原创2021年高考数学试题分类汇编-函数

2021年高考数学试题分类汇编——函数

一、选择题

1.(2021模拟年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x

y a a a =>≠(0,且)的反

函数,且(2)1f =,则()f x = A .x 2log B .x 21

C .x 2

1log D .22-x 【答案】A

【解析】函数1x

y a a a =>≠(0,且)的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即

log 21a =,

所以,2a =,故2()log f x x =,选A.

2.(2021模拟年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 胡文 【答案】D

【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 3.(2021模拟全国卷Ⅰ理) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切,则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ,则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01

|1x x y x a

==

=+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B 4.(2021模拟全国卷Ⅰ理)函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数

(C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 解

:

(1)

f x +与

(1)

f x -都是奇函数,

(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--,

∴函数()f x 关于点(1,0),及点(1,0)-对称,函数()f x 是周期2[1(1)]4

T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+,(3)(3)f x f x -+=-+,即(3)f x +是奇函数。故选D

5.(2021模拟浙江理)对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x ?∈R 且21x x >,有

212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 ( )

A .若1()f x M α∈,2()g x M α∈,则12()()f x g x M αα??∈

B .若1()f x M α∈,2()g x M α∈,且()0g x ≠,则

12

()

()f x M g x αα∈ C .若1()f x M α∈,2()g x M α∈,则12()()f x g x M αα++∈ 胡文 D .若1()f x M α∈,2()g x M α∈,且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈ 答案:C

【解析】对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-,即有

2121()()f x f x x x αα--<

<-,令2121

()()

f x f x k x x -=-,有k αα-<<,不妨设1()f x M α∈,

2()g x M α∈,即有11,f k αα-<<22g k αα-<<,因此有1212f g k k αααα--<+<+,

因此有12()()f x g x M αα++∈.

6.(2021模拟浙江文)若函数2()()a

f x x a x

=+∈R ,则下列结论正确的

是( )

A .a ?∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数胡文

B .a ?∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数

C .a ?∈R ,()f x 是偶函数

D .a ?∈R ,()f x 是奇函数

C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问. 【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 7.(2021模拟北京文)为了得到函数3

lg

10

x y +=的图像,只需把函数lg y x =的图像上所有的点 ( )

A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 【答案】C

.w 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运

算的考查.

A .()()lg 31lg103y x x =++=+,

B .()()lg 31lg103y x x =-+=-,

C .()3

lg 31lg

10x y x +=+-=, D .()3

lg 31lg 10

x y x -=--=.

故应选C.

8.(2021模拟北京理)为了得到函数3

lg

10

x y +=的图像,只需把函数lg y x =的图像上所有的点 ( )

A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算

的考查. 胡文

A .()()lg 31lg103y x x =++=+,

B .()()lg 31lg103y x x =-+=-,

C .()3

lg 31lg

10x y x +=+-=, D .()3

lg 31lg 10

x y x -=--=.

故应选C.

9. (2021模拟山东卷理)函数x x

x x e e y e e

--+=-的图像大致为( ).

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A

D

【解析】:函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因

为22212

111

x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.

答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

10.(2021模拟山东卷理)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=

??

?>---≤-0

),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ,则f (2021模拟)的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,

(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,

(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f (2021模拟)= f (5)=1,故选C. 答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

11.(2021模拟山东卷文)函数x x

x x e e y e e

--+=-的图像大致为( ).

【解析】:函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因

为22212

111

x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.

答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

12. (2021模拟山东卷文)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=

?

?

?>---≤-0),2()1(0),

4(log 2x x f x f x x ,则f (3)的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【

:

2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,

2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.

答案:B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.

13.(2021模拟山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足

(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).

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A

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D

A.(25)(11)(80)f f f -<<

B. (80)(11)(25)f f f <<-

C. (11)(80)(25)f f f <<-

D. (25)(80)(11)f f f -<<

【解析】:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为

)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,

而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即

(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.

答案:D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

14.(2021模拟全国卷Ⅱ文)函数(x ≤0)的反函数是

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(A )2y x =(x ≥0) (B )2y x =-(x ≥0) (B )2y x =(x ≤0) (D )2y x =-(x ≤0)

答案:B

解析:本题考查反函数概念及求法,由原函数x ≤0可知AC 错,原函数y ≥0可知D 错,选B.

15.(2021模拟全国卷Ⅱ文)函数y=2

2log 2x

y x

-=+的图像 (A ) 关于原点对称 (B )关于主线y x =-对称

(C ) 关于y 轴对称 (D )关于直线y x =对称

答案:A

解析:本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选A 。

16.(2021模拟全国卷Ⅱ文)设

2lg ,(lg ),a e b e c ===

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(A )a b c >> (B )a c b >> (C )c a b >> (D )c b a >> 答案:B

解析:本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b,又c=2

1

lge, 作商比较知c>b,选B 。

17.(2021模拟广东卷理)若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数,其图像经过点)a ,则()f x =

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A. 2log x

B. 12

log x C.

