2017年高考理科数学分类汇编 导数

导数

1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

【答案】A

【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-???

， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?，

令()0f x '=，得2x =-或1x =，

当2x <-或1x >时，()0f x '>，

当21x -<<时，()0f x '<，

则()f x 极小值为()11f =-．

【考点】 函数的极值；函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。

(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。

2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12-

B ．13

C ．12

D ．1

【答案】C

【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：

221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )

4442(e e )2(e e )

x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++

∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，

由题意，()f x 有唯一零点，

∴()f x 的零点只能为1x =，

即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12

a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想

【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的

范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

3.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是

【答案】D

【解析】

试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．

【考点】 导函数的图象

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间．

4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae

a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

【解析】

试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，

0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a

-=-

+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a

>-，则 00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a

->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).

21.解：（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--

故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+

①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减

②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．

综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；

当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增

（2）由（1）知，

当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件．

当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-

+． 令()11ln g a a a =-

+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a

=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增， 而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >

若1a >，则()min 11ln 0f a g a a

=-+=>，故()0f x >恒成立， 从而()f x 无零点，不满足条件．

若1a =，则min 11ln 0f a a

=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-

+<，注意到ln 0a ->．()22110e e e a a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ??->=- ???

． 且

33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ????-- ? ???????????-=?+--- ? ? ? ???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

． 故()f x 在3ln ln 1a a ????-- ? ????

?，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．

又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ????-- ? ????

?，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根． 综上，01a <<．

【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.

5.【2017课标II ，理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。 (1)求a ；

(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。

【解析】21．解：⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x

-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <；

当0a >时，令()0g x '=，得1x a =

． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??<= ???

； 若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??<= ???

； 若1a =，则()()min 110g x g g a ??=== ???

，()0g x ≥． 综上，1a =．

⑵ ()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x -'=-

=，0x >． 令()0h x '=得12x =

， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ??==-+< ???

． 因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??∈+∞ ???

，， 所以在102?? ???，和12??+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102?? ???

，上单调减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012

x x <<

时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12??+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．

所以，()f x 有唯一的极大值点0x ． 由前面的证明可知，201e 2x -??∈ ???，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则

又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<

，所以()014f x <． 因此，()201e 4

f x -<<． 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。

6.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- .

（1）若()0f x ≥ ，求a 的值；