2017年高考理科数学分类汇编 导数

导数

1.【2017课标II ,理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

【答案】A

【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-???

, 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????,

则()()211e x f x x x -=--?,()()212e x f x x x -'=+-?,

令()0f x '=,得2x =-或1x =,

当2x <-或1x >时,()0f x '>,

当21x -<<时,()0f x '<,

则()f x 极小值为()11f =-.

【考点】 函数的极值;函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。

(2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。

2.【2017课标3,理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =

A .12-

B .13

C .12

D .1

【答案】C

【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得:

221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )

4442(e e )2(e e )

x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++

∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴,

由题意,()f x 有唯一零点,

∴()f x 的零点只能为1x =,

即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=, 解得12

a =. 【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想

【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的

范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.

3.【2017浙江,7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数y=f (x )的图像可能是

2017年高考理科数学分类汇编 导数

2017年高考理科数学分类汇编 导数

【答案】D

【解析】

试题分析:原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D .

【考点】 导函数的图象

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与x 轴的交点为0x ,且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方,则0x 为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数)('x f 的正负,得出原函数)(x f 的单调区间.

4.【2017课标1,理21】已知函数2()(2)x x f x ae

a e x =+--.

(1)讨论()f x 的单调性;

(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.

【解析】

试题分析:(1)讨论()f x 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,在对a 按0a ≤,

0a >进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)题,若0a ≤,()f x 至多有一个零点.若0a >,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,求出最小值1(ln )1ln f a a a

-=-

+,根据1a =,(1,)a ∈+∞,(0,1)a ∈进行讨论,可知当(0,1)a ∈有2个零点,设正整数0n 满足03ln(1)n a

>-,则 00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a

->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).

21.解:(1)由于()()2e 2e x x f x a a x =+--

故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+

①当0a ≤时,e 10x a -<,2e 10x +>.从而()0f x '<恒成立.()f x 在R 上单调递减

②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x a -=,得ln x a =-.

2017年高考理科数学分类汇编 导数

综上,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减;

当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增

(2)由(1)知,

当0a ≤时,()f x 在R 上单调减,故()f x 在R 上至多一个零点,不满足条件.

当0a >时,()min 1ln 1ln f f a a a =-=-

+. 令()11ln g a a a =-

+. 令()()11ln 0g a a a a =-+>,则()211'0g a a a

=+>.从而()g a 在()0+∞,上单调增, 而()10g =.故当01a <<时,()0g a <.当1a =时()0g a =.当1a >时()0g a >

若1a >,则()min 11ln 0f a g a a

=-+=>,故()0f x >恒成立, 从而()f x 无零点,不满足条件.

若1a =,则min 11ln 0f a a

=-+=,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=,不满足条件. 若01a <<,则min 11ln 0f a a =-

+<,注意到ln 0a ->.()22110e e e a a f -=++->. 故()f x 在()1ln a --,上有一个实根,而又31ln 1ln ln a a a ??->=- ???

. 且

33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ????-- ? ???????????-=?+--- ? ? ? ???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

. 故()f x 在3ln ln 1a a ????-- ? ????

?,上有一个实根. 又()f x 在()ln a -∞-,上单调减,在()ln a -+∞,单调增,故()f x 在R 上至多两个实根.

又()f x 在()1ln a --,及3ln ln 1a a ????-- ? ????

?,上均至少有一个实数根,故()f x 在R 上恰有两个实根. 综上,01a <<.

【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围.

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断y a =与其交点的个数,从而求出a 的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若()f x 有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.

5.【2017课标II ,理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥。 (1)求a ;

(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且()2202e f x --<<。

【解析】21.解:⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥.

令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11ax g x a x x

-'=-=, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <;

当0a >时,令()0g x '=,得1x a =

. 当10x a <<时,()0g x '<,()g x 单调减;当1x a

>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ?? ???,上单调减,()110g g a ??<= ???

; 若1a >,则()g x 在11a ?? ???,上单调增,()110g g a ??<= ???

; 若1a =,则()()min 110g x g g a ??=== ???

,()0g x ≥. 综上,1a =.

⑵ ()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.

令()22ln h x x x =--,则()1212x h x x x -'=-

=,0x >. 令()0h x '=得12x =

, 当102x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减;当12

x >时,()0h x '>,()h x 单调递增. 所以,()min 112ln 202h x h ??==-+< ???

. 因为()22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-??∈ ???,,122??∈+∞ ???

,, 所以在102?? ???,和12??+∞ ???

,上,()h x 即()f x '各有一个零点. 设()f x '在102?? ???,和12??+∞ ???,上的零点分别为02x x ,,因为()f x '在102?? ???

,上单调减, 所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当012

x x <<

时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点. 因为,()f x '在12??+∞ ???

,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,2x x >时,()f x 单调增,因此2x 是()f x 的极小值点.

所以,()f x 有唯一的极大值点0x . 由前面的证明可知,201e 2x -??∈ ???,,则()()

24220e e e e f x f ---->=+>. 因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则

又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<

,所以()014f x <. 因此,()201e 4

f x -<<. 【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。

6.【2017课标3,理21】已知函数()1ln f x x a x =-- .

(1)若()0f x ≥ ,求a 的值;

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