1

2x

D. 2x

【解析】x x f

a log )(=,代入)a ,解得2

1=a ,所以()f x =12

log x ,选

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B.

18.(2021模拟广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是 A. 在1t 时刻,甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻,两车的位置相同

D. 0t 时刻后,乙车在甲车前面

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【解析】由图像可知,曲线甲v 比乙v 在0~0t 、0~1t 与x 轴所围成图形面积大,则在0t 、1t 时刻,甲车均在乙车前面,选A. 19.(2021模拟安徽卷理)设a <b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是

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[解析]:/()(32)y x a x a b =---,由/0y =得2,3

a b

x a x +==,∴当x a =时,y 取极大值0,当23

a b

x +=

时y 取极小值且极小值为负。故选C 。 或当x b <时0y <,当x b >时,0y >选C

20.(2021模拟安徽卷理)已知函数()f x 在R 上满足

2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是

(A )21y x =- (B )y x = (C )32y x =- (D )23y x =-+[解析]:由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--, 即22()(2)44f x f x x x --=+-,∴2()f x x =∴/()2f x x =,∴切线方程为

12(1)y x -=-,即210x y --=选A

21.(2021模拟安徽卷文)设,函数的图像可能是

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【解析】可得2,()()0x a x b y x a x b ===--=为的两个零解.

当x a <时,则()0x b f x <∴<

当a x b <<时,则()0,f x <当x b >时,则()0.f x >选C 。

【答案】C

22.(2021模拟江西卷文)函数234

x x y --+=

的定义域为 A .[4,1]- B .[4,0)- C .(0,1] D .[4,0)(0,1]- 答案:D 【解析】由2

340

x x x ≠?

?

--+≥?得40x -≤<或01x <≤,故选D.

23.(2021模拟江西卷文)已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数,若对

于0x ≥,都有(2()f x f x +=),且当[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+),则(2008)(2009)f f -+的值为

A .2-

B .1-

C .1

D .2 答案:C

【解析】1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=,故选C.

24.(2021模拟江西卷文)如图所示,一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不 变,其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为

A B C D

答案:B

【解析】由图可知,当质点(,)P x y 在两个封闭曲线上运动时,投影点

(,0)Q x 的速度先由正到0、到负数,再到0,到正,故A 错误;质

点(,)P x y 在终点的速度是由大到小接近0,故D 错误;质点(,)P x y 在开始时沿直线运动,故投影点(,0)Q x 的速度为常数,因此C 是错误的,故选B .

25.(2021模拟江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和

215

94

y ax x =+

-都相切,则a 等于 A .1-或25-64 B .1-或214 C .74-或25

-64

D .7

4-或7

答案:A

【解析】设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ,所以切线方程为

320003()y x x x x -=-

即230032y x x x =-,又(1,0)在切线上,则00x =或032

x =-,

当00x =时,由0y =与21594y ax x =+-相切可得25

64

a =-,

当032x =-时,由272744y x =-与215

94

y ax x =+-相切可得1a =-,所以选A .

y

x

O

(,)

P x y (,0)

Q x O ()

t t O ()

V t t

O ()

V t t

O )

V t t

26.(2021模拟江西卷理)函数

y =

的定义域为

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A .(4,1)--

B .(4,1)-

C .(1,1)-

D .(1,1]- 答案:C

【解析】由2101

1141340x x x x x x +>>-????-<??

.故选C

27.(2021模拟江西卷理)设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 A .4 B .1

4

- C .2 D .12

- 答案:A

【解析】由已知(1)2g '=,而()()2f x g x x ''=+,所以(1)(1)214f g ''=+?=故选A

28.(2021模拟江西卷理)设函数

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()0)f x a =<的定义域为D ,若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域,则a 的值为

A .2-

B .4-

C .8-

D .不能确定胡文 答案:B

【解析】

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12max ||()x x f x -==||a =4a =-,选B 29.(2021模拟天津卷文)设3.02

13

1)2

1(,3log ,2log ===c b a ,则

A a

B a

C b

D b

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<

而13log 2>=b ,因此选B 。

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能力。

30.(2021模拟天津卷文)设函数?

??<+≥+-=0,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式

)1()(f x f >的解集是( )

A ),3()1,3(+∞?-

B ),2()1,3(+∞?-

C ),3()1,1(+∞?-

D )3,1()3,(?--∞ 【答案】A

【解析】由已知,函数先增后减再增 当0≥x ,2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。 当0

故3)1()(=>f x f ,解得313><<-x x 或

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

31.(2021模拟天津卷文)设函数f(x)在R 上的导函数为f ’(x),且2f(x)+xf ’(x)>x 2,x 下面的不等式在R 内恒成立的是

A 0)(>x f

B 0)(

C x x f >)(

D x x f <)( 【答案】A

【解析】由已知,首先令0=x ,排除B ,D 。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查了分析问题和解决问题的能力。 32.(2021

