天津市南开中学2015届高三数学(理)统练20(扫描版)
天津市南开中学高三数学统练4 理
天津市南开中学2015届高三数学统练4 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 若函数3)(x x f =，则])2(['-f =（ ）A. 8-B.12C. 0D. 12. 曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 4- D. 4 3. 下列求导运算正确的是（ ）A.211)1(x x x +='+ B. 2ln 1)(log 2x x =' C. x x x x sin 2)cos (2-=' D. e x x 3log 3)3(='4. 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围（ ）A.21<<-aB.63<<-aC.63>-<a a 或D.21>-<a a 或5. 曲线01=--x y x 上一点)47,4(-P 处的切线方程是（ ）A.08165=++y xB.08165=+-y xC.08165=-+y xD.08165=--y x6. 函数52)(24+-=x x x f 在区间上的最大值与最小值分别是（ ） A.5，4 B.13，4 C.68，4 D.68，57. 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A.（1，3）B.（1-，3） C .（1，0） D.（－1，0）8. 已知()3231fx ax x =-+，若()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A.(),2-∞- B. ()1,+∞ C. ()2,+∞ D. (),1-∞-9. 已知()()()()ln 1ln 1,1,1fx x x x =+--∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-；②()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；③()2f x x≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 10. 函数()()ln fx x x ax =-有两个极值点1x 和2x ()12x x <，则（ ）A.()10fx >，()212fx >-B. ()10f x <，()212fx <- C.()212fx >-，()212f x <-D. ()10fx <，()212fx >-11. 设函数()3232t h x tx t=-，若有且仅有一个实数0x ，使得对任意正数t ，()()700t h x h x …恒成立，则0x 等于（ ）12. 已知函数()32fx x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-…，则（ ）A. 3c …B. 36c <?C. 69c <?D. 9c >二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 曲线423+-=x x y 在()3,1处切线的倾斜角为 . 14. x x y sin 2=，则='y _____ .15. 曲线x x x y -+-=21ln 2在点M （1，0）处的切线方程是___________.16. 直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则b 的值为___ _.17. 过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 的值为 .18. 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++…恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
天津市南开中学2015届高三数学统练17 理
天津市南开中学2015届高三数学统练17 理一、选择题（共8小题，每题5分）1.如图，是某几何体的三视图，其中正视图、侧视图均是边长为2，一个角为60︒的菱形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）．A． B．C. 3D.2.若将函数()1cos 4f x x x =-的图象向右平移()0m m π<<个单位，使平移后的图象关于原点对称，则m =（ ）．A ．5π6B ． π6 C.2π3 D.π33.已知()0,, 4.30a b A b A ==，解三角形时有且只有一个解，则a 的取值范围是（ ）.A ．24a a =≥或B ．2a ≥C 4a ≥ D.24a ≤≤4.已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．()∞1，+B ．()1，2C.(1，D.(2，5.设F1、F2为曲线126:221=+y x C 的焦点,P 是曲线13:222=-y x C 与C1的一个交点,则1212||||PF PF PF PF ⋅⋅的值为（ ）A ．31-B ．41C . 31 D. 32正视图 侧视图俯视图60︒第1题60︒6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，被方向向量为)6,6(=k 的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（ ）.A ．25B ．26C . 310D. 27.已知圆O 的半径为1,,PA PB 为圆O 的两条切线,,A B 是两切点,那么PA PB ⋅的最小值为 ( ) .A．4-+．3-C. 4-+D. 3-+8. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧 棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ）． A ．π12 B ．π32 C.π36 D.π48二、填空题（共6个小题，每题5分）9.设圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心与双曲线的右焦点重合，则圆C 的标准方程为 .10.已知实数,x y 同时满足下列条件:220,240,330x y x y x y +-≥-+≥--≤,22x y +的最大值是 ,最小值是 .11. 设首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,56150S S ⋅+=,则公差d 的取值范围是 .12.正四面体ABCD 的棱长为1,AB α平面,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是 . 13.满足条件2,AB AC ==的ABC ∆的面积的最大值是 .14.已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =-，且当x ∈(0,1)时，()21xf x =+,则12(log 19)f 的值为 .三、解答题（共6个小题）15.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f t g x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈(Ⅰ)将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； (Ⅱ) 函数()g x 的值域.16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的均值.17． 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. 已知点()1,1A ，过点()0,3B 的直线l 与函数3194y x =+的导函数的图象交于,P Q 两点，且AP AQ ⊥.（Ⅰ）求直线l 的方程,并求线段PQ 的长PQ;（Ⅱ）设函数()3ln 4g x x m =+,若函数3194y x =+的图象恒在函数()y g x =图象的上方,CAFEBMD求实数m 的取值范围.19. 已知各项均为正数的数列{}{},n n a b 满足对任意的正整数n ，都有1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列,且1210,15a a ==.（Ⅰ）求证:数列是等差数列:（Ⅱ）求数列{}{},n n a b 的通项公式;（Ⅲ）设12111,n n S a a a =+++如果对任意的正整数n ，不等式22n n n b aS a <-恒成立,求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的中心O 关于直线250x y --=的对称点在直线2x a =上，C 的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A ⎛ ⎝⎭的直线l 交椭圆C 于两点,M N ，设MA AN λ=，动点P 满足：MP PN λ=-，求点P 的轨迹方程；（Ⅲ）过右焦点F 的直线l '交椭圆C 于两点,S T （异于长轴的端点），在x 轴上是否存在定点E ，使直线,ES ET 的倾斜角总是互补的？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由天津南开中学2015届高三数学统练17（理科）答案一、选择题 BAAB CADC二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 16)5(22=+-y x 10. 13 ； 4511.(),⎡-∞-⋃+∞⎣12. 1,42⎤⎥⎣⎦13. 3516三、解答题：（本答题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f t g x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈(Ⅰ)将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；(Ⅱ) 函数()g x 的值域.15.解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x xg x xxx x --=+++ 2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxxx --=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x x x x x --∴=+--sin cos 2x x =+-＝ 2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ<＜，得55.443x πππ+<＜sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎫∈π ⎪⎝⎭），即1sin()2)2344x x ππ-≤+≤+--＜＜，故g(x)的值域为)2,3.