
A． B．3 C． D．5 353．已知命题p：，3x＋x2＞1，则¬p为
0x
A．，3x＋x2≤1 B．，3x＋x2≤1 0x0xC．，3x＋x2≤1 D．，3x＋x2≤1 0x0x
4．双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，则其离心率为22221yx
ab2yx
（ ） A． B． C． D． 526235
5．曲线在点P（1，f（1））处的切线l的方程为（ ） 12ln()xfx
x
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0 6．某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为60°，则其侧面积为（ ）
A．2π B． C．3π D．4π 23
7．已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足（i
321iiyx
＝1，2，…，n），则下列叙述中一定正确的是（ ） A．样本乙的极差等于样本甲的极差 B．样本乙的众数大于样本甲的众数 C．若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数
D．若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数
8．已知函数f（x）＝x（|x|＋1），则不等式f（x2）＋f（x－2）＞0的解集为（ ）
A．（－2，1） B．（－1，2） C．（－∞，－1）∪（2，＋∞） D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
9．已知函数的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是2()cos()(0)3fxx
（ ） A．函数f（x）的图象关于直线对称 3x
B．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增 C．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 3
D．函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为 32
10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，
D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是（ ）
A．直线BQ∥平面EFG B．直线A1B∥平面EFG C．平面APC∥平面EFG D．平面A1BQ∥平面EFG
11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且232coscos22ABC
△ABC的面积为，则C＝（ ） 214c
A． B． C．， D．， 636633
12．已知函数（a，b∈R），若函数y＝f（x）与函数y＝f21()(21)22xxfxaxbx
（f（x））的零点相同，则a－b的取值范围为（ ） A．[0，2） B．（－2，0] C．（－∞，－2]∪[0，＋∞） D．（－∞，0]∪[2，＋∞） 二、填空题：本大题共4小题。
13．已知向量，，且，则m＝________． (2,)am(5,1)b()aab
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x－2y的最小值为2024030xyxyy
________．
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆
22196
xy
F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________． 16．已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥O－ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：
17．已知数列{an}中，a2a6＝64，且log2an，，1（n∈N*）成等差数列．
211log2n
a
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 1(1)(1)nnnn
ab
aa
18．斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，，∠
1
7AB
A1AB＝∠A1AC＝60°．
（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC；
（2）求四棱锥A1－BCC1B1的体积． 19．某公司生产的某种产品，如果年返修率低于千分之一，则其生产部门当年考核优秀．现获得该公司2014－2018年的相关数据如下表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年生产台数x（万台） 2 4 5 6 8 该产品的年利润y（百万元） 30 40 60 50 70 年返修台数（台） 19 58 45 71 70
注：． 年返修台数年返修率年生产台数
（1）从该公司2014－2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概率． （2）利用上表中五年的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5①．现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32（百万元）；但生产部门发现，若用预计的2019年的
数据与2014－2018年中考核优秀年份的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的，2
b
的值（精确到0.01），相对于①中，的值的误差的绝对值都不超过10％时，20192a1b1a
年该产品返修率才可低于千分之一．若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由． （参考公式：，，，mybxa1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx相对n的误差为．） ||100%mnn
20．已知抛物线E的准线方程为． 12y
（1）求抛物线E的标准方程； （2）过点Q（0，－2）作斜率为k1的直线交抛物线E于A，B两点．点P（0，1），连接AP，BP与抛物线E分别交于C，D两点，直线CD的斜率记为k2，问：是否存在实数λ，
使得k1＋λk2＝0成立，若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数f（x）＝（ax－1）ex（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＝1时，f（x）＞kx－2恒成立，求整数k的最大值． （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原110cos410sinxy
点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝5． （1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若P（m，n）为曲线C2上一点，且曲线C1上存在两点A，B，使得∠APB＝90°，求n的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f（x）＝lg（|2x－1|＋2|x＋1|－a）． （1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测 文科数学参考答案 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B D A C D C B A B 二、填空题：本题共4小题． 13．－2或3 14．－8 15．[5，7]
16． 83
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试卷
2019年03月26日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设集合{}{}22,1,0,1,2,|1,,U A x x x U =--=>∈则( )A.{}2,2-B. {}1,1-C. {}2,0,2-D. {}1,0,1- 2.复数i 1iz =- (i 为虚数单位),则z = ( )A.B.C. 12D. 2 3.抛物线22y x =的焦点坐标是( ) A. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭4.在△ABC 中,角A 、B 、 C 的对边分别为a 、 b 、c ,若b =3,2c B C ==,则cos 2C 的值为( )A.B. 59C. 49D. 4 5.已知边长为1的菱形ABCD 中, 60?BAD ∠=,点E 满足2BE EC =,则AE BD ⋅的值是( )A. 13-B. 12- C. 14- D. 16- 6.我国南北朝时期的科学家祖暅,提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:如果两个等高的几何体,在等高处的截面积恒等,则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积:曲线()20y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上,用平行于平面α,且与Z 的顶点 O 距离为l 的平面截几何体Z ,得截面圆的面积为2l π=π.由此构造右边的几何体1Z :其中AC ⊥平面α,AC L =,1AA α⊂,1πAA =,它与Z 在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ 为矩形,且π,PQ FP l ==,则几何体Z 的体积为( )A. 2πLB. 21πL 2C. 21πL 2D. 31πL 2 7.已知函数2()cos()3f x x ωπ=+(0)ω> (ω的最小正周期为4π,则下面结论正确的是 A. 函数f ()x 在区间()0,π上单调递增B.函数f ()x 在区间()0,π上单调递减C.函数f ()x 的图象关于直线23x π=对称 D.函数() f x 的图象关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学(理)试题(解析版)
