原创2021年高考数学试题分类汇编-函数
2021年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分 函数与导数2
2021年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分 函数与导数2三、解答题：21．(江西省“八校” 2011年4月高三联合考试理科)（本小题满分14分）已知函数满足当，当的最大值为。
（1）求时函数的解析式；（2）是否存在实数使得不等式对于若存在，求出实数 的取值集合，若不存在，说明理由．21．解析：（1）由已知得： ………………2分()10,2()ln ()2x f x x ax a ∈=+<-因为时，， ()()()4,2+40,2(+4)=ln(+4)++4x x f x x a x ∈--∈设时，则，所以∴()()4,2()=4(+4)4ln(+4)+4+4x f x f x x a x ∈--=时, ………………4分∴，，∴， ∴当144()0()x f x f x a ⎛⎫'∈---> ⎪⎝⎭，时，，为增函数， 当142()0()x f x f x a ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，-时，，为减函数， ∴111()(4)4ln()4()4max f x f a a a a=--=-+-=-，∴ ∴当时， ………………6分（2）由（1）可得：时，不等式恒成立，即为恒成立， ………………7分 ①当时，，令则令，则当时，∴，∴，∴，故此时只需即可； ………………10分②当时，，令则令，则当时，∴，∴，∴，故此时只需即可， ………………13分综上所述：，因此满足题中的取值集合为： ………………14分20. (江西省“八校”2011年4月高三联合考试文科)（本小题满分13分）已知函数2()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+，且对于任意实数，恒有。
（1）求函数的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；（3）函数有几个零点？20 。
（1）由题设得，，则,所以 ……………………2分所以对于任意实数恒成立.故 ……………………3分（2）由x a x x x a x x f x g ln 2ln )1(2)()(2++=+++=，求导数得……………………4分在上恒单调，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立……………………6分 记，可知：，或 ……………………8分(3) 令),0(2,121ln 2)(21ln 22'2>-=+-=-=x xx y x x x f x y ……9分 令02ln 22,0',20,0'>=∴><<<>有极大值时，得得y x x y x y………………………………………11分有两个零点时，有一个零点时，无零点，时，)(2ln )(2ln )(2ln x h k x h k x h k <=>∴ …..13分21．(江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考理科)（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）若上恒成立，求t 的取值范围；（3）讨论关于x 的方程的根的个数．21.（本小题满分14分）解：（1），上单调递减，在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为……4分（3）由令…………10分当上为增函数；当时，为减函数；当 …………12分而 方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. …………14分19. (江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考文科)（本题满分12分） 已知函数32213()(3)2.32a f x x x a a x a -=++-- （Ⅰ）若在处有极值，求的值及单调区间（Ⅱ）如果对任意恒成立，求实数的取值范围.19.解： （Ⅰ）∵在处有极值，∴ 解得： 此时令，则；令，则∴在上单调递增，在上单调递减。
2021年高考数学真题分类汇编 2.8 函数模型及其综合应用 理
2021年高考数学真题分类汇编 2.8 函数模型及其综合应用理考点一函数的实际应用1.(xx湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-1答案 D2.(xx浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)答案考点二函数的综合应用3.(xx辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A. B. C. D.答案 B4.(xx湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1) (2)x5.(xx山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案(2,+∞)6.(xx四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④39493 9A45 驅39046 9886 领35028 88D4 裔m%c40386 9DC2 鷂#29308 727C 牼\z38153 9509 锉b35752 8BA8 讨。
2021年高考数学分项汇编 专题02 函数(含解析)理
2021年高考数学分项汇编专题02 函数（含解析）理一．基础题组1. 【2011新课标，理2】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|【答案】B2. 【xx全国2，理2】函数y＝ (x＞1)的反函数是( )A．y＝e2x＋1－1(x＞0) B．y＝e2x－1＋1(x＞0)C．y＝e2x＋1－1(x∈R) D．y＝e2x－1＋1(x∈R)【答案】：D3. 【xx全国2，理】函数y=ln x+1(x>0)的反函数为（）A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x-1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x-1(x>1)【答案】:B4. 【xx全国3，理6】若，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】C【解析】，，，∵，∴c<a<b.5.【xx全国2，理3】函数的反函数是（）(A) (B)(C) (D)【答案】B【解析】6. 【xx高考新课标2，理5】设函数,( )A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅱ，理8】设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】：D2. 【xx全国，理9】已知x＝ln π，y＝log52，，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【答案】D3. 【xx全国2，理8】函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为（）A.f(x)= (x>0)B.f(x)= (x<0)C.f(x)=-log2x(x>0)D.f(x)=-log2(-x)(x<0)【答案】:D4. 【xx新课标，理15】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.【答案】三．拔高题组1. 【2011新课标，理12】函数的图像与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】2. 【xx全国2，理10】若f(sin x)=3-cos2x,则f(cos x)等于（）A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x 【答案】:C3. 【xx全国2，理12】函数f(x)=的最小值为（）A.190B.171C.90D.45【答案】:C4. 【xx全国2，理10】点在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)．设开始时点的坐标为，则5秒后点的坐标为（）(A) (B) (C) (D)【答案】C5. 【xx全国3，理16】已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是【答案】36.【xx高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（）(D)(C)(B)(A)xyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxxyπ4π23π4π22π3π4π2π4yx【答案】B【考点定位】函数的图象和性质．E"40791 9F57 齗28904 70E8 烨35155 8953 襓27118 69EE 槮825694 645E 摞,H {D P CBOAx。
2021年高考数学真题分类汇编 3.2 导数的应用 文