⎡-⎣16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的均值. 16解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. （Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅.()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B =⋅+⋅()()()()P A P B P A P B=⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5= （Ⅱ）D A B =⋅.()()P D P A B =⋅()()P A P B=⋅0.50.4=⨯0.2=.()()10.8P D P D =-=则（Ⅲ）()3,0.8B ξ，故ξ的分布列:()300.20.008P ξ===,()12310.80.20.096P C ξ==⨯⨯=()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=,()330.80.512P ξ===. 30.8 2.4E ξ=⨯=17． 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？CAFEBMD若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.17.证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF.在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1=2MN//AB,MN AB，又因为1=2EF//AB,EF AB，所以MN//EF且MN=EF.所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.又因为FN⊂平面ADF，⊄EM平面ADF，故EM//平面ADF.解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. 由已知可得(0,0,0),(0,2,0),B A3(3,-2,0),(2C E F M（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，=AF.设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n=. 又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，所以//EM平面ADF.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒.（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t≤≤，则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2cos <2PC AF PC,AF PC AF⋅>==⋅=，化简得35-=， 解得t =<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.18. 已知点()1,1A ，过点()0,3B 的直线l 与函数3194y x =+的导函数的图象交于,P Q 两点，且AP AQ ⊥.（Ⅰ）求直线l 的方程,并求线段PQ 的长PQ;（Ⅱ）设函数()3ln 4g x x m =+,若函数3194y x =+的图象恒在函数()y g x =图象的上方,求实数m 的取值范围.18解. （Ⅰ）函数3194y x =+的导函数为234y x =,把:3l y kx =+代入234y x =得,234120x kx --=.设()()1122,,,P x y Q x y ,则12124,43kx x x x +==-,所以212463k y y +=+()212129916y y x x ==,因为()1,1A ,则()111,1,AP x y =--()221,1AQ x y =--,()()()()12121111AP AQ x x y y ⋅=--+--.由于AP AQ ⊥0AP AQ ⋅=,则有()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=,2441033k k --=,解得 31,22k k =-=或.(ⅰ)当32k =-时,:3260l x y +-=, PQ =;(ⅱ) 当12k =时,:230l x y -+=,PQ =. （Ⅱ）设函数()3139ln 44f x x x m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,定义域为()0,+∞,()()3314x f x x -'=, 当01x <<时,()0f x '<,函数()f x 递减; 当1x >时,()0f x '>,函数()f x 递增; 当=1x 时,()=0f x '.所以函数()f x 的最小值为()3714f m =-.函数()3ln 4g x x m =+,若函数3194y x =+的图象恒在函数()y g x =图象的上方等价于()37104f m =->即374m <. 19. 已知各项均为正数的数列{}{},n n a b 满足对任意的正整数n ，都有1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列,且1210,15a a ==.（Ⅰ）求证:数列是等差数列:（Ⅱ）求数列{}{},n n a b 的通项公式;（Ⅲ）设12111,n nS a a a =+++如果对任意的正整数n ，不等式22nn n b aS a <-恒成立,求实数a 的取值范围.19. 解: （Ⅰ）由已知12n n n b a a +=+ ①,211n n n a b b ++=⋅②.由②得对2n ≥,1na += ,n a=代入①得2n b=,整理得=所以数列是等差数列.（Ⅱ）设数列的公差为d,由1210,15a a ==,则1225,182bb ==,d==.所以((14n n =+-=+.因而()()()2434,22nn n n n b a +++==.（Ⅲ）由 （Ⅰ）得()()121123434n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭,所以11244n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.不等式22n n n b aS a <-⇔11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭⇔()()213680a n n n -+--<. 记()()()21368f x a x a x =-+--,问题等价于()0f n <对n N *∀∈恒成立. (ⅰ)当1a =时,适合;(ⅱ) )当1a >时,不适合;(ⅲ) 1a <函数()f x 的对称轴()()32021a x a -=-<-,则()f n 递减, 则()15104f a <⇔<,所以1a <.综上,1a ≤.20．解：（Ⅰ）设O 的对称点为()20,a y ，则200250,21,2y a y a ⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得24a =，又12e =，得1c =，3b ，所以椭圆方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题设，3311,M M N N x y x y λ⎛⎫⎛-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()11M N x x λ-=-，同理有()P M N P x x x x λ-=--；由两式消去λ：11N M PM N P x x x x x x --=---，整理得 ()()22P M N M N M N x x x x x x x +-=-+．设l ：()31y k x =-，即3y kx k ⎛=- ⎝⎭，代入椭圆方程并整理得()(2224342344390k x k k x k k +-+--=． (24234362243M N k k k x x k ++-=-=+，()()(22224439423431824343M N M N k k k k k x x x x k k ---+-+==-++，于是()243186112436233M N M N P M N x x x x k x x x k k -++===+≠+-++，将321P P y k x -=-代入， ()()()()6161233233123321P P P P P P x x y y x x --==--+-+-，于是()()323316P P y x -+-=，。
天津市南开中学2015届高三数学统练14 理
天津市南开中学2015届高三数学统练14 理一、选择题（共8小题，每题5分）1.设集合{|2,0},{|x M y y x N x y ==<==，则“x M ∈”是“x N ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+= ( )A. 16(14)n-- B. 16(12)n-- C. 32(14)3n -- D. 32(12)3n --3．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B.若l m ⊥，//m α，则l α⊥ C. 若l m ⊥，m α⊥，则//l αD.若//l α，m α⊥，则l m ⊥4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则（）A ．14-B ．11-C ．12-D ．13-5. 设0.5log 0.413a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.4log 0.513b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 23c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝或qD ．p 且q ⌝7. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n nS a n n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）.则=+)()(65a f a f ( )A ．3B ．2-C ．3-D ．28. ABC ∆是边长为1的正三角形,点P 在ABC ∆所在的平面内,且222||||||PA PB PC a ++= (a 为常数).下列结论中,正确的是 （ ）A .