17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】（1） ； （2）见证明
【解析】（1）通过作差的方式得到 ，从而求解出公比 ，进而得到 ； 可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到 ，通过放缩得到所证结果.
动点 落在以 为轴、底面半径为 的圆柱的侧面上
可知侧面与三棱锥侧面 的交线为椭圆的一部分
设其与 的交点为 ，此时 最大
由题意可得，点 到 的距离为：
则 到 的距离为 可知： 为 的中点
又
在 中，由余弦定理可得
本题正确结果：
【点睛】
本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.
附：线性回归方程 中， ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉 年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.
【详解】
（1）由数据可知， ， ， ， ， 五个年份考核优秀
的所有可能取值为 ， ， ，
【点睛】
本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解.
4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可推导出 的取值，再利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．
安徽江南十校2019高三3月联考试题-数学理(扫描版)
安徽江南十校2019高三3月联考试题-数学理（扫描版）2018年安徽省“江南十校”高三联考数学〔理科〕参考答案【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、 〔1〕A 、〔2〕D 、〔3〕C 、〔4〕B.〔5〕D 、 〔6〕A 、〔7〕C 、〔8〕A 、〔9〕B.〔10〕D 、【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、 〔11〕相交、〔12〕π4、〔13〕π34、〔14〕2500、〔15〕①②④ 【三】解答题：本大题共6小题，共75分、 〔16〕〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x)32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-，解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分故0θ的最小值为125π…………………………………………………………………12分方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2………10分由题可得0θ的最小值为125π…………………………………………………………12分〔17〕〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由题可知，所选两人为“最正确组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ………3分那么21)1()6(12≥--n n n (4)分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16……………6分 〔Ⅱ〕由题意得，ξ的可能取值为0，，2…………………………………………7分 那么,2250(226===C C P ）ξ,116)1(21616===C C C P ξ225)2(226===C C P ξ10分∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分 〔18〕〔本小题总分值12分〕证明：〔Ⅰ〕F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -那么A 〔1,0,2〕C 〔0,2,0〕D 〔0,1,2〕设1=()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2、那么令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，那么321442=++=，即32cos =θ…12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点， z yxA B C DEF GPHE DA连结EH 、AH ，那么EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ，由DE =1，得EP =2，那么EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分〔19〕〔本小题总分值13分〕解:〔Ⅰ〕由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(x x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分3分于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解〔Ⅱ〕)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分 由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆02030892121a x x a x x a 〔也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a 〕………………………………7分解得890<<a ………8分解〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕xxx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，〔1〕当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时、由于切线过点)4,1(-P ，那么2631402000--=-+x x x y所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x 〔舍去〕……12分〔2〕当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时、那么切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分 〔注：假设没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分〕〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕证明：由题可知11212-++=n n n a a 那么nn n a a 21211=-+………………………………………………………………2分12211=-∴-+n n n n a a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列………………………………4分na n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++n n b b b ………………7分证明：〔1〕当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，那么左边≥右边；〔2〕当2≥n 时，由题可知n n n b b b +=+21和0>n b ，那么n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++……………………………………………………………10分那么1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-nn n n b b b 综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立………………………………………………13分 〔21〕〔本小题总分值13分〕 解:〔Ⅰ〕〔1〕由题可知3322=-+=m m c 双)0,3()0,3(21F F 、-……………………………2〔2〕设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线：a x ty -=，代入x y 22=并整理得0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+ay y t y y 222121……………………………………3分2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a a at a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分 由〔1〕得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+y x …………………………6分〔Ⅱ〕判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分 证明：设P ),(0y x ，那么A ),(0y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分将直线AD 的方程00)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，..................................................9分由题可知此方程必有一根为0x -、于是解得2202046x y x y x x B ++=，所以220020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++=………………………11分所以002000202020200022002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB-=-=+-+-=………………………………12分 故1000-=⨯-=x y y x k k PBPA ，即PB PA ⊥………………………………………13分 解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线、设P ),(0y