随机变量的均值与方差、正态分布(专题复
教学过程
一、课堂导入
“离散型随机变量的分步列,均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸,在本讲的学习中,同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念,认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件,会用分布列来计算这类事件的概率,计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.在高考中,这部分知识通常有一道解答题,占12─14分左右,主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力,凸显数学的应用价值.
二、 复习预习
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.
( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均程度越小.
( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差.
( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.
( )
2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=1
5(k =2,4,6,8,10),则D (ξ)等于
( )
A .5
B .8
C .10
D .16
3.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4),若P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),则a 等于 ( )
A .3 B.5
3
C .5
D.73
4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=________. 5.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X 的均值是________.
附:1. √√√√ 2. B 3. D 4. 9
16
5. 0.7
三、知识讲解
考点1离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
(x i-E(X))2p i为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根称D(X)=∑n
i=1
D X为随机变量X的标准差.
考点2均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)
考点3两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=__p__,D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=__np__,D(X)=np(1-p).
考点4正态分布
(1)正态曲线:函数φμ,σ(x)=1
2πσ
e2
2
ó
2
)
(u
x-
-,x∈(-∞,+∞),其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R).我们称函数φμ
、σ(x)
的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
1
σ2π
;
④曲线与x轴之间的面积为__1__;
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
(3)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b (a
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 四、例题精析 考点一离散型随机变量的均值、方差 例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=5 3 ,D(η)= 5 9 ,求a∶b∶c. 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题、填空题 1.已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),P (ξ≤4)=0.84,则P (ξ≤-2)=( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68 D .0.84 2.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为 c ,a 、b 、c ∈(0,1),且无其他得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望为1, 则ab 的最大值为 ( ) A.148 B.124 C.1 12 D.16 3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( ) A .100 B .200 C .300 D .400 4.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为: 则q 等于( ) A .1 B .1±22 C .1-2 2 D .1+ 2 2 5.随机变量X 的概率分布规律为P (X =k )=c k (k +1),k =1,2,3,4,其中c 是常数,则P (12 §12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D (X )=∑n i =1 (x i -E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E (aX +b )=aE (X )+b . (2)D (aX +b )=a 2 D (X ).(a ,b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布,则E (X )=__p __,D (X )=p (1-p ). (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=__np __,D (X )=np (1-p ). 4.正态分布 (1)正态曲线:函数φμ,σ(x )=1 2πσ e -x -μ2 2σ2 ,x ∈(-∞,+∞),其中μ和σ为参数(σ>0, μ∈R ).我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的性质: ①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称; ③曲线在x =μ处达到峰值1 σ2π; ④曲线与x 轴之间的面积为__1__; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移,如图甲所示; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示. 教学过程 一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列,均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸,在本讲的学习中,同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念,认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件,会用分布列来计算这类事件的概率,计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.在高考中,这部分知识通常有一道解答题,占12─14分左右,主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力,凸显数学的应用价值. 二、 复习预习 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定. ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均程度越小. ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差. ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布. ( ) 2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=1 5(k =2,4,6,8,10),则D (ξ)等于 ( ) A .5 B .8 C .10 D .16 3.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4),若P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),则a 等于 ( ) A .3 B.5 3 C .5 D.73 4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X 表示取到次品的件数,则D (X )=________. 知识讲解离散型随机变量的均值与方差(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除 离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有 =1p =2p …n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有 b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+222)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系: 简单随机变量之和与正态分布 本文将笼统,随意的讲解,为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。 首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。假设我们手里有一枚硬币,我们认定硬币的正面为1,反面为0,那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。如果我不写概率也是写概率的比例,那么这个比例可以写为1:1。现在我们抛两次硬币,那么这个结果有四种,00,01,10,11。相信你知道我在说什么。那么正同我们提到的,我们要的是随机变量之和,所以我们有0,1,2。且他们的比例可以很容易的得到,是1:2:1。那么如果抛三次硬币呢?可能的结果就是0,1,2,3,而他们的比例是1:3:3:1。也许你已经发现这个规律了,也许你没有,但我会告诉你的。假如你抛2N次硬币,并且求和,那么其结果就是0,1,2……2N,共2N+1种可能。这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。你可以代入刚才抛三次的情况,C30:C31:C32:C33就是我们得到的1:3:3:1。至于为什么这个比例符合组合数,抛两次硬币那里举了个例子,就不重复了。这里简单的定义以下,每个随机变量称作X i他们的和称作Y,也就是: 2N Y=∑X i 1 (为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次,因为我想保证我抛的是偶数次,这样Y的均值就是N了,你会发现抛两次的时候,Y的均值就是1,但是如果你抛三次,Y的均值就会是1.5,我想避免这个小数。) 所以接下来我们就要说明,组合数的分布规律为什么就成了正态分布。那么首先,你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次,来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。 从Y的取值范围你也能猜出,这里分别是N取5,10,15,20的情况,实际上除了N 取5,也就是抛10次的时候,你还能看得清楚红线和蓝线,当N取10也就是抛20次以后,两线其实非常吻合了。你还可以看一下他们之间的误差,其峰值也是逐渐减小的。 离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有=1p =2p … n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+22 2)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中 的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系: 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质: 若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,2 ()D D a b a D ηξξ=+=; 要点三:常见分布的期望与方差 1、二点分布: 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布,则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=- Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software https://www.360docs.net/doc/9717562270.html, For evaluation only. 高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.已知随机变量X 服从二项分布,且E (X )=2.4,D (X )=1.44,则二项分布的参数n ,p 的值为( ) A .n =4,p =0.6 B .n =6,p =0.4 C .n =8,p =0.3 D .n =24,p =0.1 【解析】 由题意得??? ?? np =2.4, np 1-p =1.44, 解得??? ?? n =6, p =0.4. 【答案】 B 2.设两个正态分布N (μ1,σ21)(σ1>0)和N (μ2,σ2 2)(σ2>0)的密度函数图象 如图所示,则有( ) A .μ1<μ2,σ1<σ2 B .μ1<μ2,σ1>σ2 C .μ1>μ2,σ1<σ2 D .μ1>μ2,σ1>σ2 【解析】 根据正态分布N (μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线x =μ对称,在x =μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选A. 【答案】 A 3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为离散型随机变量与正态分布
均值、方差、正态分布__学生用
随机变量的均值与方差、正态分布(专题复
知识讲解离散型随机变量的均值与方差
简单随机变量之和与正态分布
知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
正态分布概率公式(部分)
图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时,可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程:
fx= (61 ) () .6
式中: x—所研究的变数; fx —某一定值 x出现的函数值,一般称为概率 () 密度函数 (由于间断性分布已转变成连续性分布,因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率, 不能计算变量取某一值, 即某一点时的概率, 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分),相当于曲线 x值的纵轴高度; p—常数,等于 31 .4 19……; e— 常数,等于 2788……; μ 为总体参数,是所研究总体 5 .12 的平均数, 不同的正态总体具有不同的 μ , 但对某一定总体的 μ 是一个常数; δ 也为总体参数, 表示所研究总体的标准差, 不同的正态总体具有不同的 δ , 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布, 记作 N μ ,δ2 ), “具 ( 读作 2 平均数为 μ,方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线,形状见图 62。 (二)正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴,向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负, 只要其绝对值相等, 代入公式 61 ) ( .6 所得的 fx 是相等的, () 即在平均数 μ 的左方或右方,只要距离相等,其 fx 就相等,因此其分布是 () 对称的。在正态分布下,算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布