当10<<a 时,满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时,满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时,满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时,满足条件的点P 总是有限个.二、填空题（共6个小题，每题5分）9. ABC ∆中,三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,已知60B ∠=,不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<,则b =______.10. 某品牌香水瓶的三视图如右图（单位：cm ），则该几何体的表面积为 cm2；11. 函数12()3sin log f x x xπ=-的零点的个数__________. 12. 数列{}n a 的前n 项和()0.1log 1n S n =+，则101199a a a ++⋅⋅⋅+=__________.13.设=⎰a ,对任意∈x R ，不等式2(cos )cos 0-+≥a x m x π恒成立，则实数m 的取值范围是 ．14. 已知正ABC ∆ 的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆ 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围为___________.三、解答题（共6个小题）15. 已知函数)cos()(ϕω+=x A x f (0>A ,0>ω,02<<-ϕπ)的图像与y 轴的交点侧视图正视图俯视图为)1,0(,它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx(1)求函数)(x f 的解析式及的单调递增区间 ；(2)若锐角θ满足1cos 3θ=,求(2)f θ的值.16. 甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6, 0.5, 0.4,能通过面试的概率分别是0.5, 0.6, 0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .17.在如图所示的多面体中, AD ⊥平面ABE ,AE AB ⊥，//,//,EF AD AD BC 2,AE AB BC EF ====3.AD =(1)求证: //BE 平面ACF ; (2)求证: BF AC ⊥;(3)求二面角C DF E --的余弦值.18. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若222na n m +=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩求数列{}n b 的通项公式； （3）设（2）中的数列{}n b 的前n 项和Sn ，对任意的正整数n ，PABCDEF11(2)22n n n S n n p +-+++<（）+()恒成立，求实数p 的取值范围.19．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,,E F 分别为,PC BD 的中点.(1) 求证: //EF 平面PAD ； (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(3) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13? 说明理由.20. 已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(1)当0a ≤时,求()f x 的单调区间(2)若不等式()g x x <有解,求实数m 的取值菹围;(3)定义:对于函数()y F x =和()y G x =公共定义域内的任意实数0x ,称00|()()|F xG x -的值为两函数在x 处的差值.证明:当0a =时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大于2.天津南开中学2015届高三数学统练14（理科）答题纸班级 _________ 姓名 ________ 学号 ________ 得分________ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. _________________ 10.___________________ 11.________________ 12._________________ 13.___________________ 14.________________ 三、解答题：（本答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.18.PA B CDEF19.。
天津市南开中学高三数学统练7 理
天津市南开中学2015届高三数学统练7 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）已知()3log 31xy ax=++是偶函数，21x y b e =+-为奇函数，则a b +=（ ）．A ．1-B ．0C ．12 D ．1设233()4a =，342()3b =，4323log c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）．A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>若方程111()()042x x a -++=有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．01a <<B ．30a -<<C ．20a -<<D ．10a -<<设12M a a =+-(23)a <<，2121log ()16N x =+，则,M N 的大小关系为（ ）．A. M N <B. M N >C. M N =D. 不能确定若函数2()()af x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是（ ）．A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 21B ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数育C ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数已知(),,0x y ∈-∞，且1x y +=-，则1xy xy +有 （ ）．A ． 最大值174B ．最小值174C ．最小值174-D ．最大值174-若()224ln f x x x x=--则()0f x '>的解集为（ ）． A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-+∞∪ C.()2,+∞ D. ()1,0-若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）．A.),1[+∞B.)2,23[C.[)1,2 D.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）． A ． （0, B ．（1, C ．D ．（已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)1(=f ，()f x '是)(x f 的导函数，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）．A ．{}|11x x x <->或B ．{}|101x x x <-<<或C ．{}|1001x x x -<<<<或 D ．{}|101x x x -<<>或已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x =++的图像关于点()0,1A 对称，若()()ag x f x x =+，且()g x 在区间(]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞ C ．(]0,3D ．(]0,2设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：()1()f x 在D 内是单调函数；()2存在[],a b D⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b 。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练18
一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共8道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线 交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18（理科·圆锥曲线）一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（ ）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线 交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．图 （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18答案一、选择题 BDCC CACA二、填空题 9. 3 10.321511.{}0,1,2 12. 13.9 14.y = 三、解答题16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.16. （Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，且可知左焦点为()2,0F -，从而有228c a AF AF =⎧⎨'=+=⎩，解得24c a =⎧⎨=⎩， 又222a b c =+，所以212b =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=. （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32y x t =+，由223211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2233120x tx t ++-=，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有223t)-43(t -12)0∆=⨯≥（，解得t -≤≤OA 与l 的距离4，从而t=±由于±[-，所以符合题意的直线l 不存在.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．