考点一导数与函数的单调性1.(xx课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案 D2.(xx重庆,19,12分)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=--,由f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x知f '(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f '(x)=,令f '(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时, f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.3.(xx安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1+a-2x-3x2.令f '(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2,所以f '(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时, f '(x)<0;当x1<x<x2时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.(i)当a≥4时,x2≥1,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.(ii)当0<a<4时,x2<1.由(1)知, f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,因此f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1, f(1)=a,所以当0<a<1时, f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时, f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时, f(x)在x=0处取得最小值.4.(xx湖北,21,14分)π为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=,所以f '(x)=.当f '(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).(2)因为e<3<π,所以eln 3<eln π,πln e<πln 3,即ln 3e<ln πe,ln eπ<ln 3π.于是根据函数y=ln x,y=e x,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即<<.由<,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3;由<,得ln 3e<ln e3,所以3e<e3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.5.(xx广东,21,14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈∪,使得f(x)=f.解析(1)函数的定义域为R, f '(x)=x2+2x+a.①当a<1时,令f '(x)>0,则x2+2x+a>0⇒x>-1+或x<-1-,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞);令f '(x)<0,可得-1-<x<-1+,所以f(x)的单调递减区间为(-1-,-1+).②当a≥1时,f '(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增函数.(2)a<0时,-1+>0.由(1)知, f(x)在(-1+,+∞)上是增函数.①⇒⇒⇒-≤a,则-≤a<0,不存在x0∈∪,使得f(x)=f;②⇒⇒-<a<-,存在x0∈∪,使得f(x)=f;③-1+=⇒a=-,不存在x0∈∪,使得f(x)=f;④⇒⇒-3<a<-,不存在x0∈∪,使得f(x)=f;⑤⇒⇒-<a<-,存在x0∈∪,使得f(x)=f;⑥-1+≥1⇒a≤-3, f(x)在(0,1)上是单调函数,故不存在x0∈∪,使得f(x)=f.综上所述,当a∈∪时,存在x0∈∪,使得f(x)=f.当a∈∪∪时,不存在x0∈∪,使得f(x)=f.考点二导数与函数的极值与最值6.(xx辽宁,12,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案 C7.(xx天津,19,14分)已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f '(x)=2x-2ax2(a>0).令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘所以, f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时, f(x)>0;当x∈时, f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=.则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B.显然,0∉ B.下面分三种情况讨论:①当>2,即0<a<时,由f=0可知,0∈A,而0∉B,所以A不是B的子集.②当1≤≤2,即≤a≤时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞, f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B.所以,A⊆B.③当<1,即a>时,有f(1)<0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=,A=(-∞,f(2)),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是.8.(xx浙江,21,15分)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.解析(1)因为a>0,-1≤x≤1,所以(i)当0<a<1时,若x∈[-1,a],则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,a)上是减函数;若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a, f '(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3.(ii)当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=(2)令h(x)=f(x)-g(a),(i)当0<a<1时,g(a)=a3,若x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0<a<1,所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)+4;若x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,则h(x)在(-1,a)上是减函数,所以,h(x)在[-1,a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,则t'(a)=3-3a2>0,知t(a)在(0,1)上是增函数,所以,t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)≤g(a)+4.(ii)当a≥1时,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=4.故f(x)≤g(a)+4.综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.9.(xx四川,21,14分)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.解析(1)由f(x)=e x-ax2-bx-1,有g(x)=f '(x)=e x-2ax-b,所以g'(x)=e x-2a.当x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a],当a≤时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当a≥时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减.因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;当<a<时,令g'(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x)=0可知f(x)在区间(0,x)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,所以<a<.此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e-1<2,有g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.考点三导数的综合应用10.(xx课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x,且x>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案 C11.(xx湖南,9,5分)若0<x1<x2<1,则( )A.->ln x2-ln x1B.-<ln x2-ln x1C.x2>x1D.x2<x1答案 C12.