x ，那么A ),(0y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分将直线B P '的方程00)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ..................................10分由题可知此方程的一根为0x ，解得220203002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='，所以22002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-='…………………………11分那么020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-='…………12分又00000421x y x x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线、 ∴PB PA ⊥……………………………………………………………………………13分解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(011y x P y x B 、，那么),(0y x A --，14,142022121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故4120212021********-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分又00000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得000441y x x y k PB -=÷-=…12分 所以1)(000-=-=y x x y k k PBPA ，即PB PA ⊥………………………………………13分。
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题 PDF版含答案
sin cos 1 tan 1 = ， = ， tan = 2 ， 2 2 2 sin + 4cos 4 4 + tan 4
1 −2 tan = tan ( + ) − = 3 = −1 . 1 1+ 2 3
15. 答案 240
2 ( x + y ) 4 z 2 ，所以形如 【解析】 ( x + y + z )6 = ( x + y) + z ，含 z 2 的项为 T2 = C6
( k + 1)2 3, k 4 − 2 3, 故选 C.
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11 .答案 B
【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱
及一个八分之一球体得到的组合体， S表 = 6 22 − 4 − 5 12 .答案 C
1 + 4 + = 20 + , 故选 B. 4 8 4
【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 + 1) = 1980 个，
S = 1980 − 44 + (2019 − 1980) = 2019 − 44 = 1975, 故选 C.
二、填空题 题号 答案 13. 答案２ 14. 答案 −1 13
2
14Βιβλιοθήκη −11516240
57
【解析】 x = 0, y = 2 时， zmin = 3 0 + 2 = 2 【解析】
PB = 82 + 52 − 2 8 5 2 = 57 . 5
三、解答题 17【解析】 （1）由 a1 + a2 + a3 +
【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题-490329328b3745d3b943781280a7a6b7
绝密★启用前【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．复数（ 为虚数单位），则 （ ）A ．B ．C ．D ．2 3．抛物线 的焦点坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 的顶点 距离为 的平面截几何体 ，得截面圆的面积为 .由此构造右边的几何体 ：其中 平面 ，…………外…………线……………………内…………线………… ， ， ，它与 在等高处的截面面积都相等，图中 为矩形，且 ， ，则几何体 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为 ，则下面结论正确的是（ ）A ．函数 在区间 上单调递增B ．函数 在区间 上单调递减C ．函数 的图象关于直线对称 D ．函数 的图象关于点对称 8．设函数，则不等式 的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 为右支上一点且直线 与 轴垂直，若 的角平分线恰好过点 ，则 的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 10．已知函数，（ 是自然对数的底数），若对 ，，使得 成立，则正数 的最小值为（ ） A ．B ．1C ．D ．11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．C ．D ．12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即个，则该数的所有数字之．．．和．为（）A．1973B．1974C．1975D．1976………外………○…………订…※※订※※线※※内※※答………内………○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设 ， 满足约束条件，则 的最小值为_______．14．已知，且，则 的值为______．15．在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_____（用数字作答）.16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．三、解答题17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .（Ⅰ）求数列 与 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足， 为数列 的前 项和，证明： .18．斜三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ， .（Ⅰ）证明：平面 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：Array注：年返修率年返修台数年生产台数（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，，. 20．设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，，离心率为，短轴长为4.平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，，直线与轴交于点，直线与轴交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.21．已知定义在区间上的函数，.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】求解出集合的范围，根据补集定义求解.【详解】或又，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题. 2．A【解析】【分析】将整理成的形式，与模长相同，求即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.3．C【解析】【分析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.【详解】抛物线标准方程为，焦点在轴上焦点坐标为本题正确选项：【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解. 4．B【解析】【分析】由正弦定理可推导出的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.【详解】由题意可得大致图像如下：；又，本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.6．C【解析】【分析】通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为处，截面面积为，且截面面积相等本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.7．C【解析】【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.8．A【解析】【分析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为上的奇函数又可知与在上都单调递增，即与在上都单调递增当时，，；假设则即：在上单调递增又为奇函数，则在上单调递增，即在上单调递增由可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.9．B【解析】【分析】根据双曲线几何性质及定义，可用表示出与，再利用角平分线定理，求得，即可用表示出所求面积.【详解】记，则，由题意可知，为双曲线通径长的一半，即由双曲线定义可知：由角平分线性质定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.10．C【解析】【分析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解.【详解】“，，使得成立”等价于当时，令，解得：，在上单调递减，上单调递增当时，令，解得：在上单调递减，上单调递增当时，此时在上单调递增，上单调递增减，，无最小值，不合题意综上所述：，令，解得：在上单调递减，在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 11．B【解析】【分析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.