17．（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ． 设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得 42pa p -≤<-．（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得p a x x x +=+=2213， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴ p QM QN 2||||==，∴||||21QN AB S NAB ⋅=∆||22AB p =p p 222⋅≤22p =即NAB ∆面积最大值为22p18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．图18.解. （Ⅰ）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==，过点G 的切线方程为 (2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的 方程分别为2212xy +=和28(1)x y =-. （Ⅱ）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个.若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8xx +，A 、B两点的坐标分别为(0)和0)，22112,1,2,188PA x x PB x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎭222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=.令2t x =则21510644t t +-=,由韦达定理 ,该方程有正负各一根. 所以关于2x 的二次方程有一大于零的解，因此x 有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形.19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;由N 是焦点,则112222P Q PQ PN NQ x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()22244212121633P Q k x x k k ⎛⎫⎛⎫+-=-=+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故PQ 的最小值为6.20.解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a ，准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组 0102()y y k x x y ax-=-⎧⎪⎨=⎪⎩①②的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+，故011x ak x -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0202()y y k x x y ax -=-⎧⎪⎨=⎪⎩④ ⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是220k x x a +=，故220k x x a=-．由已知得，12k k λ-=，则012x k a x --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由BM MA λ=，则λλ++=112x x x M ． 将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ． ∴线段PM 的中点在y 轴上． (Ⅲ)因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得211x k =-，代入2x y -=得221(1)y k =--．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为2111(1,21)A k k k -----，2111(1,21)B k k k --+-．于是2111(2,2)AP k k k =++，11(2,4)AB k k =，则有 2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ⋅=+++=++．因P A B ∠为钝角且P 、A 、B三点互不相同，故必有0AP AB ⋅<．求得1k 的取值范围是12k <-或1102k -<<．又点A 的纵坐标1y 满足211(1)y k =-+，故当12k <-时，11y <-；当1102k -<<时，1114y -<<-．即11(,1)(1,)4y ∈-∞---.。
天津市南开中学2015届高三数学统练13 文
cos y xω=天津市南开中学2015届高三数学统练13 文说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 第І卷（选择题共40分）一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)i 是虚数单位，复数131ii --=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+3()2x f x x =+的零点所在区间为( )A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l)阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的S 是（ ）A 21．B 39．C 81．D 102．若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数的图象重合，则ω的值可能是 （ ）A ．13B ．32C ．23D ．12设2log 3a =，4log 3b =，1.21()2c =，则它们的大小关系是（ ） A. b a c << B.b c a << C.c a b << D. a b c <<已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()∞1，+ B ．()1，2C ．()21，1+D ．()22，1+已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|20}a a -<< B ．{|20}a a -<< C ．{|20a a -<<或12}a << D ．{|20a a -<<或1}a = 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)实数x ，y 满足不等式组10,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≤⎩若,则W 的范围是 _________．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 . 已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________.已知1x >，1y >，且1ln 4x，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是_______.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （本小题满分13分)2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．（本小题满分13分)已知函数222263f (x )sin(x )cos(x )cos xππ=+-++．(I)求12f ()π的值；(Ⅱ)求f (x )的最大值及相应x 的值． (本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点,2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =.（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线BM 与CD 所成角的余弦值. (本小题满分13分)设0),(),,(222211>+b x a y y x B y x A 是椭圆是椭圆)0(1),(),,(222211>>=b a y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y b a =m ，P ABC DE M22(,)x y b a =n ,若0=⋅n m 且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.( 1)求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式，并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和nD ；（Ⅱ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T ．（本小题满分14分) 已知函数()()32 0f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ,，2-是()f x 的一个零点，又()f x 在0x =处有极值，在区间()6,4--和()2,0-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求ba 的取值范围；（Ⅲ）当3b a =时，求使(){}32A y y f x x ==-≤≤，，[]3,2A ⊆-成立的实数a 的取值范围．南开中学2015届高三文科数学统练13参考答案 一、选择题：二、填空题：（9）113W -≤≤（10）2π （11）110（12） （13）e （14）229-三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15 （I ）系统抽样 （II ）2名 （III ）16．H17.