(xx福建,22,14分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.解析(1)由f(x)=e x-ax,得f '(x)=e x-a.又f '(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=e x-2x, f '(x)=e x-2.令f '(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x>ln 2时, f '(x)>0, f(x)单调递增.所以当x=ln 2时, f(x)有极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得,g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,即g'(x)>0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)解法一:对任意给定的正数c,取x=,由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>x时,e x>x2>x,即x<ce x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.解法二:令k=(k>0),要使不等式x<ce x成立,只需要e x>kx成立.而要使e x>kx成立,只需要x>ln (kx),即x>ln x+ln k成立.①若0<k≤1,则ln k≤0,易知当x>0时,x>ln x≥ln x+ln k成立.即对任意c∈[1,+∞),取x0=0,当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.②若k>1,令h(x)=x-ln x-ln k,则h'(x)=1-=,所以当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)内单调递增.取x=4k,h(x)=4k-ln (4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln 2),易知k>ln k,k>ln 2,所以h(x)>0.因此对任意c∈(0,1),取x0=,当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.解法三:①若c≥1,取x=0,由(2)的证明过程知,e x>2x,所以当x∈(x,+∞)时,有ce x≥e x>2x>x,即x<ce x.②若0<c<1,令h(x)=ce x-x,则h'(x)=ce x-1.令h'(x)=0,得x=ln.当x>ln时,h'(x)>0,h(x)单调递增.取x=2ln,h(x)=c-2ln=2,易知-ln>0,又h(x)在(x,+∞)内单调递增,所以当x∈(x0,+∞)时,恒有h(x)>h(x)>0,即x<ce x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x,+∞)时,恒有x<ce x.注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.13.(xx课标Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=aln x+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x)<,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=+(1-a)x-b.由题设知f '(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=aln x+x2-x, f'(x)=+(1-a)x-1=(x-1).(i)若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.(ii)若<a<1,则>1,故当x∈时, f '(x)<0;当x∈时, f '(x)>0.f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x)<的充要条件为f<.而f=aln ++>,所以不合题意.(iii)若a>1,则f(1)=-1=<.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).14.(xx江西,18,12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.解析(1)当a=-4时,由f '(x)==0得x=或x=2,由f '(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).(2)f '(x)=,a<0,由f '(x)=0得x=-或x=-.当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.易知 f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.②当1<-≤4,即-8≤a<-2时, f(x)在[1,4]上的最小值为f=0,不符合题意.③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减, f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上,a=-10.15.(xx课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.解析(1)f '(x)=3x2-6x+a, f '(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得-=-2,所以a=1.(2)由(1)知, f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.37034 90AA 邪21769 5509 唉?24448 5F80 往Z 36865 9001 送/32400 7E90 纐-227489 6B61 歡Q31230 79FE 秾26680 6838 核。
高考数学 分项专题函数与导数试题解析 理 试题
2021年高考数学 分项版专题?函数与导数?试题解析 理一、选择题:1. (2021年高考卷理科5)对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称〞是“y =()f x 是奇函数〞的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要 【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确.2. (2021年高考卷理科9)函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确. 3. (2021年高考卷理科10)()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 【答案】B【解析】因为当02x ≤<时,3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.4．(2021年高考卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，那么()f 1=〔A 〕-3 (B) -1 〔Ｃ〕１ 〔Ｄ〕３6．(2021年高考卷理科9)设函数f 〔x 〕=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1那么满足f 〔x 〕≤2的x 的取值范围是〔 〕〔A 〕[-1，2] 〔B 〕[0，2] 〔C 〕[1，+∞〕 〔D 〕[0，+∞〕答案： D解析：不等式等价于11,22x x -≤⎧⎨≤⎩或者21,1log 2,x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或者1x >，即0x ≥，应选D.7．(2021年高考卷理科11)函数f 〔x 〕的定义域为R ，f 〔-1〕=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，那么f 〔x 〕＞2x+4的解集为〔 〕〔A 〕〔-1，1〕 〔B 〕〔-1，+∞〕 〔C 〕〔-∞，-1〕 〔D 〕〔-∞，+∞〕 答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g ’(x)= f ’x R ∈，f ’〔x 〕＞2，所以对任意x R ∈，g ’(x)>0，那么函数g(x)在R 上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).8．(2021年高考卷理科1)设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,那么实数α=〔A 〕-4或者-2 〔B 〕-4或者2 〔C 〕-2或者4 〔D 〕-2或者2 【答案】 B【解析】：当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，应选B 9. (2021年高考全国新课标卷理科2)以下函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是〔 〕A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,应选B ； 点评：此题考察复合函数的奇偶性和单调性，因为函数xy x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。