模拟湖北卷理)设a 为非零实数,函数

11

(,)1ax y x R x ax a -=

∈≠-+且的反函数是 A 、11(,)1ax y x R x ax a -=∈≠-+且 B 、11

(,)1ax y x R x ax a

+=∈≠--且

C 、1(,1)(1)x y x R x a x +=

∈≠-且 D 、1(,1)(1)

x

y x R x a x -=∈≠-+且 【答案】D

【解析】由原函数是11

(,)1ax y x R x ax a

-=

∈≠-+且,从中解得1(,1)(1)y x y R y a y -=

∈≠-+且即原函数的反函数是1(,1)(1)

y

x y R y a y -=∈≠-+且,故选择D

32.(2021模拟湖北卷理)设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速度与球半径

A.成正比,比例系数为C

B. 成正比,比例系数为2C

C.成反比,比例系数为C

D. 成反比,比例系数为2C 9.【答案】D

【解析】由题意可知球的体积为34()()3

V t R t π=,则'2'()4()()c V t R t R t π==,由此可得

'

4()()()

c R t R t R t π=,而球的表面积为2

()4()S t R t π=, 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表=, 即'''

'

228()()24()()()()()()

c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ?表===

=,故选D 33.(2021模拟四川卷文)函数)(21R x y x ∈=+的反函数是

A. )0(log 12>+=x x y

B. )1)(1(log 2>-=x x y

C. )0(log 12>+-=x x y

D. )1)(1(log 2->+=x x y 【答案】C

【解析】由y x y x y x 221log 1log 12+-=?=+?=+,又因原函数的值域是

0>y ,

∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y

34.(2021模拟四川卷文)已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+,则)2

5

(f 的值是

A. 0

B. 2

1

C. 1

D.

2

5 【答案】A

【解析】若x ≠0,则有)(1)1(x f x x x f +=

+,取2

1

-=x ,则有: )21()21()21(2

121

1)121()21(f f f f f -=--=---

=

+-=(∵)(x f 是偶函数,则)2

1

()21(f f =- ) 由此得0)2

1

(=f

是,

0)21(5)21(]2

121

1[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+

=+==+

=

+=f f f f f f f 35.(2021模拟全国卷Ⅱ理)曲线21

x

y x =-在点()1,1处的切线方程为

A. 20x y --=

B. 20x y +-=

C.450x y +-=

D.

450x y --=

解:11122

2121

||[]|1(21)(21)

x x x x x y x x ===--'=

=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.

36.(2021

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模拟全国卷Ⅱ理)设323log ,log log a b c π===

A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D. b c a >>

解:322log 2log

log b c <<>

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2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴

>∴>> .故选A.

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37.(2021

模拟湖南卷文)2log 的值为【 D 】

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A .

B C .1

2-

D .

12

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解:由12

22211log log 2log 222

===,易知D 正确.

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38.(2021模拟湖南卷文)若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数,

则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】

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A .

B .

C .

D .

解: 因为函数()y f x =的导函数()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数,即在区间[,]a b 上

a

b a

b

a

各点处的斜率k 是递增的,由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢.

39.(2021模拟湖南卷文)设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义,对于给定的正数K ,定义函数

取函数()2x f x -=。当K =1

2

时,函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A .(,0)-∞ B .(0,)+∞ C .(,1)-∞- D .(1,)+∞ 解: 函数1()2()2x x f x -==,作图易知1()2

f x K ≤=?(,1][1,)x ∈-∞-+∞,

故在(,1)-∞-上是单调递增的,选C.

40.(2021模拟福建卷理)下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,

+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x

的是

A .

()f x =1

x

B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+

【答案】:A

[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确。

41.(2021模拟福建卷理)函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线

2b

x a

=-

对称。据此可推测,对任意的非零实数a ,b ,c ,m ,n ,p ,关于x 的方程[]2

()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是

A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64

【答案】:D

[解析]本题用特例法解决简洁快速,对方程2[()]()0m f x nf x P ++=中

,,m n p 分别赋值求出()f x 代入()0f x =求出检验即得.

42. (2021模拟辽宁卷文)已知函数()f x 满足:x ≥4,则()f x =1

()2

x ;当x <4时()f x =(1)f x +,则2(2log 3)f +=

(A )

124 (B )112 (C )18 (D )38

【解析】∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23) 且3+log23>4

∴2(2log 3)f +=f(3+log23)

=12221

log 3

3log 3log 311111111()()()282828324

+=?=?=?=

43.(2021模拟辽宁卷文)已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -<1()3

f 的x 取值范围是

(A )(13

,23

) (B) [13

,23

) (C)(12

,23

) (D) [12

2

3

) 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)

∴得f(|2x -1|)<f(13

),再根据f(x)的单调性 得|2x -1|<13

解得13

<x <23

【答案】A

44.(2021模拟辽宁卷理)若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x -1)=5, 1x +2x =

(A )52

(B)3 (C)

7

2

(D)4

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