（1）∵PD PA =，E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，⊂PE 平面PADPE ∴⊥平面ABCD -------4分（2）连接EC ，取EC 中点H ，连接HB MH , ∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，MH ∴∥PE 由（1）知PE ⊥平面ABCD ，MH ∴⊥平面ABCDHB ∴是BM 在平面ABCD 内的射影 MBH ∠∴即为BM 与平面ABCD 所成角∵AD ∥BC ，AD BC 21=，E 为AD 的中点，090=∠ADC∴四边形BCDE 为矩形，∴121,2===EC HB EC ，又∵,2321==PE MH MHB ∆∴中，23tan ==∠HB MH MBH∴直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为23-------9分(3) 由（2）知CD ∥BE ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角连接ME ，MHE Rt ∆中，,27=ME MHB Rt ∆中，,27=BM 又3==CD BE MEB ∆∴中，7213272473472cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠BE BM ME BE BM MBE∴直线BM 与CD 所成角的余弦值为721-------13分18. 解：（1）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y（2）由题意，设AB 的方程为3+=kx y222212122(4)10.................4 141. .................5 4y kx k x y x x x x x k ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩-+==+分分由已知0=⋅n m 得：1212121222212121(43(1)().................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+++=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得19．解：（Ⅰ）当1=n ，21=a ； …………………………1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴12n n a a -=， ……………2分∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a = ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴21n b n =- ………………………………5分∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1231123252(23)2(21)2n nn D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②…6分①—②得：123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯………7分114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯- ……8分12(32)6n n +=--， ……9分 1(23)26n n D n +=-+ ………10分（Ⅱ）2(21)nn c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ………11分 321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-． ………13分2122223n n n+-=-- ………14分20 解：（Ⅰ）∵()32f x ax bx cx d=+++，()232f x ax bx c'=++，()f x 在0x =有极值，∴()00f '=即0c =，……………………3分（Ⅱ）()232f x ax bx'=+，由()()320f x x ax b '=+=，得0x =或23bx a =-，()f x 在区间()6,4--和()20-,上单调且单调性相反,2423b a -≤-≤-，故36b a ≤≤．…………………6分（Ⅲ）3b a =，且2-是()f x 的一个零点，()28120f a a d -=-++=，4d a =-，()3234f x ax ax a=+-，()()23632f x ax ax ax x '=+=+，由()0f x '=得0x =或2x =-，…………….8分（ⅰ）当0a >时所以 当0a >时，若32x -≤≤，则()416a f x a-≤≤，…………………10分（ⅱ）当0a <时所以 当0a <时， 若32x -≤≤，则()164a f x a≤≤-，…………………12分得0 16 2 4 3 a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，，， 或0 16 3 4 2 a a a <⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，，， 即108a <≤或3016a -≤<，故a 的取值范围是31,00,168⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．…………………14分。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练5
一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1.已知函数()1cos f x x x =，则()2f f π⎛⎫'π+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1-π B. 2-π C. 3-π D. 4-π2.已知函数()e x f x x =，则()min f x =（ ）A. 1-B. e -C. 1e-D. 不存在 3.已知函数()sin x f x e x =，则它在点()()4,4f 处的切线的斜率为（ ）A.0B.锐角C.2πD.钝角 4.已知对于任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）A. ()()0,0f x g x ''>>B. ()()0,0f x g x ''><C. ()()0,0f x g x ''<>D. ()()0,0f x g x ''<<5.已知函数()2ln fx x x=+，则（ ） A. 12x =是()f x 的极大值点 B. 12x =是()f x 的极小值点C. 2x =是()f x 的极大值点D. 2x =是()f x 的极小值点6.已知正三棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）A.B. C. D. 7.已知函数()32247f x x x x =---，其导函数为()f x '，则以下4个命题：①()fx 的单调减区间是2,23⎛⎫-⎪⎝⎭； ②()f x 的极小值是15-；③()fx 有且只有一个零点；④当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()()()fx f a f a x a '>+-.其中真命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.48.已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+…，对任意正数,a b 有a b <，则（ ）A. ()()af b bf a …B. ()()afb bf a … C. ()()afa fb … D. ()()fa bfb …9.曲线2e 1x y -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形面积为（ ）A. 1B.23 C. 12 D. 1310. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）A. 3131255y x x =-B. 3241255y x x =-C. 33125y x x =-D. 3311255y x x =-+11. 设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且()()22f x xf x x '+>下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）A. x x f >)(B. x x f <)(C. 0)(>x fD. 0)(<x f12. 设D 是函数()y fx =定义域内的一个区间，若存在0x D ∈，使()00f x x =-，则称0x 是()fx 的一个“次不动点”.若函数()2532f x ax x a =--+在区间[]1,4上存在次不动点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 已知函数()()()()()1234f x x x x x x =----，则()0f '= . 14. 已知函数()ln f x kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = .15. 已知函数()3f x x kx =-在区间()3,1--上不单调，则实数k 的取值集合是 _____. 16. 已知函数()324fx x ax =-+-在2x =处取得极值，若[],1,1m n ∈-，则()()f m f n '+的最小值是___ _. 17.已知函数()fx 的导函数()()5cos ,1,1f x x x '=+∈-，且()00f=，若()()2110f x f x-+-<，则实数x 取值的集合是 .18.设函数()fx 若曲线sin y x =上存在点()00,x y 使得()()0f f y y=，则a的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分） 19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） (1) 求在1次游戏中，(ⅰ) 摸出3个白球的概率；(ⅱ) 获奖的概率； (2) 求在2次游戏中，获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20. 已知函数()cos sin fx x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求证：()0f x …；（2）若sin x a b x <<对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.21.设函数()()ln 1fx x =+，()()g x xf x '=，0x …，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）令()()1g x g x =，()()()1n n g x g g x +=，n N +∈，猜想()n g x 的表达式； （2）若()()fx ag x …恒成立，求实数a 的取值集合.22. 设()()e ,R ,R x fx x a a x =-∈∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围； （2）证明21x x 随着a 的减小而增大； （3）证明12x x +随着a 的减小而增大.