2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案
2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2nnx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.3．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；4．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++>B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC 【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远 所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.5．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.6．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有3个零点D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、21x =+、21x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立8．已知函数()221,0log1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】逐项分析判断即可.【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.11．已知函数22(2)log(1),1()2,1xx xf xx+⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x的方程()f x m=有四个不等实根1x，2x，3x，()41234x x x x x<<<，则下列结论正确的是（）A．12m<≤B．11sin cos0x x->C．3441x x+>-D．2212logmx x++10【答案】ACD【分析】画出()f x的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.【详解】画出()f x的图象如下图所示，由于关于x的方程()f x m=有四个不等实根1x，2x，3x，()41234x x x x x<<<，由图可知12m<≤，故A选项正确.由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ 51≥=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.13．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+14．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．15．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，所以当((0,1),A B C 时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.16．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.17．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.18．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x axa =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >.故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.19．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1，故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．。
2021-2023全国高考真题数学汇编：函数章节综合
思路一：从定义入手．
f
9 2
=2
=
f
−
5 2
+
2
=
f
−
1 2
f
−
1 2
=
f
−
3 2
+1
=
−
f
3 2
+1
=
−
f
5 2
−
f
5 2
=
−
f
1 2
+
2
=
−
f
−
1 2
+
2 = −
f
3 2
所以
f
9 2
=
−
f
3 2
=
5 2
．
[方法二]：
因为 f ( x +1)是奇函数，所以 f (−x +1) = − f (x +1) ①；
【分析】通过 f ( x +1)是奇函数和 f ( x + 2) 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 f ( x) = −2x2 + 2 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]：
因为 f ( x +1)是奇函数，所以 f (−x +1) = − f (x +1) ①；
因为 f ( x + 2) 是偶函数，所以 f (x + 2) = f (−x + 2) ②．
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于 a 的方程，解方程可得 a 的值.
2021年高考数学试题《函数与导数》(整理版教师版)
2021年高考数学试题分类汇编：函数与导数(教师版)一、选择题1.〔安徽理3〕 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么(1)f =〔A 〕〔A 〕3- (B) 1- 〔Ｃ〕1 〔Ｄ〕32.(安徽理10) 函数()()1nm f x ax x =-在区间〔0,1〔B 〕 〔A 〕1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==3.〔安徽文5〕假设点(a,b)在lg y x = 图像上，1a ≠,那么以下点也在此图像上的是 〔D 〕 〔A 〕1(,)b a (B) (10,1)a b - (C) 10(,1)b a+ (D) 2(,2)a b 4.〔北京理6〕根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间〔单位：分钟〕为()x A f x x A <=≥〔A ，c 为常数〕。
工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 〔D 〕A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16 5.〔北京文8〕点(0,2)A ,(2,0)B ,假设点C 在函数2y x =的图象上，那么使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 〔A 〕 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.〔福建理5〕1(2)xe x dx +⎰等于 〔C 〕A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +7.〔福建理9〕对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是 〔D 〕A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和28.〔福建理10〕函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 〔B 〕 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④9.〔福建文6〕假设关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是〔C 〕A ．〔－1，1〕B ．〔－2，2〕C ．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕D ．〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕10.〔福建文8〕函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于 〔A 〕A ．－3B ．－1C ．1D ．311.〔福建文10〕假设a ＞0，b ＞0，且函数32()421f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，那么ab 的最大值等于〔D 〕A ．2B ．3C ．6D ．912.〔广东理4〕设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是〔A 〕A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +|是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 13.〔广东文10〕设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x •；对任意,,()()(())x R f g x f g x ∈=；()()()()f g x f x g x •=．