【详解】由三视图可得几何体如图所示：由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体本题正确选项：【点睛】本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.12．C【解析】【分析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为，公差为的等差数列，求解出最终结果.【详解】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：【点睛】本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.13．2【解析】【分析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小的问题，通过图像解决.由题意可得可行域如下图所示：令，则即为在轴截距的最小值由图可知：当过时，在轴截距最小本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.14．-1【解析】【分析】通过，的齐次式，求得的值；再利用两角和差的正切公式求解.【详解】又解得：本题正确结果：本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.15．240【解析】【分析】将变为，将所求问题转变为的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.【详解】则展开式通项为：含的项的为：则形如项的系数之和即为展开式的系数之和令，，则：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.16．【解析】【分析】通过点到直线距离为定值，确定点在圆柱侧面上，同时确定点轨迹；根据椭圆性质可知，当落在上时，最大；根据距离可确定为中点，然后利用余弦定理解出结果.【详解】动点到直线的距离为定值动点落在以为轴、底面半径为的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分设其与的交点为，此时最大由题意可得，点到的距离为：则到的距离为可知：为的中点又在中，由余弦定理可得本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.17．（1）；（2）见证明【解析】【分析】（1）通过作差的方式得到，从而求解出公比，进而得到；可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到，通过放缩得到所证结果.【详解】（1）由……①时，……②①-②可得：，，设公比为（2）证明：由已知：当时，即：【点睛】本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.18．（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用体积桥的方式，求出到平面的距离，从而求得正弦值.【详解】（1），，由余弦定理：即或故取中点，连接，，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且又，平面平面平面平面（2）解法一：以为原点，所在的直线为轴，取中点，以所在的直线为轴，过作，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，,,，，设平面的一个法向量为则设所求角为，则解法二：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，，，设，由可得，，设平面的一个法向量为则，取，则设所求角为，则解法三：由（1）设到平面的距离为，则由面知到平面的距离也为，则设所求角为，则【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.19．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀的所有可能取值为，，，，，，故的分布列为：则数学期望（2）解法一：故去掉年的数据之后：，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉年的数据后不影响的值所以而去掉年的数据之后，从而回归方程为：【点睛】本题考查概率统计部分的超几何分布和线性回归问题，关键在于根据题意确定好概率模型，选择合适的模型来进行计算.20．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为由题意得，解得椭圆的标准方程为（2）解法一：设且，，，，设，共线，得，同理得解法二：设，，联立得：，，令得又由，令得又轴【点睛】本题考查直线与椭圆中的求解参数范围类问题，求解范围类问题的关键是能够根据已知关系，构造出关于参数的不等式；常见的已知关系有向量关系、位置关系、长度关系等. 21．(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时，在上递减，在上递增（2）当时，，，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，，，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.③当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，，则又，；，，故，；，从而，递增，，递减令，由于时，时故，；，，而时，，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.22．(1) ：，：.(2)【解析】【分析】（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为曲线上存在两点，使得即，即【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.23．(1) (2)【解析】【分析】（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.【详解】（1）当时，定义域基本要求为：当时，当时，，无解当时，综上：的定义域为（2）由题意得：恒成立【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。
2019届安徽省江南十校高三冲刺联考(二模)试题 数学(文)(word版)
绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至 第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|-≥x x }，则C R (A∩B )=A. {2＜|-x x }B. {1|≥x x }C. {1x 2＜|≥-或x x }D. {x ＞＞2|或-≤x x }2.设ii z 2332+-=，复数2+z 位于复平面 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A.2B. 25C. 290941D. 1029 4. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为 A. 21- B. 21 C.-2 D.2 5. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A. π4B. π6C. π8D. π106. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 a ，b ，c 的大小关系为 A. c > a > b B. c > b > a C.b > a > c D.a > b > c7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则=DGA.AD AB 7154- B. AD AB 7476- C. AD AB 7275- D. AD AB 7173- 8. 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为A. 54,3ππB. 65,6ππC. 95,9ππD. 125,12ππ9.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B B A AC bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角C 为 A. 6π B. 65π C. 3π D. 32π 10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD 转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱SA 与DB 所成角的取值范围为 A. ]2,0(π B. ]6,0(π C. ]3,0(π D. ]2,6[ππ 11.已知双曲线方程12222=-by a x (a>0,b>0,a ≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A. ab b a 或 B. ||2222b a b a -+ C. 2222||b a b a +- D. ||2222b a b a -+或2222||b a b a +- 12. 已知函数x x e e x f -+=4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
安徽省江南十校2019届高三理数3月综合素质检测试卷
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○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订……
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…○…………线…………○………… 安徽省江南十校2019届高三理数3月综合素质检测试卷 考试时间：**分钟 满分：**分 姓名：____________班级：____________学号：___________ 题号 一 二 三 总分 核分人 得分 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 15 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题 第Ⅰ卷的注释
评卷人 得分 一、单选题（共12题)
1. 抛物线y=2x2的焦点坐标是（ ） A . （0， ） B . （ ，0） C . （0， ） D . （ ，0）
2. 设集合 ， ，则 （ ） A . B . C . D .