班级 姓名 学号 成绩天津南开中学2015届高三数学统练5（理科） 答题纸一、选择题二、填空题13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17._____________ 18.______________ 三、解答题 19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练5（理科）答案二、填空题13. 24 14. 1- 15. ()3,27 16. 13- 17. (1, 18. [1,e]三、解答题19. 解： (1) (ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A ()0,1,2,3i =，…1’则()213232253C C 1C C 5P A =⋅=......2’(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，…1’()2112133222222225353C C C C C 1C C C C 2P A =⋅+⋅=，…2’因为2A 和3A 互斥，…1’ 所以()()()231172510P B P A P A =+=+=...1’ (2) X 的所有可能值为0,1,2X =…1’()2790110100P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，…1’()12772111101050P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，…1’ ()2749210100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，…1’ 所以X 的分布列是…….1’数学期望()921497012100501005E X =⨯+⨯+⨯=.......2’20. 解： （1）证明：由已知()sin f x x x '=-=，…2’ 因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()fx 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，…..2’ 因此()()00fx f =………1’（2）解：令()sin g x x cx =-，…….1’则()cos g x x c '=-………1’当0c …时，对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立；…………..1’当01c <<时，存在唯一0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，………….1’若()00,x x ∈，则()0g x '>，故()g x 在区间()00,x 上单调递增，………..1’若0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，故()g x 在区间0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，…………1’又因为()00g =，故要使()0g x >对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，只须使π02g ⎛⎫⎪⎝⎭…，解之得20πc <…；………………..2’ 当1c …时，对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，故()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()00g x g <=恒成立………………2’ 综上所述，当2πc …时，()0g x >对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当1c …时，()0g x <对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若sin x a b x <<对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1…..1’21.解: 解：（1）由已知()11x g x x =+，()212x g x x =+，()313xg x x=+， 猜想()1n xg x nx=+….4’ （2）令()()()()()ln 1,01axh x f x ag x x x x=-=+-+…，………….1’ 则()()()()2211111x a ah x x x x --'=-=+++，………………………..2’ 当1a …时，即10a -…时，()0h x '…，（仅当0,1x a ==时等号成立），所以()h x 在[)0,+∞上单调递增……………………….1’故当[)0,x ∈+∞时，()()00h x h =…，…………….1’ 即1a …时，()()fx ag x …恒成立；……………….1’当1a >时，10a ->时，若[)0,1x a ∈-，则()0h x '<， 所以()h x 在区间[)0,1a -上单调递减…………………….1’ 故()()100h a h -<=………………………….1’即1a >时，存在[)0,x ∈+∞使()0h x <，……………………..1’ 即()()fx ag x …不恒成立……………………………..1’综上可知，a 的取值范围是(],1-∞………………………………….1’22.解: （1）解：由已知()1e x y f x a '==-.①当0a …时，()0f x '>在R 上恒成立，可得()fx 在R 上单调递增，不合题意….1’②当0a >时，令()0f x '=可得ln x a =-…………….1’ 当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '>，可得()f x 在区间(),ln a -∞-上单调递增； 当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '<，可得()f x 在区间()ln ,a -+∞上单调递减…..1’所以，函数()y fx =有极大值()ln ln 1f a a -=--……………..1’令ln 10a -->，解得10ea <<， 取10t =，则()1,ln t a ∈-∞-且()10f t a =-<；……………..1’又由0a >，知2a a <，则2ln ln 2a a a -+<，所以22ln ln a a a+>-.取222ln t a a =+，则()22222222ln 2e e ln e aa a f t a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.利用导数易证：当0x >时，ln e xx x <<恒成立.由20a>，可得222ln <e aa a <，即()20f t <……………….1’综上可得：当10ea <<时，()ln 0f a ->，存在()1,ln t a ∈-∞-，使()10f t <，存在()2ln ,t a ∈-+∞，使()20f t <.即函数()y f x =有两个零点.故a 的范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭……………………..1’（2）证明：由()e 0x f x x a =-=，得e xx a =. 设()e x x g x =，由()1exxg x -'=，知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.并且当(],0x ∈-∞时，()0g x …， 当()0,x ∈+∞时，()0g x >. 因为12,x x 是函数()y fx =的两个零点，且12x x <，所以，()()12a g x g x ==.由10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及函数()g x 的单调性，可得()10,1x ∈，()21,x ∈+∞.对任意的110,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<，()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，所以，由12a a >，即()()11g g ξη>，可得11ξη>； 同理可证：22ξη<. 又由10ξ>，10η>，得222111ξηηξξη<<. 所以21x x 随着a 的减小而增大.令()()()1ln ,1,1x x h x x x +=∈+∞-，则()()212ln 1x x x h x x -+-'=-，令()12ln u x x x x =-+-，得()21x u x x -⎛⎫'= ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()0u x '>，.。
天津市南开区2015届高三一模试题
天津市南开区2015届高三一模数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)•P(B)．4 R3，·棱柱的体积公式V柱体=Sh，·球的体积公式V球=3其中S表示棱柱的底面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，复数ii5225+-=（ ）． （A ）–i （B ）i （C ）–2921–2920i （D ）–214+2110i （2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y的最小值是（ ）．（A ）0 （B ）–6 （C ）–8（D ）–12（3）设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∉(A ∩B )， 条件q ：x ∉(A ∪B )，则p 是q 的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）充要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）．（A ）4x 2–12y 2=1 （B ）4x 2–34y 2=1（C ）12x 2–4y 2=1 （D ）34x 2–4y 2=1（5）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（ ）．（A ）(0，–2]（B ）[–2，+∞)（C ）(–∞，–2]（D ）[2，+∞)（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三 视图，则此棱锥的体积为（ ）．（A ）38 （B ）34 （C ）34 （D ）32（7）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2=a 2+bc ，A=6π，则内角C=（ ）．（A ）6π （B ）4π（C ）43π （D ）4π或43π（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –n |（0＜n ＜1+m ），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）． （A ）3＜m ＜6 （B ）1＜m ＜3 （C ）0＜m ＜1 （D ）–1＜m ＜0南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）答 题 纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练16