那么以下等式恒成立的是〔B 〕 A ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=•• B ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=• C ． (())()(()())()fg h x f h g h x = D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ••=•••14.〔湖北理6〕定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xxf xg x a a -+=-+，(0,1)a a >≠，假设(2),g a =，那么(2)f = 〔B 〕A. 2B.154 C. 174D. 2a 15.〔湖北理10〕放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M 〔单位：太贝克〕与时间t 〔单位：年〕满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，30t =时，铯137的含量的变化率是10ln2-〔太贝克/年〕，那么(60)M =〔D 〕A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln 2太贝克D. 150太贝克 16.〔湖南文7〕曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 〔B 〕A ．12-B ．12C．2- D．217.〔湖南文8〕函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-假设有()()f a g b =那么b 的取值范围为 〔B 〕 A．2⎡-+⎣ B．(2+ C ．[]1,3 D ．(1,3)18.〔湖南理6〕由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为〔D 〕A ．12B ．1 CD19.〔湖南理8〕设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，那么当MN到达最小时t的值为〔D 〕A ．1B ．12CD20.〔江西文4〕曲线xy e =在点A 〔0,1〕处的切线斜率为 〔A 〕A.1B.2C. eD. 1e21.〔江西理3〕假设()f x =，那么()f x 定义域为〔A 〕A. 1(,0)2-B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1(,)2-+∞ D. (0,)+∞22.〔江西理4〕设2()24ln f x x x x =--，那么'()0f x >的解集为 〔C 〕 A. (0,)+∞ B. (1,0)(2,)-+∞ C. (2,)+∞ D. (1,0)-23.〔江西理7〕观察以下各式：56753125,515625,578125,,===那么20115的末四位数字为〔D 〕A. 3125B. 5625C. 0625D.8125 24.〔辽宁理9〕设函数{122,11log ,1()x x x x f x -≤->=，那么满足()2f x ≤的x 的取值范围是 〔D 〕A ．[]1,2-B ．[0，2]C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞25.〔辽宁理11〕函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，那么()24f x x >+的解集为 〔B 〕A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞26.〔辽宁文6〕假设函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，那么a=〔A 〕A ．12 B ．23C ．34D ．1 27.〔全国Ⅰ理2〕以下函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 〔B 〕〔A 〕3y x = (B) 1y x =+ 〔C 〕21y x =-+ (D) 2xy -=28.〔全国Ⅰ理9〕由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 〔C 〕〔A 〕103 〔B 〕4 〔C 〕163〔D 〕6 29. (全国Ⅰ理12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 〔D 〕 〔A 〕2 (B) 4 (C) 6 (D)830.〔全国Ⅰ文4〕曲线221y x x =-+在点〔1,0〕处的切线方程为 〔A 〕 〔A 〕1y x =- 〔B 〕1y x =-+ 〔C 〕22y x =- 〔D 〕22y x =-+ 31. (全国Ⅰ文9)设偶函数()f x 满足()24(0)f x x x =-≥，那么{}|(2)0x f x ->= 〔B 〕〔A 〕{}|24x x x <->或 〔B 〕{}|04x x x <>或 〔C 〕{}|06x x x <>或 〔D 〕{}|22x x x <->或 32.〔全国Ⅱ理8〕曲线21x y e-=+在点〔0,2〕处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 〔A 〕(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 33.〔全国Ⅱ理9〕设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，那么5()2f -= 〔A 〕(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 1234.〔山东理9〕函数2sin 2xy x =-的图象大致是 〔C 〕35.〔山东理10〕()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时, 3()f x x x =-,那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 〔A 〕 〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕936.〔山东文4〕曲线3()11f x x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 〔C 〕 〔A 〕-9 〔B 〕-3 〔C 〕9 〔D 〕1537.〔陕西理3〕设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，那么函数()y f x =的图像是 〔B〕38.〔陕西文4〕 函数13y x =的图像是 〔B 〕 39.〔上海理16〕以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是〔A 〕〔A 〕1lny x=. 〔B 〕3y x =. 〔C 〕2x y =. 〔D 〕cos y x =. 40.〔天津理2〕函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是 〔B 〕 Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)41.〔天津理8〕设函数{212log ,0log (),0()x x x x f x >-<=，假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是〔C 〕Ａ．()()1,00,1- Ｂ．()(),11,-∞-+∞()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩()⎩⎨⎧≤+>=0),1(02x x f x x x f Ｃ．()()1,01,-+∞ Ｄ．()(),10,1-∞-42.〔天津文4〕函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 〔C 〕 Ａ．(2,1)-- Ｂ．(1,0)- Ｃ．(0,1) Ｄ．(1,2)43.〔天津文6〕设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，那么 〔D 〕 Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 44.〔天津文10〕设函数2()2()g x x x R =-∈， 那么()f x 的值域是 〔D 〕 Ａ． [)9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦45.〔浙江理1〕 ，那么(2)(2)f f -+的值为 〔B 〕A ．6B ．5C ．4D ．246.〔浙江文10〕设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，假设1x =-为函数2()f x e 的一个极值点，那么以下图象不可能为()y f x =的图象是〔D 〕47.〔重庆理5〕以下区间中，函数()ln(2)f x x =-在其上为增函数的是 〔D 〕 〔A 〕(],1-∞ 〔B 〕41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭〔D 〕[)1,248.