3. 复数 （ 为虚数单位），则 （ ） A . B . C . D . 2 4. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A . B . C . D . 5. 已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（ ） A . B . C . D . 答案第2页，总25页 ………
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………内…………○…………装…………○…………订…………
○
…………线…………○………… 6. 我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体
积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试题(解析版)
101110111110⋯
⏟
2019个 ，则该数的所有数字之和为
1
A. 1973
B. 1974
二、填空题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）
C. 1975
D. 1976
2
C.
(0,1)
8
D.
(1,0)
8
4. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若������ = 2 7，c＝3，B＝2C，则 cos2C 的值为（ ）
7
5
4
7
A. 3
B. 9
C. 9
D. 4
⃗ =2⃗
⃗⋅⃗
5. 已知边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，点 E 满足������������ ������������，则������������ ������������的值是（ ）
=
18
8∑������ =
1������������
=
6
，
������
=
18
8∑������ =
1������������
=
4
，
8
∑������ =
1(������������
‒
������)2
=
72
，
8
∑������ =
1(������������
‒
������)2
=
18.045
，
8
∑������ =
年份
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
2019年安徽省江南十校综合素质检测高三数理试题及答案
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案D 【解析】{2,2}A =−,故选D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A. 3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B.5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BDAB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D.6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A.9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=，或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c = 故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C. 二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+= 14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=，[]123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分（2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分 又BCAO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分 （2）解法一：以O为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(1,2,2)BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则 11302(2,0,1)0220m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−++=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||22278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,6,0)BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1130,6(6,1,2)260y m AB x z x m z m BA x y ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪=⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||26278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===⋅…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCSBCAO A O −==⨯⨯⨯⨯= 设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则111111sin60332C ABA ABA V hSh AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin hBC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ=== 2130535333883010(2),(3)5656C C C C P PC C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑888111()()34.5()()8226.5ii i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)答案
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案D 【解析】{2,2}A =−,故选 D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A. 3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B.5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BDAB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D.6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A.9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=，或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c = 故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C. 二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+= 14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=，[]123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分（2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分 又BCAO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分 （2）解法一：以O为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(1,2,2)BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则 11302(2,0,1)0220m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−++=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||22278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,6,0)BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1130,6(6,1,2)260y m AB x z x m z m BA x y ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪=⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||26278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===⋅…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCSBCAO A O −==⨯⨯⨯⨯= 设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则111111sin60332C ABA ABA V hSh AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ===2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑888111()()34.5()()8226.5ii i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。