一、选择题（共8小题，每题5分）1.已知12F F ，分别是椭圆的两个焦点,点P 在椭圆内部,且120PF PF ⋅=,则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．()0,1B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C .⎛ ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎣⎭2.已知点M 为椭圆221259x y +=上一点,12,F F 分别为左,右焦点,点O 是坐标原点,12MF =,N 是线段1MF 的中点,则ON 的值是( )A ．2B ．4C .8 D. 323.已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ）.A ．①③B ．②④C .③④ D.①4.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是( )A.[1-1+B.[1C.D.[1-,3]5.下列命题中，真命题的是（ ）.A ．若)(x f 是定义在上的偶函数，且在上是增函数，)2,4(ππθ∈，则 (sin )(cos )f f θθ> B ．若锐角α、cos sin ,2πβαβαβ>+<满足则C .若2()2cos1,()()2xf x f x f x x R π=-+=∈则对恒成立 D.要得到函数).42sin(π-=x y 的图像，只需将2sin x y =的图像向右平移4π个单位6.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）.A ．)48sin(4π+π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C .)48sin(4π-π-=x y D. )48sin(4π+π=x y7. 设 ()()12,0F F c -c,0，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点,若12215PF F PF F ∠=∠,A ．2 B ．2 C .3 D. 38.已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为1，棱1BB 所在直线上的动点M 满足1BM BB λ=，AM 与侧面11BB C C 所成的角为θ，若λ∈⎣，则θ的取值范围是（ ） A ．,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（共6个小题，每题5分） 9设曲线()1n y x n N ++=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，记2014log n n a x =，则122013a a a +++= .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所队的边分别为,,a b c .若cos 4,2A AB AC =⋅=则ABC ∆中的面积为 . 11.已知数列(){}()2log 1n a n N *-∈为等差数列，且123,5a a ==，则21321111n na a a a a a ++++---= .12.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中()()()0,0,1,5,2,0A B C ,函数()()02y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积是 .13.已知直线()f x 1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=相交于,M N 两点,且点,M N 关于直线y x =-对称.若,y x 满足不等式组1000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则线段2z x y =-的最小值为 .14.已知直线l 交椭圆2212016x y +=于,M N 两点,椭圆与y 轴的正半轴交于点B ,若MBN ∆的重心恰好是椭圆的右焦点,则直线l 的方程为.三、解答题（共6个小题）15.已知函数()()2-2sin>02xf x x ωωω的最小正周期为3π，（Ⅰ）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC ，若()1f C =,且()22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒, 2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离；（Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值.18.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式21142n n n S a a =+()n N *∈成立. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）令数列2n n n c a b =(其中c 为正实数)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒成立，求c 的取值范围.19. 已知椭圆22:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B （Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),当AB <时,求实数λ的取B A CD 1A 1B 1C值范围.20.已知函数()2ln ,f x a x x a R =+∈.（Ⅰ）若存在[]1,x e ∈,使得()()2f x a x ≤+成立,求实数a 的取值范围; （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 的值.天津南开中学2015届高三数学统练16（理科）答案一、选择题 CBDD BACB三、解答题（共6个小题）15.已知函数()()2-2sin>02xf x x ωωω的最小正周期为3π，（Ⅰ）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC ，若()1f C =,且()22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.(17)解：()1-cos -2+cos -1=2sin +-126x f x x x x x ωπωωωω⎛⎫⋅⎪⎝⎭ 依题意函数)(x f 的最小正周期为3π，即23ππω=，解得23ω=， 所以()2=2sin +-136f x x π⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）由324x ππ≤≤得22+2363x πππ≤≤，所以，当2sin +36x π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为2（Ⅱ）由()2=2sin 136f C C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭及()1f C =，得2sin C+=136π⎛⎫ ⎪⎝⎭由0<<,C π则25<+<6366C πππ,所以2+=362C ππ,得2C π=. 在Rt ABC 中，由2A B π+=,()22sin =cos +cos B B A C -,整理得2sin +sin -1=0A A ,又由0<sin <1A ,所以sin A =16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 16.解：（I ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··． （II ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，．由（1），（2）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为17317=0+1+2+3=51510306E ξ⨯⨯⨯⨯.17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒, 2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值.17．解法1：（Ⅰ）∵1A D ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC , 又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C ,得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥,∴1AC ⊥平面1A BC . （Ⅱ）∵11AC AC ⊥,四边形11AA C C 为菱形,故12AA AC ==,又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=︒.取1AA 中点F ,则1AA ⊥平面B C F ,从而面1A AB ⊥面BCF .过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1A AB ,在Rt BCF ∆中,2,BC CF =,故7CH =,即1CC 到平面1A AB的距离为7CH =.另解：等体积法11C A AB A ABC V V --=（Ⅲ）过H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥,从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角,在1Rt A BC ∆中,12ACBC ==,∴CGBAC1A1B 1CDGHFBACD1A 1B 1C在Rt CGH ∆中,7sin CHCG CGH ∠==,故二面角1A A B C --的大小为cos θ=.