〔重庆理10〕设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m+k 的最小值为〔D 〕〔A 〕-8 〔B 〕8 (C)12 (D) 13 49. (重庆文7)假设函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,那么a = 〔C 〕(A) 1+(B) 1(C) 3 (D) 4 二、填空题50.〔天津理16〕设函数2()1f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，那么实数m 的取值范围是3,,2m ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．51.〔四川理16〕函数()f x 的定义域为A ，假设12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，那么称()f x 为单函数．例如，函数()21()f x x x R =+∈是单函数．以下命题： ①函数2()f x x =〔x ∈R 〕是单函数；②假设()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，那么12()()f x f x ≠； ③假设f ：A→B 为单函数，那么对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，那么()f x 一定是单函数．52. 〔上海理13〕设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，假设函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，那么()f x 在区间[]10,10-上的值域为[15,11]-53.〔陕西理11〕设20lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，假设()(1)1ff =，那么a = 1 ．54.〔陕西理12〕设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =3或4 55.〔山东理16〕函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点0(,1),x n n n N +∈+∈，那么n =5 .56.〔辽宁文16〕函数()2xf x e x a =-+有零点，那么a 的取值范围是_(,2ln 22]-∞-__．57.〔江苏8〕在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数2()f x x=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ 长的最小值是___4_____.58.〔江苏12〕在平面直角坐标系xoy 中，点P 是函数()(0)xf x e x =>的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点2/22()626()66a a f x x axb x b =++=++-的纵坐标为t ，那么t 的最大值是__11()2e e +___ 59.〔广东理12〕函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值.60.〔北京理13〕函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，假设关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是____〔0,1〕____.三、解答题1. (重庆文19)设32()21f x x ax bx =+++的导数为'()f x ,假设函数'()y f x =的图象关于直线12x =-对称，且'(1)0f =.]。
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2021年高考数学试题分类汇编——函数一、选择题1.(2021模拟年广东卷文)若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x = A ．x 2log B ．x 21C ．x 21log D ．22-x 【答案】A【解析】函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,所以,2a =,故2()log f x x =,选A.2.(2021模拟年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 胡文 【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 3.（2021模拟全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01|1x x y x a===+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B 4.（2021模拟全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 解:(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。
故选D5.（2021模拟浙江理）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( )A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈ 胡文 D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ 答案：C【解析】对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，即有2121()()f x f x x x αα--<<-，令2121()()f x f x k x x -=-，有k αα-<<，不妨设1()f x M α∈，2()g x M α∈，即有11,f k αα-<<22g k αα-<<，因此有1212f g k k αααα--<+<+，因此有12()()f x g x M αα++∈．6.（2021模拟浙江文）若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数胡文B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问． 【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 7.（2021模拟北京文）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C.w 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg 10x y x -=--=.故应选C.8.（2021模拟北京理）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 胡文A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg 10x y x -=--=.故应选C.9. (2021模拟山东卷理)函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).AD【解析】:函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.10.(2021模拟山东卷理)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2021模拟）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2021模拟）= f （5）=1,故选C. 答案:C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.11.(2021模拟山东卷文)函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.12. (2021模拟山东卷文)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.13.(2021模拟山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).ADA.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【解析】:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.14.（2021模拟全国卷Ⅱ文）函数(x ≤0)的反函数是（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0） （B ）2y x =（x ≤0） （D ）2y x =-（x ≤0）答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x ≤0可知AC 错,原函数y ≥0可知D 错，选B.15.（2021模拟全国卷Ⅱ文）函数y=22log 2xy x-=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称（C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称答案：A解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。