解法2：（Ⅰ）如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系, 则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B , 1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =, 1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,由10AC CB ⋅=,知1AC CB ⊥,又11BA AC ⊥, 从而1AC ⊥平面1A BC .（Ⅱ）由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1(0,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 设1z =,则33(,n =-.∴点1C 到平面1A AB 的距离1||2217||AC n n d ⋅==（Ⅲ）设面1ABC 的法向量为(,,)m x y z =,1(0,CA =-,(2,0,0)CB =,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设1z =,则3(0,m =,故77||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-,根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的大小为cos θ=18.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式21142n n n S a a =+()n N *∈成立. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令数列2n n nc a b =(其中c 为正实数)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒成立，求c 的取值范围.18.解：(1)21142n n n S a a =+ 211111(2)42n n n S a a n ---∴=+≥ 221111111()4242n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=+-+ 12n n a a -∴-= 又12a = 2n a n ∴=(2)222n n n n c a nb c ==12n n T b b b =+++=231232()2222n nc ++++设231232222n n n M =++++,2341112322222n n n M +=++++23411111112222222n n n n M +∴=++++- 122[1]2n n n M ++∴=- 124[1]2n n n T c ++∴=-,由题意124[1]82n n c ++->12212n c n +∴>+-对n N *∈恒成立 ,由1212n n ++-单调性,得1121142n n ++≤-< , 1228.212n n +∴<≤+-要使8n T >对n N *∈恒成立，故8c >. ∴c 的取值范围是()8,+∞.19. 已知椭圆22:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B （Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),当AB <时,求实数λ的取值范围.解：（Ⅰ）设()00,A x y .由A 为MN 的中点,则032y =.又()00,A x y 在椭圆E 上,则220014y x +=,解得0x =,所以342A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或3,42A ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭.因而直线l 的为k =所以直线l 的方程为60x -=或60x -=.（Ⅱ）设直线AB 的方程为3y kx =+,或0x =,()11,A x y ,()22,y B x ,()33,P x y .当直线AB 的方程为0x =时,4AB =>,不合题意. 当直线AB 的方程为3y kx =+时,由22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22465,k x kx +++()()2262040k k ∆=-+>,即25k >.则12122265,,44k x x x x k k +=-=++()()1212224334yy kx kx k +=+++=+. 因为AB =<,即<,解得258k <<.又OA OB OP λ+=,即()()()112233,,,x y x y x y λ+=.由于0λ≠,则()12326,4x x k x k λλ+-==+()1232244y y y k λλ+==+.由()33,P x y 在在椭圆E 上,所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得22364k λ=+,因为258k<<,所以234λ<<,即2λ-<<2λ<<.实数λ的取值范围是()2,2-⋃.（Ⅱ）()22,0x a f x x x+'=>,当[]221,,22,2x e x a a a e ⎡⎤∈+∈++⎣⎦. ①当2a ≥-时, 对[]1,x e ∈,恒有()0f x '≥，当且仅当2,1a x =-=时,()0f x '=.因此,函数()f x 在[]1,e 上是增函数,所以,()()min 11f x f ==.②当2-22e a <<-时,()01f x x '<⇔≤<,()0f x x '=⇔=,()0f x x e '>⇔<≤,所以,()min ln 222a a af x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. ③当22a e ≤-时, 对[]1,x e ∈,恒有()0f x '≤，当且仅当22,a e x e =-=时,()0f x '=.因此,函数()f x 在[]1,e 上是减函数,所以,()()2min f x f e a e ==+.纵上可知,当2a ≥-时,()()min 11f x f ==;当2-22e a <<-时,()min ln 222a a a f x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭;当22a e ≤-时, ()()2min f x f e a e ==+.。
天津市南开中学2015届高三数学统练7 数列 文
天津市南开中学 2015 届高三数学统练 7 数列 文一、选择题等差数列{an}中， a1 1 ， a3 a5 14 ，其前 n 项和 Sn 100 ,则 n =（ ）A. 9B. 10C.11D. 12已知等差数列 an 中， a2 a5 a9 a12 60，那么其前 13 项和为（ ）A. 390B. 195C.180D. 120设 an是首项为 a1 ，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4，成等比数列，则 a1 =（ ）11A. 2B. 2C. 2D. 2等差数列{an}的公差是 2，若 a2, a4, a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn （ ）A. n(n 1)B. n(n 1)n(n 1) C. 2n(n 1) D. 2等差数列 an 中的前 12 项的和为 S12 354,其中奇数项之和 S奇 与偶数项之和 S偶 的比为2732 ,则 an的公差 d ().A. 10B. 30C. 5D. 15 设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ．若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k （ ）A. 2B. 4C.6D. 8 已知数列 an 的通项公式为 an (1)n1(4n 3) , Sn 为其 n 项和,则 S15 S22 S31 的值为()A. 13B. 76C.46D. 76设等差数列{an}的公差为 d ，若数列{2a1an }为递减数列，则（ ）A. d 0B. d 0C. a1d 0D. a1d 0 数列anan 的通项公式为(2 3)n1(2 3)n11 ,则下列表述正确的是()A.最大项为 a1 ,最小项为 a3B.最大项为 a1 ,最小项不存在C.最大项不存在, 最小项为 a3D. 最大项为 a1 ,最小项为 a4 数列 anan1 满足 2an,0 an 2an 1,1 2 1; 2an 1 .若 a16 7,则 a20 的值为()6531A. 7B. 7二、填空题C. 7D. 7已知数列的通项 an 5n 2 ，则其前 n 项和 Sn ．数列 {an } 的前n项和为Snan，若1 n(n 1)，则S5=．等比数列{an}中,已知 a1 an 66, a2an1 128, Sn 126,则 n ___ .已知{an}等比数列, Sn 是它的前 n 项和, S10 2, S30 S10 12则 S60 S30 ___ .在等差数列 an 中，a1 7 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n 8 时 Sn 取最大值，则 d的取值范围_________.已知{an}是等差数列, Sn 是{an}的前 n 项和,首项 a1 10 ,并且当 n 6 时, Sn 取得最小值,则公差 d 的取值范围是.等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 已 知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成 等 差 数 列 ， 则 an 的 公 比为．等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a1a5 4 ， 则log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 .三、解答题{an}成等差数列， S3 21， S6 24 ，求数列{| an |}的前 n 项和Tn .设 {an } 是等差数列， bn( 1 )an 2b1 b2，已知 b3218b1b2 b3，1 8 ，（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求等差数列{an}的通项 an .天津南开中学 2015 届高三数学统练 7 参考答案三解答题19解：21 24 3a1 6a1 3d 1 5dda19 2n 5 时， an 0 n 6 时， an 0（1） n 5 Tn a1 an n2 10n（2） n 6 Tn | a1 | | an | a1 a2 a5 a6 an 25 (a6 an ) 25 25 (a1 a2 a5 a6 an ) 50 Sn n2 10n 50∴Tn n2 n2 10n(n 5) 10n 50(n 6)∴ an 2n 5 或 2n 3。